信号与系统概论第二章

第二章 连续时间信号与系统的时域分析
★本章内容 2.1 经典时域解法 2.2 零输入响应和零状态响应 2.3 冲激响应和阶跃响应 2.4 卷积积分 2.5 卷积积分的性质
2.1 经典时域解法
※ 连续时间LTI系统的时域分析方法
（LTI：线性时不变系统） ①输入输出模型描述法 微分方程经典解法 卷积积分法 ②状态变量分析法
2.1 经典时域解法（续）
4. 系统响应的分解模式
◆微分方程的完全解就是系统的完全响应。
经典法对复杂输入信号或高阶系统的计算较繁琐、不易求出完全 响应。而近代时域分析通过对系统响应的分解使计算分析简便。
◆系统响应的分解
自由响应：与外加激励无关，反映系统特性，对应齐次解。
（也称固有响应，取决于系统特征根。）
（加入激励后瞬间的系统状态，用于确定完全解的待定系数Ci ）
◆系统起始状态：激励信号加入前的瞬间状态(简称0_状态)。
（包含响应的过去信息，能反映系统中储能元件的储能状态。)
2.1 经典时域解法（续）
[物理解释] ◆对于一个具体的电路网络，系统的0-状态就是系统中储能元 件的储能情况; ◆一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不 会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
信号的脉冲分量分解
2.4 卷积积分（续）
[例]
[解] ①
也可由冲激函数 匹配法求出0+跳 变值，再求出c
②
2.5 卷积积分的性质
1.代数性质： ◆交换律： f1(t)*f2(t) = f2(t)*f1(t)
[证]
2.5 卷积积分的性质（续）
◆结合率： [x(t)*h1(t)]*h2(t) = x(t)*[h1(t)*h2(t) ]
时域分析法的特点 —— 由激励（输入）及表征系统特性 的时域模型，不经变换而在时域直接求出系统响应（输出）。
2.1 经典时域解法（续）
1. 连续时间LTI系统的微分方程模型的建立 ① 常用元件的电压电流关系：
2.1 经典时域解法（续）
② 微分方程模型的建立： 由网络拓扑约束关系：
微分 RLC并联电路系统 的二阶微分方程
2.1 经典时域解法（续）
◆由0_状态到0+状态的转换方法：
奇异函数系数相平衡法 冲激函数匹配法 由电路分析法直接求初始条件
给定微分方程 起始状态时
（给定具体电路时）
◆冲激函数匹配法的思路：
t=0 时刻微分方程左右两端的冲激信号δ(t)及其各阶 导数应该平衡相等。
2.1 经典时域解法（续）
[例]利用冲激函数匹配法确定系统0+时刻的状态y(0+) 已知 系统微分方程为： y’(t) + 4y(t) = 3δ’(t) 系统起始状态为：y(0-) [解] （思路分析） ① 方程右端含有δ’(t) → 则 y’ (t)中必定含有3δ’(t) y(t)中必定含有3δ(t)
y(t) = x(t-t0)*h(t+t0)
[ 若: f(t)= f1(t)*f2(t) ]
3.卷积的微分性与积分性
强迫响应：与激励形式有关，对应特解。
2.1 经典时域解法（续）
暂态响应：t→∞时响应等于零的分量。 （如全响应中含有 e-t 的分量部分） 稳态响应：t→∞时响应保留为稳定规律的分量 （如全响应中含有常数的分量部分） 零输入响应：仅由初始储能所产生的系统响应。 零状态响应：仅由外加激励所产生的系统响应。
微分方程完全解: y(t) = yh(t) + yp(t) （齐次解） （特解） ①求齐次解 ◆齐次微分方程：
◆写出特征方程：
（ 其中：λi (i=1,2,…,n) 称为齐次微分方程的特征根 ）
系统固有频率
2.1 经典时域解法（续）
◆微分方程的齐次解为：
a) 特征根λi各不相同时：
（ 式中：常数Ci 为待定系数 ） b) 特征根为其他情形时：
◆分配率： x(t)*[h1(t)+h2(t)] = x(t)*h1(t)+x(t)*h2(t)
2.5 卷积积分的性质（续）
2.时移性质：
两卷积进行卷积运算时，若将其中一个信号左移、另一个 信号右移同一个时间单位，则其卷积结果不变。 即若: y(t)= x(t)*h(t) = h(t)*x(t)
则:
③由上述跳变，则有： y(0+) - y(0-) = -12 → y(0+) = y(0-) – 12
2.1 经典时域解法（续）
※冲激函数匹配法的注意点：
◆系统从0-到0+状态有无跳变取决于微分方程右端是否包含δ(t)
及其导数项。
◆从方程左端 y(k)(t) 的最高项开始与右端冲激函数最高项匹配 ◆左端同阶次冲激函数不能与右端匹配时，由左端高阶项补偿
h（t）在t=0连续
2.3 冲激响应与阶跃状态（续）
④ 将初始值代入冲激响应求解式：
⑤ 则所求系统冲激响应为：
2.3 冲激响应与阶跃状态（续）
2) 一般情形： ◆线性常系数微分方程常用形式：
◆冲激响应的求解步骤： ① 设定新变量yl(t)使其满足下式：
2.3 冲激响应与阶跃状态（续）
②由前述方法求上式冲激响应hl(t): 设：x(t) = δ(t) 则冲激响应式为： 即： 由冲激函数匹配法求系统0+状态: hl(i)(0+) 由0+初始状态值代入冲激响应式，求出系数ci。 将系数ci带入冲激响应式，得冲激响应hl(t)。 ③系统冲激响应为：
3.用卷积积分求系统的零状态响应
◆线性时不变系统对任意信号x(t)的零状态响应可由该信号 与系统单位冲激响应h(t）的卷积积分得到。 即：
y(t) = x(t) * h(t)
x(t)
线性时不变系统 h(t)
y(t)= x(t)*h(t)
2.4 卷积积分（续）
◆导出思路（根据线性时不变系统性质）：
（激励信号） （系统响应）
2.2 零输入响应与零状态响应
1. 零输入响应 ◆零输入响应： 外加激励为零，仅由系统起始状态（储能）
所产生的响应。 [ 用 yzi(t) 表示 ]
◆零输入响应yzi(t)为满足下式的解：
◆其解具有与齐次解相同形式：
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
◆由于没有外界激励，则系统状态不会发生跳变，即：
vC (0 − ) = vC (0 + ), i L (0 − ) = i L (0 + ).
◆但是当有冲激电流强迫作用于电容或冲激电压强迫作用于电 感时，0- 到 0+ 状态就会发生跳变。 ◆当系统用微分方程表示时，系统从0- 到 0+状态有没有跳变取 决于微分方程右端自由项是否包含δ(t)及其各阶导数项。
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
◆ 零输入响应与零状态响应的分解有助于理解系统的物理概 念。但零状态响应的经典解法较为复杂繁琐。
求齐次解与特解 ※步骤： 确定齐次解待定系数 需判断系统跳变状态
◆ 求解零状态响应的简便方法： 卷积积分法 拉普拉斯变换法
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
3. 线性时不变系统的线性性概念
◆ 零输入线性性：
外加激励为0时，零输入响应对于各起始状态呈现线性性。
◆ 零状态线性性
起始状态为零时，零状态响应对于外加激励呈现线性性。
◆ 线性时不变系统的线性性：
响应的可分解性 零输入线性性 零状态线性性
（零输入响应与零状态响应）
2.3 冲激响应与阶跃响应
1. 冲激响应 ◆单位冲激响应：
（简称冲激响应）
( 将此解代入微分方程，可得：b=1/2, 即： yp(t) = 1/2 e-t )
2.1 经典时域解法（续）
③求完整解： ◆完整解为：
其微分为：
◆由初始状态：
求出：c1=1,
c2=2
◆系统响应的完全解为：
2.1 经典时域解法（续）
3. 起始点的跳变
0−
O
0+
t
◆系统初始状态：响应区间内t=0+时刻的状态(简称0+状态)。
2）冲激响应与阶跃响应的关系：
冲激函数δ(t)与阶跃函数u(t)的激励互为微分与积分关系
则对于线性时不变系统，冲激响应h(t)与阶跃响应g(t)也互
为微分与积分关系，即：
2.4 卷积积分
1. 卷积积分的概念
对任意两信号f1(t)和f2(t), 其卷积运算定义如下：
记为：
2.4 卷积积分（续）
[例] 求下述两信号的卷积：f1(t)*f2(t) f1(t)=u(t), f2(t)=e-tu（t) [解]
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
[例]Biblioteka 2.2 零输入响应与零状态响应（续）
2.2 零输入响应与零状态响应（续）
2. 零状态响应 ◆零状态响应：系统起始状态为零（无初始储能），系统响
应仅由外加激励所产生。 [ 用 yzs(t) 表示 ]
◆零状态响应yzs(t)为满足下式的解：
◆其解为齐次解与特解之和：
t >0 特征根为 -1，-2
③由冲激函数匹配法： ◆h’’(t)必含有δ(t)，则h’(t)必含有△u(t)，则h(t)在t=0连续
即设：
h（0+）=h(0_)=0
2.3 冲激响应与阶跃状态（续）
◆代入微分方程得：
在t=0连续，h（t）=0
◆经平衡匹配得： a = 1， 则：h’(t)= a△u(t)= △u(t) 则0+状态为：
2.1 经典时域解法（续）
2.1 经典时域解法（续）
②求特解
（※特解形式与激励函数的形式相关）
2.1 经典时域解法（续）
③求完全解
◆完全解形式（特征根各不相同的情形） ：