三角函数模型的简单应用_知识讲解_基础

三角函数模型的简单应用【学习目标】1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题；2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【要点梳理】要点一：三角函数模型的建立程序要点二：解答三角函数应用题的一般步骤解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论． （1）审题三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．（2）建模根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式．（3）解模利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果． （4）结论将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判．要点诠释：实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．【典型例题】类型一：三角函数周期性的应用例1．国际大都市上海继东方明珠电视塔、金茂大厦之后，黄浦江畔的又一座景观性、标志性、文化游乐性建筑是座落于虹口区北外滩汇山码头的“上海梦幻世界摩天轮城”，占地3.46公顷总投资超过20亿元人民币，内有世界最大的摩天轮.其中摩天轮中心O 距离地面200米高，直径170米.摩天轮上将安装36个太空舱，可同时容纳1100多人一览上海风光.(如图)，摩天轮沿逆时针方向做匀速转动，每8分钟转一圈，若摩天轮的轮周上的点P 的起始位置在最低点处(即时刻0t 分钟时的位置).已知在时刻t 分钟时点P 距离地面的高度()f t .(Ⅰ)求20分钟时，点P 距离地面的高度； (Ⅱ)求()f t 的函数解析式.【思路点拨】由周期8T =，可求出距地面的高度，然后求出三角函数中的参数A ，h ，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f （t ）．【答案】（1）285（2）()85cos200,(0)4f t t t π=-+≥【解析】设过摩天轮的中心O 与地面垂直的直线为l ，l 垂直于地面于点H ，PQ l ⊥于点Q ， (1)∵旋转的周期8T =，∴20分钟后点P 在最高点，距地面高度是285米. (2)t 分钟时4HOP t π∠=，∴()20085cos 85cos200,(0).4f t HOP t t π=-∠=-+≥∴()85cos200,(0).4f t t t π=-+≥【总结升华】实际问题的解决要求我们在阅读材料时读懂题目所反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，将问题数学化，自行假设与设计一些已知条件，提出解决方案，从而最终解决问题． 举一反三：【高清课堂：三角函数模型的简单应用394861 例1】【变式1】如图，质点p 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p （2，2-），角速度为1，那么点p 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ）【答案】C类型二：三角函数模型在气象学中的应用 例2．（2015秋 江西模拟）根据市气象站对春季某一天气温变化的数据统计显示，气温变化的分布与)(t f θOPQ20085地面H曲线sin()12y A x b πφ=++拟合（0≤x ＜24，单位为小时，y 表示气温，单位为摄氏度，||φπ<，A ＞0），现已知这天气温为4至12摄氏度，并得知在凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高．（1）求这条曲线的函数表达式；（2）这天气温不低于10摄氏度的时间有多长？ 【思路点拨】（1）根据气温为4至12摄氏度，我们可以求得振幅A ，利用凌晨1时整气温最低，下午13时整气温最高，可求得周期及φ的值，从而求得函数表达式；（2）利用（1）中求出的函数表达式，我们可建立表达式74sin()8101212x ππ-+≥，解之即可． 【答案】（1）74sin()81212y x ππ=-+；（2）8小时 【解析】（1）b =(4+12)÷2=8，A =12－8=4，1122ππφ⨯+=-，712πφ=-， 所以这条曲线的函数表达式为：74sin()81212y x ππ=-+． （2）令y ≥10，则74sin()8101212x ππ-+≥， ∴71sin()12122x ππ-≥，0≤x ＜24．∴771712121212x ππππ-≤-<， ∴75612126x ππππ≤-≤， ∴9≤x ≤17， ∴17－9=8．故这天气温不低于10摄氏度的时间有8小时．【总结升华】本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查三角不等式的求解，解题的关键是从实际问题中抽象出函数的模型，求出相应的参数． 举一反三：【变式1】估计某一天的白昼时间的小时数D （t ）可由下式计算：2()sin (79)122365k y D t t π⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦，其中t 表示某天的序号、t=0表示1月1日，以此类推，常数k 与某地所处的纬度有关．（1）如在波士顿，k=6，试画出函数D （t ）在0≤t ≤365时的图象． （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天白昼时间最短？ （3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？ 【答案】(1)略 (2) 6月20日 12月20日 (3) 243天【解析】 （1）k=6时，2()3sin (79)12365D t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦．先用五点法画出2()3sin (79)365f t t π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦的简图如图，由2(79)0t π-=和2(79)2t ππ-=，得t=79和t=444，列出下表：f （t ）0 3 0 －3 0若t=0，3(0)3sin (79) 2.9365f π⎡⎤=-≈-⎢⎥⎣⎦． ∵()f x 的周期为365，∴(365) 2.9f ≈-．将()y f t =，t ∈[0，365]的图象向上平移12个单位长度，得到()y D t =，0≤t ≤365的图象，如图所示．（2）白昼时间最长的一天，即D （t ）取得最大值的一天，此时t=170，对应的是6月20日（闰年除外），类似地，t=353时D （t ）取最小值，即12月20日白昼最短．（3）D （t ）＞10.5，即23sin (79)1210.5365t π⎡⎤-+>⎢⎥⎣⎦，21sin (79)3652t π⎡⎤->-⎢⎥⎣⎦，t ∈[0，365]．∴292＞t ＞49，292－49=243．约有243天的白昼时间超过10.5小时．类型三：三角函数模型在物理学中的应用例 3.一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为αrad ，α与时间t 满足关系式1()sin 222t t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）当4t π=时，α的值是多少？并指出小球的具体位置；（2）单摆摆动的频率是多少？（3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？ 【思路点拨】（1）根据已知条件中的函数解析式，把4t π=代入，即可求出摆角．（2）由1f T=可求出频率．（3）求最大摆角，先求出sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1，然后求角． 【答案】（1）0（2）1π（3）12rad 【解析】 （1）当4t π=时，11sin 2sin 042422πππαπ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，这时小球恰好在平衡位置； （2）因为单摆摆动的周期22T ππ==，所以频率11f T π==； （3）令t=0，得sin 22t π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值为1．故()t α有最大值12rad ，即小球偏离铅垂线方向的最大摆角是12rad ． 举一反三：【变式1】（2015 哈尔滨三模）单摆从某点开始来回摆动，它相对于平衡位置O 的位移S （厘米）和时间t （秒）的函数关系为：sin()S A t ωφ=+（A ＞0，ω＞0，02πφ<<），已知单摆每分钟摆动4次，它到平衡位置的最大位移为6厘米，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米．求： （1）S 和t 的函数关系式； （2）第2.5秒时单摆的位移．【答案】（1）6sin()306S t ππ=+；（2）【解析】（1）单摆每分钟摆动4次，函数的周期为：225s 60πω⋅=，解得30πω=，它到平衡位置的最大位移为6厘米，A =6，摆动起始位置相对平衡位置的位移为3厘米，说明函数的图象经过（0，3）， ∴36sin(0)30πφ=⨯+，(0)2πφ<<，∴6πφ=．S 和t 的函数关系式：6sin()306S t ππ=+．（2）第2.5秒时单摆的位移6sin(2.5)63062S ππ=⨯+=⨯=第2.5秒时单摆的位移为：例4.交流电的电压E （单位：伏）与时间t （单位：秒）的关系可用1006E t ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭来表示，求：（1）开始时的电压；（2）电压值重复出现一次的时间间隔；（3）电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．【答案】（1）（2）0.02（3）1300【解析】（1）当t=0时，6E π==（伏），即开始时的电压为伏； （2）2110050T ππ==（秒），即电压重复出现一次的时间间隔为0.02秒；（3）电压的最大值为10062t πππ+=，即1300t =秒时第一次取得这个最大值．。