南京财经大学学微积分期末试卷A答案
南京财经大学学微积分期末试卷A答案
一、填空题（共 10 小题，每题 2 分，共计20 分）1 函数11arcsin+-=x x y 的定义域-----------2 已知0→x 时，()312sin ax与1cos 3-x 是等价无穷小，则a=-----------3 设)(x f 在点0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim000=----------- 4 已知需求函数为p Q d4100-=，供给函数为p Q s 620+-=，求均衡价格______=p5 ________lim 3sin 0=-→xe e xxx6 已知需求函数为510QP -=，其中P是价格，Q 是需求量，则当20=Q 时，边际收益为-----------7 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,0,arcsin 1)(2tan x ae x xex f x x在0=x 连续，则a=-----------8设()()x fx f 2='，则n 阶导数()()x fn =-----------9若sin 2x 是()f x 的一个原函数，则___________)(=⎰dx x xf10设函数)(x y y =的导函数为x cos ，且1)0(=y ，则_________)(=x y1 ),0[+∞x arcsin 的定义⇒1111,1≤+-≤--≠x x x 且⇔11211≤+-≤-x ⇔0122≤+-≤-x ⇔0122≥+≥x ⇔0111≥+≥x⇔11≥+x ⇔0≥x2 81-=a()1cos ~sin 3312-x ax ⇒()11cos sin lim33120=-→x ax x ⇒()1cos 1sin lim33120-=-→xax x ⇒121lim 323230-=→x x a x ⇒123-=a ⇒81-=a3)(3)()3(lim 0000x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆x x f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim000 =xx f x x f x ∆--∆--→∆3)()3(lim 3000 =)(30x f '- 412=psd Q Q =⇒pp 6204100+-=-⇒12=p5 61lim 3sin 0=-→x e e xx x3sin 0lim x e e xxx -→()3sin sin 01limxe exx xx -=-→ ()3sin sin 01limxeexx x x -=-→()3sin 0sin 01limlim xe exx x xx -∙=-→→()3sin 01limxe xx x -=-→30sin lim x x x x -=→ 203cos 1lim xx x -=→ 61321lim 220==→x xx6 2QPQ R =)(⇒510)(2QQ Q R -=⇒QQ R 5210)(-='⇒2205210)20(=⨯-='R 71-=a)(x f 在0=x 连续⇒)0()0()0(f f f =+=-⇒x ea xx arcsin 1lim tan 0-=+→x e xx arcsin 1limtan 0--=+→xxx tan lim 0+→-=1lim 0-=-=+→x x x8()())(!1x fn x fn n +⋅=()())(!1111x fx f+⋅=若()())(!1x fn x fn n +⋅=成立，则()()()()()'=+x f x f n n 1 ()()'⋅=+x fn n 1! ()()'⋅=+x f n n 1!())()1(!x f x fn n n '+⋅= ())()1(!2x f x fn n n +⋅= ()x f n n 1)1()!1(++⋅+=∴由数学归纳法可知结论正确 9C x x x dx x xf ++=⎰2cos 212sin )(sin 2x 是()f x 的一个原函数⇒ )2(sin )(x d x dx x xf ⎰⎰=⇒ dx x x x dx x xf ⎰⎰-=2sin 2sin )(C x x x ++=2cos 212sin 10 1sin )(+=x x yx y cos ='⇒⎰=xdx y cos ⇒C x y +=sin ⇒Cy +=0sin )0(⇒1C⇒=y=x1sin+。
经济数学微积分课程期末模拟考试卷及答案 (2)
诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。
《经济数学-微积分》课程期末模拟考试卷（B ）202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号 一二三四五六七总分得分一、 单选题(每小题2分，共计14分)1. 已知函数()f x 在(,)a b 内连续, 且(),()f a f b +-都存在, 则()f x 在(,)a b 内( A ). A. 有界B. 有最小值C. 有最大值D. 无界2. 设11()1xx f x e-=-, 则( D ).A. 0,1x x ==是()f x 的第一类间断点;B. 0,1x x ==是()f x 的第二类间断点;C. 0x =是()f x 的第一类间断点, 1x =是()f x 的第二类间断点;D. 0x =是()f x 的第二类间断点, 1x =是()f x 的第一类间断点.3. 设()f x 在x a =在处可导, 则|()|f x 在x a =处不可导的充分条件是 ( B ).A. ()0f a =且()0f a '=B. ()0f a =且()0f a '≠C. ()0f a >且()0f a '>D. ()0f a <且()0f a '<4. 设()(),(,)f x f x x -=∈-∞+∞, 当0x <时, ()0,()0f x f x '''><. 则当0x >时,得分()f x ( B ).A. 单调增加, 下凹B. 单调减少, 下凹C. 单调增加, 上凹D. 单调减少, 上凹 5. 下列积分中等于零的是( D ).A.11cot d x x -⎰ B.2sin d 1x x x x ππ-+⎰C.1212||d x x -⎰D.11ln(x x -+⎰6. 设02)0,0(),(lim22)0,0(),(=+-+-→yx yx f y x f y x ，则函数),(y x f 在点)0,0(处 ( D ).A. 不连续B. 连续但两个一阶偏导数不存在C. 两个一阶偏导数存在但不可微D. 可微7. 设D 是由1,1=-=y x 与曲线3x y =围成的平面图形，1D 是D 的第一象限部分，则=+⎰⎰Dxdxdy y e xy )sin (2( B )A. ⎰⎰+12D dxdy xyB. ⎰⎰12sin 2D x ydxdy e C. ⎰⎰+12)sin (4D x dxdy y e xy D. 0二、填空题(每小题2分，共计16分)1. 若2limarctan 22x ax x x bx x π→∞+=--, 则a = 1 , b =2-.2. 已知tt t x x x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→21lim )(, 则()f x '=2(21)x x e +. 3. 若0a >时, 有0061lim lim sin tan 3sin 6x x x t x x x x ππ→→⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎰, 则a =1/3. 4. 已知2()sin (3)cos(5)f x x x =⋅, 则()()n f x =得分5111cos 5cos 11cos 224242n nn n n x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5.=+-+⎰12132dx x x x 938π.6. =+→→yx yx y x 00lim不存在 .7. 设)2ln(22y x x z -=，则=dz dy y x yx dx y x x y x x 2222222)22)2ln(2(---+-. 8. 改变⎰⎰⎰⎰-+xx dy y x f dx dy y x f dx 20211),(),(2的积分次序得⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=+y yxx dx y x f dy dy y x f dx dy y x f dx 2120211),(),(),(2.三. 计算题(每小题6分，共计48分)1. 设f 是可导函数，,s t ∀∈R , 有()()()2f s t f s f t st +=++，且(0)1f '=. 求f 的表达式。
（完整版）大一期末考试微积分试题带答案
（完整版）⼤⼀期末考试微积分试题带答案第⼀学期期末考试试卷⼀、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每⼩题3分，共15分.）1. =→xx x 1sin lim 0___0_____.2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx xn x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.4. ()ax x '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极⼤值点为________.⼆、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每⼩题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤?，使lim[()()]0x g x x ?→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且⼀定等于零B. 存在但不⼀定等于零C.不⼀定存在D. ⼀定存在. 3. 极限=-→xx x xe 21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221xy x=-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求20sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim(cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b x -?>=?+≤?处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. ⼋、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:⾄少存在⼀点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第⼀学期期末考试参考答案与评分标准⼀、填空题（3×5=15）2、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -?+ 5、3x = ⼆、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e x xe x →→→→----=-=+==分分分四、（8×1=8）()200ln cos 1lim1sin cos lim 112lim (cos )268x x x x x x x xx e e e+→++→→---===分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
微积分(下册)期末试卷和答案[1]
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1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________.6 知dx e xp ⎰∞+- 0 )1(与⎰-ep x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+.2、π.3、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=.11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。
3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则 。
0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则 。
=→)(lim x f ax 5.的连续区间是 。
)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。
=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. 。
='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。
Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（ ）。
11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（ ）。
=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。
当价格（ ）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。
(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续 （B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续 （D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分.满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
03-04微A2微积分期末答案
半球面 z = 1 − x − y .
2 2
解 球面面积微元 dS = 1 + z ′x + z ′y dxdy 1 dxdy = 1 − x2 − y2 1 2 2 2 2 I = ∫∫ (1 − x − y + 1 − x − y ) ⋅ dxdy 2 2 1 − x2 − y2 x + y ≤1
解
S ( −7 ) = S ( −7 + 2π )= − S (7 − 2π ), 7 − 2π ∈ (0, π ),
故S ( −7 ) = − f (7 − 2π ) = −[π − (7 − 2π )] = 3π − 7.
S 同理， 同理， (6) = S (6 − 2π ) = − S ( 2π − 6) = − f ( 2π − 6) = −[π − ( 2π − 6)] = π − 6.
r r r r 解 设A = f ( x 2 + y 2 + z 2 )( xi + yj + zk ),
X = f ( x + y + z ) x,Y = f ( x + y + z ) y,
2 2 2 2 2 2
Z = f ( x + y + z )z.
2 2 2
x2 ∂X = f ′( x 2 + y 2 + z 2 ) + f ( x 2 + y 2 + z 2 ), ∂x x2 + y2 + z2 y2 ∂Y = f ′( x 2 + y 2 + z 2 ) + f ( x 2 + y 2 + z 2 ), 2 2 2 ∂y x + y +z z2 ∂Z = f ′( x 2 + y 2 + z 2 ) + f ( x 2 + y 2 + z 2 ), ∂z x2 + y2 + z2
2021微积分A期末试题及答案
2021⭌᮶㢔⫕➶᮷ᱤAᱥᱤ㔋ᱥ⒴㋜ㄯⶌ㗎㗎㝘(2022年1⽉3⽇，⽤时120分钟)专业班级学号姓名题号⼀⼆三四总分分数㮥ᮢ㫍㵗㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎16➶)阅卷⼈得分1.下列说法正确的是(D)A.有界数列⼀定收敛；B.有限区间上的连续函数⼀定⼀致连续；C.函数f在R上处处可导，它的导函数f1⼀定是连续的;D.有界数集⼀定存在上确界。
2.下列哪个极限不存在(B)A.limxÑ0x sin1xB.limxÑ0D(x)，其中D(x)是Dirichlet函数C.limxÑ0|sgn(x)|D.limnÑ+8(1+122+¨¨¨+1n2)3.当xÑ0时，下⾯哪个函数不是与y=x等阶的⽆穷⼩(D)A.sin xB.arcsin xC.ln(1+x)D.1´cos x4.函数f(x)定义在R上，在x0处可导⽽且f(x0)ą0。
下列说法错误的是（A）A.函数f(x)在x0处的微分是f1(x0)；B.函数f(x)在x0处连续；C.存在x0的⼀个邻域U(x0)，使得在该邻域内f(x)ą0；D.当xÑx0时，f(x)=f(x0)+o(1)。
✠ᮢ㝤ⶥ㝘(ょ㝘4➶ᱨ⤎20➶)阅卷⼈得分5.集合A=t(1+1n)n|n P N,ną0u，那么inf A=2，sup A=e。
6.函数φ(t),ψ(t)在R上⼆阶可导，⽽且φ1(t)‰0。
由参数⽅程x=φ(t),y=ψ(t)确定了函数关系y=y(x)。
那么d yd x =ψ1(t)/φ1(t)，d2yd x2=ψ2(t)φ1(t)´ψ1(t)φ2(t)φ13(t)。
7.函数y=2x3+3x2´12x+18在区间[´3,3]上的最⼤值是63，最⼩值是11。
8.函数y=x4+8x3+1图像的垂直渐近线是x=´1，斜渐近线是y=x。
9.函数f(x)在R上的连续，F(x)=şxf(x+t)dt，那么F1(x)=2f(2x)´f(x)。
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
南京财经大学管理学期末模拟试卷AF仅答案.doc
南京财经大学《管理学》期末模拟试卷答案管理学A卷一、BBACB DBCAA BDCCD BABAA 2.AD,ABC,ABCE,BCE,ABCDE 3.AABABAAAAA四、企业不盈不亏的产量为：Q=F/（P-CV）=7000000/（500-350）=46667台Q=（F+200)/(P-CV)=(7000000+2000000)/(500-350)=60000台五、1.简述事业部制形式的优缺点。
P106优点：1.专业化分工提高效率、多种经营分散风险2.有利于为组织培养全面管理人才3.高层主管得以摆脱具体经营事务，可集中精力于长远战略计划、重大决策和处理外部关系4.各事业部之间可以有比较、有竞争，从而增强组织的活力。
缺点：1.人员要求高2.机构设置重叠，管理费用较高3.各事业部自行协调较困难。
2.简述人员配备的原则。
因职择人的原则;量材适用的原则;人事动态平衡的原则3.组织文化由哪几个要素构成？组织观念、规章制度、职业道德、组织情感4.构成领导影响力的主要因素有哪些方面？1、动力和精力2、智力和智能3、精神和心理健康4、正直六1.试论述泰罗科学管理理论的主要内容。
P291.工作效率和工作定额：泰罗认为：为了发掘工人们劳动生产率的潜力，首先应该进行时间和动作的研究。
时间研究是研究人们在工作期间各种活动的时间构成，包括工作日写实和测时。
动作研究是研究工人干活时动作的合理性。
减少人的疲劳，提高劳动生产率。
2.实行标准化：标准化操作方法，使用标准化的工具、机器和材料，使作业环境标准化。
3.能力与工作相适应。
科学选人用人，根据需要挑选和培训工人4.差别计件工资制：先计算出工人的基本工作定额；对完成工作定额的个人按较高的计件工资率来计算和发放工资；对玩不成工作定额的工人则按较低的计件工资率来算发工资。
5.计划职能与执行职能相分离：为了采用科学的工作方法，泰罗主张把计划职能同执行职能分开，由专门的计划部门承担计划职能，由所有的工人和部分工长承担执行职能6.例外原则：对于触发的一些偶发的事件处例外原则。
高等数学微积分期末试卷及答案
大一高等数学微积分期末试卷 选择题（6×２）1~6 DDBDBD一、填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1xy R x =-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）3、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT三、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞-2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求四、证明题。
1、 证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。
证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 五、应用题1、 描绘下列函数的图形3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222---50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。
微积分下册期末考试题及答案
微积分下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，则 \( f'(x) \) 等于：A. \( 6x + 2 \)B. \( 3x + 2 \)C. \( 6x^2 + 2 \)D. \( 6x - 5 \)2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x dx \) 等于：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)4. 函数 \( y = \sin(x) \) 的原函数是：A. \( \cos(x) \)B. \( -\cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \) 等于：A. 0B. 1C. 2D. 36. 函数 \( y = e^x \) 的 \( n \) 阶导数是：A. \( e^x \)B. \( ne^x \)C. \( n!e^x \)D. \( (n+1)e^x \)7. 若 \( \int e^x dx = e^x + C \)，则 \( \int_{0}^{1} e^x dx \) 等于：A. \( e - 1 \)B. \( e \)C. \( e^2 - 1 \)D. \( e^2 \)8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是：A. \( x \geq 0 \)B. \( x > 0 \)C. \( x < 0 \)D. \( x \leq 0 \)9. 函数 \( y = x^2 \) 的拐点是：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = -1 \)D. \( x = 2 \)10. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的关系是：A. \( f(x) \) 比 \( g(x) \) 增长得更快B. \( f(x) \) 比 \( g(x) \) 增长得更慢C. \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 增长速度相同D. \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 都是常数答案：1. A 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. A 8. B 9. A 10. B二、填空题（每题2分，共10分）11. 若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
微积分I课后答案(江财)
⎧x,
f [ϕ(x)] =
f
[
f
(
x)]
=
⎪⎪ ⎨
1
,
⎪1
⎪⎩ x
x ≥ 0,
x<0
=
⎧ ⎨
x,
⎩x,
x ≥ 0, = x. x<0
6. f (x) = 1 (x2 + 2x −1) . 3
7. 由 x2 + 5 > 1 ，故 f (x2 + 5) = 1 ；又 sin x ≤ 1 ， 4x − x2 − 6 = − ⎡⎣(x − 2)2 + 2⎤⎦ < −1 ，故 f (sin x) = sin x ，且
(2) 若不亏本，必须有 π(q) = 5q − 2000 ≥ 0, q ≥ 400.
⋅ 4. π(q) = R(q) − C(q) = p q( p) − 270 000 −10q = ( p −10)(45 000 − 900 p) − 270 000 ，所以 p = 30 时，利润
最大.
5. (1) C(Q) = 600 + 5Q ；
3 x3 −1
ln3 y
解得 x = 3 1 +
1
3
，故原函数的反函数为 y = 1+
1
，它的定义域 x > 0 ，且 x ≠ 1 ，所以原函数的值域为
ln3 y
ln3 x
(0,1) ∪ (1, +∞) .
9. R(x) = 4x − 1 x2 . 2
10. 证明 由 f (1+ x) + 3 f (1− x) = x2 − x ，可得 f (1− x) + 3 f (1+ x) = x2 − (−x) .
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一、填空题（共 10 小题，每题 2 分，共
计20 分）
1 函数11
arcsin +-=x x y 的定义域-----------
2 已知
0→x 时，()
3
1
2sin ax 与
1cos 3
-x 是等价无穷小，则a=
-----------
3 设
)(x f 在点0x 处可导，则
x
x f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim 000=----------- 4 已知需求函数为p Q d
4100-=，供给
函数为p Q s 620+-=，求均衡价格
______
=p
5 ________
lim 3sin 0=-→x
e e x
x
x
6 已知需求函数为510Q
P -
=，其中P
是价格，Q 是需求量，则当20=Q 时，边
际收益为-----------
7 设
⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0,
0,arcsin 1)(2tan x ae x x
e
x f x x
在
0=x 连续，则a=
-----------
8设
()()x f
x f 2
='，则n 阶导数
()
()x f
n =
-----------
9若sin 2x 是()f x 的一个原函数，则
___________)(=⎰dx x xf
10设函数)(x y y =的导函数为
x cos ，
且1)0(=y ，则
_________)(=x y
1 ),0[+∞
x arcsin 的定义⇒
1
11
1,1≤+-≤--≠x x x 且 ⇔112
11≤+-≤-x ⇔01
22≤+-≤-x ⇔0122≥+≥x ⇔01
11≥+≥x
⇔11≥+x ⇔0≥x
2 81-=a
()
1cos ~sin 3
3
1
2-x ax ⇒
()11
cos sin lim
3
3
1
20
=-→x ax x ⇒
()1cos 1sin lim
3
3
120
-=-→x
ax x ⇒
12
1
lim 3
23
2
3
0-=→x x a x ⇒
123-=a ⇒81
-=a
3
)(3)()3(lim 0000x f x
x f x x f x '-=∆-∆-→∆
x x f x x f x ∆-∆-→∆)()3(lim 000 =x
x f x x f x ∆--∆--→∆3)()3(lim 3000 =)(30x f '- 4
12=p
s
d Q Q =⇒
p p 6204100+-=-⇒
12=p
5 61
lim 3sin 0=-→x e e x
x x
3sin 0lim x e e x
x
x -→
()
3
sin sin 0
1
lim
x
e e
x
x x
x -=-→ ()
3
sin sin 0
1
lim
x
e
e
x
x x x -=-→
()
3
sin 0
sin 0
1
lim
lim x
e e
x
x x x
x -•=-→→
()
3
sin 0
1
lim
x
e x
x x -=-→
30sin lim x x x x -=→ 203cos 1lim x
x x -=→ 61321lim 22
0=
=→x x
x
6
2
QP
Q R =)(⇒
5
10)(2
Q
Q Q R -
=⇒ Q
Q R 5
2
10)(-='⇒
2
205
2
10)20(=⨯-='R 7
1-=a
)(x f 在0=x 连续⇒
)0()0()0(f f f =+=-⇒
x
e
a x
x arcsin 1lim tan 0-=+
→
x e x
x arcsin 1
lim
tan 0--=+→
x x x tan lim 0+
→-= 1lim 0-=-=+
→x x x
8 ()
())(!1
x f
n x f
n n +⋅=
()
())(!11
11x f
x f
+⋅=Θ
若()
())(!1
x f
n x f
n n +⋅=成立，则
()()()
()()'=+x f x f n n 1 ()()'⋅=+x f
n n 1! ()()'⋅=+x f n n 1!
())()1(!x f x f
n n n '+⋅= ())()1(!2x f x f
n n n +⋅= ()x f n n 1)1()!1(++⋅+=
∴由数学归纳法可知结论正确 9
C x x x dx x xf ++=⎰2cos 2
12sin )(
sin 2x 是()f x 的一个原函数⇒ )2(sin )(x d x dx x xf ⎰⎰=⇒ dx x x x dx x xf ⎰⎰-=2sin 2sin )(
C x x x ++=2cos 2
12sin 10 1sin )(+=x x y x y cos ='⇒ ⎰=xdx y cos ⇒ C x y +=sin ⇒
C
y +=0sin )0(⇒
1
C⇒=
y
=x
1
sin+。