高中数学选修11【变化率与导数】课件
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人教A版高中数学选修变化率与导数课件
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
思考
y
根据平均变化率的定义：
=
f ( x2 )
f ( x1 )
x
x2 x1
你认为其几何意义是什么？
设A( x1, f ( x1 ))、B( x2 , f ( x2 ))
平均变化率表示直线AB的斜率
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
（2）平均速度不能准确反映该段时间的运 动状态.
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
平均变化率的定义
式子
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
称为函数f(x)从x1到
x2的平均变化率.
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修2-2第一章 1.1变化率与导数- 课件(共36张PPT)
微积分的创立
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理 学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如 法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗 、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都 提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡 献。
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件41高二选修11数学课件
一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想 法。
第十页，共三十页。
二、探究新知，揭示概念
实例二：气球的半径变化问题
(1).从表格中，你观察(guānchá)到了什么？
气球的 气球的 体积V1 体积V1
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
V2-V1
1 1 1 1 1 1
气球的 气球的 半径r1 半径r2
0.000 0.620 0.782 0.895 0.985 1.061
T(oC) 28.8
C(27,28.8)
16.4
气温曲线
B(25,16.4)
A(1,3.6)
3.6
o1
25 27
t (d)
3、 怎样从数学的角度描述(miáo shù)“气温变化的快
慢程度”呢？
分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到25，气温从3.6oC增加到16.4oC，气温平均变化
r(v2) r(v1) v2 v1
第十八页，共三十页。
三、分析归纳，抽象概括
实例(shílì)三 : 高台跳水
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高
度是h与起跳后的时间t存在(cúnzài)函数关系：h(t)= 4.9t2+6.5t+10 。
当时间(shíjiān)从t1到t2时，运动员的平均速度=
49
65 49
第二十六页，共三十页。
时间
(shíjiān)
四、知识(zhī shi)应用，深化理解
4.在高台跳水运动(yùndòng)中，t 秒时运动员相对 于水面的高度是h(t)= - 4.9t2+6.5t+10
第十页，共三十页。
二、探究新知，揭示概念
实例二：气球的半径变化问题
(1).从表格中，你观察(guānchá)到了什么？
气球的 气球的 体积V1 体积V1
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
V2-V1
1 1 1 1 1 1
气球的 气球的 半径r1 半径r2
0.000 0.620 0.782 0.895 0.985 1.061
T(oC) 28.8
C(27,28.8)
16.4
气温曲线
B(25,16.4)
A(1,3.6)
3.6
o1
25 27
t (d)
3、 怎样从数学的角度描述(miáo shù)“气温变化的快
慢程度”呢？
分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到25，气温从3.6oC增加到16.4oC，气温平均变化
r(v2) r(v1) v2 v1
第十八页，共三十页。
三、分析归纳，抽象概括
实例(shílì)三 : 高台跳水
人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高
度是h与起跳后的时间t存在(cúnzài)函数关系：h(t)= 4.9t2+6.5t+10 。
当时间(shíjiān)从t1到t2时，运动员的平均速度=
49
65 49
第二十六页，共三十页。
时间
(shíjiān)
四、知识(zhī shi)应用，深化理解
4.在高台跳水运动(yùndòng)中，t 秒时运动员相对 于水面的高度是h(t)= - 4.9t2+6.5t+10
中学高中数学变化率之导数的概念课件新人教版选修11
•所以,
•同理可得 • 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 0C/ h的速率下降; 在 第6h附近,原油温度大约以5 0C/h的速率上升.
•
•求差 •求变化率 •求导数
•
•小结
•1、平均变化率、瞬时变化率、导数的概念；
•2、平均变化率、瞬时变化率、导数的关系： •平均变化率在自变量的改变量趋向于0时的极限是瞬时变 化率，瞬时变化率即是导数。
•若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么
•思考1：当空气容量V从0L增加到1L , 气球的平均膨胀率是多少 ？
•类比：当空气容量V从1L增加到2L , 气球的平均膨胀率是多少？
•结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小 。
•
•预习展示（
一）
•问题2 高台跳水
• 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)
•概念理解 一
•不可 零
•可零
•可正在高台跳水问题中计算运动员在 平均速度,并思考下面的问题:
这段时间里的
•(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? •(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
•探讨结论 •：(1)不是静止的； •(2)平均速度不能反映他在这段时间里运动状 态
•称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
•
•由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 2. 2. 求平均变化率 3. 3. 求值
•一差、二化、三极限
• •例1:将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对 原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位:0C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. •解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 •和 •根据导数的定义,
•同理可得 • 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 0C/ h的速率下降; 在 第6h附近,原油温度大约以5 0C/h的速率上升.
•
•求差 •求变化率 •求导数
•
•小结
•1、平均变化率、瞬时变化率、导数的概念；
•2、平均变化率、瞬时变化率、导数的关系： •平均变化率在自变量的改变量趋向于0时的极限是瞬时变 化率，瞬时变化率即是导数。
•若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么
•思考1：当空气容量V从0L增加到1L , 气球的平均膨胀率是多少 ？
•类比：当空气容量V从1L增加到2L , 气球的平均膨胀率是多少？
•结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小 。
•
•预习展示（
一）
•问题2 高台跳水
• 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)
•概念理解 一
•不可 零
•可零
•可正在高台跳水问题中计算运动员在 平均速度,并思考下面的问题:
这段时间里的
•(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? •(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
•探讨结论 •：(1)不是静止的； •(2)平均速度不能反映他在这段时间里运动状 态
•称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
•
•由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的改变量 2. 2. 求平均变化率 3. 3. 求值
•一差、二化、三极限
• •例1:将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对 原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位:0C)为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. •解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是 •和 •根据导数的定义,
高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数课件新人
,
1 x
1 x x
x
1 x
所以 lim y = lim (3+ 2 )=5,
x x 0
x 0
1 x
所以 f′(1)=5.
方法技巧 根据导数的定义,求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 y = f (x0 x) f (x0) ;
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
3.1.3 导数的几何意义
课标要求
1.理解函数的平均变化率与瞬时 变化率. 2.理解函数在x0处的导数的定义 和导数的几何意义. 3.会求函数在x0处的导数与切线 方程.
素养达成
通过对导数概念与几何意义的学 习,提高学生观察、归纳、抽象概 括的能力,培养学生的应用意识.
新知探求 课堂探究
新知探求 素养养成
知识点一 平均变化率
问题1:我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空 气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现 象呢?
答案:可以从气球的平均膨胀率去考虑,当 V 从 0 增加到 1 L 时,气球半径增加了 r(1)-r(0)≈0.62(dm). 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) ≈0.62(dm/L);当 V 从 1 L 增加到 2 L 时,气球半径增
均变化率的值.
解:当自变量从 x0 到 x0+Δx 时,函数值的改变量为 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=[2(x0+Δx)2+1]-(2 x02 +1)=4x0Δx+2(Δx)2,
高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.1 导数的概念课件51高二选修11数学课件
导
Image
12/8/2021
第二十页，共二十页。
路，明确解题方法。
（2）能对相关的知识点进行简单总结。
2、重点(zhòngdiǎn)讨论的问题：合作探究1、2
特别提示： 注意求导数 时f函' ( 数x 0 )的改变量
3、讨论要求：
yf(x0x)f(x0)
（1）先在小组层内进行讨论，再集中讨论。
（2）没解决的问题组长及时反馈给老师，新生成的问题组 长记录好，以便小组展示、质疑。
注意
1.f'(x0)与 x的 取 值 无 关 2 . 瞬 时 变 化 率 与 导 数 是 同 一 概 念 的 两 个 名 称 .
2021/12/8 3 . f ( x 0 ) 与 x 0 的 值 有 关 ， 不 同 的 x 0 其 导 数 值 一 般 也 不 相 同 .
第八页，共二十页。
由导数(dǎo shù)的定义可知, 求函数y=f(x)在x x 0 一般方法:
一般方法:
①求函数的改变量 yf(x0 x)f(x0);
②求平均变化率 yf(x0x)f(x0);
x
x
③求值
f
(x0)
lim
x0
y x
.
口诀
2021/12/8
一差二比三极限
(jíxiàn)
第十八页，共二十页。
谢谢 大家莅临指导！ (xièxie)
2021/12/8
第十九页，共二十页。
内容 总结 (nèiróng)
2
4
8
B)
1
16
2 .一 个 物 体 按 规 律 s 1 t t2 ( s 的 单 位 是 m ,t的 单 位 是 s ) ,求 物 体 在 3 s 末 的 速 度 .
Image
12/8/2021
第二十页，共二十页。
路，明确解题方法。
（2）能对相关的知识点进行简单总结。
2、重点(zhòngdiǎn)讨论的问题：合作探究1、2
特别提示： 注意求导数 时f函' ( 数x 0 )的改变量
3、讨论要求：
yf(x0x)f(x0)
（1）先在小组层内进行讨论，再集中讨论。
（2）没解决的问题组长及时反馈给老师，新生成的问题组 长记录好，以便小组展示、质疑。
注意
1.f'(x0)与 x的 取 值 无 关 2 . 瞬 时 变 化 率 与 导 数 是 同 一 概 念 的 两 个 名 称 .
2021/12/8 3 . f ( x 0 ) 与 x 0 的 值 有 关 ， 不 同 的 x 0 其 导 数 值 一 般 也 不 相 同 .
第八页，共二十页。
由导数(dǎo shù)的定义可知, 求函数y=f(x)在x x 0 一般方法:
一般方法:
①求函数的改变量 yf(x0 x)f(x0);
②求平均变化率 yf(x0x)f(x0);
x
x
③求值
f
(x0)
lim
x0
y x
.
口诀
2021/12/8
一差二比三极限
(jíxiàn)
第十八页，共二十页。
谢谢 大家莅临指导！ (xièxie)
2021/12/8
第十九页，共二十页。
内容 总结 (nèiróng)
2
4
8
B)
1
16
2 .一 个 物 体 按 规 律 s 1 t t2 ( s 的 单 位 是 m ,t的 单 位 是 s ) ,求 物 体 在 3 s 末 的 速 度 .
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件61高二选修11数学课件
x
说明曲线在x0处没有切线.
练习1.判断曲线y=2x2在点P (1, 2 )处是否有切线, 如果有, 求出 切线方程. 4x-y-2=0
第八页，共十三页。
三、瞬时速度(shùn shísù
dù)
S 1 gt2 2
V S t
第3秒
S3tS3
t
∆s
第3+∆t秒
29.4t 4.9t 2
t
29.4 4.9t
……
“冲刺速度” “降雨强度”刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的
情况, 都是数学中导数概念的原型.
导数是数学中最重要的概念之一, 它在日常生活和科学研究中有 广泛的应用.
第二页，共十三页。
§1 变化(biànhuà)的快慢与变化(biànhuà)
一、平均(píngjūn)变化率率
y
如图, 曲线C是函数(hánshù) y=f(x)
y就是割线PQ的斜率. x
用它来刻画函数值在区间[x1, x2]上变化的快慢.
第三页，共十三页。
请看：当点Q沿着曲线逐渐向点P接近(jiējìn)时,割线PQ绕着点P逐渐转 动的情况.
y
y=f(x)
y k PQ x
Q
T
切线
Δy
(qiēxiàn)
P
Δx
当Δx→0时 PQ →PT
o
y
k PQ x
例3. 物体作自由落体运动, 运动方程为 s 1 g t 2 , g=10m/s2 . 2
求：(1) 物体在时间区间[2, 2.1]上的平均速度； (2) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将Δt =0.1代入上式,得:
说明曲线在x0处没有切线.
练习1.判断曲线y=2x2在点P (1, 2 )处是否有切线, 如果有, 求出 切线方程. 4x-y-2=0
第八页，共十三页。
三、瞬时速度(shùn shísù
dù)
S 1 gt2 2
V S t
第3秒
S3tS3
t
∆s
第3+∆t秒
29.4t 4.9t 2
t
29.4 4.9t
……
“冲刺速度” “降雨强度”刻画的是飞行的路程和降雨量瞬时变化的
情况, 都是数学中导数概念的原型.
导数是数学中最重要的概念之一, 它在日常生活和科学研究中有 广泛的应用.
第二页，共十三页。
§1 变化(biànhuà)的快慢与变化(biànhuà)
一、平均(píngjūn)变化率率
y
如图, 曲线C是函数(hánshù) y=f(x)
y就是割线PQ的斜率. x
用它来刻画函数值在区间[x1, x2]上变化的快慢.
第三页，共十三页。
请看：当点Q沿着曲线逐渐向点P接近(jiējìn)时,割线PQ绕着点P逐渐转 动的情况.
y
y=f(x)
y k PQ x
Q
T
切线
Δy
(qiēxiàn)
P
Δx
当Δx→0时 PQ →PT
o
y
k PQ x
例3. 物体作自由落体运动, 运动方程为 s 1 g t 2 , g=10m/s2 . 2
求：(1) 物体在时间区间[2, 2.1]上的平均速度； (2) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将Δt =0.1代入上式,得:
高中数学 第3章 §1变化率与导数课件 北师大版选修11
间内的平均速度是( )
A．0.41
B．2
C．0.3
D．0.2
[答案] B
[解析] Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2， Δt＝2.1－2＝0.1， ∴ΔΔst＝00..21＝2.
第十八页，共40页。
3．如果质点A的运动(yùndòng)方程是s(t)＝2t3，则在t＝3
秒时的瞬时速度为( )
A．6
B．18
C．54
D．81
[答案] C
[解析] Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝2Δt3＋18Δt2＋54Δt，
ΔΔst＝2Δt2＋18Δt＋54，在 t＝3 秒时的瞬时速度为：
lim
Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(2Δt2＋18Δt＋54)＝54.
第十九页，共40页。
典例探究学案
第二十页，共40页。
第二十九页，共40页。
[解析] ∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－12gt02)＝(v0－ gt0)Δt－12g(Δt)2，
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt→0 时，ΔΔst→v0－gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0－gt0.
第三十页，共40页。
fπ3π3－ －f00＝cosπ3－π3 cos0＝－23π.
第三十七页，共40页。
自变量 x 从3π变到π2时，函数 f(x)＝cosx 的平均变化率为： fπ2π2－－π3fπ3＝cosπ2－π6 cosπ3＝－3π. 因为|－23π|<|－3π|，所以函数 f(x)＝cosx 在自变量 x 从3π变到π2 时函数值变化得较快.
第三章
第五页，共40页。
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
高中数学 第三章 变化率与导数 3.3 计算导数课件1高二选修11数学课件
x (链接教材第三章§3 例 3)
12/8/2021
第十三页，共二十九页。
[解] (1)y＝x－3，y′＝(x－3)′＝－3x－4.
(2)y′＝(log
2x)′＝ 1 xln
＝2 2 xln
2.(3)∵y＝
e－x＝(1e)x，
∴y′＝(1e)xln1e＝－e－x.
(4)∵y＝1－2sin2x2＝cos x，
若曲线 y＝x－2在点(a，a－2)处的切线与两个坐标轴围
成的三角形的面积为 18，求 a 的值．
[解] 求导得 y′＝－12x－32(x＞0)，
所以曲线
1
1
y＝x－2在点(a，a－2)处的切线
l
的斜率
k＝f′(a)＝－12
3
a－2，
由点斜式得切线的方程为 y－a－12＝－12a－32(x－a)， 12/8/2021
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对①，y′＝(ln 2)′＝0；对②，y′＝－sin x，y′|x＝π6＝－
sinπ6＝－12；对③，y′＝2x·ln 2；对④，y′＝xl1n 5.故选 D. 12/8/2021
第七页，共二十九页。
3．y＝x2的斜率等于2的切线(qiēxiàn)方程是( C ) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0或2x－y－1＝0 C．2x－y－1＝0 D．y＝2x 解析：设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝2，则x0＝1，故切点为 P(1，1),则切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
切点坐标为21，14 . 12/8/2021
第二十三页，共二十九页。
易错警示 求切线方程时忽略导数的几何意义致误
已知曲线 f(x)＝ x上的一点 P(0，0)，求曲线在点 P
12/8/2021
第十三页，共二十九页。
[解] (1)y＝x－3，y′＝(x－3)′＝－3x－4.
(2)y′＝(log
2x)′＝ 1 xln
＝2 2 xln
2.(3)∵y＝
e－x＝(1e)x，
∴y′＝(1e)xln1e＝－e－x.
(4)∵y＝1－2sin2x2＝cos x，
若曲线 y＝x－2在点(a，a－2)处的切线与两个坐标轴围
成的三角形的面积为 18，求 a 的值．
[解] 求导得 y′＝－12x－32(x＞0)，
所以曲线
1
1
y＝x－2在点(a，a－2)处的切线
l
的斜率
k＝f′(a)＝－12
3
a－2，
由点斜式得切线的方程为 y－a－12＝－12a－32(x－a)， 12/8/2021
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对①，y′＝(ln 2)′＝0；对②，y′＝－sin x，y′|x＝π6＝－
sinπ6＝－12；对③，y′＝2x·ln 2；对④，y′＝xl1n 5.故选 D. 12/8/2021
第七页，共二十九页。
3．y＝x2的斜率等于2的切线(qiēxiàn)方程是( C ) A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0或2x－y－1＝0 C．2x－y－1＝0 D．y＝2x 解析：设切点为P(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝2，则x0＝1，故切点为 P(1，1),则切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
切点坐标为21，14 . 12/8/2021
第二十三页，共二十九页。
易错警示 求切线方程时忽略导数的几何意义致误
已知曲线 f(x)＝ x上的一点 P(0，0)，求曲线在点 P
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件51高二选修11数学课件
x0/ m
x1/m
长度x的改变量 （Δx）/m
质量y的改变
量 （Δy）/kg
平均线密度
(mìdù)
y/（kg/m）
x
2 2.1
2 2.01
2 2.001
2.000 2
1
2
…
2021/12/8
0.1 0.01 0.001
0.070 0.007 1 0.000 71
0.000 1
0.000 071
y 上f (经x)过Ａ，Ｂ两点的直线(zhíxiàn)
2021/12/8
第十三页，共三十二页。
思考1.表达式中f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序可以交换吗？ 它们本身前后两个(liǎnɡ ɡè)式子可以交换吗？ 提示: f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序不可交换，但它们本身的 式子可以同时交换，如也可以写为
2021/12/8
第二十四页，共三十二页。
【变式练习(liànxí)】 已知函数f(x)＝3x2＋2,求这个(zhège)函数在x＝2处的瞬时
变化率．
解析(ji因 ě xī)：为 yf(2x)f(2)
3(2x)221412x3(x)2,
所以y 12x3(x)2 123x,
x
x
因为当 趋x 于0时， 趋y于12，
1.理解函数平均变化率及瞬时变化率的概念.
2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点的瞬 时变化率.（重点(zhòngdiǎn)） 3.理解平均变化率及瞬时变化率的意义，能够解释生活中 的现象.（难点）
2021/12/8
第三页，共三十二页。
探究(tànjiū)点1 平均变化率定义 问题（1） 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间 (shíjiān)t走过的路程，显然s是时间t的函数,表示为s=s(t).在运
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件1高二选修11数学课件
＝2－Δt，
当
Δt
趋于零时，Δs趋于 Δt
2.
∴v(0)＝2.
12/8/2021
第十二页，共二十九页。
求改变(gǎibiàn)量
求函数f(x)＝x2＋3x＋1从1变化到2时函数的改变量． [解] Δy＝f(2)－f(1)＝11－5＝6.
方法归纳(guīnà) (1)自变量的改变量指变化后的自变量减去变化前的自 变量．
t0
t0
0
到
t0
这段时
间内乙的平均速度大．
12/8/2021
第二十七页，共二十九页。
[感悟提高]
设 A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线 y＝f(x)上任意不同的两
点，函数 y＝f(x)的平均变化率ΔΔxy＝f（x2）x2－－xf（1 x1）＝
f（x1＋Δx）－f（x1）为割线 Δx
0.70 0.71 0.71
0.71
…
12/8/2021
第二十三页，共二十九页。
表中是某同学(tóng xué)通过计算得出的部分数据，请你据此估计该合金
棒在x＝2 m处的线密度． 解：从此同学列出的表格可以看出，当x1趋于x0＝2 m时，平均线密 度趋于0.71 kg/m，所以该合金棒在x＝2 m处的线密度为0.71 kg/m.
12/8/2021
第七页，共二十九页。
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 对于函数 y＝f(x)，当 x 从 x1变为 x2时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)， 若记 Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则 (1)Δx 可正，可负，可为零( × ) (2)函数 y＝f(x)的平均变化率为ΔΔxy＝f（x2）x2－ －xf（1 x1）＝ f（x1＋ΔxΔ）x－f（x1）( √ )
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件31高二选修11数学课件
变化率为
2021/12/8
第七页，共二十二页。
y
f(34)
[问题]如果将上述气温曲
线(qūxiàn)看成是函数y =f(x)
的图象, 则函数y = f(x)在
f(x1) f(1)
y=f(x)
区 间 [1 ， 34] 上 的 平 均 变 化率为 f (34) f (1)
o 1 x1
x 2 34
你能否类比(lèibǐ)归纳出 “函
5 5.00010.0001 0.004900049 49.00049
t 可以25021/认12/8为…小球在…0 5s的瞬…时速度为4…9m/s.
第十二页，共二十二页。
可以认为小球在t0 5s的瞬时速度为49m/s.
时间的
t0/s t1/s 改变量 (△t)/s
路程的 改变量 (△s)/m
平均速度(pínɡ
s/m 0 6 9 20 32 44 …
物体在 0～2 s 和 10~13 s 这两段 时间内，哪一段时间运动得快? 如何刻画物体运动的快慢?
2021/12/8
第四页，共二十二页。
探求 新 (tànqiú) 知
问题 2： (wèntí)
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.7℃
2021/12/8
第二十一页，共二十二页。
内容(nèiróng)总结
变化的快慢与变化率。第三章 变化率与导数。[问题]如果(rúguǒ)将上述气温曲线看成是函数y =f(x)的图象, 则函数y = f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为。[问题]如果(rúguǒ)将上述气温曲线看成
No 是函数y =f(x)的图象, 则函数y = f(x)在区间[1，34]上的平均变化率为。[问题]如果(rúguǒ)将上述气温
高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.1 导数的概念课件41高二选修11数学课件
在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通
常用符号 f(x0)或 y|x 记x0,作
即:
2021/12/8
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
第六页，共十九页。
说明：
1. 函数 f (x) 在点 x 0 处可导，是指 x0时，
y 有极限．如果 y 不存在极限，就说函数在
当 t＝ － 0 .0 0 1 时 ， v ＝ － 1 3 .0 9 5 1当 t＝ 0 .0 0 1 时 ， v ＝ － 1 3 .1 0 4 9
当 t＝ － 0 .0 0 0 1 时 ， v ＝ － 1 3 .0 9 9 5 1当 t＝ 0 .0 0 0 1 时 ， v ＝ － 1 3 .1 0 0 4 9
导数 的概念 (dǎo shù)
2021/12/8
第一页，共十九页。
回顾 复习 (huígù)
什么是平均(píngjūn)变化率?什么是瞬时变化率?
2021/12/8
第二页，共十九页。
探究(tànjiū)
人们发现，在高台跳水运动中，运动员 相对于水面的高度 h（单位：m）与起跳后的 时间 t（单位：s） 存在函数关系
x
x
点 x 0 处不可导，或说无导数． 2. x是自变量x在 x 0 处的改变量， x0，而
y 是函数值的改变量，可以是零．
2021/132./8瞬时变化率与导数(dǎo shù)是同一概念的两个名称.
第七页，共十九页。
例题 讲解 (lìtí)
例1.一条水管中流过的水量y（单位： ）是时间x（单位：s）
《变化率和导数》课件
变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件11高二选修11数学课件
200 20
第六页，共十四页。
当时 x从 2间 m 0 变 in3到 m 0 时 in ,体y温 相对于 x的 自平 变均 量变 化率 :3 8 为 3.8 50.50.0(5 c/min).
3 020 10
这里出现,它 了表 负示 号体温 ,显下 然 ,绝 降对 了值越大下 越快 ,这里 ,体温2从 0mi到 n30mi这 n 段时间下 0m降 i到 n得比 20mi这 n 段时间 . 要快
h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数
关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
请计算(jì
suàn)
0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v :
第十一页，共十四页。
在 0 t 0.5这段时间里 , v h(0.5) h(0) 4.05 (m / s);
x1 x0
第八页，共十四页。
抽象 概括 (chōuxiàng)
对一般y的 f(x函 )来数 ,说 当自x从 变 x1变 量x为 2时 ,函数f值 (x1) 从 变f为 (x2)它 , 的平均: 变化率为 f(x2)f(x1).
x2x1
通常我们把自变化量 x2 的 x1称变作自变量的,记 改作 变 x,量 函数 值的变f (化 x2) f (x1),称作函数值的,记 改作 变 y.量 这样 ,函数的平 均变化率就可以函表数示值为的改变量量与的自改变变量,即之 : 比
39 y/(c)
38
37 36
10 20 30 40 50 60 70
x/ min
比较x时 从 0m 间到 in20 m和 in 2从 0 m到 in30 m体 in 温的变 , 化 哪段时间体?如 温何 变刻 化画 较体 快 慢 温 ? 变化的
第六页，共十四页。
当时 x从 2间 m 0 变 in3到 m 0 时 in ,体y温 相对于 x的 自平 变均 量变 化率 :3 8 为 3.8 50.50.0(5 c/min).
3 020 10
这里出现,它 了表 负示 号体温 ,显下 然 ,绝 降对 了值越大下 越快 ,这里 ,体温2从 0mi到 n30mi这 n 段时间下 0m降 i到 n得比 20mi这 n 段时间 . 要快
h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数
关系
h
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如何用运动员在某些时
间段内的平均速度粗略
地描述其运动状态?
o
t
请计算(jì
suàn)
0 t 0 .5 和 1 t 2 时 的 平 均 速 度 v :
第十一页，共十四页。
在 0 t 0.5这段时间里 , v h(0.5) h(0) 4.05 (m / s);
x1 x0
第八页，共十四页。
抽象 概括 (chōuxiàng)
对一般y的 f(x函 )来数 ,说 当自x从 变 x1变 量x为 2时 ,函数f值 (x1) 从 变f为 (x2)它 , 的平均: 变化率为 f(x2)f(x1).
x2x1
通常我们把自变化量 x2 的 x1称变作自变量的,记 改作 变 x,量 函数 值的变f (化 x2) f (x1),称作函数值的,记 改作 变 y.量 这样 ,函数的平 均变化率就可以函表数示值为的改变量量与的自改变变量,即之 : 比
39 y/(c)
38
37 36
10 20 30 40 50 60 70
x/ min
比较x时 从 0m 间到 in20 m和 in 2从 0 m到 in30 m体 in 温的变 , 化 哪段时间体?如 温何 变刻 化画 较体 快 慢 温 ? 变化的
高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修11
(0 +Δ)-(0)
变化率,记作:
Δ
=
=
.
Δ
1 -0
Δ
(2)在x0点的瞬时变化率:当Δx趋于0时,平均变化率趋于函数
(hánshù)在x0点的瞬时变化率.
第四页，共22页。
特别(tèbié)提醒1.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别:平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数值在区间
Δ
分析先求 Δx=x2-x1,再求 Δy,计算或化简Δ即可.
解(1)①∵Δx=-1-(-3)=2,
Δy=f(-1)-f(-3)=[3×(-1)+1]-[3×(-3)+1]=6,
Δ
6
∴Δ = 2 =3,
即 f(x)在-3 到-1 之间的平均变化率为 3.
②∵Δx=-1-(-3)=2,
Δy=g(-1)-g(-3)=[2×(-1)2 +1]-[2×(-3)2 +1]=-16,
第四步:估计值,据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率.
第十四页，共22页。
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
一
思维(sīwéi)
辨析
变式训练2若物体做s(t)=2(1-t)2的直线运动,则其在t=4 s时的瞬时速度
为(
A.12
)
B.-12 C.4
Δ
解析:
Δ
=
D.-4
(4+Δ)-(4)
Δ
2
2
2[1-(4+Δ)] -2(1-4)
=
=2Δt+12,
Δ
Δ
当 Δt 趋于 0 时, Δ 趋于 12.
答案:A
第十五页，共22页。
变化率,记作:
Δ
=
=
.
Δ
1 -0
Δ
(2)在x0点的瞬时变化率:当Δx趋于0时,平均变化率趋于函数
(hánshù)在x0点的瞬时变化率.
第四页，共22页。
特别(tèbié)提醒1.平均变化率与瞬时变化率的关系
(1)区别:平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数值在区间
Δ
分析先求 Δx=x2-x1,再求 Δy,计算或化简Δ即可.
解(1)①∵Δx=-1-(-3)=2,
Δy=f(-1)-f(-3)=[3×(-1)+1]-[3×(-3)+1]=6,
Δ
6
∴Δ = 2 =3,
即 f(x)在-3 到-1 之间的平均变化率为 3.
②∵Δx=-1-(-3)=2,
Δy=g(-1)-g(-3)=[2×(-1)2 +1]-[2×(-3)2 +1]=-16,
第四步:估计值,据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率.
第十四页，共22页。
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
一
思维(sīwéi)
辨析
变式训练2若物体做s(t)=2(1-t)2的直线运动,则其在t=4 s时的瞬时速度
为(
A.12
)
B.-12 C.4
Δ
解析:
Δ
=
D.-4
(4+Δ)-(4)
Δ
2
2
2[1-(4+Δ)] -2(1-4)
=
=2Δt+12,
Δ
Δ
当 Δt 趋于 0 时, Δ 趋于 12.
答案:A
第十五页，共22页。
变化率与导数 数学 优秀课件
f ( x0 )与x的 具体取无关
导数的几何意义:
（几何画板演示）
函数 f ( x ) 在 x x0 处的导数就是切线的
斜率 k ，即
k lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
f ( x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和 5. 它说 三极限 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例 2.求f (x) 3x 2 5在x 0处 的 导 数.
解法一： 一差二比三极限
f (0) 0
解法二： 利用导数的几何意义
在x 0处 ， 切 线 斜 率 k 0 f (0).
课堂小结：
平均变化率
y f (x)
从
x2
x1 到
y x
的 平均变化率
割线的斜率
f ( x0 )
导数
y = f ( x ) 在 x = x0 处的瞬时变化率
lim
x 0
y x
一差 二比 三题1.1：
A组1、2题 B组1、3题
r (V )
3
3V 4
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
y f ( x)
体积从1L增加到 2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
导数的几何意义:
（几何画板演示）
函数 f ( x ) 在 x x0 处的导数就是切线的
斜率 k ，即
k lim
f ( x0 Δx) f ( x0 ) x
x 0
f ( x0 )
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单 位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原 油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和 5. 它说 三极限 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
例 2.求f (x) 3x 2 5在x 0处 的 导 数.
解法一： 一差二比三极限
f (0) 0
解法二： 利用导数的几何意义
在x 0处 ， 切 线 斜 率 k 0 f (0).
课堂小结：
平均变化率
y f (x)
从
x2
x1 到
y x
的 平均变化率
割线的斜率
f ( x0 )
导数
y = f ( x ) 在 x = x0 处的瞬时变化率
lim
x 0
y x
一差 二比 三题1.1：
A组1、2题 B组1、3题
r (V )
3
3V 4
h(t) 4.9t 2 6.5t 1 0
y f ( x)
体积从1L增加到 2L的 平均膨胀率
在0 t 0.5这段时间 里的平均速度
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10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
T (℃)
C (34, 33.4)
30
B (32, 18.6) 20
这就是
10 A (1, 3.5)
气温的
2
平均变
02
10
20
30 3化4 t(率d) 。
问题1：从3月18日到4月18日气温上升了多少度？
问题2：从4月18日到4月20日气温上升了多少度？
ffx 2fx 1fx 1 xfx 1
x x 2 x 1
x
例题
求函数 y 3x2 2在区间 [x0,x0 x]上的平均 变化率，并求当x0 2,x1时，平均变化率
的值。
练习
设函数y=f（x），当自变量x由 x 0 改变到 x0 x
时，函数的改变量 y 为（ ）
A. f (x0 x)
变化率
xB xA
(4)我们用比值 y C y B 表示[32，34]上的气温平
均变化率
xC xB
平均变化率
从以上的例子中，我们可以了解到，平均变
化率是指在某个区间内数值的平均变化量.对于
函数y=f（x）有：
平均变化率： f x2 f x1
x2 x1
令“增量”xx2 x1
f f x2 f x1Fra bibliotek为函数h(x)在
导数的概念
一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化
率是
lim ylimf(x0 x)f(x0)
x x 0
x 0
x
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数，
记为 f ( x 0 ) 或 y x xo ，即
f(x 0 ) lix m 0 y x lix m 0f(x 0 x x ) f(x 0 )
f(1x)f(1)
lim
x0
3x
lim
f
(x0
1 2
h)
f
(x0)
h0
h
B. f (x0)x
C. f(x0x)f(x0) D. f (x0 )x
x0
一质点运动的方程为 s 53t2，则在一段时间
内相[1,1应的t平] 均速度为（
）
A. 3t 6
B. 3t6
C. 3t 6
D. 3t 6
平均变化率的几何意义
• 观察函数f(x)的图象
平均变化率 y f(x2) f (x1)
求导的步骤
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般步骤:
1.求函数的改变量 ff(x0 x)f(x0);
2.2. 求平均变化率f f(x0x)f(x0);
x
x
3.3. 求值f(x0)lxi m0fx.
一差、二化、三极限
例题
试求函数 f (x) x2在x=1处的导数。
解：f(1)limf(1x)f(1)
问题3：从3月18日到4月18日气温平均每天变化了多少度？ 问题4：从4月18日到4月20日气温平均每天变化了多少度？
T (℃) 30
20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
C (34, 33.4) B (32, 18.6)
20
30 34 t(d)
(3)我们用比值 y B y A 表示[1，32]上的气温平均
引例
现有温州市某年3月和4月某天日最高气温记载. 时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度
T 变(℃化) ，用曲线图表示为： C (34, 33.4)
30
（注： 3月18日
为第一天）
20
B (32, 18.6)
x 0
x
(1x)2 lim
1
x0
x
lim(2x) 2 x0
在x=3处的导数？ f(3) 6
练习
求函数 y 5在x2 处的x 导2数。
求函数 y 2x2在4x 处的x 导3数。
如果质点A按规律 s 2运t3动，则在t=3s时的
瞬时速度为（ ） A.6 B.18 C.54 D.81
设函数 f ( 在x ) 点 附x 0近有定义，且有
f(x 0 x ) f(x 0 )（ a a ，x bb 为( 常x )2 数），
则 f'(x 0 ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
变式练习：
已知一个物体运动的位移（m）与 时间t（s）满足关系S（t）＝-2t2+5t （1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度 （2）求物体在t时刻的瞬时速度 （3）求物体t时刻运动的加速度，
并判断物体作什么运动？
课堂练习: 如果质点A按规律 s2t3 则在t=3s
时的瞬时速度为
A.6
B.18
C.54 D.81
练习：
小结
1、瞬时速度的概念
2、导数的概念
3、思想方法：“以已知探求未知”、 逼近、类比、从特殊到一般
探究活动 思考：平均变化率的几何意义？ 两点间的斜率.
flash动画演示
x
x2 x1 y
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
Y=f(x) B
直线AB 的斜率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
瞬时变化率
什么叫瞬时变化率？
瞬时变化率，即是时间增量趋近于0时某 一时刻的变化率，由极限的观点可知：
当 t 0, 时，
lim ht1 tht1
点t1的t瞬0 时变化率.t