高中数学必修一第四章指数函数与对数函数测试题 (10)(解析版)

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高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数必练题总结单选题1、函数①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：54，√3，13，12中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（）A ．54，√3，13，12B ．√3，54，13，12 C ．12，13，√3，54，D ．13，12，54，√3，答案：C分析：根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.由题图，直线x =1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，而√3>54>12>13.故选：C ．2、基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （） A ．1.2天B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天答案：B分析：根据题意可得I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，根据e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，解得t 1即可得结果. 因为R 0=3.28，T =6，R 0=1+rT ，所以r =3.28−16=0.38，所以I (t )=e rt =e 0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38(t+t 1)=2e 0.38t ，所以e 0.38t 1=2，所以0.38t 1=ln2，所以t 1=ln20.38≈0.690.38≈1.8天.故选：B.小提示：本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题. 3、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.4、已知函数f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞) ，若函数g(x)=f(x)−m 恰有两个零点，则实数m 不可能．．．是（）A ．−1B ．0C ．1D ．2 答案：D解析：依题意画出函数图象，函数g(x)=f(x)−m 的零点，转化为函数y =f(x)与函数y =m 的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；解：因为f(x)={x −2,x ∈(−∞,0)lnx,x ∈(0,1)−x 2+4x −3,x ∈[1,+∞)，画出函数图象如下所示，函数g(x)=f(x)−m 的有两个零点，即方程g(x)=f(x)−m =0有两个实数根，即f(x)=m ，即函数y =f(x)与函数y =m 有两个交点，由函数图象可得m ≤0或m =1，故选：D小提示：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5、化简√−a 3·√a 6的结果为（） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a3·√a6=(−a)13⋅a16=−a13⋅a16=−a13+16=−a12=−√a.故选：A.6、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I1I2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.7、下列说法正确的个数是（）（1）49的平方根为7；（2）√a nn＝a(a≥0)；（3）(ab )5=a5b15；（4）√(−3)26=(−3)13．A．1B．2C．3D．4答案：A分析：（1）结合指数运算法则判断，49平方根应有两个；（2）正确；（3）应为a5b−5；（4）符号错误49的平方根是±7，（1）错；（2）显然正确；(ab )5=a5b−5，（3）错；√(−3)26=313，(4)错，正确个数为1个，故选：A8、若ln2=a ，ln3=b ，则log 818=（） A ．a+3b a 3B ．a+2b 3aC ．a+2b a 3D ．a+3b 3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得. log 818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a 3a.故选：B 多选题9、已知函数f (x )=log 3(x 2−1)，g (x )=x 2−2x +a ，∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)，则实数a 的可能取值是（）A ．12B ．1C ．52D ．3 答案：CD分析：将问题转化为当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ，然后分别求出两函数的最小值，从而可求出a 的取值范围，进而可得答案∃x 1∈[2,+∞)，∀x 2∈[13,3]有f (x 1)≤g (x 2)等价于当x 1∈[2,+∞)，x 2∈[13,3]时，f (x 1)min ≤g (x 2)min ．当x ∈[2,+∞)时，令t =x 2−1，则y =log 3t ，因为t =x 2−1在[2,+∞)上为增函数，y =log 3t 在定义域内为增函数，所以函数f (x )=log 3(x 2−1)在[2,+∞)上单调递增，所以f (x )min =f (2)=1． g (x )=x 2−2x +a 的图象开口向上且对称轴为x =1， ∴当x ∈[13,3]时，g (x )min =g (1)=a −1，∴1≤a −1，解得a ≥2．故选：CD ．10、已知x 1+log 3x1=0，x 2+log 2x2=0，则（）A．0<x2<x1<1B．0<x1<x2<1C．x2lgx1−x1lgx2<0D．x2lgx1−x1lgx2>0答案：BC分析：根据对数函数的性质可判断AB正误，由不等式的基本性质可判断CD正误.由x1=−log3x1>0可得0<x1<1，同理可得0<x2<1，因为x∈(0,1)时，恒有log2x<log3x所以x1−x2=log2x2−log3x1<0，即x1<x2，故A错误B正确；因为0<x1<x2<1，所以lgx1<lgx2<0，即0<−lgx2<−lgx1，由不等式性质可得−x1lgx2<−x2lgx1，即x2lgx1−x1lgx2<0，故C正确D错误.故选：BC小提示：关键点点睛：利用对数函数的真数大于零及对数函数的图象与性质可得0<x1<x2<1是解题的关键，根据不等式的基本性质可判断CD，属于中档题.11、已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，则（）A．函数f(x)+g(x)的定义域为(−1,1)B．函数f(x)+g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)+g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)−g(x)在区间(0,1)上是减函数答案：AB解析：求出函数f(x)+g(x)和f(x)−g(x)的解析式，再判断函数的定义域、奇偶性、借助复合函数的单调性与最值即可得出结论．解：∵f(x)=log a(x+1)，g(x)=log a(1−x)(a>0,a≠1)，∴f(x)+g(x)=log a(x+1)+log a(1−x)，由x+1>0且1−x>0得−1<x<1，故A对；由f(−x)+g(−x)=log a(−x+1)+log a(1+x)=f(x)+g(x)得函数f(x)+g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵−1<x<1，∴f(x)+g(x)=log a(1−x2)，∵y=1−x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)+g(0)=log a(1−0)=0；当a>1时，函数f(x)+g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值；故 C错；∵f(x)−g(x)=log a(x+1)−log a(1−x)，当0<a<1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递减，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)=log a(x+1)在(0,1)上单调递增，g(x)=log a(1−x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)−g(x)在(0,1)上单调递增；故D错；故选：AB．小提示：本题主要考查函数奇偶性与单调性的性质应用，考查逻辑推理能力，属于中档题．填空题12、若f(x)=1+a3x+1(x∈R)是奇函数，则实数a=___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.13、心理学家有时用函数L(t)=A(1−e−kt)测定在时间t（单位：min）内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生需要记忆的量为200个单词，此时L表示在时间t内该生能够记忆的单词个数．已知该生在5min内能够记忆20个单词，则k的值约为（ln0.9≈−0.105，ln0.1≈−2.303）______．答案：0.021分析：该生在5min内能够记忆20个单词，将A=200，L(5)=20带入即可得出结论. 由题意可知200(1−e−5k)=20，所以，e−5k=0.9，所以ln e−5k=ln0.9≈−0.105，解得k≈0.021．所以答案是：0.021.14、已知函数f(x)={e x−1,x≥0，ax2+x+a,x<0恰有2个零点，则a=__________．答案：12##0.5分析：先求得f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，则方程ax2+x+a=0有1个负根，a=0时不成立，a≠0时，由一元二次方程的性质分Δ=0和Δ>0讨论求解即可.当x≥0时，令f(x)=e x−1=0，解得x=0，故f(x)在[0，+∞)上恰有1个零点，即方程ax2+x+a=0有1个负根.当a=0时，解得x=0，显然不满足题意；当a≠0时，因为方程ax2+x+a=0有1个负根，所以Δ=1−4a2≥0.当Δ=1−4a2=0，即a=±12时，其中当a=12时，12x2+x+12=0，解得x=−1，符合题意；当a=−12时，−12x2+x−12=0，解得x=1，不符合题意；当Δ=1−4a2>0时，设方程ax2+x+a=0有2个根x1，x2，因为x1x2=1>0，所以x1，x2同号，即方程ax2+x+a=0有2个负根或2个正根，不符合题意．综上，a=12．所以答案是：0.5.解答题15、已知函数f(x)=log2(2x+1).（1）求不等式f(x)>1的解集；（2）若函数g(x)=log2(2x−1)(x>0)，若关于x的方程g(x)=m+f(x)在[1,2]有解，求m的取值范围.答案：（1）{x|x>0}；（2）[log213,log235].分析：（1）由f(x)>1可得2x+1>2，从而可求出不等式的解集，（2）由g(x)=m+f(x)，得m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，再由x∈[1,2]可得log2(1−22x+1)的范围，从而可求出m的取值范围（1）原不等式可化为2x+1>2，即2x>1,∴x>0，所以原不等式的解集为{x|x>0}（2）由g(x)=m+f(x)，∴m=g(x)−f(x)=log2(1−22x+1)，当1≤x≤2时，25≤22x+1≤23，13≤1−22x+1≤35，m∈[log213，log235]。

部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点总结(超全)

(名师选题)部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案知识点总结(超全)单选题1、已知函数f (x )=log a (x −b )（a >0且a ≠1，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A ．a >0，b <−1B ．a >0，−1<b <0C ．0<a <1，b <−1D ．0<a <1，−1<b <02、下列计算中结果正确的是（）A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12 C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33 3、若32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，则f (x )的另一个零点为（） A ．1B ．2C ．（1，0）D ．（2，0）4、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．695、果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h 与其采摘后时间t （天）满足的函数关系式为ℎ=m ⋅a t ．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（）A ．25天B ．30天C ．35天D ．40天6、下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A ．y =1与y =x 0B ．y =x 与y =(√x)2C ．y =2log 2x 与y =log 2x 2D ．y =ln 1+x 1−x 与y =ln (1+x )−ln (1−x )7、设f(x)=log 2(1x+a +1)是奇函数，若函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，则g(x)的值域为（）A ．(−∞,−12)∪(12,+∞)B ．(−12,12)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−2,2)8、已知0<a <1,b <−1，则函数y =a x +b 的图像必定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限多选题9、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（）．A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <010、（多选题）下列计算正确的是（）A ．√(−3)412=√−33B ．(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a a >0,b >0 C ．√√93=√33D ．已知x 2+x −2=2，则x +x −1=211、已知a ，b 均为正实数，若log a b +log b a =52，a b =b a ，则ab =（）A ．12B ．√22C ．√2D ．2填空题12、对数型函数f (x )的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．部编版高中数学必修一第四章指数函数与对数函数带答案(十三)参考答案1、答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−1<b <0，故选：D2、答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误；对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A3、答案：A分析：由32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，可得a 值，再利用韦达定理列方程解出f (x )的另一个零点．因为32是函数f (x )=2x 2−ax +3的一个零点，所以f (32)=2×(32)2−a ×32+3=0，解得a =5．设另一个零点为x 0，则x 0+32=52，解得x 0=1，所以f (x )的另一个零点为1．故选：A ．4、答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解.∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19，所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C.小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.5、答案：B分析：根据给定条件求出m 及a 10的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.依题意，{10%=m ⋅a 1020%=m ⋅a 20，解得m =120,a 10=2，当ℎ=40%时，40%=120⋅a t ，即40%=120⋅a 10⋅a t−10，解得a t−10=4=(a 10)2=a 20，于是得t −10=20，解得t =30，所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.故选：B6、答案：D分析：分别计算每个选项中两个函数的定义域和对应关系，定义域和对应关系都相同的是同一个函数，即可得正确选项.对于A ：y =1定义域为R ，y =x 0定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项A 不正确；对于B ：y =x 定义域为R ，y =(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，定义域不同不是同一个函数，故选项B 不正确；对于C ：y =2log 2x 的定义域为{x|x >0}，y =log 2x 2定义域为{x|x ≠0}，定义域不同不是同一个函数，故选项C 不正确；对于D ：由1+x 1−x >0可得(x +1)(x −1)<0，解得：−1<x <1，所以y =ln 1+x 1−x 的定义域为{x|−1<x <1}，由{1+x >01−x >0可得−1<x <1，所以函数y =ln (1+x )−ln (1−x )的定义域为{x|−1<x <1}且y =ln (1+x )−ln (1−x )=ln 1+x 1−x ，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D 正确，故选：D.7、答案：A分析：先求出f(x)的定义域，然后利用奇函数的性质求出a 的值，从而得到f(x)的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出g(x)的值域．因为f(x)=log 2(1x+a +1)，所以1x+a +1=1+x+a x+a >0可得x <−a −1或x >−a ，所以f(x)的定义域为{x|x <−a −1或x >−a}，因为f(x)是奇函数，定义域关于原点对称，所以−a −1=a ，解得a =−12，所以f(x)的定义域为(−∞,−12)∪(12,+∞)，因为函数g(x)图象与函数f(x)图象关于直线y =x 对称，所以g(x)与f(x)互为反函数，故g(x)的值域即为f(x)的定义域(−∞,−12)∪(12,+∞).故选：A .8、答案：A解析：根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.因为0<a <1，故y =a x 的图象经过第一象限和第二象限，且当x 越来越大时，图象与x 轴无限接近.因为b <−1，故y =a x 的图象向下平移超过一个单位，故y =a x +b 的图象不过第一象限.故选：A ．9、答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0．故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.10、答案：BC解析：根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.A. √(−3)412=√3412=√33，故错误；B. (a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a23+12−16b 12+13−56=−9a ，故正确； C. √√93=916=(32)16=313=√33，故正确；D. 因为x 2+x −2=(x +x −1)2−2=2，所以(x +x −1)2=4，则x +x −1=±2，故错误；故选：BC11、答案：AD分析：令t =log a b ，代入可求出t ，可得a 与b 的关系式，再代入a b =b a 即可求出a ，b 的值. 令t =log a b ，则t +1t =52，所以2t 2−5t +2=0，即(2t −1)(t −2)=0，解得t =12或t =2，即log a b =12或log a b =2，所以a =b 2或a 2=b ，因为a b =b a ，代入得2b =a =b 2或b =2a =a 2，所以a =4，b =2或a =2，b =4，所以a b =2或a b =12.故选：AD.小提示：本题主要考查了对数的运算及性质，属于中档题.12、答案：f (x )=|log 2(x +1)|（答案不唯一，满足f (x )=|log a (x +b )|，a >1，b ≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f (x )的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f (x )=|log 2(x +1)|．所以答案是：f (x )=|log 2(x +1)|（答案不唯一）。

高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）

高一数学《指数函数与对数函数》测试题（含答案解析）一、选择题：1、已知(10)xf x =，则(5)f =（））A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >¹，下列说法中，正确的是（，下列说法中，正确的是（））①若M N =则log log aa M N =； ②若loglog aaM N =则M N =；③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a aM N=。

A 、①②③④、①②③④ B 、①③、①③ C 、②④、②④ D 、②、②3、设集合2{|3,},{|1,}xS y y x R T y y x x R ==Î==-Î，则S T 是（）） A 、Æ B 、T C 、S D 、有限集、有限集 4、函数22log (1)y x x =+³的值域为（的值域为（））A 、()2,+¥B 、(),2-¥C 、[)2,+¥D 、[)3,+¥5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -æö===ç÷èø，则（，则（））A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 6、在(2)log(5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（的取值范围是（）） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++×等于（等于（））A 、0B 、1C 、2D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（表示是（））A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x=，则10x-等于（等于（）） A 、15 B 、15- C 、150 D 、16251010、若函数、若函数2(55)xy a a a =-+×是指数函数，则有（是指数函数，则有（））A 、1a =或4a =B 、1a =C 、4a =D 、0a >，且1a ¹ 11、当1a >时,在同一坐标系中, 函数xy a -=与log xa y =的图象是图中的（的图象是图中的（））12、已知1x ¹，则与x 3log 1+x 4log 1+x5log 1相等的式子是（相等的式子是（）） A 、x 60log 1 B 、3451log log log x x x ×× C 、 60log 1x D 、34512log log log x x x ×× 1313、、若函数()l o g (01)af x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（））A 、24B B、、22C C、、14D D、、121414、下图是指数函数（、下图是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =x ，（4）x y d =x的图象，则的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（的大小关系是（））A 、1a b c d <<<<B B、、1b a d c <<<<C 、1a b c d <<<<D D、、1a b d c <<<< 1515、若函数、若函数my x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，轴有公共点，则m 的取值范围是（的取值范围是（））A 、1m £-B B、、10m -£<C C、、1m ³D D、、01m <£二、填空题：1616、指数式、指数式4532-ba 化为根式是化为根式是。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a =log 2π，b =log 6π，则（） A ．a −b <0<ab B ．ab <0<a −b C ．0<ab <a −b D ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b−1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 611,00，ab >0，故排除A 、B 选项；又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.4、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0.5、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.6、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知a=ln1，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a 因为a=ln13故选：C8、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等，则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ，则△AOB ∽△CBD ，则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确；由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误；当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.11、已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16C．a12+a−12=±√5D．a32+a−32=2√5答案：AD分析：由a+1a =3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=√5，因此C不正确；∵a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=3√5−√5=2√5，因此D正确．故选：AD．填空题12、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______. 答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.13、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f(x)的大致图象，如图所示．由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17−1)=4，因为f(x)在(−∞,a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1,17]．所以答案是：[1,17]14、函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点_________ 答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题15、已知函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，求整数k的值；（3）设m>0，若对于任意x∈[1m,m]，都有g(x)<−ln(m−1)，求m的取值范围.答案：（1）f(x)=lnx；（2）k的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a的值，即可求解；（2）由（1）可得y=ln(2x2−kx)，得到2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，根据题意转化为函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g(x)的最大值g(m)，得出g(x)max<−ln(m−1)，得到m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a=0，所以函数f(x)的解析式为f(x)=lnx.（2）由（1）可知y=lnx+ln(2x−k)=ln(2x2−kx)，x∈(1,2)，令ln(2x2−kx)=0，得2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。

高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题单选题1、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A2、已知函数f(x)=log a(x−b)（a>0且a≠1，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．a>0，b<−1B．a>0，−1<b<0C．0<a<1，b<−1D．0<a<1，−1<b<0答案：D分析：根据函数图象及对数函数的性质可求解.因为函数f (x )=log a (x −b )为减函数，所以0<a <1又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以x =1+b >0，即b >−1 又因为函数图象与y 轴有交点，所以b <0，所以−14的解集为（）A ．(0,1100)B ．(1100,+∞)C ．(0,100)D ．(100,+∞) 答案：D分析：利用函数为奇函数，将不等式转化为f(lgx)>f (2)，再利用函数的单调性求解. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f (x )，又f(−2)=−2，f(2)=2，所以不等式f(lgx)−f (lg 1x )>4，可化为2f(lgx)>4=2f (2)，即f(lgx)>f (2)，又因为f(x)在(−∞,0]上单调递增，所以f(x)在R 上单调递增，所以lgx >2，解得x >100. 故选：D.4、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x⩾0时，f(x)=3x+x2+2，又y=3x，y=x2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x−1)>f(3−x)，即|2x−1|>|3−x|，解得x<−2或x>43，所以f(2x−1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞).故选：D.5、已知函f(x)=log2(√1+4x2+2x)+3，且f(m)=−5，则f(−m)=（）A．−1B．−5C．11D．13答案：C分析：令g(x)=log2(√1+4x2+2x)，则f(x)=g(x)+3，则先判断函数g(−x)+g(x)=0，进而可得f(−x)+f(x)=6，即f(m)+f(−m)=6，结合已知条件即可求f(−m)的值.令g(x)=log2(√1+4x2+2x)，则f(x)=g(x)+3，因为g(x)+g(−x)=log2(√1+4x2+2x)+log2(√1+4x2−2x)=log2(1+4x2−4x2)=0，所以f(−x)+f(x)=g(−x)+3+g(x)+3=6，则f(m)+f(−m)=6，又因为f(m)=−5，则f(−m)=11，故选：C.6、设2a=5b=m，且1a +1b=2，则m=（）A．√10B．10C．20D．100 答案：A分析：根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得1a =log m2，1b=log m5，进而结合对数的运算公式，即可求解.由2a=5b=m，可得a=log2m，b=log5m，由换底公式得1a =log m2，1b=log m5，所以1a +1b=log m2+log m5=log m10=2，又因为m>0，可得m=√10．故选：A.7、化简√a3b2√ab23(a14b12)4⋅√a3(a>0，b>0)的结果是（）A．ba B．abC．a2bD．b2a答案：B分析：直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.√a3b2√ab23(a 14b12)4⋅√ba=a32b⋅a16b13(a14b12)4⋅a−13⋅b13=a32+16−1+13b1+13−2−13=ab−1=ab故选：B8、函数y=log2(2x−x2)的单调递减区间为（）A．(1,2)B．(1,2]C．(0,1)D．[0,1)答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果由2x−x2>0，得0<x<2，令t=2x−x2，则y=log2t，t=2x−x2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减，因为y=log2t在定义域内为增函数，所以y=log2(2x−x2)的单调递减区间为(1,2)，故选：A多选题9、已知函数f(x)=|lgx|，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.10、已知函数f(x)={x2,x∈(−∞,0), lnx,x∈(0,1),−x2+4x−3,x∈[1,+∞),若函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，则实数m可以是（）A．−1B．0C．1D．2答案：ABC分析：转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象，根据图象可得解.因为函数g(x)=f(x)−m恰有2个零点，所以函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有两个交点，画出函数f(x)的图象如图：由图可知，m=1或m≤0，结合选项，因此m可以为-1，0，1．故选：ABC．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.11、已知函数f(x)=1−2x1+2x，g(x)=lg(√x2+1−x)，则（）A．函数f(x)为偶函数B．函数g(x)为奇函数C．函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0D．设F(x)=f(x)+g(x)，则F(2a)+F(−1−a)<0的解集为(1,+∞)答案：BCD分析：根据题意，利用奇偶性，单调性，依次分析选项是否正确，即可得到答案对于A：f(x)=1−2x1+2x ，定义域为R，f(−x)=1−2−x1+2−x=−1−2x1+2x=−f(x)，则f(x)为奇函数，故A错误；对于B：g(x)=lg(√x2+1−x)，定义域为R，g(−x)=lg(√(−x)2+1−(−x))=−lg(√x2+1−x)=−g(x)，则g(x)为奇函数，故B正确；对于C ：F (x )=f (x )+g (x )，f (x )，g (x )都为奇函数，则F (x )=f (x )+g (x )为奇函数，F (x )=f (x )+g (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值互为相反数，必有F (x )在区间[−1,1]上的最大值与最小值之和为0，故C 正确；对于D ：f (x )=1−2x 1+2x =−(2x +1−22x +1)=22x +1−1，则f (x )在R 上为减函数，g (x )=lg(√x 2+1−x)=√x 2+1+x，则g (x )在R 上为减函数，则F (x )=f (x )+g (x )在R 上为减函数，若F (2a )+F (−1−a )<0即F (2a )<F (1+a )，则必有2a >1+a ，解得a >1，即F (2a )+F (−1−a )<0的解集为(1,+∞)，故D 正确；故选：BCD12、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <0 答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0．故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.13、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14，则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，C 是；对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是．故选：CD 填空题14、已知0<a <1，化简：√a 43−2a +a 23=______．答案：a 13−a 23分析：根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解. 解：√a 43−2a +a 23=√(a 23−a 13)2=|a 23−a 13|，因为0<a <1，23>13，所以a 23<a 13，所以√a 43−2a +a 23=a 13−a 23．所以答案是：a 13−a 23. 15、计算：27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=_______.答案：16分析：根据指数幂的运算性质直接求解即可．27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=(33)−13−(−7)2+(44)34−13+1=13−49+64−13+1=16. 所以答案是：16．16、若f (x )=1+a3x +1(x ∈R )是奇函数，则实数a =___________.答案：−2分析：利用f(0)=0可求得a，验证可知满足题意.∵f(x)定义域为R，且f(x)为奇函数，∴f(0)=1+a2=0，解得：a=−2；当a=−2时，f(x)=1−23x+1=3x−13x+1，∴f(−x)=3−x−13−x+1=1−3x1+3x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，满足题意；综上所述：a=−2.所以答案是：−2.解答题17、已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值及f(x)的值域；（2）若f(x)在区间[−3,1]上是减函数，求a的取值范围.答案：（1）a=0，[ln3,+∞)；（2）a∈(−5,−4]解析：（1）根据偶函数的定义，求出a=0，得f(x)=ln(2x2+3)，验证定义域是否关于原点对称，求出真数的范围，再由对数函数的单调性，即可求出值域；（2）u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu，由条件可得，u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，根据二次函数的单调性，得出参数a的不等式，即可求解.解：（1）因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)，所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2−ax+3)，故a=0，此时，f(x)=ln(2x2+3)，定义域为R，符合题意.令t=2x2+3，则t⩾3，所以lnt⩾ln3，故f(x)的值域为[ln3,+∞).（2）设u(x)=2x2+ax+3,g(u)=lnu.因为f(x)在[−3,1]上是减函数，所以u(x)=2x2+ax+3在[−3,1]上是减函数，且u(x)>0在[−3,1]上恒成立，故{−a4⩾1,u(x)min =u(1)=5+a >0,解得−5<a ≤−4，即a ∈(−5,−4].小提示：本题考查函数的性质，涉及到函数的奇偶性、单调性、值域，研究函数的性质要注意定义域，属于中档题.18、定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界，已知函数f(x)=14x+a 2x+1.(1)当a ＝－1时，求函数f(x)在(－∞,0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f(x)在[0,＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．答案：(1)(1,＋∞)，函数f(x)在(－∞,0)上不是有界函数，理由见解析； (2)[－5,1].分析：（1）应用换元法及二次函数的性质求y ＝t 2－t ＋1在(1，+∞)上的值域，即知f(x)的值域，进而判断f(x)是否为有界函数.（2）将问题转化为−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立，求a 的取值范围．（1）当a ＝－1时，y ＝f(x)=(12)2x −(12)x +1 (x <0)，令t ＝(12)x ，x <0，∴t >1，y ＝t 2－t ＋1＝(t −12)2+34，∴y >1，即函数f(x)在(－∞,0)上的值域为(1,＋∞)， ∴不存在常数M >0，使得|f(x)|≤M 成立． ∴函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．（2）由题意知，|f(x)|≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立，即－3≤f(x)≤3对x ∈[0,＋∞)恒成立，令t ＝(12)x ，x ≥0，则t ∈(0,1]．∴−(t +4t)≤a ≤2t−t 对t ∈(0,1]恒成立，即[−(t +4t)]max ≤a ≤(2t−t)min .设h (t )＝−(t +4t )，p (t )＝2t −t ，t ∈(0,1]，∵h(t)在(0,1]上递增，p(t)在(0,1]上递减，∴h(t)在(0,1]上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在(0,1]上的最小值为p(1)＝1. ∴实数a的取值范围为[－5,1]．。

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数真题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数真题单选题1、设a=log2π，b=log6π，则（）A．a−b<0<ab B．ab<0<a−bC．0<ab<a−b D．0<a−b<ab答案：D分析：根据对数函数的性质可得a−b>0，ab>0，1b −1a<1，由此可判断得选项.解：因为a=log2π>log22=1，0=log61<b=log6π<log66=1，所以a>1,0<b<1，所以a−b>0，ab>0，故排除A、B选项；又1b −1a=a−bab=logπ6−logπ2=logπ3<logππ<1，且ab>0，所以0<a−b<ab，故选：D.2、若函数f(x)=x3+x2−2x−2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2−2x−2=0的一个近似根（精确度0.1）为（）．A．1.2B．1.4C．1.3D．1.5答案：B分析：根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果.解：因为f(1)<0,f(1.5)>0，所以f(1)f(1.5)<0，所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5−1=0.5>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.25)<0，所以f(1.25)f(1.5)<0，所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5−1.25=0.25>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.375)<0，所以f(1.375)f(1.5)<0，所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5−1.375=0.125>0.1，所以不满足精确度0.1；因为f(1.4375)>0，所以f(1.4375)f(1.375)<0，所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375−1.375=0.0625<0.1，所以满足精确度0.1；所以方程x 3+x 2−2x −2=0的一个近似根（精确度0.05）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B . 故选：B3、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（） A ．a 45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a 4，可得c >45.综上所述，a 0 且a ≠1)，则“a ≥3”是“f (x )在R 上单调递增”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析：先由f(x)在R 上单调递增求得a 的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得. 若f(x)在R 上单调递增，则{a >1a −1>0a +1≥3 ，所以a ≥2，由“a ≥3”可推出“a ≥2”，但由“a ≥2”推不出 “a ≥3”，所以“a ≥3”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（） A ．a >0>b B ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(10)>f(8)，即a>b，又因为f(9)=9log910−10=0，所以a>0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用a,b的形式构造函数f(x)=x m−x−1(x>1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.7、已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，则log z m 的值为（） A ．160B ．60C ．2003D ．320答案：B分析：根据换底公式将log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，化为log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解. 解：因为log x m =24，log y m =40，log xyz m =12，所以log m x =124，log m y =140，log m xyz =112，即log m x +log m y +log m z =112，∴log m x =112−log m y −log m z =112−124−140=160， ∴log z m =60．故选：B ．8、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍.对于D，f(x)=√x3为R上的增函数，符合题意，故选：D.9、已知函数f(x)={a x,x<0(a−3)x+4a,x≥0满足对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则a的取值范围为（）A．(0,14]B．(0，1)C．[14,1)D．(0，3)答案：A分析：根据给定不等式可得函数f(x)为减函数，再利用分段函数单调性列出限制条件求解即得.因对任意x1≠x2，都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，不妨令x1<x2，则f(x1)>f(x2)，于是可得f(x)为R上的减函数，则函数y=a x在(−∞,0)上是减函数，有0<a<1，函数y=(a−3)x+4a在[0,+∞)上是减函数，有a−3<0，即a<3，并且满足：a0≥f(0)，即4a≤1，解和a≤14，综上得0<a≤14，所以a的取值范围为(0,14].故选：A10、如图所示，函数y=|2x−2|的图像是（）A．B．C．D．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x=1及x≠1时的函数值即可得解.∵y=|2x−2|={2x−2,x≥12−2x,x<1，∴x=1时，y=0,x≠1时，y>0. 故选：B.填空题11、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2=(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2=(1+1232)×(1−1232)×2=(1−1264)×2=2−1263所以答案是：2−1263﹒12、不等式log4x≤12的解集为___________.答案：(0,2]分析：根据对数函数的单调性解不等式即可. 由题设，可得：log 4x ≤log 4412，则0<x ≤412=2， ∴不等式解集为(0,2]. 所以答案是：(0,2].13、在用二分法求函数f (x )的零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可）答案：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．分析：根据二分法的概念，可求得结果．第一次所取区间为[−2,6]，则第二次所取区间可能是[−2,2]，[2,6]；第三次所取区间可能是[−2,0]，[0,2]，[2,4]，[4,6]．所以答案是：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．14、设函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0，若关于x 的方程f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______．答案：(2√2,3)分析：作出函数f(x)的图象，令f(x)=t ，结合图象可得，方程t 2−at +2=0在(1,2]内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；作出函数f(x)={2x +1,x ≤0|lgx |,x >0的大致图象，令f (x )=t ，因为f 2(x )−af (x )+2=0恰有6个不同的实数解，所以g (t )=t 2−at +2=0在区间(1,2]上有2个不同的实数解，∴{Δ=a 2−8>01<a2<2g (1)=3−a >0g (2)=6−2a ≥0 ，解得2√2<a <3，∴实数a 的取值范围为(2√2,3)．所以答案是：(2√2,3)．15、函数y =log a (kx −5)+b （a >0且a ≠1）恒过定点(2,2)，则k +b =______．答案：5分析：根据对数函数的图象与性质，列出方程组，即可求解. 由题意，函数y =log a (kx −5)+b 恒过定点(2,2)，可得{2k −5=1b =2 ，解得k =3,b =2，所以k +b =3+2=5.所以答案是：5. 解答题16、（1）计算：(1100)−12−√(1−√2)2−8×(√5−√3)0+816；（2）已知x +x −1=4，求x 12+x −12．答案：（1）3；（2）x 12+x −12=√6.分析：（1）根据指数幂的运算法则进行计算，求得答案；（2）先判断出x >0，然后将x 12+x −12平方后结合条件求得答案. （1）原式=[(100)−1]−12−(√2−1)−8+(23)16，=10012−√2+1−8+212=10+1−8=3．（2）由于x +x−1=4>0，所以x >0，(x 12+x −12)2=x +x −1+2=6，所以x 12+x −12=√6．17、（1）证明对数换底公式：log b N =log a N log a b（其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，N >0）（2）已知log 32=m ，试用m 表示log 3218. 答案：（1）证明见解析；（2）log 3218=2+m 5m.分析：（1）将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. （2）利用换底公式将等号左边化为以3为底的对数，然后根据对数运算法则化简即得. （1）设log b N =x ，写成指数式b x =N . 两边取以a 为底的对数，得xlog a b =log a N .因为b >0，b ≠1，log a b ≠0，因此上式两边可除以log a b ，得x =log a N log a b.所以，log b N =log a N log a b.（2）log 3218=log 318log 332=log 332+log 32log 325=2+log 325log 32=2+m 5m.小提示：本题考查换底公式的证明和应用，属基础题，关键是将对数式转化为指数式，然后两边取对数，利用对数函数的应算法则，即可证明. 18、已知函数f (x )＝a x −1a x +1(a ＞0，且a ≠1)．（1）若f (2)＝35，求f (x )解析式；（2）讨论f (x )奇偶性．答案：（1）f (x )=2x −12x +1；（2）奇函数．分析：（1）根据f (2)=35，求函数的解析式；（2）化简f (−x )，再判断函数的奇偶性. 解：（1）∵f (x )=a x −1a x +1，f (2)=35．即a 2−1a 2+1=35，∴a =2．即f (x )=2x −12x +1．（2）因为f (x )的定义域为R ，且f (−x )=a −x −1a −x +1=1−a x1+a x =−f (x )，所以f (x )是奇函数．19、如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？答案：(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.分析：（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则BC =(50−2x)m ，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得S =x(50−2x)，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则BC =(50−2x)m ，由题意得，x(50−2x)=300，解得x 1=15,x 2=10，∵50−2x ≤25，∴x ≥12.5，∴x=15，所以，AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，S=x(50−2x)=−2x2+50x=−2(x−12.5)2+312.5,12.5≤x<25∴x=12.5时，S取得最大值，此时，S=312.5，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设全集为R，函数f(x)=0√2−x的定义域为M，则∁RM=( )A．{x∣ x≥2}B．{x∣ x<2且x≠−1}C．{x∣ x≥2或x=−1}D．{x∣ x>2或x=−1}2.设α∈{−1,1,12,3}，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( ) A．1，3B．−1，1C．−1，3D．−1，1，33.若函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( )A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<04.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，则mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8125.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数，且f(x)⋅f(f(x)+1x)=1，则f(1)等于( )A．1+√52B．1−√52C．1+√52或1−√52D．√56.定义在R上的函数f(x)满足：f(x−2)的对称轴为x=2，f(x+1)=4f(x)(f(x)≠0)，且f(x)在区间(1,2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )A．f(sinα)>f(cosβ)B．f(sinα)<f(cosβ)C．f(sinα)=f(cosβ)D．以上情况均有可能7.已知函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，下列说法一定正确的是( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数8.已知函数y=f(x)的定义域为[−6,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( ) A．(−∞,−2)∪(−2,3]B．[−11,3]C．[−72,−2]D．[−72,−2)∪(−2,0]9.已知R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式f(x)≤0的解集为( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]∪[0,2]C．(−∞,−2]∪[2,+∞)D．[−2,0]∪[2,+∞)10.已知函数f(x)=−x2+4x+a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为( )A．−1B．0C．1D．2二、填空题（共6题）11.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a−1,a+1]，都有y∈[b−1,b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上，若函数y=−12x2是点B的“界函数”，则m的取值范围是．12.已知f(x)=x3+3x，x∈R，且f(a−2)+f(a2)<0，则实数a的取值范围是．13.设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，g(x)=x2⋅f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是．14.若函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得．15.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f(a+1)≤f(4)，则实数a的取值范围是．16.若函数y=a∣x−b∣+2在区间(0,+∞)上是增函数，则实数a，b满足的条件为．三、解答题（共6题）17.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域．18.中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98∘C的水在19∘C室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：∘C）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值．（精确到0.01）(2) “碧螺春”用75∘C左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200ml水煮沸后在19∘C室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A．5B．7C．1019.解答下列问题：(1) 函数的积的定义：一般地，已知两个函数y=f(x)（x∈D1），y=g(x)（x∈D2），设D=D1∩D2，并且D不是空集，那么当x∈D时，y=f(x)与y=g(x)都有意义．于是把函数叫做函数y=f(x)与y=g(x)的积．(2) 如何研究和函数与积函数．20.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．21.对于函数y=f(x)与常数a，b，若f(2x)=af(x)+b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”，设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(1)=3．(1) 若(a,b)是f(x)的一个“P数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a，b的值；(2) 若(1,1)是f(x)的一个“P数对”，且f(x)在[1,2]上单调递增，求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值；(3) 若(−2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x∈[1,2)时，f(x)=k−∣2x−3∣，求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值．22.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意得{x+1≠0,2−x>0,解得x<2且x≠−1，所以M={x∣ x<2且x≠−1}，故∁RM={x∣ x≥2或x=−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法2. 【答案】A【解析】当α=−1,1,3时幂函数为奇函数，当α=−1时定义域不是R，所以α=1,3．【知识点】幂函数及其性质3. 【答案】A【解析】因为y在[0,+∞)上为单调函数，所以x=−b2≤0，即b≥0．【知识点】函数的单调性4. 【答案】B【解析】m≠2时，抛物线的对称轴为x=−n−8m−2．据题意，当m>2时，−n−8m−2≥2即2m+n≤12．因为√2m⋅n≤2m+n2≤6，所以mn≤18．由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．当m<2时，抛物线开口向下，据题意得，−n−8m−2≤12即m+2n≤18．因为√2n⋅m≤2n+m2≤9，所以mn≤812．由2n=m且m+2n=18得m=9>2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2,n>8)．所以mn=(18−2n)n<(18−2×8)×8=16，所以最大值为18．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值5. 【答案】B【解析】令x=1，得f(1)f(f(1)+1)=1，令t=f(1)，则tf(t+1)=1，所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1，所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数，所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0，解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1，令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1，所以 f (s +12)=1s ，令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1sf (1s+22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)．所以 1s +22s+1=2，所以 4s 2−2s −1=0，解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)，所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性6. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性7. 【答案】C【解析】方法一：对任意的x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，取x1=x2=0得f(0)=−1，取x1=x，x2=−x得，f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+1=−f(−x)=−[f(−x)+1]，所以f(x)+1为奇函数．方法二：由已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，设x1=x2=0，则f(0)=2f(0)+1，解得：f(0)=−1，又设x1=x，x2=−x，则x1+x2=x−x=0，所以f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+f(−x)+1+1=0，所以[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，由奇函数定义可知，f(x)+1为奇函数．【知识点】抽象函数、函数的奇偶性8. 【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为[−6,1]，所以−6≤x≤1，，因为g(x)=f(2x+1)x+2所以−6≤2x+1≤1且x≠−2，≤x≤0且x≠−2，所以−72,−2)∪(−2,0]．所以x∈[−72【知识点】函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为函数在(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，所以当x∈(−∞,−2]时，f(x)≤0；当x∈(−2,0)时，f(x)>0．又函数是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，f(0)=0，且f(2)=0，所以当x∈(0,2]时，f(x)≤0；当x∈(2,+∞)时，f(x)>0．所以f(x)≤0的解集是(−∞,−2]∪[0,2]．故选B．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数f(x)=−x2+4x+a的图象开口向下，对称轴为直线x=2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)=−2，即a=−2，于是最大值为f(1)=−1+4−2=1．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共6题）11. 【答案】[−12,1 2 ]【解析】B(m,n)在y=−12x2上，所以n=−12m2，所以∀x∈[m−1,m+1]，都有y∈[−12m2−1,12m2+1]，即都有y max≤12m2+1，y min≥12m2−1，所以下面讨论13x∈[m−1,m+1]时，y的最值，① m≤−1时，m+1≤0，所以单调减，所以y max=−12(m+1)2，y min=−12(m−1)2，所以{−12(m+1)2≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,无解．② −1<m≤0时，0<m+1≤1，−2<m−1≤−1，所以y max=0，y min=−12(m−1)2(取不到)，所以{0≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,所以−12≤m≤0．③ 0<m≤1时，1<m+1≤2，−1<m−1≤0，所以y max=0，y min=−12(m+1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 (−2,1)【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 [0,1)【解析】由题意知 g (x )={x 2,x >10,x =1−x 2,x <1，函数图象如图所示，其递减区间是 [0,1)．【知识点】函数的单调性14. 【答案】端点【知识点】函数的最大（小）值15. 【答案】 [−5,3]【解析】函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数，可得 f (x )=f (∣x ∣)，则f(a+1)≤f(4)，即为f(∣a+1∣)≤f(4)，可得∣a+1∣≤4，即−4≤a+1≤4，解得−5≤a≤3，则实数a的取值范围是[−5,3]．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】a>0，b≤0【知识点】函数的单调性三、解答题（共6题）17. 【答案】AB=2x，CD⏜=πx,于是AD=1−2x−πx2,因此y=2x⋅1−2x−πx2+πx22,即y=−π+42x2+x,由{2x>0,1−2x−πx2>0,得0<x<1π+2,函数的定义域为(0,1π+2)【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用18. 【答案】(1) 由θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt得e−kt=θ−θ0θ1−θ0，即−kt=lnθ−θ0θ1−θ0，t=1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为θ0=19∘C，选取从θ=98∘C下降到θ=90∘C所用时间约为2分钟这组数据有2=1k ln7971，即k=ln79−ln712≈0.05；选取从θ=98∘C降到θ=85∘C期时间的为3.4分钟这组数据有3.4=1k ln7966，即k=ln79−ln663.4≈0.05；选取从们θ=98∘C得到θ=80∘C所期时的为5分钟这组数据有5=1k ln7961，即k=ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05．(2) B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ．理由如下：由（1）得 t =20ln 79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) y =f (x )⋅g (x )（x ∈D ）(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域，然后化简整理和（积）函数的解析式，结合解析式研究函数的性质．【知识点】函数的相关概念20. 【答案】根据幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1．当 m =2 时，f (x )=x 3 在 (0,+∞) 上是增函数；当 m =−1 时，f (x )=x −3 在 (0,+∞) 上是减函数，不符合要求．故 f (x )=x 3．【知识点】幂函数及其性质21. 【答案】(1) 由题意知 {af (1)+b =f (2),af (2)+b =f (4).即 {3a +b =6,6a +b =9.解得 {a =1,b =3.(2) 因为 (1,1) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=f (x )+1，所以 f (2)=f (1)+1=4，f (4)=f (2)+1=5，f (8)=f (4)+1=6．因为 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增，所以当 x ∈[1,2] 时，f (x )max =f (2)=4，f (x )min =f (1)=3，所以当 x ∈[1,2] 时，3≤f (x )≤4；当 x ∈[2,4] 时，x 2∈[1,2]，3≤f (x 2)≤4，所以 4≤f (x )=f (x 2)+1≤5；当 x ∈[4,8] 时，x 2∈[2,4]，4≤f (x 2)≤5，所以 5≤f (x )=f (x 2)+1≤6．综上，当 x ∈[1,8] 时，3≤f (x )≤6．故 f (x ) 在 [1,8] 上的最大值为 6，最小值为 3．(3) 当 x ∈[1,2) 时，f (x )=k−∣2x −3∣，令 x =1，可得 f (1)=k −1=3，解得 k =4，所以 x ∈[1,2) 时，f (x )=4−∣2x −3∣，故 f (x ) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4]．又 (−2,0) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=−2f (x ) 恒成立，当 x ∈[2k−1,2k )(k ∈N +) 时，x 2k−1∈[1,2)，f (x )=−2f (x 2)=4f (x 4)=⋯=(−2)k−1⋅f (x 2k−1)，故 k 为奇数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [3×2k−1,2k+1]；当 k 为偶数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [−2k+1,−3×2k−1]．所以当 n =1 时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 4，最小值为 3；当 n 为不小于 3 的奇数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n+1，最小值为 −2n ；当 n 为不小于 2 的偶数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 −2n+1．【知识点】函数的最大（小）值、抽象函数22. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0,得 0<x <150 . 设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30，因为 0<x <150，所以 150−x >0，所以 P =−[(150−x )+100150−x ]+120，又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20，当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立，所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。

高中数学第四章指数函数与对数函数 4.4 对数函数一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念及图像与性质考点1对数函数的概念1.(2019·某某某某一中高一期中)与函数y =10lg(x -1)相等的函数是()。

A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1 答案:A 解析:y =10lg(x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -12=x -1(x >1),故选A 。

2.(2019·某某公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是()。

A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B 答案:D解析:由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R},所以A ⊆B 。

3.(2019·某某南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为()。

A.lg101B.1 C.2D.0 答案:C解析:f (f (10))=f (lg10)=f (1)=12+1=2。

4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是()。

A.y =log a (2x )B.y =lg10xC.y =log a (x 2+x )D.y =ln x 答案:D解析:由对数函数的定义,知D 正确。

5.(2019·某某调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)=。

答案:43解析:设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a 2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=log √2√43=log 2(√43)2=log 2243=43。

6.(2019·某某中原油田一中月考)已知函数f (x )=log 3x ,则f (√3)=。

高中数学-- 指数函数与对数函数复习总结与检测(解析版)

第四章指数函数与对数函数复习总结与检测知识点1：根式1．根式及相关概念（1）a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.（2）a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n为奇数na Rn为偶数±na[0，＋∞)（3）根式：式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2．根式的性质(n>1，且n∈N*)（1）n为奇数时，na n＝a.（2）n为偶数时，na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a，a≥0，－a，a<0.（3）n0＝0.（4）负数没有偶次方根．知识归纳知识点2：指数幂及运算1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：n ma＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：nma ＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2．有理数指数幂的运算性质（1）a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)．（2）(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)．（3）(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．知识点3：指数函数的概念、图象与性质1．指数函数的概念一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.2．指数函数的图象和性质a的范围a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性函数y＝a x与y＝a－x的图象关于y轴对称知识点4：对数的概念1．对数（1）指数式与对数式的互化及有关概念：（2）底数a 的范围是a >0，且a ≠1. 2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质（1）负数和零没有对数．（2）log a 1＝0(a >0，且a ≠1)．（3）log a a ＝1(a >0，且a ≠1)．知识点5：对数的运算1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：（1）log a (MN )＝log a M ＋log a N ；（2）log a MN ＝log a M －log a N ；（3）log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．对数的换底公式若a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0，则有log a b ＝log c blog c a .知识点6：对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象及性质(0，＋∞)3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数．知识点7：三种函数模型的性质知识点8：函数的零点与方程的解1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)＝0有实数根∈函数y＝f(x)的图象与x轴有交点∈函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．知识点9：用二分法求方程的近似解1．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.（2）求区间(a，b)的中点c.（3）计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：∈ 若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；∈ 若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；∈ 若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.（4）判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．知识点10：函数模型的应用1．常用函数模型常用函数模型（1）一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)（2）二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)（3）指数函数模型y＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)（4）对数函数模型y＝m log a x＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)（5）幂函数模型y＝ax n＋b(a，b为常数，a≠0)（6）分段函数模型y＝⎩⎪⎨⎪⎧ax＋b(x<m)，cx＋d(x≥m)2.建立函数模型解决问题的基本过程题型1：指数与对数的运算【例1】计算：（1）2log32－log3329＋log38－5log53；（2）1.5－⎪⎭⎫⎝⎛-⨯67310＋80.25×42＋(32×3)6－⎝⎛⎭⎫－2323.【解析】(1)原式＝log322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝⎝⎛⎭⎫2313＋234×214＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313＝21＋4×27＝110.【方法技巧】题型讲解指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.【针对训练】1．设3x ＝4y ＝36，则2x ＋1y 的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．1【解析】D 由3x ＝4y ＝36得x ＝log 336，y ＝log 436， ∈2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364＝log 3636＝1.题型2：指数函数、对数函数的图象及应用【例2】（1）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是( )A B C D（2）已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x⎪⎭⎫ ⎝⎛21∈ 如图，画出函数f (x )的图象；∈ 根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．【解析】(1)B 由已知函数图象可得，log a 3＝1，所以a ＝3.A 项，函数解析式为y ＝3－x，在R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为y ＝(－x )3＝－x 3，当x >0时，y <0，这与图象不符；D 项中函数解析式为y ＝log 3(－x )，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为y ＝x 3，与图象相符．故选B.](2)[解] ∈先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．∈函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]．【方法技巧】1．识别函数的图象从以下几个方面入手：（1）单调性：函数图象的变化趋势；（2）奇偶性：函数图象的对称性；（3）特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a 0＝1，log a 1＝0.【针对训练】2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1,1)B ．(1,0)C ．(2,1)D ．(2,0)【解析】C 把y ＝log 12x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y ＝1＋log 12(x －1)的图象，故其经过点(2,1)．题型3：比较大小【例3】若0<x <y <1，则( )A ．3y <3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4y D.yx ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛4141【解析】C 因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x 在R 上单调递增，故3x <3y ，A 错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，B 错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，C 正确．对于D ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x在R 上单调递减，故⎝⎛⎭⎫14x>⎝⎛⎭⎫14y，D 错误．【方法技巧】1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．【针对训练】3．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >a【解析】C ∈a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π<log 121＝0，c ＝π－2＝1π2，即0<c <1，∈a >c >b ，故选C.题型4：指数函数、对数函数的性质【例4】（1）设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数（2）已知a >0，a ≠1且log a 3>log a 2，若函数f (x )＝log a x 在区间[a,3a ]上的最大值与最小值之差为1.∈ 求a 的值；∈ 若1≤x ≤3，求函数y ＝(log a x )2－log a x ＋2的值域．【解析】(1)A [由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0,1)上为增函数，故f (x )在(0,1)上为增函数．](2)[解] ∈因为log a 3>log a 2，所以f (x )＝log a x 在[a,3a ]上为增函数．又f (x )在[a,3a ]上的最大值与最小值之差为1，所以log a (3a )－log a a ＝1，即log a 3＝1，所以a ＝3. ∈函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2＝(log 3x )2－12log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 3x －142＋3116. 令t ＝log 3x ，因为1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，即0≤t ≤1.所以y ＝⎝⎛⎭⎫t －142＋3116∈⎣⎡⎦⎤3116，52，所以所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤3116，52.【方法技巧】1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u ＝log a x 或u ＝a x ，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u 的取值范围．题型5：函数的应用【例5】一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减．（1）求t 年后，这种放射性元素的质量w 的表达式；（2）由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．【解析】 (1)最初的质量为500 g. 经过1年，w ＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w ＝500×0.92；由此推知，t 年后，w ＝500×0.9t . (2)由题意得500×0.9t ＝250，即0．9t ＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得 lg 0.9t ＝lg 0.5，即t lg 0.9＝lg 0.5，所以t ＝lg 0.5lg 0.9≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．【方法技巧】指数函数模型的应用在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示.通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.【针对训练】4．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【解析】设过滤n 次能使产品达到市场要求，依题意，得2100×⎝⎛⎭⎫23n≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n≤120. 则n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，故n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，考虑到n ∈N ，故n ≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求．指数函数与对数函数(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a <12，则化简4(2a －1)2的结果是( )A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2aD ．－1－2a【解析】C ∈a <12，∈2a －1<0.于是，原式＝4(1－2a )2＝1－2a . 2．计算：log 225·log 522＝( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 章节检测【解析】A log 225·log 522＝lg 25lg 2·lg 22lg 5＝2lg 5·lg 232lg 2·lg 5＝2×32＝3.3．函数y ＝x －1·ln(2－x )的定义域为( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2]D ．[1,2]【解析】B 要使解析式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2－x >0，解得1≤x <2，所以所求函数的定义域为[1,2)．4．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是( ) A ．y ＝x 12 B ．y ＝x 4 C ．y ＝x －2D ．y ＝31x【解析】B 对A ，y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，不是偶函数；C 中，y ＝x －2不过(0,0)点，D 中，y ＝31x 是奇函数，B 中，y ＝x 4满足条件．5．函数f (x )＝21x －x⎪⎭⎫⎝⎛21的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】B 令f (x )＝0，可得x 12＝⎝⎛⎭⎫12x，在同一平面直角坐标系中分别画出幂函数y ＝x 12和指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数f (x )的零点只有一个．6．若log a 3＝m ，log a 5＝n ，则a 2m ＋n的值是( ) A ．15 B ．75 C ．45D ．225【解析】C 由log a 3＝m ，得a m ＝3，由log a 5＝n ，得a n ＝5， ∈a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝32×5＝45.7．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】D 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称．∈f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∈f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称．8．若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎪⎭⎫ ⎝⎛210，C. ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D ．(0,1)∈(1，＋∞)【解析】C 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a . 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∈a >12，综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 9．已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >bD ．c >a >b【解析】C c ＝5log 3103，只需比较log 23.4，log 43.6，log 3103的大小，又0<log 43.6<1，log 23.4>log 33.4>log 3103>1，所以a >c >b .10．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( ) A ．f (－4)＝f (1) B ．f (－4)>f (1) C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定【解析】B 因为函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a >1，又函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的图象关于直线x ＝－1对称，所以f (－4)>f (1)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2) B.⎝⎛⎦⎤－∞，138 C ．(－∞，2]D.⎣⎡⎭⎫138，2【解析】B [由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138，选B. 12．函数f (x )＝ax 5－bx ＋1，若f (lg(log 510))＝5，则f (lg(lg 5))的值为( ) A ．－3 B ．5 C ．－5D ．－9【解析】A lg(log 510)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 5＝－lg(lg 5)，设t ＝lg(lg 5)，则f (lg(log 510))＝f (－t )＝5. 因为f (x )＝ax 5－bx ＋1，所以f (－t )＝－at 5＋bt ＋1＝5，则f (t )＝at 5－bt ＋1，两式相加得f (t )＋5＝2，则f (t )＝2－5＝－3，即f (lg(lg 5)的值为－3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝a x －1＋3的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．【解析】(1,4) 由于函数y ＝a x 恒过(0,1)，而y ＝a x －1＋3的图象可看作由y ＝a x 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，则P 点坐标为(1,4)．14．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个涨价1元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品日销售价应定为每个________元．【解析】14 设每个涨价x 元，则实际销售价为10＋x 元，销售的个数为100－10x ，则利润为y ＝(10＋x )(100－10x )－8(100－10x )＝－10(x －4)2＋360(0≤x <10，x ∈N )．因此，当x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．15．若f (x )＝a ·2x ＋2a －12x ＋1为R 上的奇函数，则实数a 的值为________．【解析】13 因为f (x )＝a ·2x ＋2a －12x ＋1为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a ·20＋2a －120＋1＝0，所以a ＝13.16．已知125x ＝12.5y ＝1 000，则y －xxy＝________.【解析】13 因为125x ＝12.5y ＝1 000，所以x ＝log 125 1 000，y ＝log 12.5 1 000，y －x xy ＝1x －1y ＝log 1 000 125－log 1 000 12.5＝log 1 00012512.5＝log 1 000 10＝13.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求值： (1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2； (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52.【解析】(1)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2 ＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2＝32－1－⎝⎛⎭⎫32－2＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1－49＋49＝12. (2)log 2512·log 45－log 133－log 24＋5log 52＝－14＋1－2＋2＝34.18．(本小题满分12分)已知指数函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)过点(－2,9)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若f (2m －1)－f (m ＋3)<0，求实数m 的取值范围．【解析】(1)将点(－2,9)代入f (x )＝a x (a >0，a ≠1)得a －2＝9，解得a ＝13，∈f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x . (2)∈f (2m －1)－f (m ＋3)<0， ∈f (2m －1)<f (m ＋3)． ∈f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 为减函数， ∈2m －1>m ＋3，解得m >4， ∈实数m 的取值范围为(4，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，求实数a 的取值范围．【解析】如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．所以实数a 的取值范围是(1，＋∞)．20．(本小题满分12分)已知1≤x ≤4，求函数f (x )＝log 2x 4·log 2x2的最大值与最小值．【解析】 ∈f (x )＝log 2x 4·log 2x2＝(log 2x －2)(log 2x －1) ＝⎝⎛⎭⎫log 2x －322－14，又∈1≤x ≤4，∈0≤log 2x ≤2，∈当log 2x ＝32，即x ＝232＝22时，f (x )有最小值－14.当log 2x ＝0时，f (x )有最大值2，此时x ＝1. 即函数f (x )的最大值是2，最小值是－14.21．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A 万元，则超出部分按2log 5(A ＋1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)．(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？【解析】(1)由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ，0<x ≤15，1.5＋2log 5x －14，x >15.(2)∈当x ∈(0,15]时，0.1x ≤1.5，又y ＝5.5>1.5，∈x >15， ∈1.5＋2log 5(x －14)＝5.5，解得x ＝39.答：老张的销售利润是39万元． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x .(1)求证：f (x )是奇函数； (2)求证：f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；(3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，求f (a )，f (b )的值．【解析】(1)证明：由函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ，可得1－x 1＋x >0，即x －11＋x <0，解得－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)，关于原点对称．再根据f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，可得f (x )是奇函数．(2)证明：f (x )＋f (y )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1－y 1＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝lg1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy ＝lg1＋xy －x －y 1＋xy ＋x ＋y ＝lg (1－x )(1－y )(1＋x )(1＋y )，∈f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立．(3)若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 1－ab ＝2，则由(2)可得f (a )＋f (b )＝1，f (a )－f (b )＝2，解得f (a )＝32，f (b )＝－12.。

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、已知a=lg2，10b=3，则log56=（）A．a+b1+a B．a+b1−aC．a−b1+aD．a−b1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a=lg2,0b=3，∴b=lg3，∴log56=lg6lg5=lg2×3lg102=lg2+lg31−lg2=a+b1−a．故选：B．2、函数f(x)=|x|⋅22−|x|在区间[−2,2]上的图象可能是（）A．B．C．D．答案：C分析：首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；解：∵f(−x)=|x|⋅22−|x|=f(x)，∴f(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f(1)=2=f(2)，∴f(x)在[0,2]上不单调，排除D选项．故选：C3、式子√m⋅√m 43√m 56m >0)的计算结果为（）A ．1B ．m 120C ．m 512D ．m 答案：D分析：由指数运算法则直接计算可得结果.√m⋅√m 43√m 56=m 12⋅m 43m 56=m 12+43−56=m .故选：D.4、若f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，实数a 的取值范围是（）A ．[1,5]B ．[32,5) C ．(32,5)D ．(1,5) 答案：B分析：由题意得{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解不等式组可求得答案因为f(x)={(6−a)x −a,x <1log a x +3,x ≥1是定义在R 上的增函数，所以{6−a >1a >1log a 1+3≥(6−a)−a ，解得32≤a <5，故选：B5、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3，即函数的定义域是(−1,3].故选：C.6、下列函数中是增函数的为（）A ．f (x )=−xB ．f (x )=(23)xC ．f (x )=x 2D ．f (x )=√x 3答案：D分析：根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 对于A ，f (x )=−x 为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，f (x )=(23)x为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，f (x )=x 2在(−∞,0)为减函数，不合题意，舍. 对于D ，f (x )=√x 3为R 上的增函数，符合题意，故选：D.7、下列计算中结果正确的是（） A ．log 102+log 105=1B ．log 46log 43=log 42=12C ．(log 515)3=3log 515=−3D ．13log 28=√log 283=√33答案：A分析：直接根据对数的运算性质及换底公式计算可得；解：对于A ：log 102+log 105=log 10(2×5)=log 1010=1，故A 正确；对于B ：log 46log 43=log 36，故B 错误；对于C ：(log 515)3=(log 55−1)3=(−log 55)3=−1，故C 错误；对于D ：13log 28=13log 223=13×3log 22=1，故D 错误；故选：A8、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956) （）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg lg 1.010.99=lg lg 10199=2lg−lg≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ．多选题9、已知函数f(x)=1−2x 1+2x，则下面几个结论正确的有（）A ．f(x)的图象关于原点对称B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)的值域为(−1,1)D ．∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2,f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0恒成立答案：ACD分析：利用奇函数的定义和性质可判断AB 的正误，利用参数分离和指数函数的性质可判断CD 的正误. 对于A ，f(x)=1−2x1+2x ，则f(−x)=1−2−x1+2−x =2x −11+2x =−f(x)，则f(x)为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确.对于B ，计算f(1)=−13，f(−1)=13≠f(1)，故f(x)的图象不关于y 轴对称，故B 错误. 对于C ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，1+2x =t,t ∈(1,+∞)，故y =f(x)=−1+2t ，易知：−1+2t ∈(−1,1)，故f(x)的值域为(−1,1),故C 正确. 对于D ，f(x)=1−2x1+2x =−1+21+2x ，因为y =1+2x 在R 上为增函数，y =−1+21+t 为(1,+∞)上的减函数，由复合函数的单调性的判断法则可得f (x )在R 上单调递减，故∀x 1,x 2∈R ，且x 1≠x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，故D 正确.故选：ACD.小提示：方法点睛：复合函数的单调性的研究，往往需要将其转化为简单函数的复合，通过内外函数的单调性结合“同增异减”的原则来判断.10、设函数f (x )=ax 2+bx +c (a,b,c ∈R,a >0)，则下列说法正确的是（） A ．若f (x )=x 有实根，则方程f(f (x ))=x 有实根 B ．若f (x )=x 无实根，则方程f(f (x ))=x 无实根 C ．若f (−b 2a)<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2个零点D ．若f (f (−b 2a))<0，则函数y =f (x )与y =f(f (x ))都恰有2零点答案：ABD分析：直接利用代入法可判断A 选项的正误；推导出f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，结合该不等式可判断B 选项的正误；取f (x )=x 2−x ，结合方程思想可判断C 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断D 选项的正误.对于A 选项，设f (x )=x 有实根x =x 0，则f(f (x 0))=f (x 0)=x 0，A 选项正确；对于B 选项，因为a >0，若方程f (x )=x 无实根，则f (x )−x >0对任意的x ∈R 恒成立，故f(f (x ))>f (x )>x ，从而方程f(f (x ))=x 无实根，B 选项正确；对于C 选项，取f (x )=x 2−x ，则f (12)=−14<0，函数y =f (x )有两个零点，则f(f (x ))=[f (x )]2−f (x )=0，可得f (x )=0或f (x )=1，即x 2−x =0或x 2−x =1. 解方程x 2−x =0可得x =0或1，解方程x 2−x −1=0，解得x =1±√52. 此时，函数y =f(f (x ))有4个零点，C 选项错误；对于D 选项，因为f (f (−b2a ))<0，设t =f (−b2a )，则t =f (x )min ，因为f (t )<0且a >0，所以，函数f (x )必有两个零点，设为x 1、x 2且x 1<x 2，则x 1<t <x 2，所以，方程f (x )=x 1无解，方程f (x )=x 2有两解，因此，若f(f(−b))<0，则函数y=f(x)与y=f(f(x))都恰有2零点，D选项正确.2a故选：ABD.小提示：思路点睛：对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；（2）确定外层函数y=f(u)的零点u=u i(i=1,2,3,⋯,n)；（3）确定直线u=u i(i=1,2,3,⋯,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1、a2、a3、⋯、a n，则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+⋯+a n.11、(多选题)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km 但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）A．出租车行驶4km，乘客需付费9.6元B．出租车行驶10km，乘客需付费25.45元C．某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km答案：BCD分析：根据题意分别计算各个选项的情况，即可得答案.对于A选项：出租车行驶4km，乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元，故A错误；对于B选项：出租车行驶10 km，乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元，故B正确；对于C选项：乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，故C正确；对于D选项：设出租车行驶x km时，付费y元，由8+5×2.15+1=19.75<22.6，知x>8，因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9，故D正确.故选：BCD.小提示：本题考查函数模型的应用，解题要点为认真审题，根据题意逐一分析选项即可，属基础题.12、若log2m=log4n，则（）A．n=2m B．log9n=log3mC．lnn=2lnm D．log2m=log8(mn)答案：BCD分析：利用对数运算化简已知条件，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.依题意log2m=log4n，所以m>0,n>0,log2m=log22n=12log2n=log2n12，所以m=n 12,m2=n，A选项错误.log9n=log32m2=22log3m=log3m，B选项正确.lnn=lnm2=2lnm，C选项正确.log8(mn)=log23m3=33log2m=log2m，D选项正确.故选：BCD13、在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（）A．y=﹣2x B．y=x﹣6C．y=3xD．y=x2﹣3x+4答案：ACD分析：横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，依次计算即可.横纵坐标相等的函数即y=x，与y=x有交点即存在完美点，对于A,{y=xy=−2x，解得{x=0y=0，即存在完美点(0,0)，对于B,{y=xy=x−6，无解，即不存在完美点，对于C,{y=xy=3x，解得{x=√3y=√3或{x=−√3y=−√3，即存在完美点(√3,√3)，(−√3,−√3)对于D,{y=xy=x2−3x+4，x2−3x+4=x,即x2−4x+4=0，解得x=2，即存在完美点(2,2).故选：ACD.填空题14、化简(√a−1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=________.答案：a-1分析：根据根式的性质即可求解.由(√a−1)2知a-1≥0，a≥1.故原式=a-1+|1-a|+1-a=a-1.所以答案是：a-115、对数型函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，则满足题意的一个函数解析式为______．答案：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一，满足f(x)=|log a(x+b)|，a>1，b≥1即可）分析：根据题意可利用对数函数的性质和图像的翻折进行构造函数.∵函数f(x)的值域为[0,+∞)，且在(0,+∞)上单调递增，∴满足题意的一个函数是f(x)=|log2(x+1)|．所以答案是：f(x)=|log2(x+1)|（答案不唯一）16、函数y＝log a(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．答案：(0，－2)分析：由对数函数的图象所过定点求解．解：依题意，x+1=1，即x＝0时，y＝log a(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2)．所以答案是：(0，－2)解答题17、（1）计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1；（2）若x 12+x−12=√6，求x 2+x −2的值．答案：（1）-5；（2）14.分析：（1）由题意利用分数指数幂的运算法则，计算求得结果．（2）由题意两次利用完全平方公式，计算求得结果．（1）0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1=0.3﹣1﹣36+33+1−13=103−36+27+1−13=−5．（2）若x 12+x −12=√6，∴x +1x +2＝6，x +1x =4，∴x 2+x ﹣2+2＝16，∴x 2+x ﹣2＝14．18、已知函数f (x )=2x −12x +1．(1)判断并证明f (x )在其定义域上的单调性；(2)若f (k ⋅3x )+f (3x −9x +2)<0对任意x ≥1恒成立，求实数k 的取值范围．答案：(1)f (x )在R 上单调递增；证明见解析 (2)(−∞,43)分析：（1）设x 2>x 1，可整理得到f (x 2)−f (x 1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f (x )为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k <g (x )=3x −23x −1，由g (x )单调性可求得g (x )≥43，由此可得k 的取值范围.（1）f (x )在R 上单调递增，证明如下：设x 2>x 1，∴f (x 2)−f (x 1)=2x 2−12x 2+1−2x 1−12x 1+1=(2x 2−1)(2x 1+1)−(2x 2+1)(2x 1−1)(2x 2+1)(2x 1+1)=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)；∵x 2>x 1，∴2x 2−2x 1>0，又2x 2+1>0，2x 1+1>0，∴f (x 2)−f (x 1)>0， ∴f (x )在R 上单调递增. （2）∵f (−x )=2−x −12−x +1=1−2x1+2x =−f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。

高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可（1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立．即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围．（1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足；满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。

人教版高中数学必修第一册第4章指数函数与对数函数综合检测基础卷(含详细解析)

第4章指数函数与对数函数（原卷版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知75x =，则x 的值为ABC ．D ．2．函数f (x )＝2x 与g (x )＝－2－x 的图象关于A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知32log log (0)x =，那么x =A ．1B ．2C ．3D ．44．设0m >，下列计算中正确的是A ．330m m -=B ．4334m m m ÷=C ．2323m m m ⋅=D ．251542()m m--=5．设a ，1b >，且满足1log 2>a b ，则A ．a b C ．2a b <D ．2a b >6．若lg 2,lg 3a b ==，则12log 5=A ．12a a b -+B ．2a b a b++C ．12a a b-+D ．2a b a b++7．如果0a b >>，那么下列不等式一定成立的是A ．22log log a b ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11a b<D ．22a b <8．已知函数21,2()5,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()0f x m -=恰有两个不同的实数解，则实数m 的取值范围是A ．(0,1)B ．[1,3)C ．(1,3){0}⋃D ．[1,3){0}⋃二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设0a >，则下列运算中正确的是A ．4334a a a ⋅=B ．5233a a a÷=C ．55330a a-⋅=D ．5335a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．若10a ＝4，10b ＝25，则A ．a +b ＝2B ．b ﹣a ＝1C ．ab ＞8lg 22D ．b ﹣a ＞lg611．在同一坐标系中，()f x kx b =+与()log b g x x =的图象如图，则下列关系不正确的是A ．0k <，01b <，1b >C ．()100f x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()()00g x x >>D ．1x >时，()()0f xg x ->12．已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，实数a ，b ，()c a b c <<满足()()()0f a f b f c <，若0x 是函数()f x 的一个零点，则下列结论中可能成立的是A ．0x a 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13112220.160.363-⎛⎫-+⨯= ⎪⎝⎭____________．14．已知函数()2120log 0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩，，，则()()2f f -=____________．15．已知1log ,log 32aa m n ==，求2m n a +的值____________．16．函数()2()445f x xx =--的单调递减区间为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）120.5037(27)0.1(2)39π--++-；（2）2115113366221()(3)()3a b a b a b ⋅-÷．18．（12分）计算求值：（1）()11.530.0014-+（2）(42log 923lg 2lg 250082log 9log 4⨯+⨯++⋅．19．（12分）已知函数()154262xx f x +=-⋅-，其中[]0,3x ∈．（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足()0f x a +≥恒成立，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知函数()log (1)log (1)a a f x x x =+--，其中0a >且1a ≠．（1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若3()25f =，求使()0f x >成立的x 的集合．21．（12分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y （单位dB ），定义0lgIy I =10，其中I 为声场中某点的声强度，其单位为/W m 2（瓦/平方米）12010I -=/W m 2为基准值．（1）如果一辆小轿车内声音是50dB ，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB ，两人正常交谈的声音是60dB ，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍?22．（12分）已知函数()12(log 94343)x x f x +=-⨯+，函数()222log 7g x x mx =-+．（1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）若[][]121,2,1,2x x ∀∈∃∈，使()()12f x g x ≥，求实数m 的取值范围．第4章指数函数与对数函数（解析版）本卷满分150分，考试时间120分钟。

人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第四章指数函数与对数函数综合测试(附答案与解析)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第四章综合测试
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 M = x | x ＜3 ， N = x | log3 x＜1 ，则 M N 等于（）
A.
B.x | 0＜x＜3
在
R
上有最大值，则
a
的
取值范围为（）
A.
−
2 2
,
−
1 2
B.
−1,
−
1 2
C.
−
2 2
,
−
1 2
D.
−
2 2
,
0
0,
1 2
11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据： lg1.12 0.05,lg1.3 0.11,lg 2 0.30 ）（）
【解析】 Q f (x) = log2 (ax −1) 在 (−3, −2) 上为减函数，
a＜0 且 ax −1＞0 在 (−3, −2) 上恒成立，−2a −1≥0 ，
a≤ − 1 . 2
又
g(
x)
在
R
上有最大值，且
g
(x)
在
−,
1 2
上单调递增，
g
(
x)
在
1 2
,
+
上单调递减，且
log
，当
log z
x
=

2020-2021学年高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析

③b＞a＞1
④0＜a＜b＜1
⑤a＝b
其中不可能成立的关系有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：∵实数 a，b 满足 th a th b，
hh 即
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ ；
h
h 对于①，当 a＝3，b＝2 时， h
h h ，即 th 3
th 2，∴①不成立；
对于②，当 a ，b 时， th
∴
；
使
∴使
使
使
x＝y＝3 时取等号．
故选：B．
使使
使
，当且仅当
，即
使
6．已知 3m＝2n＝k 且
，则 k 的值为（）
A．15
B．
C．
【解答】解：∵3m＝2n＝k，∴m＝log3k，n＝log2k，
D．6
∴
th
th
th
th logk6＝2，
∴k2＝6，∴
，
故选：C．
7．设 a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为（）
第6页共9页
∴ thh
，
∴f（6t）﹣f（3t）＝loga6t﹣loga3t＝loga2 ．
故答案为：．四．解答题（共 6 小题）
14．（1）计算： ୠ
⺁
ୠ；
（2）已知 x+x﹣1＝4，求 x2﹣x﹣2 的值．
【解答】解：（1） ୠ
⺁
ୠ
ୠ
⺁
；
ୠ
（2）由 x+x﹣1＝4，两边平方并整理得 x2+x﹣2＝14，

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0，所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增，所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)，故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数，故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34，所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。

(精选试题附答案)高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第四章指数函数与对数函数经典大题例题单选题1、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x 与y 3=10−x =(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ．故选：A2、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（）A ．−1或2B ．−1C ．2D ．12 答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1，解得m =2. 故选：C.3、已知函数f(x)=2x −x −1，则不等式f(x)>0的解集是（）．A ．(−1,1)B ．(−∞,−1)∪(1,+∞)C ．(0,1)D ．(−∞,0)∪(1,+∞)答案：D分析：作出函数y =2x 和y =x +1的图象，观察图象可得结果.因为f (x )=2x −x −1，所以f (x )>0等价于2x >x +1，在同一直角坐标系中作出y =2x 和y =x +1的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式2x>x+1的解为x<0或x>1.所以不等式f(x)>0的解集为：(−∞,0)∪(1,+∞). 故选：D.小提示：本题考查了图象法解不等式，属于基础题.4、已知函数f(x)=11+2x，则对任意实数x，有（）A．f(−x)+f(x)=0B．f(−x)−f(x)=0C．f(−x)+f(x)=1D．f(−x)−f(x)=13答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．f(−x)+f(x)=11+2−x +11+2x=2x1+2x+11+2x=1，故A错误，C正确；f(−x)−f(x)=11+2−x −11+2x=2x1+2x−11+2x=2x−12x+1=1−22x+1，不是常数，故BD错误；故选：C．5、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I 1，高速列车的声强为I 2，由声强级得95=10lg (I 110−12)，45=10lg (I 210−12)，求出I 1、I 2相除可得答案.设普通列车的声强为I 1，高速列车的声强为I 2，因为普通列车的声强级是95dB ，高速列车的声强级为45dB ，所以95=10lg (I 110−12)，45=10lg (I210−12)， 95=10lg (I110−12)=10(lgI 1+12)，解得−2.5=lgI 1，所以I 1=10−2.5， 45=10lg (I210−12)=10(lgI 2+12)，解得−7.5=lgI 2，所以I 2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍.故选：B.6、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（） A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13，∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．7、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg 101≈2.0043，lg 99≈1.9956) （）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x =1.01x ，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg 100lg 1.010.99=lg 100lg 10199=2lg 101−lg 99 ≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ．8、若函数f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．±1D ．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f (x )=ln(ax +√x 2+1)是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0．即ln(−ax +√x 2+1)+ln(ax +√x 2+1)=0恒成立，所以ln [(1−a 2)x 2+1]=0，即(1−a 2)x 2=0 恒成立，所以1−a 2=0，即a =±1．当a =1时，f (x )=ln(x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意；当a =−1时，f (x )=ln(−x +√x 2+1)，定义域为R ，且f (−x )+f (x )=0，故符合题意；故选：C.9、中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C=Wlog2(1+SN)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了（）（附：lg2≈0.3010）A．20%B．23%C．28%D．50%答案：B分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.将信噪比SN 从1000提升至5000时，C大约增加了Wlog2(1+5000)−Wlog2(1+1000)Wlog2(1+1000)=log25001−log21001log21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.故选：B.10、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可. 填空题11、已知0<a<1，化简：√a43−2a+a23=______．答案：a 13−a23分析：根据指数幂的基本运算结合指数函数的性质即可求解.解：√a 43−2a +a 23=√(a 23−a 13)2=|a 23−a 13|，因为0<a <1，23>13，所以a 23<a 13，所以√a 43−2a +a 23=a 13−a 23．所以答案是：a 13−a 23. 12、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果. √a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34，所以答案是：a 34.13、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.14、若log 2[log 3(log 4x )]=0，则x =________．答案：64分析：利用对数的运算性质以及指数式与对数式的互化即可求解.log 2[log 3(log 4x )]=0⇒log 3(log 4x )=1⇒log 4x =3⇒x =43=64.所以答案是：64小提示：本题考查了对数的运算性质以及指数式与对数式的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____．答案：1p ##p −1 分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解.∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p . 所以答案是：1p ．解答题16、已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0)的图象关于直线x ＝1对称，且函数y =f (x )+2x 为偶函数，函数g (x )=1−2x .(1)求函数f (x )的表达式；(2)求证：方程f (x )+g (x )=0在区间[0,1]上有唯一实数根；(3)若存在实数m ，使得f (m )=g (n )，求实数n 的取值范围.答案：(1)f (x )=(x −1)2(2)证明见解析(3)(−∞,0]分析：（1）根据二次函数的对称轴以及奇偶性即可求解a,b ，进而可求解析式，（2）根据函数的单调性以及零点存在性定理即可判断，（3）将条件转化为函数值域，即可求解.（1）∵f (x )=ax 2+bx +1的图象关于直线x ＝1对称，∴−b 2a =1⇒b =−2a .又y =f (x )+2x =ax 2+(b +2)x +1为偶函数，∴b =−2，a =1.∴f (x )=x 2−2x +1=(x −1)2.（2）设ℎ(x )=f (x )+g (x )=(x −1)2+1−2x ，∵ℎ(0)=1>0，ℎ(1)=−1<0，∴ℎ(0)·ℎ(1)<0.又f (x )=(x −1)2，g (x )=1−2x 在区间[0,1]上均单调递减，∴ℎ(x )在区间[0,1]上单调递减，∴ℎ(x )在区间[0,1]上存在唯一零点.∴方程f (x )+g (x )=0在区间[0,1]上有唯一实数根.（3）由题可知f (x )=(x −1)2≥0，g (x )=1−2x <1，若存在实数m ，使得f (m )=g (n )，则g (n )∈[0,1)，即1−2n ≥0，解得n ≤0.∴n 的取值范围是(−∞,0].17、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )是二次函数，其图象与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，与y 轴交于C (0,6)．(1)求f (x )的解析式；(2)若方程f (x )−2a +2=0有两个不同的实数根，求a 的取值范围．答案：(1)f (x )={2x 2−8x +6,x ≥0,2x 2+8x +6,x <0.(2){0}∪(4,+∞)分析：（1）当x ≥0时，利用待定系数法得到f (x )=2x 2−8x +6，再使用奇偶性，得出f (x )=2x 2+8x +6(x <0)即可；（2）利用数形结合解决.（1）依题意可设，当x ≥0时，f (x )=k (x −1)(x −3)．由f (0)=6，得3k ＝6，∴k ＝2，∴f (x )=2(x −1)(x −3)=2x 2−8x +6(x ≥0)．当x <0时，−x >0，则f (−x )=2x 2+8x +6．又f (x )是偶函数，∴f (−x )=f (x )，∴f (x )=2x 2+8x +6(x <0)．∴f (x )={2x 2−8x +6,x ≥0,2x 2+8x +6,x <0.（2）依题意知f (x )=2a −2有两个不同的实数根，即y =f (x )与y ＝2a －2在同一坐标系中的图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图所示．由图，可知只需满足条件2a －2＝－2或2a −2>6，∴a ＝0或a >4，即实数a 的取值范围是{0}∪(4,+∞)．18、（1）求值：[(−3)2]32+0.125−13+(√23)6−(37)0（2）化简4√a 23⋅b −13÷(−23a −13b −13) 答案：（1）32；（2）−6a分析：（1）根据指数幂的运算性质即可得解.（2）根据指数幂的运算性质即可得解.（1）原式=(32)32+(0.53)−13+(213)6−1=33+0.5−1+22−1=27+2+4−1=32 （2）原式=4a 23⋅b −13−23a −13b −13=4×(−32)a 23+13⋅b −13+13=−6a ⋅b 0=−6a19、已知a 12+a −12=3，求下列各式的值.(1)a +a −1；(2)a 2+a −2；(3)a 32+a −32+2a 2+a −2+3.答案：(1)7(2)47(3)25 分析：(1)将所给的等式两边平方，整理即可求得a +a −1的值；(2)将(1)中所得的结果两边平方，整理即可求得a 2+a −2的值；(3)首先利用立方差公式可得a 32+a −32=(a 12+a −12)(a −1+a −1)，然后结合(1)（2）的结果即可求得代数式的值.（1）将a 12+a −12=3两边平方，得a +a −1+2=9，所以a +a −1=7．（2）将a +a −1=7两边平方，得a 2+a −2+2=49，所以a 2+a 2=47．（3）∵a 12+a −12=3，a +a −1=7，a 2+a 2=47，∴a32+a−32=(a12)3+(a−12)3=(a12+a−12)(a−1+a−1)=3×(7−1)=18，∴a 32+a−32+2a2+a−2+3=18+247+3=25．。

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点题型与解题方法(带答案)

高中数学必修一第四章指数函数与对数函数考点题型与解题方法单选题1、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（） A ．7B ．10C ．12D ．34 答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可. 因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C2、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．因为2a=5，b =log 83=13log 23，即23b=3，所以4a−3b=4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.3、已知实数a,b ∈(1,+∞)，且log 2a +log b 3=log 2b +log a 2，则（） A ．a <√b log 3b ，再根据对数运算性质得log 2a >log 2√b ，结合y =log 2x 单调性， a >√b ，继而得解. 由log 2a +log b 3=log 2b +log a 2，变形可知log 2a −log a 2<log 2b −log b 2，利用换底公式等价变形，得log 2a −1log2a<log 2b −1log 2b ，由函数f (x )=x −1x 在(0,+∞)上单调递增知，log 2a <log 2b ，即a log 3b ，得log 2a +log b 3>log 3b +log a 2，即log 2a −log a 2>log 3b −log b 3，同样利用f (x )=x −1x的单调性知，log 2a >log 3b ，又因为log 3b =log √3√b >log 2√b ，得log 2a >log 2√b ，即a >√b ，所以√b <a <b . 故选：B.4、设函数f(x)=ln|2x +1|−ln|2x −1|，则f (x )（）A ．是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B ．是奇函数，且在(−12,12)单调递减 C ．是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D ．是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减答案：D分析：根据奇偶性的定义可判断出f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈(−12,12)时，利用函数单调性的性质可判断出f (x )单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，利用复合函数单调性可判断出f (x )单调递减，从而得到结果.由f (x )=ln |2x +1|−ln |2x −1|得f (x )定义域为{x |x ≠±12}，关于坐标原点对称，又f (−x )=ln |1−2x |−ln |−2x −1|=ln |2x −1|−ln |2x +1|=−f (x )， ∴f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当x ∈(−12,12)时，f (x )=ln (2x +1)−ln (1−2x )，∵y =ln (2x +1)在(−12,12)上单调递增，y =ln (1−2x )在(−12,12)上单调递减， ∴f (x )在(−12,12)上单调递增，排除B ；当x ∈(−∞,−12)时，f (x )=ln (−2x −1)−ln (1−2x )=ln 2x+12x−1=ln (1+22x−1)， ∵μ=1+22x−1在(−∞,−12)上单调递减，f (μ)=lnμ在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：f (x )在(−∞,−12)上单调递减，D 正确.故选：D.小提示：本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据f (−x )与f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.5、已知函数f(x)={a x ,x <0(a −2)x +3a,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（）A ．a ∈(0,1)B ．a ∈[34,1)C ．a ∈(0,13]D ．a ∈[34,2)答案：C分析：根据条件知f(x)在R 上单调递减，从而得出{0<a <1a −2<03a ≤1，求a 的范围即可．∵f(x)满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，∴f(x)在R 上是减函数，∴{0<a <1a −2<0(a −2)×0+3a ≤a 0，解得0<a ≤13， ∴a 的取值范围是(0,13]．故选：C ．6、2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v =v 0⋅ln Mm 计算火箭的最大速度v(m /s )，其中v 0(m /s )是喷流相对速度，m(kg )是火箭（除推进剂外）的质量，M(kg )是推进剂与火箭质量的总和，Mm 称为“总质比”．若某型火箭的喷流相对速度为1000m /s ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（）（附：lge ≈0.434,lg2≈0.301）A ．5790m /sB ．6219m /sC ．6442m /sD ．6689m /s 答案：C分析：根据对数的换底公式运算可得结果. v =v 0 ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lg e=1000×4(1−lg2)lg e≈6442m/s .故选：C ．7、荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255.若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过(参考数据：lg 101≈2.0043，lg 99≈1.9956) （）天．A ．200天B ．210天C ．220天D ．230天答案：D分析：根据题意可列出方程100×0.99x =1.01x ，求解即可.设经过x 天“进步”的值是“退步”的值的100倍，则100×0.99x=1.01x，即(1.010.99)x =100，∴x =log 1.010.99100=lg 100lg 1.010.99=lg 100lg 10199=2lg 101−lg 99 ≈22.0043−1.9956=20.0087≈230．故选：D ． 8、已知函数f(x)=11+2x，则对任意实数x ，有（）A ．f(−x)+f(x)=0B ．f(−x)−f(x)=0C ．f(−x)+f(x)=1D ．f(−x)−f(x)=13 答案：C分析：直接代入计算，注意通分不要计算错误．f (−x )+f (x )=11+2−x +11+2x =2x1+2x +11+2x =1，故A 错误，C 正确； f (−x )−f (x )=11+2−x−11+2x =2x1+2x −11+2x =2x −12x +1=1−22x +1，不是常数，故BD 错误；故选：C ．多选题9、已知函数f (x )=lg (x 2+ax −a −1)，下列结论中正确的是（） A ．当a =0时，f (x )的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞) B ．f (x )一定有最小值C ．当a =0时，f (x )的值域为RD ．若f (x )在区间[2,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是{a |a ≥−4} 答案：AC分析：A 项代入参数，根据对数型函数定义域求法进行求解；B 项为最值问题，问一定举出反例即可；C 项代入参数值即可求出函数的值域；D 项为已知单调性求参数范围，根据二次函数单调性结合对数函数定义域求解即可.对于A，当a=0时，f(x)=lg(x2−1)，令x2−1>0，解得x<−1或x>1，则f(x)的定义域为(−∞,−1)∪(1,+∞)，故A正确；对于B、C，当a=0时，f(x)=lg(x2−1)的值域为R，无最小值，故B错误，C正确；对于D，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则y=x2+ax−a−1在[2,+∞)上单调递增，且当x=2时，y> 0，则{−a2≤24+2a−a−1>0，解得a>−3，故D错误．故选：AC．10、已知函数f(x)=3x−3−x，则（）A．f(x)的值域为RB．f(x)是R上的增函数C．f(x)是R上的奇函数D．f(x)有最大值答案：ABC分析：g(x)=3x∈(0,+∞)，而ℎ(x)=−3−x∈(−∞,0)得到f(x)的值域为R，判断A正确，D错误，根据增函数加增函数还是增函数进行判断B选项，根据函数奇偶性定义判断得到C选项.g(x)=3x∈(0,+∞)，而ℎ(x)=−3−x∈(−∞,0)，所以f(x)=3x−3−x值域为R，A正确，D错误；因为g(x)=3x是递增函数，而ℎ(x)=−3−x是递增函数，所以f(x)=3x−3−x是递增函数，B正确；因为定义域为R，且f(−x)=3−x−3x=−f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，C正确；故选：ABC11、函数f(x)=2x+a2x(a∈R)的图象可能为（）A．B．C．D．答案：ABD解析：根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a赋值，判断选项.当a=0时，f(x)=2x，图象A满足；当a=1时，f(x)=2x+1，f(0)=2，且f(−x)=f(x)，此时函数是偶函数，关于y轴对称，图象B满足；2x，f(0)=0，且f(−x)=−f(x)，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满当a=−1时，f(x)=2x−12x足；图象C过点(0,1)，此时a=0，故C不成立.故选：ABD小提示：思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 填空题12、里氏震级M 的计算公式为：M =lgA −lgA 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_________级. 答案：6分析：将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0计算即可得解.将A =1000，A 0=0.001代入等式M =lgA −lgA 0得M =lg1000−lg0.001=lg106=6. 所以答案是：6.13、已知函数f (x )=x 2−2|x |−1，若关于x 的方程f (x )=x +m 有四个根，则实数m 的取值范围为______．答案：(−54,−1)分析：分离变量，画出特定函数的图像即可.由f (x )=x +m ，得m =f (x )−x =x 2−2|x |−x −1 令g (x )=x 2−2|x |−x −1={x 2−3x −1,x ≥0x 2+x −1,x <0，画出图像由图可知，当−54<m <−1时，方程m =f (x )−x 有四解，即方程f (x )=x +m 有四个根. 故答案为:(−54,−1)14、已知log a x =2，log b x =3，log c x =5，则log abc x =______ 答案：3031分析：根据换底公式得到log x a =12，log x b =13，log x c =15，进而求出log x abc ，再用换底公式求出log abc x . 由log a x =2，log b x =3，log c x =5得：log x a =12，log x b =13，log x c =15，log x abc =log x a +log x b +log x c =12+13+15=3130，所以log abc x =3031所以答案是：3031解答题15、数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.(1)对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质:如果a >0,且a ≠1,M >0,那么log a M n =nlog a M (n ∈R );(2)请你运用上述对数运算性质计算lg3lg4(lg8lg9+lg16lg27)的值; (3)因为210=1024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断20192020的位数.(注lg2019≈3.305) 答案：(1)见解析(2)1712 (3)20192020的位数为6677解析：(1)根据指数与对数的转换证明即可.(2)根据对数的运算性质将真数均转换成指数幂的形式再化简即可. (3)分析lg20192020的值的范围再判断位数即可. (1)方法一: 设x =log a M 所以M =a x所以M n =(a x )n =a nx所以log a M n =nx =nlog a M ,得证.设x=nlog a M所以xn=log a M所以a xn=M所以a x=M n所以x=log a M n所以nlog a M=log a M n方法三:因为a log a M n=M na nlog a M=(a log a M)n=M n 所以a log a M n=a nlog a M所以log a M n=nlog a M得证.(2)方法一:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=lg3lg22(lg23lg32+lg24lg33) =lg32lg2(3lg22lg3+4lg23lg3)=lg32lg2⋅17lg26lg3=1712.方法二:lg3 lg4(lg8lg9+lg16lg27)=log43(log98+log2716) =log223(log3223+log3324)=12log23(32log32+43log32)=12log23⋅176log32=1712.设10k<20192020<10k+1,k∈N∗所以k<lg20192020<k+1所以k<2020lg2019<k+1所以k<2020×3.305<k+1所以6675.1<k<6676.1因为k∈N∗所以k=6676所以20192020的位数为6677方法二:设20192020=N所以2020lg2019=lgN所以2020×3.305=lgN所以lgN=6676.1所以N=106676.1=100.1×106676因为1<100.1<10,所以N有6677位数,即20192020的位数为6677小提示：本题主要考查了对数的运算以及利用对数的运算求解数字位数的问题,需要取对数分析对数值进行分析,属于中档题.。

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高中数学必修一第四章指数函数与对数函数测试题 (10)一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1. 若a =log 50.2,b =20.5,c =0.52，则a ，b ，c 三个数的大小关系是( )A. a <c <bB. b <c <aC. b <a <cD. c <a <b2. 已知a =log 43,b =413,c =ln 34，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A. a <b <c B. c <b <a C. b <c <a D. c <a <b3. 定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2+x)=f(2−x)，当x ∈[0,2]时，f(x)=2−x ，设函数g(x)=e −|x−2|(−2<x <6)，则f(x)和g(x)的图象所有交点横坐标之和等于( )A. 8B. 6C. 4D. 24. 已知函数f(x)=x 3−4x ，过点A(−2,0)的直线l 与f(x)的图象有三个不同的交点，则直线l 斜率的取值范围为( )A. (−1,8)B. (−1,8)∪(8,+∞)C. (−2,8)∪(8,+∞)D. (−1,+∞)5. 设函数f(x)=x 2(e x −e 2)−ax.若只存在唯一非负整数x 0，使得f(x 0)<0，则实数a 取值范围为( )A. (e −e 2,0]B. (−e 2,1)C. (−∞,0]D. (e −e 2,e)6. 设log 34⋅log 48⋅log 8m =log 416，则m 的值是( )A. 12B. 9C. 18D. 277. 设实数a =log 125，b =(15)0.2，c =215，则a ，b ，c 的大小顺序为( ) A. a >b >cB. c >b >aC. c >a >bD. b >a >c 8. 已知a =(14)13，b =(13)14，c =log 3443，则( ) A. b >a >c B. a >b >cC. b >c >aD. a >c >b 9. 设a =2ln2,b =−log 124,c =log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b >a >cB. a >b >cC. b >c >aD. a >c >b 10. 已知a =0.30.4，b =40.3，c =log 0.24，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. b <c <a 11. 设函数f (x )=√lnx +x −a(a ∈R)，若存在x 0∈[2,3]，使得f [f (x 0)]=x 0，则a 的取值范围为( )A. [ln3−3,ln2−2]B. [ln3−6,ln2−2]C. [ln3−6,ln2−4]D. [ln2+2,ln3+3]12. 函数y =cosx ⋅2x +12x −1 的部分图象大致是( )A. B. C. D.13. 已知函数f(x)={log 2 x, x ⩾1,f(2x), 0<x <1,则f(√22)的值是( ) A. 0 B. 1 C. 12 D. −12 二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）14. 已知定义在R 上的偶函数f(x)在(−∞,0]上单调递增，且f(−1)=−1.若f(x −1)+1≥0，则x的取值范围是______；设函数g(x)={(√x +1)2−a −1,x >0,2x +x −a +1,x ≤0,若方程f(g(x))+1=0有且只有两个不同的实数解，则实数a 的取值范围为______．15. 已知关于x 的方程a|sinx|+12=sinx 在区间[0,2π]上恰有两个解，则实数a 的取值范围是______．16. 已知关于x 的方程32x+1+(m −1)(3x+1−1)−(m −3)3x =0有两个不同的实数解，则m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17. 已知函数f(x)=e x (x −2)−12ax 2+ax(a ∈R)．(1)当a =1时，求f(x)的极值；(2)若f(x)恰有两个零点，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=lnx −x +a ．(1)讨论函数f(x)零点的个数；(2)若函数f(x)存在两个零点x 1，x 2(x 2<x 2)，证明：2lnx 1+lnx 2<0．19.已知函数f(x)=x|x−a|，x∈R．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)令g(x)=f(x)−b，(b∈R)，若对任意的a∈[2,4]，函数g(x)恒有3个零点，求实数b的取值范围．20.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线x=1对称，且函数y=f(x)+2x为偶函数，函数g(x)=1−2x．(1)求函数f(x)的表达式;(2)求证：方程f(x)+g(x)=0在区间[0,1]上有唯一实数根;(3)若存在实数m，使得f(m)=g(n)，求实数n的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵log50.2<log51=0，20.5>1，0<0.52<1，∴a<c<b．故选：A．容易得出log50.2<0,20.5>1,0<0．52<1，从而可得出a，b，c的大小关系．本题考查了对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D<ln1=0，解析：解：∵0=log41<log43<log44=1，413>40=1，ln34∴c<a<b．故选：D．<0，从而可得出a，b，c的大小关系．可以得出0<log43<1,413>1,ln34本题考查了对数函数和指数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：由偶函数f(x)满足(2+x)=f(2−x)可得f(x)的图象关于直线x=2对称，以2+x替换x，得f(4+x)=f(−x)=f(x)，则函数f(x)是以4为周期的周期函数．函数g(x)=e−|x−2|(−2<x<6)的图象也关于直线x=2对称，作出函数y=f(x)的图象与函数g(x)=e−|x−2|(−2<x<6)的图象如图所示，可知两个图象有四个交点，且两两关于直线x=2对称，则f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为8．故选：A．由已知可得f(x)的图象关于直线x=2对称，并求得函数是以4为周期的周期函数，函数g(x)=e−|x−2|(−2<x<6)的图象也关于直线x=2对称，作出图象，数形结合得答案．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．4.答案：B解析：解：函数f(x)=x3−4x，可得f(−2)=0，设直线l的斜率为k，方程为y=k(x+2)，由题意可得k(x+2)=x3−4x有三个不等的实根，显然x=−2是其中的一个根，则k=x2−2x有两个不等的实根，且x≠−2，即k≠8，由x2−2x−k=0的△>0，可得4+4k>0，解得k>−1，则k的范围是(−1,8)∪(8,+∞)，故选：B．设直线l的斜率为k，方程为y=k(x+2)，由题意可得k(x+2)=x3−4x有三个不等的实根，显然x=−2是其中的一个根，则k=x2−2x有两个不等的实根，且x≠−2，即k≠8，由判别式大于0，可得所求范围．本题考查函数方程的综合，以及二次方程的实根的分布，考查转化思想和运算能力，属于中档题．5.答案：A解析：解：函数f(x)=x2(e x−e2)−ax．令g(x)=x2(e x−e2)，ℎ(x)=ax，则f(x)=g(x)−ℎ(x)，g(x)=x2(e x−e2)，令g(x)=0，解得x=0或x=2，x>2时，有g(x)>0，0<x<2时，有g(x)<0，x<0时，有g(x)<0，可以描绘出g(x)=x2(e x−e2)的草图，ℎ(x)=ax为过点(0,0)的直线，由图可知：当a>0不成立，当a<0时，x0=1，所以f(1)<0，得a>e−e2，所以x∈(e−e2,0]．故选：A．令g(x)=x2(e x−e2)，ℎ(x)=ax，描绘出g(x)=x2(e x−e2)的草图，结合函数的图象，转化求解a的范围即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．6.答案：B解析：解：∵log34⋅log48⋅log8m=2lg2lg3⋅3lg22lg2⋅lgm3lg2=lgmlg3=log416=4lg22lg2，∴lgm=4lg22lg2⋅lg3=lg32，解得m=9．故选：B．直接由对数的换底公式化简计算得答案．本题考查了对数的运算性质，考查了对数的换底公式的应用，是基础题．7.答案：B解析：解：∵a=log125<0，b=(15)0.2∈(0,1)，c=215>1，∴c>b>a．故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．。