江苏专转本高数 第七节 无穷小的比较

【 】 的 快
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2.【定义】设α , β 是同一过程中的两个无 穷小, 且α ≠ 0. . 定义】
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β (1) 如果 lim = 0,就说 β 是比 α 高阶的无穷小, α 记作 β = o(α ); β ( ) 如果 lim = ∞,就说 β 是比 α 低阶的无穷小. 低阶的无穷小. 2 α β ( 3) 如果 lim = C ≠ 0, 就说 β 与 α 是同阶的无穷小 ; α β 特殊地, lim = 1,则称β 与α 是等价的无穷小 特殊地, 如果 ; α 记作α ~ β; β (4) 如果lim k = C ≠ 0, k > 0,就说 β 是α 的k 阶的 α 无穷小 .
u→ 0
即 :当 x → 0 时
x →∞
x ~ ln(1 + x)
1 x
x ~ ex 1
练习】 【练习】 求极限 lim x (e 1)
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2,代换方法 ,
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【定理2】 (等价无穷小代换定理) 定理 】 等价无穷小代换定理) β′ β β′ 设α ~ α′, β ~ β′且lim 存在 则lim = lim . , α′ α α′ β β β ′ α′ β β′ α′ 【证】 lim = lim( ) = lim lim lim β ′ α′ α α β′ α′ α
1 ln(1 + ) x = 3, ∵ lim x → +∞ 1 3x
1 1 ln( ∴ 当x → +∞时, 1 + )与 是同阶无穷小 . x 3x
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补例1】 【补例 】
证明 :当x → 0时, tan x sin x为x的三阶无穷小
tan x sin x 【证】 ∵ lim x→0 x3
x
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ex 1 . 求 lim 补例2】 【补例 】 x →0 x 【 解 】 令 e x 1 = u, 即 x = ln(1 + u),
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则当 x → 0 时, 有 u → 0, 1 u ex 1 = lim = lim ∴ lim 1 u→ 0 u→0 ln(1 + u) x→0 x ln(1 + u) u 1 1 = = = 1. 1 ln e u lim ln(1 + u)
n 教材例1】 证明: x → 0 时, 1 + x 1 ~ 1 x 证明: 当 【
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【证】 [法Ⅰ] 见教材P57解法 [法Ⅱ] 换元法
令
n
n
1+ x = t x = t 1
n
且当 x → 0 时 ,t → 1
n
则
t 1 1+ x 1 = lim lim t →1 1 n x →0 1 ( t 1) x n n n( t 1) = lim 2 n 1 t →1 ( t 1)(1 + t + t + + t ) n = lim =1 n 1 t →1 (1 + t + + t )
注意】 不能滥用等价无穷小代换. 【注意】 不能滥用等价无穷小代换. 无穷小代换原则]积商可部分代换,和差只能总体代换. [无穷小代换原则]积商可部分代换,和差只能总体代换. 切记,只可对函数的因子作等价无穷小代换, 因子作等价无穷小代换 切记,只可对函数的因子作等价无穷小代换, 对于代数和中各无穷小一般不能分别代换. 一般不能分别代换 对于代数和中各无穷小一般不能分别代换. 如上【练习】 如上【练习】 极限 lim x(e 1) 用等价无穷小代换更简单 用等价无穷小 无穷小代换更简单
【解】
(1 + x ) 1 求 lim x →0 cos x 1
1 2 3
1 2 3
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由教材例1 由教材例1可知
故
1 2 (1 + x ) 1 ~ x 当 x→0 时 3 1 2 cos x 1 ~ x 2 1 2 1 x 2 3 2 (1 + x ) 1 = lim 3 = lim x →0 1 2 3 x →0 cos x 1 x 2
②
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一,无穷小的比较
1 【 】 无穷小的
2
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, ,
2
是无穷小
1 例如】 【例如】 当x → 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 观 x = 0, lim 察 x2比3x要快得多 ; x →0 3 x 各 sin x 极 = 1, lim sin x x ; 限 x→0 x 1 2 x sin 0 x = lim sin 1 lim 比 . 2 x→0 x →0 x x 0
β 是 α 的高阶无穷小 β 是 α 的低阶无穷小 β 是 α 的同阶无穷小 β 是 α 的等价无穷小 β 是 α 的 k 阶无穷小
2,等价无穷小的代换: ,等价无穷小的代换:
求极限的又一种方法,注意适用条件. 求极限的又一种方法,注意适用条件.
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【思考题】 思考题】
任何两个无穷小都可以比较吗? 任何两个无穷小都可以比较吗?
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思考题解答】 【思考题解答】
不一定. 不一定. 例当 x → +∞ 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) = , g( x ) = x x g( x ) = lim sin x 但 lim 不存在且不为无穷大 x → +∞ f ( x ) x → +∞
1 e 1 ~ ( x → ∞) x
1 x
x →∞
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1 x
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tan x sin x 补例5 . 【补例5】 求 lim 3 x →0 sin 2 x
【错 解】
当x → 0时, tan x ~ x , sin x ~ x . x x 原式 = lim 3 = 0. x →0 ( 2 x )
tan 2 x . 求 lim x → 0 1 cos x
2
1 2 【解】 当x → 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2
( 2 x )2 = 8. 原式 = lim x→0 1 2 → x 2 说明】 【说明】
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积, 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换,而不会改变原式的极限. 穷小代换,而不会改变原式的极限.
故当 x → +∞ 时, f ( x ) 和 g( x ) 不能比较 . 不能比较.
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�
1 sin x 1 cos x ) = lim( 2 x → 0 cos x x x
1 sin x 1 cos x 1 = lim lim lim = , 2 x → 0 cos x x → 0 x x →0 x 2
∴ tan x sin x为x的三阶无穷小
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x2 = 0, 即 x2 = o(3x) ( x → 0). 例如】 【例如】 ∵ lim x →0 3 x
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∴ 当 x → 0 时, x 2 是比 3 x 高阶的无穷小
sin x ∵ lim = 1 即sin x ~ x ( x →0). x →0 x ∴ 当 x → 0 时, x 与 x 是等价无穷小 . sin
o( x ) 1 o( x 2 ) 5+ + x+ 5 x 2 x = lim = . x→0 o( x ) 3 3+ x
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三,小结
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1,无穷小的比较 【注】不是所有的无穷小都可进行比较. , 不是所有的无穷小都可进行比较. 对同一自变量的变化过程为无穷小, 设 α , β 对同一自变量的变化过程为无穷小 且 α ≠ 0
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二,等价无穷小代换
1,等价充要性: ,等价充要性:
【定理1】
～
β = α + o(α)
称α是β的主要部分 是 的主要部分
【证】
～
β lim = 1 α β β α lim 1) = 0, 即 lim ( 3; o(α)
【证完】 证完】
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意义】用等价无穷小可给出函数的近似表达式. 【意义】用等价无穷小可给出函数的近似表达式. 1 2 例如】 【例如】 当x → 0时, sin x ~ x , 1 cos x ~ x . 时 2 sin x = x + o( x ), 1 y = x2
×
【正确解法】 当x → 0时, sin 2 x ~ 2 x , 正确解法】 时
1 3 tan x sin x = tan x (1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 原式 = lim . 3 = x→0 ( 2 x ) → 16
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【教材例5】
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第七节 无穷小的比较
一,无穷小的比较
二,等价无穷小代换
三,小结 思考题
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复习】 【复习】
1.极限存在准则 .
①.夹逼准则
2.两个重要极限 . ①
②.单调有界准则
sin x lim =1 x→0 x 1 x lim(1 + ) = e x→∞ x
推广形式
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