5.2随机变量序列的两种收敛

n L, (n ).
概率论与数理统计
2.依概率收敛与弱收敛之间的关系
定理4.若随机变量列1 ,2 ,依概率收敛于随机变量
，即 n P(n ) 则相对应的分布函数列
F1 (x), F2 (x) 弱收敛于分布函数F（x）即
Fn (x) W F (x)(n )
即 n P(n )
Fn (x) W F (x)(n )
1 n
趋于0，是指当n无限增大时，
n 无限接近于０．
随机变量序列依概率收敛与函数序列收敛也不一样．
0,
lim
n
P(n
)
1 概n率论P与数理n统计
有了依概率收敛的概念，随机变量序列n 服从大
数定律就可以表达为
0,lim P( n
1 n
n i1
i
1 n
n i1
Ei
)
1
1
n
n
i
i1
但是，如果再仔细观察一下这个例子，就可以 发现收敛关系不成立的点：x=0，恰好是F(x)的不连 续点．
在F(x)的连续点．
当n P, (n ) 时，它们的分布函数之间就有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
成立．
1.定义
定义5.3
概率论与数理统计
设 Fx, F1(x), F2 (x), 是一列分布函数，如果对
1, x c F(x) 0, x c
式中以随机变量 代替 a 以便得到新的收敛概念。本
节假定所得到的随机变量都是定义在同一概率空间
（ , F ，P）上的。
定义5.2
概率论与数理统计
设 1,2 , ,n 为一列随机变量， 为一随机变量，
如果 0 ，有
lim
n
P(
n
)
0或
lim
n
P(
n
)
1
则称随机变量序列n 依概率收敛于 ，记作
0
P(
2 n(n 1)
n
kk
k 1
a
)
D(n(n 1)
2
kk )
k 1
14
2 n2 (n 1)2
n
k 2Dk
k 1
4
2
1 n2 (n 1)2
n(n 1)(2n 1) 2
6
2 2 3 2
2n 1 n(n 1)
0(n )
故
lim P(
n
2 n(n 1)
n
k k
k 1
a
)
0
即
2
n(n 1)
n k 1
k k
P a(n
)
概率论与数理统计
2、性质
1）、若 n P ,n P, 则P ( ) 1
证： n n
0
，由
则 n
2
与
n
2
中至
少有一个成立，即
n
2
n
2
于是
P(
) P(n
2
)
P(
n
) 0(n )
2
即 0,有P（ ） 1，从而P（ ） 1
P 1 n
n i1
Ei (n )
特别地，
0,lim P( n
n p ) 1
n
伯努利大数定律可以描述为
n P p
n
(n )
0, lim P( n
1 n
n
i
i1
a)
1
辛钦大数定律描述为
1
n
n
i
i 1
P a
(n )
概率论与数理统计
例1、设 n
是独立同分布的随机变量序根列据定，义即且证
P
lni mn ，或 n P, (n )
由定义可知，
n P n P 0, (n )
概率论与数理统计
随机变量序列 n 依概率收敛和数学分析中的序列
收敛有很大的不同．
当我们说随机变量序列 n 依概率收敛于 ,
是指对 0， 如下事件
n
发生的概率，当n无限增大时，它无限接近于０．
1
而当我们说序列
证明 ：略。
注意：这个定理的逆命题不一定成立，即不能从分布 函数列的弱收敛肯定相应的随机变量序列依概率收敛， 但在特殊情况下，它却是成立的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n P c(c为常数）
的充要条件为 Fn (x) W F (x)
这里 F(x)是 c 的分布函数，也就是退化分布
概率论与数理统计
第 五章
§5.2随机变量序列的两种收敛性
概率论与数理统计
主要内容
一、依概率收敛 二、依分布收敛
一、依概率收敛
概率论与数理统计
1、定义
在上一节上，我们从频率的稳定性出发，得出下面
的极限关系式：
lim
n
P(
n
a
)
0
其中
n
1 n
n
k
k 1
或等价于
lim
n
P(n
a
)
1
这与数学分析中通常的函数收敛的意义不同。在上
F(x)的每一个连续点x，
都有
lim
n
Fn (x)
F ( x)
成立，
则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数F（x），
并记作 Fn (x) w F (x), (n ).
若随机变量序列n (n 1,2 ) 的分布函数 Fn (x)
弱收敛于随机变量 的分布函数F（x）, 也称 n
按分布收敛于 ，并记作
这个猜测对不对？
概率论与数理统计
例2、设 ,n 都是服从退化分布的随机变量，且 P 0 1
于是对
Pn
0,当n
1 1,
1
n
时有
n
1,2,
P(n ) Pn 0
所以
n P, (n )
成立。
概率论与数理统计
又设 ,n 的分布函数分别为F (x), Fn (x),
则
F ( x)
E1 a, D1 2
lim
n
P(
2 n(n 1)
n k 1
k k
a
)
0
试证：
2 n(n 1)
n
k k
k 1
P a
(n )
Hale Waihona Puke Baidu 证：Q
E
2
n(n
1)
n k 1
kk
2 n(n 1)
n
kEk
k 1
2 a n(n 1)
n
k
k 1
a
0 ，由切比雪夫不等式 2 n
P( E
)
D 2
这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
概率论与数理统计
2）、设 n ,n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
若 n P a,n Pb 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 则 g(n ,n ) P g(a,b), (n ). 证明略，方法类似于1） 3）、若 n P ,n P,
1, 0,
x0 x0
1, Fn (x)
0,
x1 n
x1 n
显然，当
x0
时，有
lim
n
Fn
(x)
F
(x)
而当 x 0 时，有
成立。
lim
n
Fn
(0)
lim
n
0
0
1
F
(0)
概率论与数理统计
这个简单的例子表明,一个随机变量序列依概率 收敛于某个随机变量,相应的分布函数不一定在每一 点上都收敛于这个随机变量的分布函数的.
则n n P , (n )
nn P , (n )
二、依分布收敛
概率论与数理统计
上面我们讨论了随机序列依概率收敛的概念及有 关性质，现在我们要问：
如果已知 n P(n ), 那么它们相应的分布
函数 Fn (x)与F(x) 之间有什么关系呢？
是否对 x R 都有
Fn (x) F (x)(n ) 成立。