《数值分析》期末复习题(1)

《数值分析》期末复习题

一、单项选择题

1. 数值x *的近似值x =0.32502×10-1，若x 有5位有效数字，则≤-*x x ( ).

(A)

21×10-3 (B) 21×10-4 (C) 21×10-5 (D) 2

1

×10-6 2. 设矩阵A ＝10212104135⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比

迭代矩阵为( )

(A)0

0.20.10.200.40.20.60--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦

(B)

10.20.10.210.40.20.61⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

(C) 00.20.10.200.40.20.60⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (D)

021204130⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦

3. 已知(1)1,(2)4,(3)9f f f ===，用拉格朗日2次插值，则(2.5)f =( )

(A) 6.15 (B) 6.25 (C) 6.20 (D) 6.10 4. 抛物形求积公式的代数精度是( )

A. 1，

B. 2 ，

C. 3，

D. 4

5. 改进欧拉格式的 局部截断误差是( )

. (),A O h 2. (),B O h 3. (),C O h 4. ().D O h

二、填空题

1、以

7

22

作为π的近似值，它有（ ）位有效数字； 2、经过)1,2( ),2,1( ),1,0(C B A 三个节点的插值多项式为（ ）； 3、用高斯-赛德尔迭代法解方程组

⎩⎨

⎧-=+-=+,10,

2321

21x bx bx x 其中b 为实数，则方法收敛的充分条件是b 满足条件（ ）；

4、取步长为1.0=h ，用欧拉法计算初值问题

22',

(0)0,y x y y ⎧=+⎨

=⎩

的解函数)(x y ，它在3.0=x 的近似值为（ ）；

5、已知方程0sin 1=--x x 在)1,0(有一个根，使用二分法求误差不大于4102

1

-⨯的近似解至少需要经过（ ）次迭代。（已知lg 20.3010=） 6、已知近似数a 的相对误差限为0.5%，则a 至少有 位有效数字。 7、已知0.2010是经过四舍五入得到的近似数，则其相对误差限是 。

8、已知(1.21) 1.1,(1.44) 1.2f f ==，则用拉格朗日线性插值求得(1.3)f 的近似值为 。

9、设函数()f x ，则求方程()x f x =的根的牛顿迭代公式是 。

10、用欧拉公式求解初值问题5,

(0)0,y y x y '=-+⎧⎨=⎩

，其绝对稳定域是 。

11、取n =2，用复化辛普森公式计算1

01

1I dx x =

+⎰的近似值为 。

12、有5个节点的插值型求积公式的代数精度为 。

13、设向量123(,,),T

x x x x =试问函数123()|||23|f x x x x =++是不是一种范数（回答是或不

是） 。

14、设矩阵1111A -⎛⎫

= ⎪⎝⎭

, 则2||||A ， ()A ρ 。

15、矩阵21221i A i +⎛⎫

= ⎪--⎝⎭

的两个特征值必落在圆盘 和 之中。

16、已知近似数x 的相对误差限为0.05%，则x 至少有 位有效数字。 17、已知2.420是经过四舍五入得到的近似数，则其绝对误差限是 。

18、已知

1.732==，则用拉格朗日线性插值求得的近似值

为 。

19、设函数()f x ，则求方程()x f x =的根的牛顿迭代公式是 。 20、设矩阵1247A -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

, 则1||||A ， ||||A ∞ 。

21、有3个节点的插值型求积公式的代数精度至少为 。

22、取n =4，用复化梯形公式计算1

01

1I dx x =

+⎰的近似值为 。

23、设向量123(,,),T

x x x x =试问函数123()4||2||3||f x x x x =++是不是一种范数（回答是或不

是） 。 24、矩阵22211i A i

+⎛⎫

=

⎪-⎝⎭的两个特征值必落在圆盘 和 之中。 25、用欧拉公式求解初值问题()3()1,

(0)1,x t x t x '=-+⎧⎨=⎩，其绝对稳定域是 。

三、计算题

1、写出求解方程21150x -=的牛顿迭代格式，并用它计算5的值（取011.0x =，计算结果精确到4位有效数字）。

2、用高斯列主元法解方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-=++=++.

21.03,01045,

132321

321321x x x x x x x x x 3、利用5=n 的复化梯形公式计算积分

⎰

+=1

011

dx x

I 并估计截断误差。

4、已知333487.0)34.0sin( ,314567.0)32.0sin(==有6位有效数字。 （1）用拉格朗日插值多项式求)33.0sin(的近似值；

（2）证明在区间[0.32, 0.34]上用拉格朗日插值多项式计算x sin 时至少有4位有效数字。 5、用列主元高斯消去法求解下列方程组：

123223747718.2121x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6、已知函数()f x 在1,0,2x =-的值分别为3,1,3，求二次拉格朗日插值多项式并计算(1)f 的近似值。

7、已知数据表如下：