第5章 主成分分析

第五章 主成分分析 一、填空题

1．主成分分析就是设法将原来众多 的指标，重新组合成一组新的 的综合指标来代替原来指标。

2．主成分分析的数学模型可简写为 ，该模型的系数要求 。

3．主成分分析中，利用 的大小来寻找主成分。

4．第k 个主成分k y 的贡献率为 ，前k 个主成分的累积贡献率为 。

5．确定主成分个数时，累积贡献率一般应达到 ，在spss 中，系统默认为 。

6．主成分的协方差矩阵为_________矩阵。

7．原始变量协方差矩阵的特征根的统计含义是________________。 8．原始数据经过标准化处理，转化为均值为__ __，方差为__ __的标准值，且其________矩阵与相关系数矩阵相等。

9．在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为________。 10．SPSS 中主成分分析采用______________命令过程。 二、判断题

1．主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性的指标，重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来指标。 （ ）

2．主成分y 的协差阵为对角矩阵。 （ ） 3.p x x x ,,,21 的主成分就是以∑的特征向量为系数的一个组合，它们互不相关，其方差为

∑的特征根。 （ ） 4．原始变量i x 的信息提取率()m i V 表示这m 个主成分所能够解释第i 个原始变量变动的程度。

（ ）

5．在spss 中，可以直接进行主成分分析。 （ ） 6．主成分分析可用于筛选回归变量。 （ ）

7．SPSS 中选取主成分的方法有两个：一种是根据特征根≥1来选取； 另一种是按照累积贡献率≥85%来选取。 （ ） 8．主成分方差的大小说明了该综合指标反映p 个原始观测变量综合变动程度的能力的大小。 （ ）

9．主成分表达式的系数向量是协方差矩阵∑的特征向量。 （ ）

10．主成分k y 与原始变量i x 的相关系数()i k x y ,ρ反映了第k 个公共因子对第i 个原始变量的解释程度。 （ ） 三、简答题

1．简述主成分的概念及几何意义。 2．主成分分析的基本思想是什么？ 3.简述主成分分析的计算步骤。 4．主成分有哪些性质？

5．主成分主要应用在哪些方面？ 四、计算题

1．假设3个变量1x 、2x 和3x 的协方差矩阵为：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∑20

05

3

032 要求用此协差阵和相应的相关阵对这3个变量进行主成分分析，根据计算结果说明应选取多

少个主成分以代表原来的3个变量，并说明理由。

2．在一项研究中，测量了376只鸡的骨骼，并利用相关系数矩阵进行主成分分析，见下表：

（2）计算前三个主成分各自的贡献率和累积贡献率。

（3）对于y4,y5,y6的方差很小这一点，你怎样对实际情况作出推断。

3．假设某商场棉鞋1x 、凉鞋2x 、布鞋3x 三种商品销售量的协方差矩阵如下：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∑20

05

2

021 试求各主成分，并对各主成分的贡献率和各个原始观测变量的信息提取率进行讨论。

4．对某市15个大中型工业企业进行经济效益分析，经研究确定，从有关经济效益指标中选取7个指标作分析，即固定资产产值率(X1)，固定资产利税率(X2)，资金利润率(X3)，资金利税率(X4)，流动资金周转天数(X5)，销售收入利税率(X6)和全员劳动生产率(X7)。数据资料如下：

根据下面SPSS 软件的输出信息，回答：

（1）这个数据的7个变量可以用几个综合变量（主成分）来表示？ （2）这几个综合变量（主成分）包含有多少原来的信息？ （3）写出这几个综合变量（主成分）的模型。 Total Variance Explained

Component Matrix(a)

a 2 components extracted.

五、证明题

主成分有三个重要性质： ⑴F 的协差阵为对角阵Λ； ⑵

1

1

p

p

ii

i i i σ

λ===∑∑；

⑶(),k i F X ρ=

；

试分别加以证明。 六、SPSS 操作题

1.下面是8个学生两门课程的成绩表：

（1）求出两个特征根及其对应的单位特征向量；

（2）求出主成分，并写出表达式；

（3）求出主成分的贡献率，并解释主成分的实际意义；

（4）求出两个主成分的样本协方差矩阵；

（5）第1个样本主成分与第2个变量样本之间的相关系数为多少

（6）求出8个学生第一主成分得分并进行排序

2.某中学十二名女生的身高x1，体重x2的数据如下：

（1）两个变量的协方差矩阵与相关系数阵；

（2）两个特征根及其对应的单位特征向量；

（3）主成分的表达式并解释各贡献率的大小意义和主成分的实际意义；（4）如果舍弃主成分y2，则哪一个原变量的信息损失量最大；

（5）画出全部样本的主成分散点图。

3．根据下列某地区11年数据

（2）求特征根及其对应的特征向量。

（3）求出主成分及每个主成分的方差贡献率；

（4）利用主成分方法建立y与x1,x2,x3的回归方程(取两个主成分)。