解析2016年全国高考数学理科I卷第18题

题， 其实仔细分析还是可 以分析清楚的． 我们先来看看原题 ：
１ ｆ ２ １ ： ０ ，
如图 １ ， 在 以 Ａ， Ｂ ， Ｄ， Ｅ， Ｆ 为 顶点 的 五 面体 中， 面
ＡＢＥＦ 为 正 方 形， ＡＦ ＝ ２ ＦＤ， ＺＡＦＤ ＝ ９ ０ 。 ， 且 二 面 角
Ｄ —ＡＦ—Ｅ 与二面角 Ｃ—ＢＥ —Ｆ 都是 ６ ０ 。 ．
问题 ．
坐 标 系 ， 设 Ｆ 。 ： ， Ｅ （ 。 ， 。 ， 。 ） ， Ｂ （ ０ ， ２ ， 。 ） ， ｃ （ ， 。 ， ） ， Ａ （ ２ ， ２ ， ０ ） ， 赢＝ Ｅ 雪 ＝ （ ０ ， ｊ ２ Ｂ ＇ ， ０ ） ， 一： Ｏ ： （ 【 言 ， 一 ２ ， ） Ｊ ， Ａ － － － ３ Ｂ ＝
向量法 ｆ 包 括平 面法 向量 法 和棱 法 向量法） 、 三垂 线法 及 变
如图 ２ ， 以 Ｅ 为原 点 ， ＥＦ 为 Ｘ轴， ＥＢ 为 Ｙ轴， 建 立
式、 定 义法 、 三面角公式 等， 其中还包 含 了三 垂线法 中， 同时 探讨 了如何 构造 面面垂直从 而为 考虑线 面垂直创 造条件 等
２ ０ １ ６ 年第 ９ 期（ 上）
中学数学研究
３ ３
解析 ２ ０ １ ６年全 国高考数 学理科 Ｉ 卷第 ｌ ８ 题
华南师大附 中 （ ５ １ ０ ６ ３ ０ ） 周 建锋
本文结 合 ２ ｏ １ ６年全 国高考 数学理科 Ｉ 卷 的立 体几何解 答 题， 全面 阐述 了立体几 何 中求解二 面角 的几种 常用 方法 ：
垂足为Ｈ ， 则向 量 ， 赢 的夹角即为二面 角 Ｅ—Ｂ Ｃ—Ａ
的平 面角 ． 设 ： ， 则
Ｃ Ｄ， 所以Ａ Ｂ ｆＣ Ｄ， 所以 Ｃ Ｄｆ ｆ Ｆ ， 所以四边形 ＥＦ ＤＣ为
等腰梯形．
： ＋ 翻 ： 赢 ＋ 赢，
３ ４
因 为 上 所 以
．
中学数 学研 究
用 向量 法是 最 容 易操 作 的方 法， 许 多考 生 采用 ． 但 是
用 向量法 有一个 细节， 如何确 定法 向量 的方 向， 使得两个 法
向量 的夹 角 等于 二面 角 的平 面角？方 法很 简单。 就是在 两
Ｆ
个 半平 面上各 取一点， 构造一 个 向量， 两个法 向量与这个 向
在 Ｒｔ ＡＢＧＨ 中，
：
２ ０ １ ６ 年 第 ９期 （ 上）
０
ＢＨ ＝
所 以
（ ） ＋ Ｉ ￣ Ｐ ５ Ａ ＋１ ＝０ ． ｔ ） １ ｉ ： １ ： ／Ａ＝ 一百 １
．
．
：０ ，
ＧＨ ： ＢＧ ． ｔ ａ ｎＺＡＢ Ｃ ：
、 ／ ｂ
，
在Ｒ ｔ ＡＥ ＢＨ 中， ＨＥ＝￣ ／ — Ｅ Ｂ ２ ＋ — Ｂ Ｈ２ ＝俪 ，
设二面角 Ｅ —ＢＣ —Ａ的平面角 ０ ， 则
＋
＿ｏ ｊ
取 １： ， Ｙ １＝ ０ ， Ｚ １＝ 一１ ， 则 ＝ （ ， ０ ， 一１ ） ． 设 面
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ａ Ｂ Ｃ法向量为 亢＝（ Ｘ ２ ， Ｙ ２ ， ） ， 则
（ Ｉ ）证 明： 平 面 ＡＢＥＦ￣平面 ＥＦＤＣ；
ｆ 宄 ． ： ０ ，
（ Ｉ Ｉ ）求二面角 Ｅ —Ｂ Ｃ —Ａ的余弦值． 第一小题容 易证 明， 这里 就不再赘述． 在 第二小题 中， 有 些考生认为点 Ｃ没法确定， 其实是 因为他们没 有看清题 目条
其 实用向量法 除了用平 面法 向量法之外， 也 可以用棱 法
向量 法 ．
Ａ Ｂ 平面 Ｅ ＦＤ Ｃ， Ｅ Ｆ Ｃ平面 Ｅ ＦＤＣ ， 所以 Ａ Ｂｆ ｆ 平面
ＡＢＣＤ， ＡＢ Ｃ平 面 ＡＢＣＤ， 因为面 ＡＢＣＤＮ面 ＥＦＤ ＝
解二 如 图 ３ ， 分别作 ＡＧ￣ＢＣ， 垂足为 Ｇ， 作 ＥＨＬＢＣ，
Ａ
量的内积同号即可． 如本题中可构造 向量 － Ｅ ｌ＝（ ２ ， ２ ， ０ ） ，
图２
． ：
图 ｌ
２ ＞０ ， 赢 ． ：２ ＞０ ， 则两个法向量的
下面谈谈第－ －ｄ ， 题的做法．
一
夹角即为二面角 Ｅ —ＢＣ —Ａ 的大小 ．
、
向量法
解一 由（ １ ） 知Ｚ ＤＦ Ｅ＝Ａ Ｃ ＥＦ＝６ ０ 。 ， 因为 Ａ Ｂ ｉＥ ｆ Ｆ ，
， ，
（ 一 ２ ， ０ ， ０ ） 设面 Ｂ Ｅ Ｃ法向量为 ：（ １ ， １ ， ｚ １ ） ．
ｆ ． 商： ０ ，
２ ０ １ ６年全 国高考理 科 Ｉ 卷第 １ ８题是 一道 立体 几何 题，
乍一看 题 目有些怪异 ， 有些考生考后 甚至质疑题 目条件 有问
即
１ ． 赢： ０ ，
件“ 五面体” ， 也 就是说 Ｄ、 Ｃ、 Ｅ、 Ｆ 共面， 、 Ｂ、 、 Ｄ 共 面，
即
１ 宄 ． 蔚： ０ ，
ｊ 【 ２ － ５ － 一。 ，
２ ＝ ０，
・
这样由 Ａ Ｂｆ ｆ ＥＦ可推出 Ａ Ｂ ｆ 平面 Ｄ ＣＥ Ｆ， 再由线面平行 取 Ｘ ２＝ ０ ， Ｙ ２： ， Ｚ ２＝ ４ ， 则 ＝ （ ０ ， ， ４ ） ． 设二 面角
的性质， Ａ Ｂｆ ｆ ＤＣ ， 从而 ＤＣ ｆ Ｆ， 而且易证 Ｚ ＣＥ Ｆ是二面 Ｅ —ＢＣ —Ａ 的大小为 ０ ．
角 Ｃ—ＢＥ —Ｆ的平面角 即为 ６ ０ 。 ， 点的位置是可 以确定
的．
ｎ 一４ ２ 、 ／ ｌ ９
ｃ ｏ ｓ ０ 丽
丽
一 １
．
所以二面角 Ｅ —ＢＣ —Ａ的余 弦值为 一
Ｇ Ｈ ２－ Ｈ Ｅ２ ｃ 。 ｓ ＥＧＨ ＝ — ＥＧ ２＋
：一
＋赢
＿
＋
一
＝
１ （ － ２ ， ） ＋ （ ２ ， ｏ ， 。 ） （ 一 ） ．
平 面角 ．
一６ ８
２× ２ ×
２ 、 ／ ， 两 一１
同理 可 得 ：
三、 三垂 线法 作二面 角 的平面 角