函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一）
一、
填空题
1、若1ln 1
1ln x f x x
+⎛⎫=
⎪-⎝⎭，则()f x =＿____。

2、函数()f x 的定义域为[],a b ,则()21f x -的定义域为_____。

3、若0x →时,无穷小221ln 1x x -+
与2sin a 等价,则常数a =_＿＿＿_。

4、设()()2
1lim 1
n n x f x nx →∞
-=+，则
()f x 的间断点为x =_____。

二、
单选题
1、当0x →时，变量
211
sin
x x
是( ） A 、无穷小 B 、无穷大
C 、有界的,但不是无穷小
D 、无界的,也不是无穷大 2、设函数()bx x
f x a e
=+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ）
Ａ、0,0a b << B 、0,0a b >>ﻫ C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤>
３、设()232x
x
f x =+-,则当0x →时（ )ﻫ A 、()f x 与x 是等价无穷小
B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小
Ｃ、()f x 是x 的高阶无穷小 Ｄ、()f x 是x 的低阶无穷小
４、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且()()lim 0x g x x ϕ→∞
-=⎡⎤⎣⎦，
则()lim x f x →∞
为( )
Ａ、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零ﻫ Ｃ、一定不存在 D 、不一定存在ﻫ例：()()()11
,,22
1
x x f x x g x x x x ϕ==+=+
++ 三、
求下列极限
1
、
lim
x 2、()2
21212lim 1x
x x x x -→⎛⎫ ⎪+⎝⎭
四、
确定,a b 的值，使()
32
2ln 10
011ln 0
1ax x f x b
x x x x x x x ⎧+<==⎨⎪-+⎪>++⎪⎩
在(),-∞+∞内连续。

五、
指出函数()1
11x
x x
e e
f x e e
--=
-的间断点及其类型。

六、
设1234,,,a a a a 为正常数,证明方程
31240123
a a a a
x x x x +++=---有且仅有三个实根。

七、
设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续,且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明:
在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。

函数与极限测试题答案(一)
一、1、
11x
x
e
-+； 2、1
1,
2
2a b ++⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
; 3、
4-； 4、0
;
二、１—4、DCBD
三、１、解:
原式lim
3x ==；
2、解：原式()
()22221
1
2
11211lim 11x x x x x x e x -++---→⎡⎤⎛⎫⎢⎥--=+= ⎪⎢⎥ ⎪+⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
四、解：注意当4
2
x
π
π
-
<<-
时,无意义，所以不存在,a b 的值使()f x 在
(),-∞+∞内连续。

此题应把“在(),-∞+∞内连续”改为“在0x =处连续”。

改后即要求()()0
lim 0x f x f b →==,此式等价于()()()0
lim lim 0x x f x f x f b +-
→→===,即ﻫ
2222
0002ln 11121lim ln lim lim 211x x x x x x x x b x x x x
x x +++→→→-⎛
⎫+ ⎪-+-++⎝⎭===-=++++ﻫ
()3
3
00
ln1
ln1
lim lim
tan sin
x x
ax
ax
x x
--
→→
+
+
=
-
ﻫ3
03
lim42
1
2
x
ax
a b
x
-
→
====-所以
1
,2
2
a b
=-=-。

五、解:0,1
x x
==-是此函数的间断点,因为0
x-
→时，
1
x
→-∞,
1
x
e e-∞
→=,所以1
1
1
lim
x x
x
x
e e
e
e e
-
→
-
-
=
-
,0
x+
→时,又因为
1
x
→+∞,
1
x
e e+∞
→=+∞,
1
1
x
e
→，所以
11
11
00
1
1
1
lim lim1
1
x
x x
x
x x
x
x
e
e e e
e
e e
e
++-
→→
-
-
-
==
-
-
,0
x=是跳跃间断点。

ﻫ因为
1
1
1
1
lim1
x x
x
x
e e
e e
→-
-
-
=
-
，1
x=是可去
间断点。

六、证明:因为()()()()()()()()()
()()()
1234
3
124
123231312
123123
a x x x a x x x a x x x a x x x
a
a a a
x x x x x x x x
---+--+--+--+++=
------
分子是一个三次多项式，根据代数基本理论,分子最多有三个实的零点,即原方程最多有三个实根;又因为3
124
lim
123
x
a
a a a
x x x x
+
→
⎛⎫
+++=+∞
⎪
---
⎝⎭
ﻫ3
124
1
lim
123
x
a
a a a
x x x x
-
→
⎛⎫
+++=-∞
⎪
---
⎝⎭
，3
124
1
lim
123
x
a
a a a
x x x x
+
→
⎛⎫
+++=+∞
⎪
---
⎝⎭
3
124
2
lim
123
x
a
a a a
x x x x
-
→
⎛⎫
+++=-∞
⎪
---
⎝⎭
,3
124
2
lim
123
x
a
a a a
x x x x
+
→
⎛⎫
+++=+∞
⎪
---
⎝⎭
3
124
3
lim
123
x
a
a a a
x x x x
-
→
⎛⎫
+++=-∞
⎪
---
⎝⎭
,所以利用零点定理，在区间()()()
0,1,1,2,2,3ﻫ原方程分别至少有一个实根。

所以原方程有且仅有三个实根。

七、证明：在区间[],a b上考虑函数()()()
F x f x g x
=-，由已知可得()
F x在[],a b上连续。

()()()()()()
0,0
F a f a g a F b f b g b
=-≤=-≥ﻫ1)如果()0
F a=或()0
F b=,则ξ可取a或b。

2)如果()0F a <且()0F b >，由零点定理，至少存在一点(),a b ξ∈，使得()0F ξ=即
()()f g ξξ=。