计算方法第一章_绪论好用2013秋改上课用

5.本课程要解决的问题：
1)方程求根 求方程 f ( x) 0 的近似解的问题。 2)插值 已知函数 f ( x) 在几个点 x1 , x2 ,......, xn 处的值， 求此函数的近似。 3) 数值积分 求定积分

b
a
f ( x)dx 的值。
4)常微分方程的数值解法 已知 y f ( x, y)，求函数 y。 5) 线性方程组的数值解法 求线性方程组 Ax b 的解， A 是 n 阶矩阵。
计 算 方 法
主讲：李福利
哈尔滨工业大学数学系计算数学教研室 电子邮箱：63864215@qq.com
教材：计算方法 张池平 主编 科学出版社 参考书：计算方法学习指导 陈艳梅 主编 科学出版社
考核方式及课程要求
• • • • • 上机+平时作业 ：20% 期末考试：闭卷 80% 本课程为限修课，选课同学务必在网上选课 课程小论文+10% （选）：word2003发至电子邮箱 上机要求：Matlab语言 5人一组， word2003 编辑完成上机报告，发到老师邮箱。 • 作业要求：统一格式，中间抽查。 如想得到尽快批改，可用 word2003编辑好作业，发至 63864215@qq.com
三、相对误差与相对误差限 只用绝对误差不能真正刻画近似值的优劣，例如， 分别测量10 m 和16 m 的两根旗杆，产生的误差均 为0.1m，显然，测量16m 的旗杆时更准确些。 如何刻画这一点呢？ 我们引入相对误差的概念。
* x x x 定义： 称绝对误差 与准确值的比值， * x x x r* x
第零章 绪论
一. 什么是计算方法
• 首先，计算方法是数学
英国著名哲学家培根说： “数学是打开科学大门的钥匙”。
第一个诺贝尔物 理奖得主伦琴在回
答“科学家需要什
么样的修养”这一 问题时，说：“第 一是数学，第二是 数学，第三还是数
学。”
被誉为“计
算机之父”的
冯· 诺伊曼认为 “数学处于人类 智慧的中心领域”
* 为近似值 x 的相对误差。
x
x
实际计算中的准确值是不知道的，通常用
x
* r
x
x*
x x* x*
作为 x 的相对误差。 * x x 同样，若 r ， 则称 为近似值 的相对误差限。
*
于是，测量10m 和16m 旗杆的相对误差分别为：
0.1m 0.01 10m
,
1
0, i 0,1, 2,...,9
2. 定理：若近似数x具有n位有效数字，则 1 x) 10 ( n 1) 2a1
* r (
1 反之，若 x ) 10 ( n 1) 2( a1 1)
* r(
则x至少有n位有效数字。
• 证：
因a1 10m x* (1 1) 10m，故当x* 有n位有效数字时，
如把方程组的系数舍入 成两位有效数字
x1 0.50x 2 0.33x 3 1.8 0.50x1 0.33x 2 0.25x 3 1.1 0.33x 0.25x 0.20x 0.78 1 2 3
它的解为x1 =-6.222... x2=38.25… x =-33.65...
r* x
x
x
0.5 10m n 1 1 n 1 10 1 10m 21
m
反之，由
x x

* r
x (1 1) 10

1 2(1 1)
10 n 1
0.5 10m n 1 , 因此，x至少具有n位有效数字。 证毕。
忽略次要因素，关注主要因素
数学问题
（2）观测误差 实际观测中由于受到设备、自然条 件等因素的影响，所得的数据存在的误差。
（3）截断误差 用数值方法求出的近似解与精确解 之间的误差称为截断误差。例如，由泰勒公式：
1 1 1 e 11 ...... ...... 2! 3! n!
求解20阶线性方程组，用克莱姆法则要用 9.7 1020 次乘法运算,用每秒1亿次的计算机计算,大约需算30多 万年;采用本门课程介绍的计算方法，却只要几秒钟。
3. 计算机实现问题
探讨3：在计算机上根据数学公式编程是否 就能得到正确结果?
研究例子:求解线性方程组
1 1 11 x x x 1 2 3 2 3 6 1 1 13 1 x3 x1 x 2 3 4 12 2 1 x1 1 x 2 1 x 3 47 4 5 60 3
* 3
*
它们的误差都不超过末位数字的半个单位。
一般地，有如下定义：
文字定义：若近似值 x* 的误差限是它某一位的半个单位， 就说近似数x* 准确到该位； 且从这一位直到左边第一位非零数字一共有 n 位，则 * 称近似值 x 有 n 位有效数字。
n位 * x
一. 什么是计算方法
• 其次，计算方法是一门有自身特点的数学
用计算机求解数学问题的数值方法及 1. 研究对象： 其理论，是程序设计和对数值结果进 行分析的依据。
实际问题 建立数学模型 构造数值算法
代数方程、微分方程等等
用计算机求出近似结果
Biblioteka Baidu
计算方法的地盘
2.课程特点：
计算方法主要讨论如何构造求数学模型的近 似解的算法。研究算法的理论依据，精度和计算
a
b
sin x x
的原函数无法求出，怎么办？ 通过计算方法，可求得其近似解。
2. 求解不切实际
探讨2：高阶线性方程组如何求解?
线性代数中求解线性方程组的克莱姆法则：
如果线性方程组
方程组有唯一解
Ax b
Dj xj D
的系数行列式不等于零，那末，
其中， D 为方程组的系数行列式，D j 是把系数行列式中第j列的元 素用方程组右端的自由项b代替后所得到的n阶行列式。
4. 本课程的学习方法：
1). 理解建立算法的理论依据和过程，适应本课 程 “公式多” 的特点。 2). 注意每章开头问题的引入，搞清楚问题的来源 提法，逐步深入。 3). 理解每个算法建立的数学原理和基本线索，对 最基本的算法要非常熟悉！ 4). 认真进行上机实践，编写和调试算法程序，加 深对算法的理解。
1 0.005076 12 0.005046 197 2378
20
• 由表1-1可见，按不同算式和近似值计算出 的结果各不相同，有的甚至出现了负值， 这真是差之毫厘，谬以千里。可见近似值 和算法的选定对计算结果的精确度影响很 大。 • 因此，在研究算法的同时，还必须正确掌 握误差的基本概念，误差在近似值运算中 的传播规律，误差分析、估计的基本方法 和算法的数值稳定性概念，否则，一个合 理的算法也可能会得出一个错误的结果。
11 若用有限项 e
1 1 ...... (n 1)! (n 2)!
精确值
1 1 1 ...... 近似计算 e ，则截去的 2! 3! n!
就是截断误差。
（4）舍入误差 受计算机位数限制，需要对参数，中 间结果和最终结果做舍入处理，用有限字长的数值代替 精确数，由此而产生的误差为舍入误差。例如：
21
第一章 误差基本理论
本章重点：误差的基本概念； 分析误差的原则。 本章难点：相对误差；有效数字。
第一节 误差的来源与误差分析的重要性 一、误差来源： 误差在现实生活中广泛存在！小学时用刻度尺度 量；计算 “神十” 运行的轨道；计算机中存储的数是 有限位的，等等…… 按照误差的来源可分为以下四类： （1）模型误差 将实际问题转化为数学问题是通常 只是简化的、近似的。 实际问题
复杂性，并通过编写程序进行计算试验来验证算 法的有效性。 与纯数学的理论方法不同，数值计算方法求 出的一般是近似解，而不是精确解。
计算方法所研究的算法具有严格的理论依据， 所求出的近似解是满足误差要求的 “近似”。
3.本课程的学习目标：
掌握常用的数值方法的基本原理 掌握常用的科学与工程计算的基本方法 会套用计算公式求解简单的数学问题 会上机编写常用数值方法的计算程序
其准确解为x1=x2=x3=1
4.不同的计算方法效果不一样
计算实例
2 1 x 2 1
可用四种算式算出：
x(
3
2 1) 6 2
x 99 70 x
1 ( 2 1) 6 1 x 99 70 2
18
如果分别用近似值 和
2 17 12 1.4166
在一台计算机中用 3.14159 代替 所产生的误差。 模型误差 观测误差
截断误差 在设计算法时进行误差分析，控制截断误差 舍入误差
注意编写程序的技巧，减小舍入误差的影响
二、绝对误差与绝对误差限
x x x*为近似值 x * 的绝对误差，简称误差，若误
定义： 设 x 为准确值，x *为 x 的一个近似值，则称
差的绝对值不超过某个正数 称正数 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 例如，用最小刻度为厘米的刻度尺测得某物体的长度 为5 m，其误差不超过 0.01 米，即误差限为 0.01 米。 该物体的准确长度可记为：s (5 0.01)m 。
x x x*
注意：绝对误差限是有量纲的！！
* 并且，x 的绝对误差
1 * 2 x x 10m n 1 2
* x 则称 具有
n 位有效数字
有效数字与误差的关系
1. 有效数位n越多，则绝对误差越小
x* 10m 1 2 101 3 10 2 n 10

n 1
2 7 5 1 .4
按上列四种算法计算，其结果如下 表1-1所示。
19
表1-1
序 号 计 算 式 算 结 果
2 7/5
2 17 / 12
5 0.005233 12
6
1
2
3 4
1 0.166667 1 6 6 6 12 0.005020 5 0.005233 12 29
和
0.1m 0.00625 16m
可见后者测量的更准确。 注意：相对误差限是没有量纲的！！
四、有效数字 按四舍五入原则对
x 3.14159265
取前几位近似 x ，
1 2 0.002 10 x 3.14, 取 3 位： 3 2 1 4 * 10 0.000008 x 3.1416, 取 5 位： 5 5 2 1 6 * 10 0.0000004 x 3.141593, 取 7 位： 7 7 2
二. 为什么要学习计算方法：
1. 大量的数学问题不能精确求解
探讨1：积分
设

2
1
sin x dx 如何求解 ? x
高等数学求解积分的牛顿——莱布尼兹公式：
F ( x) 是 f ( x ) 在[a,b]上 f ( x ) C[a, b] ，
的一个原函数，则有
f ( x)dx F (b) F (a)
左边第一个非零数字
误差不超过该位的半个单位
* 因此，当取 x3 3.14 作 的近似时，有 3 个有效数字。
* 3.1416 作 的近似时，有 5 个有效数字。 当取 x3
注：经过四舍五入得到的数字都是有效数字。
数学定义 若近似数x* 可写成
1 x* 10m 1 2 101 3 102 n 10 n1 , 1 0, i 0,1, 2,...,9
有效数字与相对误差的关系
定理
若近似值 x* 具有(A)式的形式，且具有 n 位有效数字，则其相对误差限为：
1 x 10 n 1. 21
* r
(B)
该定理表明，有效数字越多，相对误差限越小， 注1： 精度越高。 注2： 在实际计算中，为使近似值具有 n 位有效数字，
要求所取近似值的相对误差限满足(B)式。