分析力学答案
分析力学参考答案
分析力学参考答案分析力学参考答案引言：分析力学是物理学的一个重要分支，研究物体在力的作用下的运动规律。
在学习分析力学的过程中，参考答案是一个非常重要的工具，可以帮助学生巩固知识，理解问题的解决方法。
本文将分析力学的一些典型问题，并给出参考答案，帮助读者更好地掌握分析力学的基本原理和解题技巧。
一、牛顿第二定律问题牛顿第二定律是分析力学的基础，描述了物体在力的作用下的加速度。
以下是一个典型的牛顿第二定律问题：问题：一个质量为m的物体在水平面上受到一个恒定的力F作用，求物体的加速度和受力大小的关系。
解答：根据牛顿第二定律的公式F=ma，我们可以得到物体的加速度a等于受力F除以物体的质量m，即a=F/m。
因此，物体的加速度与受力大小成反比。
二、动量守恒问题动量守恒是分析力学中的一个重要原理，描述了系统在没有外力作用下动量的守恒。
以下是一个典型的动量守恒问题：问题：两个质量分别为m1和m2的物体在水平面上碰撞，碰撞前物体1的速度为v1，物体2的速度为v2，碰撞后物体1的速度为v'1，物体2的速度为v'2，求碰撞前后两个物体的动量是否守恒。
解答：根据动量守恒定律，系统在没有外力作用下，动量守恒。
即m1v1 +m2v2 = m1v'1 + m2v'2。
因此，两个物体的动量在碰撞前后保持不变，动量守恒。
三、角动量问题角动量是分析力学中的一个重要概念，描述了物体绕某一点旋转的特性。
以下是一个典型的角动量问题：问题：一个质量为m的物体绕固定点O以角速度ω旋转，求物体的角动量L 与角速度ω的关系。
解答：根据角动量的定义L=Iω，其中I为物体对固定点O的转动惯量。
对于一个质量为m的物体，其转动惯量I等于mr^2，其中r为物体到固定点O的距离。
因此，物体的角动量L与角速度ω成正比，L=mr^2ω。
结论：通过以上的分析力学问题及其参考答案，我们可以看出分析力学的基本原理和解题技巧。
牛顿第二定律描述了物体在力的作用下的加速度，动量守恒原理描述了系统在没有外力作用下动量的守恒，角动量则描述了物体绕某一点旋转的特性。
分析力学基础答案非惯性系中的质点动力学答案
第一章分析力学基础答案1-1 图a自由度数为1；图b自由度数为2。
1-2广义力不都具有力的量纲，可以是力，也可以是力矩，还可以是其他量。
广义力与广义坐标的虚增量之积等于虚功。
1-3分别对图示系统写出其势能表达式，求一阶与二阶导数，由稳定性判别依据可得图a所示系统为不稳定平衡状态，图b所示系统为稳定平衡状态。
1-4只要内力作功就应该计入内力所作的功。
1-5将摩擦力看作为“主动力”，即可应用动力学普遍方程或拉格朗日方程。
1-6刚体平面运动有3个自由度，选质心坐标和转角为广义坐标，写出系统的动能，刚体所受力系向质心简化，此即为3个广义力，代入拉格朗日方程运算即可。
1-7在证明拉格朗日两个恒等式时，在推导以广义坐标表示的动力学普遍方程时。
第二章非惯性系中的质点动力学答案2-1找不到作用处；不成立。
2-2略。
2-3A对。
2-4向右面；（2）向左面；（3）与南、北半球情况相同。
2-5 略。
第三章碰撞答案3-1按恢复因数定义结合动量守恒定理求解。
时，基本按原速返回，基本不动；时，停止运动，以速度前进；时，以速度继续前进，以速度2前进。
3-2一般情况下，难以积分；碰撞过程中，可看为常量，容易积分。
3-3弹性碰撞时变形不能全部恢复，机械能损耗难以计算，不适宜用动能定理；恢复因数e=1时，是完全弹性碰撞，无机械能损失，可以用动能定理。
3-4恢复因数定义为碰撞后与碰撞前物体接触点处法向速度的比值；补充动力学方程以解决机械能损耗难以计算的困难。
3-5棒球击于球棒的撞击中心且与球棒垂直时，不震手；反之，手握棒处有碰撞冲量，有碰撞力，震手。
3-6用撞击中心的概念解释；撞击中心趋于无穷远处，无意义。
3-7均可用动量定理和对质心的动量矩定理求解。
作用于距质心l/6长度处。
第四章机械振动基础答案4-1 弹簧固有频率与弹簧松紧程度无关；不可以。
4-2不同，水平放置重力不是恢复力，铅直放置重力为恢复力。
如果在无重力场，固有频率与放置方式无关。
高一物理力学分析习题及答案
图2-1-7图2-2-2高一物理力学受力分析1如图2-1-7所示，甲、乙球通过弹簧连接后用绳悬挂于天花板，丙、丁球通过细绳连接后也用绳悬挂天花板．若都在A 处剪断细绳，在剪断瞬间，关于球的受力情况，下面说法中正确的是（ ）A ．甲球只受重力作用B ．乙球只受重力作用C ．丙球受重力和绳的拉力作用D ．丁球只受重力作用分析：当在A 处剪断时两球看作一个整体，整体加速度为g ，此时弹簧中的力不变，对A B 球都会有力的作用故A B 错，绳在松弛状态不能提供力，假设绳中有拉力，则丁的加速度会大于g 而丙的加速度会小于g ，则两球会相互靠近，绳则松弛，假设不成立，故绳中无拉力2．如图2-2-8所示，物体a 、b 和c 叠放在水平桌面上，水平力F b =5N 、F c =10N 分别作用于物体b 、c 上，a 、b 和c 仍保持静止．以F 1、F 2、F 3分别表示a 与b 、b 与c 、cA ．F 1=5N ，F 2=0，F 3=5NB ．F 1=5N ，F 2=5N ，F3=0 C ．F 1=0，F 2=5N ，F 3=5ND ．F 1=0，F 2=10N ，F 3=5N 分析：（分析方法从简单到复杂）因为a 、b 、c 均保持静止，故加速度，合外力都为0。
先分析a 只受b 对a 的支持力，以及重力故F1=0，再分析b ，b 受到重力、a 对b 的压力、c 对b 的支持力、Fb 、以及c 对b 的摩擦力，c 对b 的摩擦力为水平方向，故需水平方向的力来平衡，故F2=Fb=5，方向向右。
同理在对c 分析3如图2-2-1所示，A 、B 两物体叠放在水平面上，水平力F 作用在A 上，使两者一起向右作匀速直线运动，下列判断正确的是（ ）A ．A 、B 间无摩擦力 B ．A 对B 的静摩擦力大小为F ，方向向右C ．B 对地面的动摩擦力的大小为F ，方向向右D ．B 受到了向右的静摩擦力和向左的滑动摩擦力分析：两者一起向右作匀速直线运动，则加速度都为0，处于平衡状态。
华中师大分析力学答案
2 2
( m M ) g sin
利用
d d d d dt d dt d
，即得
2 2 M m sin a d m a sin cos d ( m M ) g sin d
表示的表达式。 解：由 x r sin cos
z r cos r sin sin ) m(r sin cos r cos cos px mx
y r sin sin
r sin cos ) m(r sin sin r cos sin py my ) cos r sin m(r p mz
证明这一质点由 z 0 区域经过分界面进入 z 0 区域的运动轨迹 等同于光线从空气入射到折射率为 n 1 U0 / E 的介质所受到的折 E m12 / 2 是质点在 z 0 区域中的动能。 射。 其中， 证明：系统的能量守恒，则有
2U 0 U0 v 1 1 mv12 mv2 2 U 0 2 1 1 2 2 v1 mv12 E1 又系统具有水平面内的平移对称性，
a 0 cos ) MX m( X
再由能量守恒得到
1 2 1 2 cos ) 2 a sin mga cos mga cos 0 +0= MX + m ( X a 2 2
M m sin 2 2 a 2 ga cos cos 0 化简可得 m M
a
0
y
2 3 sin a xdm 0 r cos rdrd 3 2a sin xc a 2 a 3 rdrd dm
工程力学 受力分析练习 带答案
A
B
C
3、研究AB杆
4、研究整体
A
B
C
D
W
W
C
B
A
画受力图应注意的问题
除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定。
2、不要多画力
要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。
1、不要漏画力
约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。
3、不要画错力的方向
即受力图一定要画在分离体上。
4、受力图上不能再带约束。
、正确判断二力构件。
整体受力图上只画外力，不画内力。 一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力。
、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。 对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。
解:(1)取管道O为研究对象.
O
(2)取斜杆BC为研究对象.
C
B
RC
RB
A
C
B
D
O
P
P
N
(3)取水平杆AB为研究对象.
A
B
D
RC
XA
YA
C
B
RB
例2 画出下列各构件的受力图。
力学参考答案解析
力学参考答案解析力学参考答案解析力学是物理学的一个重要分支，研究物体在受到外力作用下的运动和相互作用。
学习力学需要掌握一系列的基本概念和定律，并能够应用这些知识解决实际问题。
在学习过程中，参考答案解析是一个重要的辅助工具，它能够帮助我们理解问题的解题思路和方法。
首先，我们来看一个力学问题的例子：一个质量为m的物体以初速度v0沿着水平方向匀速运动，经过时间t后速度变为v。
求物体受到的合外力F。
解答这个问题的关键在于应用牛顿第二定律，即F=ma，其中F表示物体受到的合外力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
根据题目中给出的条件，物体在时间t内的加速度为a=(v-v0)/t。
将这个加速度代入牛顿第二定律的公式中，可以得到F=m(v-v0)/t。
通过这个例子，我们可以看出参考答案解析的作用。
首先，它告诉我们解答这个问题的关键在于应用牛顿第二定律，这是我们解决力学问题的基本原理。
其次，它给出了具体的计算步骤和公式，帮助我们进行问题的求解。
最后，它给出了最终的答案，即物体受到的合外力为F=m(v-v0)/t。
在学习力学的过程中，参考答案解析不仅仅是为了得到正确的答案，更重要的是理解解题的思路和方法。
通过分析解答过程，我们可以看到问题的关键点和解题思路。
在解答问题的过程中，我们需要注意以下几点。
首先，要仔细阅读问题，理解问题的要求和条件。
在解答问题之前，我们需要明确问题的目标和所给的限制条件。
只有明确了问题的要求，我们才能有针对性地选择合适的解题方法和公式。
其次，要善于运用物理学的基本原理和定律。
力学是建立在牛顿力学定律基础上的，所以我们在解答力学问题时，需要熟练掌握牛顿力学的基本原理和定律。
只有掌握了这些基本概念和定律，我们才能够正确地应用它们解决实际问题。
再次，要注意问题的逻辑推理和计算过程。
在解答问题的过程中，我们需要进行逻辑推理和计算。
逻辑推理是为了找到问题的解题思路和方法，计算过程是为了得到最终的答案。
分析力学课件、答案 作业
(b)设 x(t1 ) a, x(t2 ) b，求 S0 ；并任意假定一种非真 实的运动方式，计算相应的作用量S1 ，验证 S1 S0 。 解：按真实情况运动时，自由质点作匀速直线运 动，速度为常数 。
S0 L( x, x, t )dt m 2 /2dt m 2 (t2 t1 ) / 2
那么
d L' L f q, t q q q dt
d d d L' L f q, t dt q dt q dt q
d 2 L f q, t q f q, t dt q tq q q
1 EM M ( X V ) 2 2
斜面的能量
1 2 EM MX 2
系统的总能量
E
1 m( X x cos ) 2 2 1 2 MX 2 mgx sin
E
1 m( X +x cos V ) 2 2 1 M ( X V )2 2 mgx sin
t1 t1 t2 t2
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
将 (x
2
x1 ) /(t2 t1 )
带入得到
m( x2 x1 )2 S0 2(t2 t1 )
（b）假设自由质点不做匀速直线运动，则速 度为时间的函数 (t ) ，且满足：
a FT 0 sin 2l
3
杠对B的作用力向外 杠对B的作用力向内 杠对B无作用力
a FT 0 sin 2l
3
a FT 0 sin 2l
理论力学3分析力学基础课后答案
代入拉格朗日方程，得
则 3-3
[
]
质量为 m 的质点悬在 1 线上，线的另 1 端绕在 1 半径为 R 的固定圆柱体上，如图
250
3-3 所示。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为 l，且不计线的 质量。求此摆的运动微分方程。 解 取 θ 为广义坐标，设小球的静平衡位置为其零势能点。 系统势能
V = mg [(l + R sin θ ) − (l + θR ) cosθ ]
A
A x
& & x
θ
C
θ
FN
ϕ
θ −ϕ
l & ϕ 2 y
θ
& & x
θ
x′ B
C mg B
(c)
l && ϕ 2 y
(a)
& （见图 3-7b） & 、ϕ 解 2 自由度，给广义坐标 x， ϕ ，则广义速度为 x
(b) 图 3-7
l & & − cos(θ − ϕ )ϕ vCx = x 2 l & sin(θ − ϕ ) vCy = ϕ 2
x A = x B = 0, y A = −2a sin θ ， y B = 2a sin θ , xO = 2a cosθ
对相应坐标的变分
δ x A = δ x B = 0,δ y A = −2a cosθδ θ ,δ y B = 2a cosθδ θ δ xO = −2a sin θδ θ
根据动力学普遍方程，有
系统动能
势能
m 2 m 2 l2 2 m 1 m 2 & 2 = (x & + ϕ & − lx &ϕ & cos(θ − ϕ )) + l 2ϕ &2 (vCx + vCy ) + ⋅ l 2ϕ 2 2 12 2 4 24 m 2 m 2 2 m & + lϕ & − lx &ϕ & cos(θ − ϕ ) = x 2 6 2 l V = − mgx sin θ − mg cos ϕ （设初始 A 处势能为零） 2 T= ∂L m & cos(θ − ϕ ) & − lϕ = mx & ∂x 2 d ∂L m m && cos(θ − ϕ ) − lϕ & sin(θ − ϕ )ϕ & & − lϕ ( ) = m& x & dt ∂x 2 2
分析力学第一章作业答案
FT
C
W
坐标系：两根钉连线的中点为坐标原点，连线 所在直线为x轴（向右为正），垂直连线为y轴 （向下为正），并取 为广义坐标。
x l s i n D a C点的y坐标： y 2 lc o s C ta n F r ( F r ) W r 0 T B T D C
a yC (2l sin 2 ) sin
最后可得：
2 2 F l c o s2 + W l s i n W a c s c 0 T
2
s in s in s in
3
a Fa W / ( 2 l s i n c o s ) W t a n = W t a n （ 1 ） 即有： T 3 2 l s i n
B、D点的x坐标： x l s i n B
Fi x i y ( Fi x i y T ( B B j) T )( D Dj) W j ( x i y 0 C C j) F x F x W y 0 T B T D C xB l cos xD l cos
作业参考答案
2013年9月
1.设质点在势能场U(r)中运动，在笛卡尔坐 标系中写出其拉格朗日方程。
解：拉格朗日方程为：
d L L 0 d t q q ( 1 , 2 , 3 )
L为拉格朗日函数
L T U
笛卡尔坐标中的坐标变量为 x1 , x 2 , x3 ，那么
T mxi2 / 2
i 1 3
2 L T U m x U ( xx ,2 ,x ) 所以， i /2 1 3 i 1
3
3 L 2 m x 2 U ( xxx ,2 ,3 ) m x i/ 1 i x x i 1 i i
理论力学第五章习题(带答案解析)
《理论力学》第五章分析力学一、单选题（共6题）1、广义坐标必须是:()A、笛卡儿坐标B、独立的位置变量C、角坐标或弧坐标;D、任何位置变量正确答案：B2、关于虚位移下列表述中不正确的是:()A、与约束有关;B、与时间无关;C、与主动力有关;D、一般不唯一正确答案：C解析：虚位移不是真实发生的位移,而是想象中可能发生的位移,它只取决于质点在此时刻的位置和加在它上面的约束,而不是由于时间的改变所引起的。
3、保守系的拉格朗日函数等于系统的:()A、总动能加总势能;B、总动能减总势能;C、总势能减总动能;D、广义速度的二次式正确答案：B解析：L=T-V。
4、分析力学中哈密顿正则变量为:()A、广义速度和广义坐标;B、广义速度和广义动量;C、广义动量和广义坐标;D、广义能量和广义动量.正确答案：C5、关于分析力学中的概念,找出错误的说法()A、拉格朗日方程是S个二阶常微分方程组成的方程组;B、哈密顿正则方程是2S个一阶常微分方程组成的方程组;C、拉格朗日函数和哈密顿函数的变量不同;D、拉格朗日方程和哈密顿正则方程是分析力学中两个基本的方程,不能相互推演。
正确答案：D解析：A、拉格朗日方程为,是由S个二阶常微分方程组成的方程组;B、哈密顿正则方程为,是由2S个一阶常微分方程组成的方程组;C、;D拉格朗日方程和哈密顿正则方程是分析力学中两个基本的方程，可以互相推演。
6、一质点质量为m,速度v,势能为Ep,则其拉格朗日函数为:____正确答案：B解析：L=T-V.二、填空题（共7题）1、一个不受任何约束的系统,由n个质点组成,该系统的独立坐标个数为____个;若该系统受k个完整约束,m个非完整约束,则该系统的自由度数目变为____个;独立坐标(广义坐标)个数变为____个。
正确答案：第1空:3n第2空:3n-k-m第3空:3n-k2、虚位移是____允许的所有位移,与时间____。
正确答案：第1空:稳定约束第2空:无关3、理想完整系统是指只受____、____的系统。
分析力学课件、答案 chap3
pθ2u 2 ( 8a 2u 3 − u + u ) = − mF
θ
r
2a
整理之后可得：
8 pθ2 a 2u 5 1 F= ∝ u5 = 5 −m r
所以有心力与距离成五次方成反比。
3、在一个顶角为2α 的圆锥形光滑杯中放置一个质量为 m的质点。圆锥的轴沿竖直方向，杯口向上。求证当 E > 0 时，质点在两个水平圆环之间的杯壁上运动， 并写出决定这两个圆环半径的方程。 解：系统的约束方程为 f = z − ρ cot α = 0 系统的拉格朗日为
α
rn
+
β
r2
当 r → 0 时，上式的第二项是主要部分。则
U 有效 ≈
β
r
2
→∞
而 E = Ek + U 有效 ，粒子的能量是有限的。所以上式不可能成立，也就是 粒子不能落到力心。
下面计算粒子落到质心的截面：设粒子的苗追距离为b，则有效势能为
U 有效
再求有效势能的极值
mb 2υ 2 =− n + r 2r 2
2 2
2 2 n n−2
n n−2
mb υ 1 1 2 mυ ≥ α (n − 2) 2 2 nα
2 2− n n
⇒ b ≤ n( n − 2)
所以，粒子落入质心的总截面为
α 2 mυ
2−n n
2 n
σ = π b 2 = π n(n − 2)
α 2 mυ
[ ρmin , ρmax ]之间运动。
4、由椭圆的焦点F引一条线段，以均匀的角速度 ω 绕F点转动，求证此线 段与椭圆的交点M的速度为 υ = rω r (2a − r ) / b，其中a和b是椭圆的半长轴 和半短轴。 解：由椭圆的极坐标方程 p r= , (0 < e < 1, p = b 2 / a, e = c / a ) 1 − e cos θ 所以 ds d d dϑ ɺ ɺ ɺ υ = = ∫ r 2 (ϑ ) + r 2 (ϑ )dϑ = r 2 (θ ) + r 2 (θ )dϑ = ω r 2 (θ ) + r 2 (θ ) ∫ dt dt dϑ dt 而 d p −ep sin ϑ ɺ r= = F dϑ 1 − e cos ϑ (1 − e cos ϑ )2
分析力学课件、答案作业
这是一个关于分析力学的课件和答案作业的演示，旨在介绍分析力学的基本 概念和原理，并提供实际应用场景和解答答案作业的讲解。
概述
介绍分析力学的定义和基本概念，引入分析力学中的拉格朗日方程和哈密顿原理。
分析力学的基本原理
讨论分析力学中的广义坐标和广义速度概念，推导拉格朗日方程，说明哈密 顿原理的作用。
守恒律
介绍守恒律在分析力学中的应用，详细讨论机械能守恒定律和动量守恒定律， 并解析分析力学中的例问题。
实际应用
探讨分析力学的实际应用场景，分析常见问题和案例，并解答答案作业并进 行演示讲解。
总结
总结分析力学的基本概念和原理，小结课程内容并提供延伸阅读资料，鼓励 学生进行实践和探索。
分析力学第一章作业解答
ex er × eθ = sinθ cosφ
cosθ cosφ
ey sinθ sinφ cosθ sinφ
ez cosθ = − sin φex + cosφey = eφ − sinθ
The others are straightforward.
(c) er = (cosθθ cosθ − sinθ sinφφ)ex + (cosθθ sinφ + sinθ cosφφ)ey − sinθθ ez =θ (cosθ cosθ ex + cosθ sinφey − sinθ ez ) + sinθφ(− sinφex + cosφey ) = θ eθ + sinθφeφ
m(r − rθ 2 − r sin2 φ 2 ) = f (r) m(rθ + 2 rθ − r sinθ cosθ φ 2 ) = 0 m(r sinθ φ + 2sinθ r φ + 2r cosθ θ φ) = 0
(b) Takingθ = π / 2 (independent of time), then θ = θ = 0 ; substituting these results into equations above, we find m(rφ + 2rφ) = 0
Solution: (b)
er ieቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = (sinθ cosφex + sinθ sinφey + cosθ ez )i(cosθ cosφex + cosθ sinφey − sinθ ez ) = sinθ cosθ cos2 φ + sinθ cosθ sin2 φ − sinθ cosθ = 0
分析力学思考题解答
第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？ 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、无限小的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑⋅=ii i r F W δδ可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果. 虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性.由于虚功方程中不含约束反力.故不能求出约束反力，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.5.2 为什么在拉格朗日方程中，a θ不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系，αθ不含约束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力不对应有独立的广义坐标，故αθ不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲.在完整约束下，广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标作单位值的改变，且其余广义坐标不变，则广义力的数值等于外力的功由W q r F s i ni i δδθδααα==⋅∑∑==11 知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可得到另一个量的量纲.若αq 是长度，则αθ一定是力，若αθ是力矩，则αq 一定是角度，若αq 是体积，则αθ一定是压强等.5.3广义动量a p 和广义速度a q 是不是只相差一个乘数m ？为什么a p 比a q 更富有意义？答 αp 与αq 不一定只相差一个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐标的选用而定。
分析力学思考题解答
分析⼒学思考题解答第五章思考题5.1虚功原理中的“虚功”⼆字作何解释？⽤虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？答：作.⽤于质点上的⼒在任意虚位移中做的功即为虚功，⽽虚位移是假想的、符合约束的、⽆限⼩的.即时位置变更，故虚功也是假想的、符合约束的、⽆限⼩的.且与过程⽆关的功，它与真实的功完全是两回事.从∑?=ii i r F W δδ可知：虚功与选⽤的坐标系⽆关，这正是虚功与过程⽆关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的⼀次变分.在虚功的计算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移⽆限⼩性的结果. 虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，⽐静⼒学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义；再者，考虑到⾮惯性系中惯性⼒的虚功，利⽤虚功原理还可解决动⼒学问题，这是刚体⼒学的平衡条件⽆法⽐拟的；另外，利⽤虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反⼒⾃动消去，可简便地球的平衡条件；最后⼜有⼴义坐标和⼴义⼒的引⼊得到⼴义虚位移原理，使之在⾮纯⼒学体系也能应⽤，增加了其普适性及使⽤过程中的灵活性.由于虚功⽅程中不含约束反⼒.故不能求出约束反⼒，这是虚功原理的缺点.但利⽤虚功原理并不是不能求出约束反⼒，⼀般如下两种⽅法：当刚体受到的主动⼒为已知时，解除某约束或某⼀⽅向的约束代之以约束反⼒；再者，利⽤拉格朗⽇⽅程未定乘数法，景观⽐较⿇烦，但能同时求出平衡条件和约束反⼒.5.2 为什么在拉格朗⽇⽅程中，a θ不包含约束反作⽤⼒？⼜⼴义坐标与⼴义⼒的含义如何？我们根据什么关系由⼀个量的量纲定出另⼀个量的量纲?答因拉格朗⽇⽅程是从虚功原理推出的，⽽徐公原理只适⽤于具有理想约束的⼒学体系虚功⽅程中不含约束反⼒，故拉格朗⽇⽅程也只适⽤于具有理想约束下的⼒学体系，αθ不含约束⼒；再者拉格朗⽇⽅程是从⼒学体系动能改变的观点讨论体系的运动，⽽约束反作⽤⼒不能改变体系的动能，故αθ不含约束反作⽤⼒，最后，⼏何约束下的⼒学体系其⼴义坐标数等于体系的⾃由度数，⽽⼏何约束限制⼒学体系的⾃由运动，使其⾃由度减⼩，这表明约束反作⽤⼒不对应有独⽴的⼴义坐标，故αθ不含约束反作⽤⼒.这⾥讨论的是完整系的拉格朗⽇⽅程，对受有⼏何约束的⼒学体系既⾮完整系，则必须借助拉格朗⽇未定乘数法对拉格朗⽇⽅程进⾏修正.⼴义坐标市确定质点或质点系完整的独⽴坐标，它不⼀定是长度，可以是⾓度或其他物理量，如⾯积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然⼴义坐标不⼀定是长度的量纲.在完整约束下，⼴义坐标数等于⼒学体系的⾃由度数；⼴义⼒明威⼒实际上不⼀定有⼒的量纲可以是⼒也可以是⼒矩或其他物理量，如压强、场强等等，⼴义⼒还可以理解为；若让⼴义⼒对应的⼴义坐标作单位值的改变，且其余⼴义坐标不变，则⼴义⼒的数值等于外⼒的功由W q r F s i ni i δδθδααα==?∑∑==11 知，ααδθq 有功的量纲，据此关系已知其中⼀个量的量纲则可得到另⼀个量的量纲.若αq 是长度，则αθ⼀定是⼒，若αθ是⼒矩，则αq ⼀定是⾓度，若αq 是体积，则αθ⼀定是压强等.5.3⼴义动量a p 和⼴义速度a q 是不是只相差⼀个乘数m ？为什么a p ⽐a q 更富有意义？答αp 与αq 不⼀定只相差⼀个常数m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及⼴义坐标的选⽤⽽定。
分析力学试题与标答
分析⼒学试题与标答武汉理⼯⼤学考试试题纸（ A 卷）课程名称分析⼒学专业班级⼯⼒0901、02、1001、备注: 学⽣不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)⼀、试推导质点系理想约束情况下的动⼒学普遍⽅程，并写出解析表达式。
(10分)⼆、已知均质杆A 1B 1和A 2B 2杆重为P 1和P 2，不计各处摩擦，试⽤虚位移原理求平衡时α、β⾓应满⾜的关系。
（20分）三、均质圆柱体半径R ，质量为M ，沿直线轨道做⽆滑动滚动，在圆⼼⽤铰链连接⼀长为l 的刚性杆OA ，不计杆的质量，杆的A 端有⼀质量为m 的⼩球，构成⼀单摆。
试⽤拉格朗⽇⽅程求系统的运动微分⽅程，并写出其初积分。
（30分）四、具有⽔平轨道的管⼦可绕铅直轴转动，质量为m 的⼩球⽆摩擦地沿管⼦滑动。
管⼦的转动惯量为J =mR 2，作⽤在⼩球上的⼒具有势函数V (r )。
试⽤哈密顿正则⽅程建⽴系统的运动微分⽅程。
（15分）五、质量为m 的物体放在光滑⽔平⾯上，刚性系数为k 的弹簧⽔平放置，⼀端与物块相连，另⼀端固结在竖直墙⾯上，试由哈密顿原理求物体的振动微分⽅程。
（10分）六、图⽰均质杆OA 长l =3m ，质量为m =2kg ；O 为铰链，A 端连⼀弹簧，刚度系数为k =4N/m 。
弹簧原长为l 0=1.2m ，h =3.6m 。
试⽤势⼒场质点系的平衡条件求平衡时的⾓度θ，并讨论平衡的稳定性。
（15分）21 xA武汉理⼯⼤学教务处试题标准答案及评分标准⽤纸课程分析⼒学（ A 卷）1、解：质系n 个质点，第i 个质点质量m i ，主动⼒合⼒F i ，约束反⼒F Ni ，惯性⼒F gi =-ma i由达朗伯原理 0=++gi Ni i F F F（3分）给质点系⼀虚位移，第i 质点的虚位移为i rδ，由虚位移原理 0)(=?++i gi Ni i r F F Fδ（3分）对上式求和0)(=?++∑i gi Ni i r F F Fδ理想约束情况下 0=?∑i Ni r Fδ（2分）于是有0)(=?+∑i gi i r F Fδ或0)(=?-∑i i i i r a m Fδ（1分）解析表达式为0)()()(=?-+?-+?-∑i i i i i i i i i i i iz z m Z y y m Y x x m Xδδδ（1分）2、解：以系统为研究对象，单⾃由度，以α为⼴义坐标。
分析力学课件例题级习题
re 0.3 sec
由点的复合运动：
rr re tan 0.3 sec tan
由虚位移原理：
M Frr 0
14
即：（M F 0.3 sec tan ) 0 0 M F 0.3sec tan 0
l1 l2 yC1 cos1 , yC 2 l1 cos1 cos 2 2 2 xB l1 sin 1 l2 sin 2
27
X1=W1x=0, Y1=W1y= W1；
X2=W2x=0, Y2=W2y= W2； X3=Px=P, Y3= Py=0
l1 l2 yC1 cos1 , yC 2 l1 cos1 cos 2 2 2 xB l1 sin 1 l2 sin 2
由此解得：
2F tg P1 2 P2
,
2F tg P2
8
解法二：几何法 先使 保持不变，而使 获得变分 ，得到系统的一组虚位移，如图所示。
FrB cos P2rD sin 0
而
rB 2b , rD b
代入上式，得
( F 2b cos P2 b sin ) 0
l1 sin 1 2 1 l2 sin 2
代入（*）得：
17
l1 l2 l1 sin 1 ( P cos1 P2 cos 2 ) 1 0 1 2 2 l2 sin 2
1 0 , ( ) 0
sin 2 sin 1 平衡时P1 P2 cos 2 cos 1 tan 1 P1 或 tan 2 P2
PQ tg
5
例2 均质杆OA及AB在A点铰接，两杆各长2a和2b，各重P1及P2，B点作用有水 平力 F ，求平衡时的角及 。
分析力学基础测验题答案
分析力学基础一是非判断题1.不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。
（√）2. 均质圆柱绕其对称轴作定轴转动，则圆柱惯性力系对于空间中平行于转轴的任意一轴的力矩之和，都是同一值。
（√）3. 因为实位移和虚位移都是约束允许的，所以实际的微小位移必定是诸虚位移中的一个。
（×）4. 虚位移原理只适用于具有理想约束的系统。
（×）5. 凡几何约束都是完整约束，完整约束未必是几何约束。
（√）二选择题1.下列约束中，非理想约束的是（ B ）。
A 纯滚动，有摩擦力但无滚动摩阻。
B 有摩擦的铰链。
C 摩擦传动中两个刚性摩擦轮的接触处，两轮间不打滑，无滚动摩阻。
D 连接两个质点的不可伸长的柔索。
2. 如图所示四种情况，惯性力系的简化只有（ C ）图正确。
3. 均质细杆AB质量为m，长为L，置于水平位置，如图所示。
若在绳BC突然剪断时角加速度为α，则杆上各点惯性力的合力大小为（12mLα），方向为（垂直向上），作用点的位置在杆的（左端A ）处4. 四根等长等重的均质直杆用铰链连接起来，再把两端用铰链固定在同一水平线上，如图所示，平衡时图示两个角度α和β的关系是（ B ）。
第二(3)题图第二(4)题图A ．tan 3tan βα=； B. tan 3tan αβ= C. tan 2tan βα=; D. tan 2tan αβ=5. 图示系统中，O 处为轮轴，绳与滑轮间无相对滑动，则物块A 与物块B 的虚位移大小的比值为（ B ）。
A ．6；B ．5；C ．4；D ．3.三 填空题1. 图示平面系统，圆环在水平面上作纯滚动，圆环内放置的直杆AB 可在圆环内自由运动，A ，B 两点始终与圆环保持接触，则该系统的自由度数为（ 2 ）。
2. 轮轴质心位于O 处，对轴O 的转动惯量为O J 。
在轮轴上系有两个质量各为1m 和2m 的物体，已知此轮轴顺时针转向转动，角加速度为α，则轴承O 处的动反力Ox F =( 0 ),Oy F =（ 12()m R m r α-）。
第六章_分析力学_习题解答
6.1、一长为0l 、质量为m 的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图示。
已知碗是光滑的，半径为r ；棒在碗内的长度为(2)l l r <。
用虚功原理证明棒的全长为2204(2)l r l l-=。
6.2、用绳子等距离地在定点O 处悬挂两个相同的匀质球。
两球之上另旋转一相同的球体，如图示。
已知分别悬挂两球的绳长都是l ，用虚功原理求出α角与β角之间的关系。
6.3、用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与球心的高度相同。
将第四个同样的球体置于三球之上，由虚功原理求出橡皮圈中的张力。
已知每个球体的重量为P6.4、一弹性绳圈，它的自然长度为0l ，弹性系数为k ，单位长度质量(线密度)为σ。
将此弹性圈套在一半径为0(2)R R l π>的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。
用虚功原理求出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度θ应满足的方程。
6.5、一半径为R 的半球形碗内装有两个质量分别为1m 和2m 的球体，它们的半径同为(2)r r R <。
用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角。
6.6、一轻杆长为2l ，一端光滑铰链于固定点O ，另一端点及中点分别焊接有质量为'm 和m 的小球。
杆可在铅直平面内绕固定点摆动。
写出此力学系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。
6.7、一半径为r 、质量为'm 的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。
轱辘上绕有长为l 的轻绳，绳的自由端系一质量为m 的重物。
初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止。
尔后重物下落带动轱辘转动。
写出此力学系的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。
6.8、上题中，如果绳子具有弹性，弹性势能为2/2ks ，s 为绳子的伸长。
证明重物m 的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为ω的振动，其中2('2)/'k m m m m ω=+。
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m 448浒 421122 - Ík 4- 4 行mg crank
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mki zmisinzeuttkicq 4.1 mg2Sin4 0 mEsin244 0 4 0 运动微分方程 miii miisiuqcose mg2siuqtkRi9-线 0
C2
0 时零解渐近稳定
1.8 试利用李雅普诺夫直接方法讨论系数在取不同值时判断
系统的零解稳定性
X X2
X十 a 3 加
解 选择正定李雅诺夫函数 比吅 二 水 水
计算 治 方程解曲线的全导数 V 荪义 器加二 zxixztzxzEXitlaih I
E 2 G 37 X22
则当 以 3时 V为负定 零解渐近稳定 a 3 时 V为零 零解稳定 a 3时 V为正定 零解不稳定
讨论是否存在初积分
i
䚡 取摇杆0A的转⻆为0 则系统的动能
T 士 加 以 04 Ìmi 旰士 Ìmhyo
二 Gmt Ém EG
取系统平衡位置为零势能 则运动时系统势能为
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则L T V
且出售了一
是
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则 fm2以g外3tmlzmxitomtmiiiomy
f 去㗊㗊 a
i riiig 二his
3 8 质量为 m的均质摇杆0A 铰接 质量为 以的匀质圆盘A 在13 处联结刚度系数为人的弹簧 当系统平衡时 以处于水平位置 弹
簧处于铝垂位置如图所示 已知 非1.013 a 若圆盘沿固定圆弧形
轨道只滚不滑时 试用拉格朗日方法求系统的运动微分方程并
0 11 J
到 特征方程入 心 上0 XFO.it 不稳定
② 01 J
ID 特征方程仁入十4 0 入 it 不稳定
④ Cl 01 J
红 吕
特性方程 从 4二0 加 二 逃
不稳定
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特征方程 入 心 0 入二 入二 稳定
篚 ⑥ 匪 趁 J 慧
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Win it 51-24 4 Étzz I 0
则 A 奸 2X B 奸列 E Et ZZ
哿 㼦 0 架 二是二0 叕 二奇 0
代入判别条件
A 叕 哥 13 毙一器 C 哿 一 哭 0
约束是可积的 为完整约束
1.4
试判断约束一义孤0十忙
涨
1红
0是否完整约束
解
对比可知 A sina BE Cost C
xitrq 0
xirq 0
1.2
- ⻓1的匀质杆支承在水平地板上 并靠在高山的墙上如图所示
取 心 以 加 则为杆位置坐标试列写约束方程
解
根据几何关系 可以得到约束方程为
火0
X xitcyry EE
兴以 一 责
解1
.3-
试判断约束xcx 整理约束方程 得
tzltzlxxtmitzi to 是否完整约束
EIWxx.lu tkuu 0
6 求出下列方程的平衡点 并用李雅普诺夫间接法分析每个平衡点 的稳定性
不二 火 Hx 一 们 加 二 X H X_x 7
解 乏方程左端等于点 得系统平衡点 0.01 0 1
十0 逛 逛 匪 逝
0，1 1，0
I 且 J
12 1十不必 似水 x
0，01 J
96
特征方程 心 0 加 二土 不稳定
0
T tv C
3.12 半径为12的光滑金属线弯成的圆环以匀⻆速度嘅 其铝直轴转 动 在圆环上套有质量为m的小圆环M 小圆环M用刚度加的弹簧 与大圆环上0点相联结 记弹簧未变形时⻓度为12 试用拉格朗 日方法建立小圆环M的运动微分方程 并写出初积分
解系统的动能
T Ìmlk年 44亥新年
取0为重力势能零点 则
4.3 图示用绳索联系的 二均质圆柱月和13的质量和半径分别为m
以 和 k kz 圆柱胢 绕定轴 0转动 圆柱13带动质量为M3的滑块 自由下落 以二国的转触 生为广义坐标 试写出哈密顿正则方程
并写出首次积分
解系统的动能
T msikitz in it Ìlzmi
生 以 秋 十发12212
加31歼 mpitznkiitfmz EE
又 在 二三 以年2 T 二三川游 许
V Ìki 4-4.12- mgkll
广义能量积分为
I It V mio zmiiiqtzkpiaqi mg Ruan C
3.18 多走路电路网络如图所示 试用拉格朗日方法建立系统的运
动微分方程
解 系统的动能
正 二 Ì Lie 4 Ìbieiei
系统的势能Veຫໍສະໝຸດ 特征根 加 式 二 土 厕后
不稳定
1.4利用劳斯- 赫尔维茨判据确定系数C 使得以下系统的零解稳定
为 X加
X ZX ZXz
xj cx sn
䚠
经 不伽 加 二
死心
⻔
特征方程 入3 1- 5入418 七八十4 -2C 0
a 0 1 1.23 且 HE a Grass
8-c 0.4 -2 C 0 518 - - 4-2 c
1.1 如图所示 质量为 M和 沿的两重珠用⻓1的不可伸⻓的轻绳联结
绳
子跨过半径加的定滑轮 假设绳子与滑轮之间无滑动 取火 加
和
4为坐标
试列写系统在铝垂面内运动时的约束方程
解
绳子不可伸⻓ 即
从十加十不 - 二 0
绳子与滑轮之间无滑动 有
it i 0
iri 0
综上 该系数的约束方程为
X 十加十大儿 0
tee it Èeil
系统的电磁耗散函数
De Reit Reit Bei 广义力 Qe 二 签 二上 Qez 0 Q e 0 4 Te Ve 么 eitihlei eii
且⻮ 器 器 - 器 Qek 可得 L ei ice e it 2ei u
fcei ei ticez eitRzei 0 Lz ej ei tEestR 3⻰ 0
l
代入判别条件
A 噐 一哥 13 表 器 一 C 器 器
- 81not since coso coso it since
1 -11Sino
约束不可积 为非完整约束
1
.5两个质点坐标分别为 心 以 到和 伽 上 名 用乱的不可伸⻓软
绳联结 并在空间运动 请写出该系统的约束方程
解
软绳不可伸⻓
发 以122Pa litmztmikh
MEEPa Íiitmztm 3
哈密顿函数H Èkti Pad 1在发一 L
ike 年1 2.4 发中不显金4 42
i Pi 㠭 录 二 n_n 812
章 辛 侯
-
二 2
2
Mzg122
首次积分 H C
5.2 请写出下列泛函对应的欧拉拉格朗日方程变显函数ucx y tl
的摩擦系数为 f 略去滑轮质量 系统开始时处于静止 求A 13
两物体的加速度
解系统有2个自由度 选取火火为广义坐标摩擦
这
力压 二Mzgf视为主动力 系统受理想约束 在
4烨
Ii 1 mi i
动力学普遍方程
mrixi is
hi
1
- Fftmilfxztlmg nilfxi Tci84 0
即 lzmg 3M it M is xz hngftczmztm im 义 我2 0
绕A点转动的⻆速度为 笇 4-
系统动能 T Ìmit 圢42 mt剨 侧242
器 广义力 Qq 二
M
代入拉格朗日方程⻮ 到 一二Qk 得
m 壳 12- 1 24 M
即X
Mr
Cmv4 IciCR以
2.8 质量为 m 半径加 的匀质圆柱体A上绕 一 细绳 细 绳的
一端跨过滑轮与质量为 以的物体13相连 已知物体 时水平面间
Fu
mj kca si 蕊 - 辰
又录 毙 人装 㼦 Q 即
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4.1 地球卫星系统可简化为如下模型 在某个平面上 质量为m的质
点 受到大小为吕的指向固定点0的引力 伪常数 内质点m到0
的距离 试求系统的哈密顿正则方程 以及首次积分
解 取放坐标 r 4 有
m
系统的动能 ㄒ二三m
系统的势能
V my a Ring 912 十发心
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3.20 设电容式话筒由弹性支承的电容器极板 电阻12和直流
电源E 组成 如图所示 电容极板的间隙加 作用于极板的
声波压力 Fit 使极板产生受迫振动并改变电容值 心 没动极
板的质量为 m 弹簧刚度系数为 k 弹簧不变形时的极板间隙
和电容值为人和 G 试用拉格朗日⻨克斯⻙方程建立系统的
二 F SESince_ 后8日Since 0
26 如图所示 转动力矩M作用在质量不计的曲柄上 带动半径为
下的⻮轮工在半径为12的定⻮轮丘内滚动 如⻮轮工的质量为m
对质心 的转动惯量为Ic 机构在水平面内运动 求曲柄的⻆加速度
解 系统受到理想约束 具有一个自由度 取