第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷B

北 京 交 通 大 学

2006-2007学年第二学期《复变函数和积分变换》期末试卷（B ）

（1） 方程()t i 1z +=（t 为实参数）给出的曲线是 ；

（2） 复数3i 1+的指数形式是 ；

（3） 函数()224z z 1

z +-，z=0为 级极点，2i z ±=为 级极点；

（4）

（5） 若∑==0n n n

2

nz )(z f ，则其收敛半径 ；

（6） 计算留数：⎪⎭

⎫ ⎝⎛0,z cosz Res 3 ； （7） 函数()()()y ,x iv y ,x u z f +=在()y ,x z =可微的充要条件

为 ；

（8） 曲线y x :=C 在映射z

1)(=z f 下的像是 ； （9） C 为以a 为圆心，r 为半径的圆周，计算()⎰-C n a z dz

（n 为正整数） ； （10） 判断n

1n 25i 1∑∞=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+的敛散性 . 二、计算题（25分，每小题各5分）

(1)、计算积分⎰C Rezdz 其中积分路径C 为： ①连接由原点到1+i 的直线段；

②连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i 的直线段所组成的折

线.

(2)、已知：()()3z e 1zsinz z f -=

求：]0),z (f [Re s

(3)、计算()()10dz z 1ln r z <<+⎰=r

（4）、计算()()dz i z z 9z

C 2⎰

+-，其中2||=z C 为正向圆周：。

（5）计算dz e 1z z 12

⎰=.

三、求积分()dz 1z z e 4z 22z ⎰

=-（7分）

四、求解析函数),(),()(y x v y x u z f +=，已知()233x y x y ,x u -= ，且()i 0f =.

（7分）

五、验证()()0x x

y arctg y ,x v >=在右半z 平面内满足Laplace 方程，即0,0=∆=∆ψϕ；其中22y x ∂∂+∂∂=

∆， 并求以此为虚部的解析函数()z f .（8分）

六、（8分）求函数()()()

2z 1z 1z f --=分别在如下区域展成洛朗展式 （1）.1|1|0<-

七、求实轴在映射i

z 2i +=ω下的象曲线（8分）

八、求函数()()0t 0,t 1,t f >⎪⎩⎪⎨⎧>≤=δδ

δ的傅立叶变换（7分）