无穷级数练习题
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无穷级数习题
一、填空题 1、设幂级数
n
n n a x
∞
=∑的收敛半径为3，则幂级数
1
1
(1)
n n
n na x ∞
+=-∑的收敛区间为 。
2、幂级数
0(21)n
n n x
∞
=+∑的收敛域为 。
3、幂级数
21
1(3)
2
n n
n
n n
x ∞
-=-+∑的收敛半径R = 。 4
、幂级数
n
n ∞
=的收敛域是 。 5、级数21
(2)4n
n
n x n ∞
=-∑的收敛域为 。 6、级数0
(ln 3)2n
n
n ∞
=∑的和为 。 7、
1
1
1()2n n n ∞
-==∑ 。 8、设函数2
()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为
01
(cos sin )2
n n n a a nx b nx ∞
=++∑，则其系数3b 的值为 。
9、设函数2
1,
()1,f x x -⎧=⎨
+⎩ 0,0,
x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数
1
1
(1)(2)n n n n ∞
=++∑的和 。 11、级数21
(2)4n
n
n x n ∞
=-⋅∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3
、R = 4、[1,1)- 5、(0,4)
6、
22ln 3- 7、4 8、23π 9、2
12
π 10、14 11、(0,4)
二、选择题
1、设常数0λ>，而级数
21
n n a ∞=∑
收敛，则级数1
(1)n
n ∞
=-∑是（ ）。
（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=
，2
n n
n a a q -=， 1.2n =L ，则下列命题中正确的是（ ）。 （A ）若
1n
n a
∞
=∑条件收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑都收敛。
（B ）若
1n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑都收敛。
（C ）若
1n
n a
∞
=∑条件收敛，则
1n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑的敛散性都不一定。
（D ）若
1
n
n a
∞
=∑绝对收敛，则
1
n
n p
∞
=∑与
1n
n q
∞
=∑的敛散性都不定。
3、设0,1,2n a n >=L ，若
1n
n a
∞
=∑发散，
1
1
(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。
（A ）
21
1n N a
∞
-=∑收敛，
21
n
n a
∞
=∑发散. （B ）
21n
n a
∞
=∑收敛，
21
1
n n a
∞
-=∑发散.
（C ）
21
21
()n n n a
a ∞
-=+∑收敛. （D ）2121
()n n n a a ∞
-=-∑收敛.
4、设α
为常数，则级数
21
sin()(
n n n α∞
=∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数
1
(1)(1cos
)n n n
α
∞
=--∑（常数0αf ）是（ ）
（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6
、设(1)ln(1)n
n u =-+
，则级数 （A ）
1n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都收敛. （B ）
1n
n u
∞
=∑与
21
n
n u
∞
=∑都发散.
（C ）
1
n
n u
∞
=∑收敛而
20
n
n u
∞
=∑发散. （D ）
1
n
n u
∞
=∑发散而
21
n
n u
∞
=∑收敛.