整数规划的数学模型分枝定界法割平面法型整数规PPT课件

会有比其自身还大（目标函数求极大值）的最优目标值。当所有子问题的解均为非整数
可行解时，应首先选择具有最大最优目标值的子问题来分枝；当得到第一个整数可行解
时，它的相应目标值可作为该整数规划最优值的下界，舍掉所有最优值不大于该下界的
子问题。按最优值的大小顺序对保留下来的子问题进行分枝，如果出现具有更大目标值
x1
5
x1，x2 0
L1 ：X* = (4, 2.10), Z* = 349
L2 ：X* = (5, 1.57), Z* = 341
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用分枝定界法解例5-1
3.分解L1形成L3、L4，其中：
L3 = {L1, x22}
L4 = {L1, x23}
L3 : X* = (4, 2), Z* = 340
混合整数规划: 只有部分变量有取整约束
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分枝定界法
1.分枝定界法的基本思路
2.第65页例5-1
3.练习题
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分枝定界法的基本思路
利用连续的(线性规划)模型来求解非连续的(整数规划)问题。假设 x r
是一个有取整约束的变量而它的最优连续值
x
r
是非整数，那么下列区间
max(min)(c1 x1+ c2 x2 +…+ cn xn )
a11 x1+ a12 x2 +…+ a1n xn (=,) b1
a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm x1~n 0 且取整数 纯整数规划: 所有变量都有取整约束
1.整数规划的数学模型
2.分枝定界法
3.割平面法
4.0-1型整数规划
5.指派问题
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整体概述
概况一
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概况二
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概况三
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整数规划的数学模型
1 1 -1/2 0 9/2 0 0 1/2 0 15/2 0 -5 5/2 1 7/2
σ
-5/2 0 0 -4 -1/2 0
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求解练习题
将 L0 分解为 L1 和 L2，其中： L1={L0, x2 7} L2={L0, x2 8}
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求解练习题
L1 求解单纯形表
0 1 1 -1/2 1 0 0 1/2 0 0 -5 5/2 0 0 0 -1/2 0 0 -4 -1/2
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0 x5
0 0
1 0
0 x5
0 0
1 0 0
0 x6
0 0 0 1
b
9/2 15/2
7/2 7
0 x6
0 0 0 1 0
b
9/2 15/2
7/2 -1/2
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L6 : 无可行解
(1)舍弃L5、L6；
(2)得最优解X* = (4, 2), Z* = 340。
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例5-1求解过程示意图
L0 (4.81，1.82)
356
L1 (4，2.1)
349
L3 (4，2)
340
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L4 (1.42，3)
327
L2 (5，1.57)
341
[xr ]
xr
[xr ]
1 不可能包含任何整数解，这里[ x r
]表示
x
r
的取整值。因此，
xr 的可行整数值必然满足此二条件之一：xr [xr]或 xr [xr] 1。
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分枝定界法的基本思路
把这两个约束条件分别加到原来的解空间上，便产生了两个互斥的子问题。这便是
分枝的含义。由于分枝过程是通过增加约束条件来实现的，因此每一问题的子问题都不
7x1+20x2=70 9 10 x1
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用分枝定界法解例5-1
2.将L0分解为L1和L2
L1 ：max z = 40x1 + 90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
x1
4
x1，x2 0
L2 ：max z = 40x1 +
90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70
L5 (5.44，1)
308
L6 无可行解
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练习题
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
x1 + x2 + x3 12
x1 + 2x2
15
4x1
+ 5x3 26
x1~3 0且取整
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求解练习题
首先求解线性规划L0 :
max z = 2x1 + 5x2 + 4x3
cj
25400
CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0ห้องสมุดไป่ตู้
x7
σ
x1
x2
x3
x4
x7
1/2 0 1 1 -1/2
1/2 1 0 0 1/2
3/2 0 0 -5 5/2
01000
基变量系数向量单位化
cj CB XB
4
x3
5
x2
0
x6
0
x7
σ
2
x1 x7 1/2 1/2 3/2 -1/2 -5/2
5400
x2
x3
x4
的整数可行解，将下界更新为此整数可行解的目标值并进一步剪枝。从复这一过程，最
终保留下来的整数可行解即为整数规划的最优解。
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第65页例5-1
max z = 40x1 + 90x2
9x1 + 7x2 56
7x1 +20x2 70 x1，x2 0且取整
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用分枝定界法解例5-1
L4 : X* = (1.42, 3), Z* = 327 (1)取下界min=340(L3); (2)舍弃L4
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用分枝定界法解例5-1
4.分解L2形成L5、L6，其中：
L5 = {L2, x21}
L6 = {L2, x22}
L5 : X* = (5.44, 1), Z* = 308
x1 + x2 + x3 + x 4 = 12
x1 + 2x2
+ x5 = 15
4x1
+5x3 + x6 = 26
x1~6 0
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求解练习题
线性规划 L0 的最终单纯形表
cj CB XB
2540
x1
x2 x3
x4
00
x5
x6 b
4 x3 1/2 0 5 x2 1/2 1 0 x6 3/2 0
1.求解相应的线性规划L0 max z = 40x1 + 90x2 9x1 + 7x2 56 7x1 +20x2 70 x1，x2 0
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用分枝定界法解例5-1
x2
5
9x1+7x2=56
4
3
2
1
0 12345678
L0 : x* = (4.81, 1.82), Z* =356 2020/8/11