实变函数试卷B

海南大学 信息科学技术 学院

2004信息与计算科学 专业《实变函数》试题(B 卷)

考试说明：本课程为闭卷考试，时间：120分钟，总分 100分

一、 选择题(每题有唯一正确答案，每小题4分，共20分)

1、 定集合A,B,则有 （ ）

(A)(\)(\)A B B A ⋃ (B) A\B=c A B (C)A B A A B =⇔⊂ (D)A B = {:}x x A x B ∈∈或

2、 设{}n A 是一集列，则l im n x A →∞

= ( ) (B) 1k n k n

A ∞

∞

== (B) 1k n k n

A ∞

∞

== (C) 1k n k n

A ∞

∞

== (D) 1k n k n

A ∞

∞

==

3、设1[

1,0){:}A n N n

=-∈ ，则A ∂= ( )

(A) （-1，0） (B) {-1，0}1

{:}n N n ∈

(C) {1,0}{1\:}n n N -∈ (D) 1

[1,0]{:}n N n

-∈

4、n f 和f 是X 上几乎处处有限的可测函数，则 ( ) (A) ,..,..n n f f a e f f a u →→则 (B) ,n f f μ→ 则,.n f f a e → (C) ,n f f μ→ 则 ,.n f f a u → (D) ,,.n X f f a e μ<∞→ 则,n f f μ→

5、下列命题正确的是 ( )

(A) 对于任给11

(),(),

1,p

q

f L X

g L X p q

∈∈+=则1||||||||||||p q fg f g ≤ (B) 设,()n f f M X ∈，0n f f ≤↑，则

lim n

n

X

X

f f

=⎰⎰

(C) ()(1,2,...)n f M X n +∈= ,则lim lim n n n n

X

X

f f ----------

≥⎰

⎰

(D) 1,f L ∈则||||X

X

f f ≥⎰⎰

二、填空题(每小题4分，共20分)： 1、1,n n A μ∞

=<∞∑ 则____

(lim )n n A μ→∞

=__________________.

2、设212,(1,2,...)n n A A A B n -===,则____

lim n n A →∞

=________________.

3、对于任给可测集,A X

A X d χμ⊂=⎰有 ___________.

4、计算0

ln()

lim cos x n n x e x

dx n

∞

-→∞+⎰___________________. 5、μ的定义为：取定a X ∈.任给A X ⊂，()A A a μχ=，:,f X R →则A

fd μ⎰=_____.

三、计算题 (4⨯5=20)

1、设,(1,2,..n f f n

=是集X 上的实值函数{:l i m ()(n n

A x X f

x f x =∈=，

{:|()()|1/}mn n A x X f x f x m =∈-<. 用mn A A 表示.(本题满分5分).

2、设在 Cantor 集P 上()0f x =,在P 的长为3n -的余区间上，(),f x n =求1

0fdm

⎰的值. (本题满分5分)

3、求0

1()sin ax bx

I e e xdx x

∞

--=-⎰ (0)a b << (本题满分5分)

4、求20

lim (1)n

n x dx n

∞

-→∞+⎰ (本题满分5分)

四、证明题：(本题满分40分)

1、证明：设1n n A μ∞

=<∞∑，则_____(lim )0n n A μ→∞

=. (本题满分10

分)

2、叙述并证明控制收敛定理.(本题满分10分)

3、设(1,2,...)n A n =是μ-可测集，证明：(lim )lim n n n n A A μμ→∞

→∞

≤；当()n A μ<∞ 时，

(lim )lim n n n n A A μμ→∞

→∞

≥(本题满分10分)

4、函数)(),(x g x f 在E 上可测, ),(y x Φ是2R 上的连续函数, 则

))(),((x g x f Φ是E 上的可测函数.（本题满分10分）