分析力学答案

Fu
mj kca si 蕊 - 辰
又录 毙 人装 㼦 Q 即
Reit 箟 e E
Rè 十点e E
4.1 地球卫星系统可简化为如下模型 在某个平面上 质量为m的质
点 受到大小为吕的指向固定点0的引力 伪常数 内质点m到0
的距离 试求系统的哈密顿正则方程 以及首次积分
解 取放坐标 r 4 有
m
系统的动能 ㄒ二三m
则约束方程为
X 一 加 14 以 生 2 Z 一二之 心
1
.6
一个机械手ABCDEF由4个刚体组成 如图所示
腿 球铰链
解
B C取D是B 3个X平以面Z铰i 链C
求该机械手的自由度 Xz 以1.1 加93
约束方程为 fix 以不 加 是 加 以1 0
对应的虚位移的限制条件为
是 从 十哥孙塔82 墴 我 器质
动力学方程
解 取广义坐标X es 如图 其中 X a S
系统的动能 T T tie
mi
系统的势能 V_V the Ìkxtzātě
系统的电磁耗散函数 De Rei
且Q Fit Qei 㼝 E
则 LET u
mi in Í 㤀 i e
Ìmiiiǜoe 2
x
代入录㬢 戨 - 翇 Q中 可得
Ǖ m戈 12x
则 fm2以g外3tmlzmxitomtmiiiomy
f 去㗊㗊 a
i riiig 二his
3 8 质量为 m的均质摇杆0A 铰接 质量为 以的匀质圆盘A 在13 处联结刚度系数为人的弹簧 当系统平衡时 以处于水平位置 弹
簧处于铝垂位置如图所示 已知 非1.013 a 若圆盘沿固定圆弧形
轨道只滚不滑时 试用拉格朗日方法求系统的运动微分方程并
4.3 图示用绳索联系的 二均质圆柱月和13的质量和半径分别为m
以 和 k kz 圆柱胢 绕定轴 0转动 圆柱13带动质量为M3的滑块 自由下落 以二国的转触 生为广义坐标 试写出哈密顿正则方程
并写出首次积分
解系统的动能
T msikitz in it Ìlzmi
生 以 秋 十发12212
加31歼 mpitznkiitfmz EE
0
T tv C
3.12 半径为12的光滑金属线弯成的圆环以匀⻆速度嘅 其铝直轴转 动 在圆环上套有质量为m的小圆环M 小圆环M用刚度加的弹簧 与大圆环上0点相联结 记弹簧未变形时⻓度为12 试用拉格朗 日方法建立小圆环M的运动微分方程 并写出初积分
解系统的动能
T Ìmlk年 44亥新年
取0为重力势能零点 则
的摩擦系数为 f 略去滑轮质量 系统开始时处于静止 求A 13
两物体的加速度
解系统有2个自由度 选取火火为广义坐标摩擦
这
力压 二Mzgf视为主动力 系统受理想约束 在
4烨
Ii 1 mi i
动力学普遍方程
mrixi is
hi
1
- Fftmilfxztlmg nilfxi Tci84 0
即 lzmg 3M it M is xz hngftczmztm im 义 我2 0
将 孔 比切 8 ulx 左 0代入 得
if_pwetdxdttfitEIWx.ufuxln EIUN.no8Want EIhnh
EIWxxxufud kuufuuld.to
其中 8wlx.tl 8W 比 8wlhtifwnntlfw.lu 相互独立
i.EIWxxxxtPW.lt 二fun 边界条件 Who二0 i Wxk 二0 Uxxlxi 0
讨论是否存在初积分
i
䚡 取摇杆0A的转⻆为0 则系统的动能
T 士 加 以 04 Ìmi 旰士 Ìmhyo
二 Gmt Ém EG
取系统平衡位置为零势能 则运动时系统势能为
V kid 4 Ütmlglsin0
6 -sins
则L T V
且出售了一
是
tmtimtEG 二日 mini
zkdkcitmlgl sino tkdtimsglll cme
系统的势能 V 卡
许 涨1
n
0
Fr r
则 L 7 - V _ 许 成 2 卡 -
Pr 二是二 mi Pq 二 章 二 mi ii 二点 4 二 点
哈密顿函数H
Èpii L 器器
Pit 卡
Pai_ 塠心
渐 一合
正则方程 i 岳 仁 器 含
4 二点 i 0
首次积分 能量积分 H C 循环积分 Pa 二Co
发 以122Pa litmztmikh
MEEPa Íiitmztm 3
哈密顿函数H Èkti Pad 1在发一 L
ike 年1 2.4 发中不显金4 42
i Pi 㠭 录 二 n_n 812
章 辛 侯
-
二 2
2
Mzg122
首次积分 H C
5.2 请写出下列泛函对应的欧拉拉格朗日方程变显函数ucx y tl
系统的势能
V my a Ring 912 十发心
M3 - mdgRQ mgkh
li 下 V Ìmsttm 十三m RT tnRRzlitimREi
hPea
二
i
蛋
解得 4
CM3 -mzigR tmgRz ch
mstzmtmlRitmzR RU mzRB it ÍmRE发
212.年1 - 3122名1
ZMzkRF 3RFKGMHM tn
又 在 二三 以年2 T 二三川游 许
V Ìki 4-4.12- mgkll
广义能量积分为
I It V mio zmiiiqtzkpiaqi mg Ruan C
3.18 多走路电路网络如图所示 试用拉格朗日方法建立系统的运
动微分方程
解 系统的动能
正 二 Ì Lie 4 Ìbieiei
系统的势能
Ve
特征根 加 式 二 土 厕后
不稳定
1.4利用劳斯- 赫尔维茨判据确定系数C 使得以下系统的零解稳定
为 X加
X ZX ZXz
xj cx sn
䚠
经 不伽 加 二
死心
⻔
特征方程 入3 1- 5入418 七八十4 -2C 0
a 0 1 1.23 且 HE a Grass
8-c 0.4 -2 C 0 518 - - 4-2 c
0 11 J
到 特征方程入 心 上0 XFO.it 不稳定
② 01 J
ID 特征方程仁入十4 0 入 it 不稳定
④ Cl 01 J
红 吕
特性方程 从 4二0 加 二 逃
不稳定
占 9 ⑤ H 07 J
特征方程 入 心 0 入二 入二 稳定
篚 ⑥ 匪 趁 J 慧
特征根 贴 ǖt
不稳定
碧 篮 ⑦ Cǖ Ǖl J
tee it Èeil
系统的电磁耗散函数
De Reit Reit Bei 广义力 Qe 二 签 二上 Qez 0 Q e 0 4 Te Ve 么 eitihlei eii
且⻮ 器 器 - 器 Qek 可得 L ei ice e it 2ei u
fcei ei ticez eitRzei 0 Lz ej ei tEestR 3⻰ 0
C2
0 时零解渐近稳定
1.8 试利用李雅普诺夫直接方法讨论系数在取不同值时判断
系统的零解稳定性
X X2
X十 a 3 加
解 选择正定李雅诺夫函数 比吅 二 水 水
计算 治 方程解曲线的全导数 V 荪义 器加二 zxixztzxzEXitlaih I
E 2 G 37 X22
则当 以 3时 V为负定 零解渐近稳定 a 3 时 V为零 零解稳定 a 3时 V为正定 零解不稳定
xitrq 0
xirq 0
1.2
- ⻓1的匀质杆支承在水平地板上 并靠在高山的墙上如图所示
取 心 以 加 则为杆位置坐标试列写约束方程
解
根据几何关系 可以得到约束方程为
火0
X xitcyry EE
兴以 一 责
解1
.3-
试判断约束xcx 整理约束方程 得
tzltzlxxtmitzi to 是否完整约束
V klq 4 T mg lt Cosa R
K FV
m 448浒 421122 - Ík 4- 4 行mg crank
代入⻮ 器 器 - 0中 可得
mki zmisinzeuttkicq 4.1 mg2Sin4 0 mEsin244 0 4 0 运动微分方程 miii miisiuqcose mg2siuqtkRi9-线 0
绕A点转动的⻆速度为 笇 4-
系统动能 T Ìmit 圢42 mt剨 侧242
器 广义力 Qq 二
M
代入拉格朗日方程⻮ 到 一二Qk 得
m 壳 12- 1 24 M
即X
Mr
Cmv4 IciCR以
2.8 质量为 m 半径加 的匀质圆柱体A上绕 一 细绳 细 绳的
一端跨过滑轮与质量为 以的物体13相连 已知物体 时水平面间
有 三个自变量
fight I in 吐口二士
装片 剟 峢 此
其中 P和 C均为常数
解乏 F
p 瓷片 Eū 㖙片 碧口
鐜 器 一 录 意 最 蠢 哥 籡
0 -录
- 录 等 1 -录 噐
则
ÉC 器 豙 等瑟 录p 器2 -
- c2
2
0
0
即utetfwntuygl二 0
5.3 有一 根⻓度为1的等截面悬壁梁 其自由端与一个线性弹簧相 连 在梁端部未变形时弹簧为原⻓度 给定治梁⻓度方向作用的分
1.1 如图所示 质量为 M和 沿的两重珠用⻓1的不可伸⻓的轻绳联结
绳
子跨过半径加的定滑轮 假设绳子与滑轮之间无滑动 取火 加
和
4为坐标
试列写系统在铝垂面内运动时的约束方程
解
绳子不可伸⻓ 即
从十加十不 - 二 0
绳子与滑轮之间无滑动 有
it i 0
iri 0
综上 该系数的约束方程为
X 十加十大儿 0
Win it 51-24 4 Étzz I 0
则 A 奸Βιβλιοθήκη Baidu2X B 奸列 E Et ZZ
哿 㼦 0 架 二是二0 叕 二奇 0
代入判别条件
A 叕 哥 13 毙一器 C 哿 一 哭 0
约束是可积的 为完整约束
1.4
试判断约束一义孤0十忙
涨
1红
0是否完整约束
解
对比可知 A sina BE Cost C
EIWxx.lu tkuu 0
6 求出下列方程的平衡点 并用李雅普诺夫间接法分析每个平衡点 的稳定性
不二 火 Hx 一 们 加 二 X H X_x 7
解 乏方程左端等于点 得系统平衡点 0.01 0 1
十0 逛 逛 匪 逝
0，1 1，0
I 且 J
12 1十不必 似水 x
0，01 J
96
特征方程 心 0 加 二土 不稳定
布载荷 拟 梁的弯曲刚度矼 单位⻓度的质量密度P 请利用哈
密顿原理推导系统的动力学方程 并给出边界条件
解 设 以 心 为梁的挠度 则
梁的动能 T 1知wēdt
梁的势能 红 IÌEIW dx 弹簧的势能 让 Ìkwi 外力虚功i N ffngwdx
代入哈密顿原理 特 Fvldttǚfūdt 0 即 起811 iidx IIEIWdt zknidt
l
代入判别条件
A 噐 一哥 13 表 器 一 C 器 器
- 81not since coso coso it since
1 -11Sino
约束不可积 为非完整约束
1
.5两个质点坐标分别为 心 以 到和 伽 上 名 用乱的不可伸⻓软
绳联结 并在空间运动 请写出该系统的约束方程
解
软绳不可伸⻓
嘉 十嘉 8加 十 的了二0
因此该系统的独立变分数为6 自由度为6-
1.11
如图所示
由顶杆
一尖劈组成的系统
设所有接触面
接触点都是
光滑的 试证明 两物体在接触点A处的相互作用力的虚功之名为零
证明
aionnF拟
tank 器 F 二后
T si iE SI
后i 01
F fr cosOf 后8日以㔲
F NilandCON 后8日沁
Eee it 站
3.20 设电容式话筒由弹性支承的电容器极板 电阻12和直流
电源E 组成 如图所示 电容极板的间隙加 作用于极板的
声波压力 Fit 使极板产生受迫振动并改变电容值 心 没动极
板的质量为 m 弹簧刚度系数为 k 弹簧不变形时的极板间隙
和电容值为人和 G 试用拉格朗日⻨克斯⻙方程建立系统的
tfifmawdxd tw
又 Esfiwēdxdt 18 fipwēdtdxiihiuedd
f二EffpIpWIwEg4ItWgFwwx.xIxNlixfdwlixdxflxwitdttEdxIWxtTxdxdffwxxltffdiE8ItUz.m.xf8iWdoIdt
It 8 kwidt ftk.mu8Wundt
二 F SESince_ 后8日Since 0
26 如图所示 转动力矩M作用在质量不计的曲柄上 带动半径为
下的⻮轮工在半径为12的定⻮轮丘内滚动 如⻮轮工的质量为m
对质心 的转动惯量为Ic 机构在水平面内运动 求曲柄的⻆加速度
解 系统受到理想约束 具有一个自由度 取
A
曲柄转动的⻆度4为广义坐标
⻮轮工 随曲柄的转动的速度为 12- n 4 则