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关于SARS传播和影响的数学模型

关于SARS传播和影响问题的模型摘要本文首先采用Logistic模型、人工神经网络两个方法对SARS疫情公布的数据进行分析挖掘后，建立了不同的传染病模型来对疫情的变化趋势给出预测，从而为预防控制提供了可靠、足够的信息。

然后又考虑到证券市场被视为国民经济的晴雨表，因此在收集医药类、交通运输类等行业的股票价格的基础上，分别使用“事件分析法”、Markov 链建立数学模型对SARS给股市的影响进行分析预测。

在对早期模型进行合理性与实用性评价的基础上，对它的参数确定方法进行改进，消除了对港粤地区经验性数据的依赖，建立的二阶Logistic回归模型能就本地已知数据预测疫情发展趋势，给出预测值并拟合出疫情走势图。

并且该模型的决定系数R2高达99.02%，这表明预测值与实际值无显著性差异，拟合效果很好。

由疫情走势图可推算出发病高峰为4月29日及持续时间，且能体现出预防措施对疫情走势有明显的影响，也即随着预防指数K(t)的增大，累计发病人数N(t)趋于稳定。

因此该模型可为疾病的预防和控制提供有效的信息。

又考虑到本问题是一个动态预测问题，故建立了误差逆传播神经网络模型(BP,Back-Propagation)。

经过理论分析和多次实验确定其为三层结构的BP网络模型，节点数分别为（5，6，5），激励函数为双曲正切函数。

该模型能够根据前五天的累计患者数预测出未来五天的累计患者数。

首先，将已知65个数据分为13组，分别作为网络的输入、输出端输入网络，进行学习。

然后，用训练过的网络预测未知数据，正确率达99.9%以上。

最后，考虑到网络初值对模型灵敏度的影响，提出了初始化的合理建议，并将其与早期模型进行了比较。

在分析SARS对证券市场的影响时，由于这是一个突发事件，缺乏历史数据，所以SARS对股市产生的影响很难用传统的计量模型进行分析，因而采用“事件分析法”对其进行研究：利用一个相对短时期的股票价格的变化情况来分析和衡量该事件的影响程度。

SARS传播的数学模型数学建模全国赛优秀论文设计

SARS传播的数学模型(轩辕杰整理)摘要本文分析了题目所提供的早期SARS传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数L、K的设定缺乏依据，具有一定的主观性.针对早期模型的不足，在系统分析了SARS的传播机理后，把SARS的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段.将每个阶段影响SARS 传播的因素参数化，在传染病SIR模型的基础上，改进得到SARS传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：SARS疫情的预测持续时间为106天，预测SARS患者累计2514人，与实际情况比较吻合.应用SARS传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：“早发现，早隔离”能有效减少累计患病人数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.在建立模型的过程中发现，需要认清SARS传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难.本文分析了海外来京旅游人数受SARS的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出SARS会对入境旅游业造成23.22亿元人民币损失，并预计海外旅游人数在10月以前能恢复正常.最后给当地报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性.1．问题的重述SARS （严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1）对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性.（2）建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后5天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响.（3）根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测SARS 对社会经济的影响.（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性.2．早期模型的分析与评价题目要求建立SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义要求模型的建立有根据，预测结果切合实际.实用性定义要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际.所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足够的信息.2.1早期模型简述早期模型是一个SARS 疫情分析及疫情走势预测的模型，该模型假定初始时刻的病例数为0N ，平均每病人每天可传染K 个人（K 一般为小数），K 代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.整个模型的K 值从开始到高峰期间保持不变，高峰期后 10天的围K 值逐步被调整到比较小的值，然后又保持不变.平均每个病人可以直接感染他人的时间为L 天.整个模型的L 一直被定为20.则在L 天之，病例数目的增长随时间t (单位天)的关系是：t k N t N )1()(0+⋅=考虑传染期限L 的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢.采用半模拟循环计算的办法，把到达L 天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉.2.2早期模型合理性评价根据早期模型对疫情的分析与预测，其先将的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰，然后通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K =0.13913.高峰期后的K 值按香港情况变化，即10天围K 值逐步被调整到0.0273.L 恒为20.由此画出3月1日至5月7日疫情发展趋势拟合图像以及5月7日以后的疫情发展趋势预测图像，如图1.图1 早期模型计算值与实际值对比图从图1可以看出，从 4月20日至5月7日模型计算值与同期实际值的拟合程度比较好，但5月7日后模型计算值（即预测值）随着日期的增长逐渐偏离实际值.为了进一步验证上述分析，对模型计算值曲线和实际值进行残差分析，记iy 表示第i 天实际累计病例，i yˆ表示第i 天计算累计病例.计算 n i y ye e i i ii ,,2,1,ˆ*Λ=-==σσ 其中，用σˆ作为σ的估计： 2)ˆ(ˆ1--⋅=∑=n yy y n i i i i σ做出标准化残差*i e 的分布图，如图2：图2 早期模型的标准化残差分布图可以很明显地看出，在后期，残差图上出现明显的单减规律性，预测值高于实际值，说明预测值确实逐渐偏离实际值.通过以上分析得合理性评价：○1从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较好，但对后期情况的预测出现较大偏差.○2尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.从这一点上看，该模型还是切合实际的.○3该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模型本身的含义.因为模型中的)N实际代表的是t时刻全社会的累计SARS患者，(t而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！2.3早期模型实用性评价模型的实用性关注的是模型能否真实全面的模拟真实情况，从而用模型指导实际.这里主要抓住早期模型的参数设置情况进行实用性评价：○1该模型简单地以高峰期作为分析的临界点，这似乎对SARS发展的阶段没有了解透彻.同时，模型没有提出高峰期的确定方法，整个模型的建立必须有实际高峰期附近数据的支撑.如果仅有疫情爆发初期的数据，该模型就无法预测出疫情中后期发展的趋势，模型的实际应用围受到限制.○2参数K代表某种社会环境下一个病人每天传染他人的人数，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关.在初期，该模型将K固定在一个比较高的定值，在疫情高峰期过后，在10天逐步调整K值到比较小，然后保持不变.但模型并没有给出K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，具有一定的主观性.同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测的情况，可见该模型未对的实际情况进行充分的考虑.○3参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染和死去等等.该模型把L的值固定为20，而实际的L应该随疫情发展趋势变化而变化，固定L势必使模型只能片面模拟真实情况.综上，早期模型的一部分分析脱离了实际，而且在整个模型的建立和求解中人工干预过多，实际应用围受到了限制，实用性不强.3． SARS传播过程的分析由于早期模型缺少对SARS传播过程的系统分析，所以，要建立真正能预测病情发展的模型，应该首先对整个传播过程有一个全面而详尽的分析.SARS的传播大致经历了4个过程，相关描述可按照Kink于1986年提出的危机“四阶段说”.第一阶段是征兆期.在SARS传播初期，由于SARS感染者需要经历一定时间才表现出临床症状，所以在病毒实际上已经广泛传播的情况下，政府和公众并未引起注意.在这个时期，携带病毒的传播源没受到控制，平均传播期长，但整个社会的发病率还较低.第二阶段是迅速爆发期和蔓延期.当公众发现感染者不断增加时，恐慌情绪增加，政府随即采取多种措施，但由于对病毒传播的特点不清楚，并未收到预期效果.在这个时期，传播源的平均传播期依然较长，整个社会的发病率突然猛增.第三个阶段是高峰期.当高强度的措施实施后，病毒扩散速度实际已经被控制，发病人数保持稳定，处在一个高平台阶段.在这个时期，有效隔离措施的产生，大大缩短了平均传染期，但由于病患基数较大，社会发病率依然很高.第四个阶段是衰退期和有效控制期.在高平台现象一段时间以后，控制措施的作用开始显现，患病人数开始下降，进入控制时期.在这个时期，平均感染期最短，社会发病率低.疫情进入了4个阶段的最后时期.有了以上的分析，建立的模型就应该体现4个不同时期下疫情的发展过程，并能够在此基础上准确预测疫情变化情况，提出切实可行的控制措施.考虑在经典传染病SIR 模型基础上，通过机理分析，加入合理的实际因素，建立适合SARS 的分段微分方程模型，称为SARS 传播的SIR 改进模型.4． SARS 传播的SIR 改进模型4.1模型的假设1．SARS 的持续期不太长，可以忽略在SARS 持续期的城市人口的自然出生率和自然死亡率.2．被SARS 感染后经治疗康复的人群在SARS 流行期不会被再次感染.3．病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用.4．不考虑人口的流动，仅仅在一个城市围研究SARS 疫情的发展过程.4.2模型的符号定义)(t S :易感类人群占城市人口总数的比例.)(t I :传染类人群占城市人口总数的比例.)(t R :排除类人群占城市人口总数的比例.)(t ω:SARS 患者的就诊率患者总数时刻全社会患者数时刻被隔离的SARS SARS t t = λ：单位时间一个传染者与他人的接触率.L ：平均传染期.4.3传播机理分析针对早期模型的不足，需要在模型的合理性和实用性方面进行改进.考虑在经典传染病模型SIR 的基础上，通过机理分析，用实际因素来描述SARS 的传播过程.为了简化模型，这里不考虑人口的流动带来的影响，仅仅在一个封闭城市中研究SARS 的传播机理.那么，整个社会人群可以分为3类：S 类：称为易感类，该类成员没有染上传染病，但缺乏免疫能力，可以被染上传染病.I 类：称为传染类，该类成员已经染上传染病，而且可以传染给S 类成员. R 类：称为排除类或恢复类，R 类成员或者是I 类成员被严格隔离、治愈，或者死亡等.I 类成员转化为R 类后，立刻失去传染能力.S(t)、I(t)、R(t)分别表示t 时刻上述3类成员占城市人口总数的比例. 对于传播过程有3条基本假设：1A ：人口总数为常数N ，N 足够大，可以把变量S(t)、I(t)、R(t)视为连续变量，还可进一步假定为连续可微变量.2A ：人群中3类成员均匀分布，传播方式为接触性传播.单位时间一个传染者与他人的接触率为λ，则一个传播者在单位时间与S 类成员的接触率为)(t S λ，因此，单位时间I 类成员与S 类成员的接触总数为)()(t I t S N ⋅⋅λ，这就是单位时间I 类成员增加的数量，称为发病率，它是S(t)和I(t)的双线性函数.3A ：传播者的被控制数正比于传染者的数量)(t NI ，比例系数为v ，v 称为被控制率，则平均传染期为v L /1=.v /λσ=为一个传染者在其传播期与其他成员的接触总数，称为接触数.那么SARS 的传播流程如图3：)()()(t NR t NI t NS vNS NSI 排除类传染类易感类控制传染−−−→−−−−→−⋅⋅λ图3 SARS 传播流程图在这个模型中，排除类)(t NR 就是已确诊SARS 患者累计数，而)](1[t S N -⋅是全社会累计SARS 患者数，包括已确诊的和未被发现的两部分.4.4模型的建立有了以上的机理分析，建立起针对SARS 的改进SIR 模型：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥>>=++=-=-=00,01(2) (1)000R I S S R I vI dt dR vI SI dt dI SI dt dS λλ该模型中参数λ和v 在疫情发展的各个阶段受实际因素影响，会有比较明显的变化，现分析如下：○1参数λ表示单位时间一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率λ的值.一般认为，λ的数值随着SARS 发展的4个阶段不断变化.在SARS 初期，由于潜伏期的存在和社会对SARS 病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起重视，故λ维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使λ得到一定的控制，但效果不明显，此处假设λ呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为λ按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期，λ就维持在一个较低值附近.○2参数v 表示传播者的被控制率.v L /1=称为平均传染期，表示一个传播者在被隔离或者死亡之前具有传播能力的平均时间.一般认为，SARS 患者经过传染期L 过后，将隔离治疗或者死亡，从I 类成员变为R 类，失去传播能力.L 与政府采取的措施密切相关，例如，尽量早地发现病患，对疑似病例提前进行隔离，“早发现，早隔离” ；提供更广围的医疗手段，使更多的人接受有效的治疗等，都可以有效地降低平均传染期L 的长度.因此这里将L 直接抽象为每一时期SARS 患者的就诊率)(t ω的函数.平均传染期L 应随)(t ω的变化而变化.但是在初期，由于政府对SARS 的认识不足，并没有采取有效控制措施， L 的变化很小可以近似看作定值，这里我们取SARS 病毒最长潜伏期（约19天）为这个定值；在爆发期，有效控制措施的逐步加强，使SARS 患者的就诊率)(t ω逐渐增加，而平均传染期L 会逐渐减小并趋于一个定值，这里我们将SARS 病毒平均潜伏期（约7天）定为L 的最小值；在此后的高峰期以及衰减期，由于控制措施都保持在一定水平，L 的值会维持在7天左右.4.5针对疫情求解模型首先采用数学推导的方法，确定参数λ和v ，并证明模型有唯一解.○1确定λ和v 的关系令v λσ=，方程组中)1()2(÷得：SdS dI σ11+-= 在病情刚开始时，011S dS dI σ+-=，由于)(t S 是单调减少的，且)(t I 最终趋近于0，则当1≤S σ时，)(t I 单调减少趋近于0；当1>S σ时，)(t I 先单调增加达到最大值，然后单调减少趋近于0.容易知道，当1>S σ时，才满足SARS 的传播规律，所以参数λ和v 的取值必须满足这个条件.○2证明模型有唯一解在初值条件下解微分方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=111000R S I S dS dI σ 得到关系式：)ln(11)(00S S S R t I σ+--= 令∞−→−t ，由○1得 )ln(11000S S S R ∞∞+--=σ 因为0>∞S ，所以令)ln(11)(00S x x R x f σ+--= 则 -∞=−→−)(lim 0x f x ，01)(0000>=--=I S R S f当σ10≤S 时，由于0)(=x f 在),0(0S 围有根，因而在)1,0(σ有根. 当σ10>S 时，因为xx x f σσ-=1)(' 当σ1>x 时，0)('<x f ，所以0)()1(00>=>I S f f σ，因而0)(=x f 在)1,0(σ也有根. 注意到当σ10<<x 时，0)('>x f ，故0)(=x f 在)1,0(σ有唯一根. 所以，∞S 在)1,0(σ有唯一解. ○3划分SARS 传播的4个阶段由于SARS 的传播经历了4个阶段，所以，要以具体的指标划分这4个阶段.因为在4个阶段中，日发病率)()()(t I t S N t ⋅⋅=λμ是一个区分每个阶段特点的关键特征，所以以日发病率作为划分的指标.从第一个患者出现日开始：征兆期：日发病率在10（人/天）以下.疫情期的前40天.爆发期：从日发病率10（人/天）到日发病率最大，即0=dtd μ时.疫情期的第40天到第74天. 高峰期：从日发病率最大到患者数量最大，即0=dtdI 时.疫情期的第74天到第79天.衰退期：患者数量最大点以后.疫情期第79天以后.○4确定λ和v 根据最终SARS 患者总数2521人以及人口总数（约14000000人），得19998.01400000025211≈=-=∞S ，所以11>=λσv . 因为平均传染期vL 1=，而L 是SARS 患者就诊率)(t ω的函数，且]19,7[∈L ，所以，这里设计L 函数为：)(17t e L ω-=)(t ω由政府的控制措施决定，它的变化反映了政府控制措施的力度.根据实际情况，推导出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+-<≤=74 t174t 40 )178.340(log 40t 0 0)(10t t ω 而接触率λ与全社会的警觉程度和公众采取的各种措施有关，根据实际情况确定为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<≤-<≤=79t 0672.079t 74 33ln 116.074t 40 3400126.040t 0 126.0t t λ确定出所有的参数后，做出各时期累计全社会SARS 患者数和各时期累计确诊SARS 患者数预测图（图4）以及市预测确诊SARS 患者累计和实际确诊SARS 患者累计对比图（图5）.同时得到：SARS 疫情的预测持续时间为106天，预测SARS 患者累计2514人.(计算程序见附件1：SIR 模型程序)图4 市预测非典病人累计总数和预测非典病人确诊病例累计对比图图5 市预测确诊病例累计和实际确诊病例累计对比图5．改进SIR模型的分析与评价5.1合理性评价从图5可以看出，本模型对数据的拟合程度非常高，完全克服了早期模型对后期数据预测不准的缺陷.做出标准化残差分析图，如图6：图6 改进SIR模型的标准化残差分布图（实际值－预测值）可以看出，残差分布比较均匀，残差平方和为2.0361，低于初期模型的5.510.通过以上分析得出结论：改进SIR模型不仅在预测前期病情的时候非常准确，而且在预测后期病情的时候也没有出现明显偏差，预测值与实际值非常吻合.该模型能对整个病情的发展做出准确预测，这是该模型优于早期模型的方面之一.5.2实用性评价对比早期模型实用性方面的不足，对改进SIR模型分析如下：○1早期模型在没有对SARS的传播过程进行系统分析的情况下就简单地以高峰期作为分析的临界点，同时，模型并没有提出高峰期的确定方法，模型的实际应用围受到限制.而改进SIR模型在分析SARS传播过程的前提下，依据日发病率把整个传播过程细分为征兆期，爆发期，高峰期和衰退期4个阶段，并且考虑了每个阶段影响SARS传播的实际因素，能够更好地反映实际因素对SARS传播的影响.○2早期模型预测的仅仅是已确诊累计SARS患者数，不包括未被发现的患者人数，这样的做法不能对防治工作提供真正有用的数据.而改进SIR模型不仅能准确预测已确诊累计病例，而且能够预测未被发现的患者人数，可以对防治工作提供更有用的数据.○3早期模型用参数K代表一个病人每天传染他人的人数.模型没有给出K值的具体算法，只是不断地进行人工调整，同时沿用了香港疫情分析中的数据来预测的情况，未对的实际情况进行充分的考虑.而改进SIR模型用参数λ表示单位时间一个传染者与他人的接触率，并且考虑了4个阶段λ的变化情况，给出了λ的函数表达式.○4早期模型用参数L代表平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，并且把L的值固定在20天，就造成了后期预测值明显偏离实际值的结果.而改进SIR模型中建立了L的分段函数表达式，根据各个阶段的具体影响因素控制L的大小.这样，在后期的预测上，也与实际值相当吻合.综上，改进SIR模型弥补了早期模型的不足，实际应用围得到扩大，实用性强.5.3建立可靠、优良模型的困难要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，存在着许多的困难，还有许多努力的方向.○1缺乏详尽的，反映SARS疫情的实际统计数据，以及数据基础上的模型参数的具体取值.本文的模型计算与分析研究，主要依据关于市的SARS疫情通告的数据.这些数据不包括未被发现的患者人数的统计，数据的形式不能满足模型求解的要求.○2需要与流行病学家密切合作，更加合理地设计模型结构与调整参数，以及估计并设定比较符合实际的参数取值，从而完善模型以及模拟结果.○3需要研究SARS在不同自然条件和社会条件下的差异性，总结SARS传播与控制的典型地域性模式.6．分析具体措施对SARS传播的影响在SARS传播的实际过程中，有关部门采取了一些控制疫情的措施，在所有措施中，隔离开始的时间和隔离的强度是两个比较关键的因素，究竟这些因素对疫情传播能造成怎样的影响，现分析如下.改变隔离开始的时间通过对L调整实现，减小L的数值就提前了隔离时间；而改变隔离的强度通过对λ调整实现，减小λ的数值就提高了隔离的强度.以的隔离强度为100%，分别在100%和80%强度下用改进SIR模型预测不同控制措施下累计病例总数（人）和疫情持续总时间（天）.结果如表1：分析表1，得出结论：○1在相同隔离强度下，发现隔离开始的时间越早，累计病例总数就越小.○2在相同隔离开始时间下，隔离强度越大，疫情持续的时间就越短.○3综上，累计病例总数的大小主要由隔离开始时间的早晚决定；疫情持续时间的长短主要由隔离强度的大小决定.所以，有关部门采取的措施确实对疫情的控制起到了很大的作用：“早发现，早隔离”能有效减少累计病例总数；“严格隔离”能有效缩短疫情持续时间.7．SARS 对旅游业的影响SARS 的流行会对国民经济带来一定的影响.现在题目提供了市接待海外旅游人数的数据，要求根据这些数据，预测SARS 对市的旅游业所产生的影响.7.1预测正常情况下2003年的旅游人数旅游业随着社会经济的发展，会有一个逐年提高的趋势.如果没有SARS 的流行，那么，海外旅游人数会以一定的规律保持增长的趋势.现在需要预测正常情况下2003年的旅游人数，采用季节性时间序列的半参数回归模型进行预测.一般的半参数回归模型是指：(3) ) (T g Y '∈++=β 其中1),(R R T X P ⨯∈ 为随机向量或设计点列，T 的支撑集为有界闭集，β为1P ⨯的未知参数向量， )( g ⋅是定义于一有界闭集上的未知函数, E 为随机误差,22)E(0, )E(σ=∈=∈(未知),且∈与T X ,相互独立.对季节性时间序列资料),,2,1;,,2,1(l j n i X ij ΛΛ==，其中n 为年份长度,l 为季节长度.根据时间序列资料的加法原理有如下半参数回归模型(4) )(j ij j g bi X ε++= 其中b 为模型参数, 主要反应时间序列在年度上的增长趋势.)(j g 为未知函数,主要反应时间序列在季节上的效应,22)(,0)(σεε==ij ij E E 且ij ε相互独立.显然模型中不应包含常数项,因为常数项可包含在季节效应中.在对旅游人数的估计时，因为采用了1997～2002年的数据进行参数估计，所以年份长度6=n ，而季节上的效应实际上就是每个月的效应，季节长度12=l .参数估计如下：○1把b 看为已知时)(j g 的最小二乘估计为使∑--iij j g bi X 2))((最小的解，即(5) 21)(ˆ+⋅-=n b X j gj 其中，∑=iij j n X X /，即为所有数据在季节点j 上的均数.显然)(ˆj g也是)(j g 的一个临近估计.○2将（5）代入（4）后b 的最小二乘估计为使∑∑+---ijj ij n bX bi X 2))21((最小的解.作变换21~,~+-=-=n i i X X X j ij ij 则(6)~~~ˆ2∑∑⋅⋅=iij ij il X i b在小样本条件下，误差的总体方差2σ估计为(7) )~ˆ~(11ˆ2112i b X l nl n i lj ij ---=∑∑==σ将海外旅游人数1997～2002年的数据代入式（5）、（6）、（7），得到：⎪⎩⎪⎨⎧==0044.0ˆ8245.1ˆ2σb)4642.12,1642,18,5808.21,7475.20,0808.21 ,0808.16,3975.16,9975.17,2142.17,5142.12,2808.13,5642.4()(ˆ=j g根据这些参数，预测正常情况下2003年的旅游人数(计算程序见附件2：时间序列程序)，结果如表2（单位：万人）：月份1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 人数15.4 17.1 25.3 30.0 30.8 29.2 28.9 33.9 33.6 34.4 31.0 25.31997-2003年旅游人数的变化如图7所示：图7 1997-2003年旅游人数的变化7.2季节性时间序列半参数模型的检验我们利用时间序列模型对1997～2002年的旅游人数进行拟合，再与实际值对照，画出残差图（图8）：。

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sars数学建模获奖论文二．数学模型的分析与建立 2.1 分析与假设将人群分为四类：健康者(易受感染者)：用 S 表示健康者在人群中的比例。

潜伏期者（已感染，尚未发病）：用 E 表示他们在人群众的比率。

发病期者(已发病者)：用 I 表示病人在人群中的比例。

退出者(死亡者)：用 R 表示退出者在人群中的比例。

2.2 模型的建立 1 ．参数设定 1每个病人平均每天有效接触（足以使被接触者感染）的人数。

q 退出率，为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。

l （流入）流出人口占本地总人口的比率。

1处于潜伏期的病人的日发病率。

P流入人口中带菌者所占的比例。

2 ．控前方程的建立根据我们的分析和各变量的分析，结合实际的疫情的传播规律，我们可以建立如下的方程组：ISdtdS1（1）LE LP E ISdtdE 1 1（2）1/ 3qI EdtdI1（3）qIdtdR（4） 0 0 00, , , E R I S （初值）3 ．参数的确定 1) 1根据医学资料和有关数据推导而得。

2) q 由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析，求其统计平均值。

3) l 由城市的出入人口流动情况（主要由经济发达程度和交通状况决定）。

可查有关资料。

4) 1根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。

5) P由流入该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。

II 控后模型的建立 1 ．参数设定 2 不可控人群(在后面的分析中可得到)在发病后到被隔离前平均每天接触的人的数目。

q 退出率，为 SARS 患者的日死亡率和日治愈率之和。

接触病源的人的发病率。

每天由可控人群和不可控人群转化为病人的日转化率。

2 ．控后方程的建立根据上面我们的各种假设和各变量和参数的实际意义,我们可以建立如下控制后的疾病模型的方程组：(5)qI GdtdI(6) qIdtdR(7) SdtdS 2 GGGSdtdG 2GSdtd2 (9) 0 0 0 0 0, , , , E R I S （初值）在得到这个模型后,我们对模型和数据进行了进一步的分析,发现这个模型中存在以下的问题...3/ 3。

SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文1

SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文SARS 传播的数学模型摘要本文分析了题目所提供的早期 SARS 传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数 L、K 的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了 SARS 的传播机理后，把 SARS 的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期 4 个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病 SIR 模型的基础上，改进得到SARS 传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京 SARS 疫情的预测持续时间为 106 天，预测 SARS 患者累计2514 人，与实际情况比较吻合. 应用 SARS 传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：早发现，早隔离能有效减少累计患病人数；严格隔离能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清 SARS 传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受 SARS 的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出 SARS 会对北京入境旅游业造成 23.22 亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在 10 月以前能恢复正常. 最后给当地1/ 2报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性. 1．问题的重述 SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1）对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2）建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后 5 天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3）根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测 SARS 对社会经济的影响. （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价题目要求建立 SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足...。

优秀论文1-SARS疫情预测与走势分析1

SARS疫情预测与走势分析摘要本论文以传统的微分方程为理论基础，以2003年7月以前的有关的数据为参考资料，从数学的角度研究SARS 传染病模型，并建立如下三个的模型：SIR模型：借助于经典的微分学传染病模型---SIR模型分析了SARS的传播情况，由于该模型假设较为理想化，不符合SARS病情实际的传播情况。

我们在SIR模型基础上又提出SIR-F模型和SIF-MN模型。

SIR-F模型：该模型考虑了处于非典潜伏期的人数和城市人口流入流出率对非典疫情的影响。

由于在短时间内无法获取这两项数据，故本文对该模型的参数设置和具体求解未做进一步探讨，但该模型对于有关部门仍有借鉴的价值。

SIR-MN模型：本模型充分考虑疑似病例、日确诊率、自由传播者等诸多关键指标，进一步改进SIR-F模型。

通过对北京数据的曲线拟合及期望值的计算，确定了SIR-MN模型中的未知参数。

以5月2日为起点，对5个边界条件进行计算，再利用欧拉前推公式，求出该模型的数值解。

从而可用MATLAB描绘出与实际曲线能较好吻合的预测曲线，因为计算过程采用北京参数，所以全国的预测曲线与实际曲线存在一些差距。

SIR-MN模型能够较为客观地分析出非典疫情走势，能大致预测疫情的高峰期、平稳期和可控期到来的时间，从而给卫生部门合理决策提供可靠信息。

关键词 SARS 疫情微分方程数据拟合欧拉前推公式一问题的提SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

2003年春天，SARS 的爆发和蔓延给我们国家的经济发展和人民生活带来了很大影响，面对这突如其来的灾害，我国人民在党中央和国务院的统一领导下，展开了一场为期数月抗击SARS 的顽强斗争。

依目前的情形来看，SARS 在全世界范围内已经得到了根本有效的控制。

尽管SARS 作为一种时疫似乎已成为过去，或许也可能会随着夏日高温的退却又卷土重来，但SARS 时疫对我国社会发展的影响是极其重大的，且还需要我们为其进行大量理论性的思考，积累更多重要的经验和教训，为抗击SARS 时疫并取得彻底性胜利提出有价值的建设性意见。

关于SARS病毒传播的数学模型

di ( t) dt
=
ks ( t) i ( t)
s ( t) + i ( t) = N
(4)
i (0) = i0
对 (4) 分离变量可解得
i ( t) = 1+
N
N i0
-
1
e- kNt
(5)
i
(t)
～t
和
di dt
～i
的图形分别如图
2
和图
3
所示
。
·48 ·
由图可知 :i (t)
=
1 2
1 、问题提出数学模型是指通过抽象和简化 ,使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画 ,以便于人们更深刻地认识所研究的对象。它是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种有效的重要工具[1] 。文 [ 2 ]研究了数学建模竞赛对提高学生综合素质的作用。文 [ 3 ]研究赛程编排的数学模型。本文拟对 SARS 病毒的传播的数学模型建立进行研究。对于传染病模型 ,可以在较一般的情况下 ,分析受感染人数的变化规律。由于人们不可能通过试验来取得传染病流行的数据 ,实际的传染病流行的观测往往也不完整和不充分 ,通常主要是依据机理分析的方法来建模 ,利用有关计算机的知识求解。 SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome) ,即严重急性呼吸道综合症 ,俗称 :非典型肺炎 ,是 21 世纪初在世界范围内传播的一种疾病。SARS 的爆发和蔓延给我国的经济和人民的生活带来了很大的影响 ,我们从中得到了很多的经验和教训 ,认识到定量地研究传染病的传播的规律 ,为预防和控制传染病蔓延创造条件的重要性。 SARS 在爆发初期 ,由于存在潜伏期 ,公众对 SARS 病毒传播速度认识不足 ,感染者迅速增加 ,公众

毕业设计sars的传播数学建模论文

SARS的传播摘要本文首先采用抽样检测法对SARS早期的模型的合理性及实用性进行了评价，然后我们通过对传染病的共性及SARS的特性的分析。

得出三个基本假设并且把人群理想化为三类（S类，I类，R类），建立起基本的SIR模型，再对SIR 模型中三类人群间的相互转化关系的分析，结合马氏链得出三种人群间变化率的矩阵T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的两个参数a(t),b(t)是以时间为变量的函数。

我们根据北京疫情的数据，通过多项式的数据拟合法分别得a(t),b(t)的表达式，我们把a(t),b(t)及T结合，从而建立出模型。

由于医疗条件的逐步改善，必会研制出其疫苗。

于是我们在不改变人群分类的情况下，增加了一个系数c，（c表示疫苗日成功接种率，由于在疫情期间，疫苗未能及时改良，故c为常数。

）进一步完善了我们的模型。

本文利用数学软件（Mathematica,Matlab）很好的实现了模型运算，并结合实际数据得出了各类人群与时间的关系图。

从图中可以很好的反映出各类人群的变化规律，它们的变化规律与实际变化相吻合，从而证明了我们的模型基本符合要求。

一问题的提出严重急性呼吸道综合症，简称SARS，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

它对全球的经济和生活造成巨大的破坏，尽管目前疫情已得到控制，但对这种新冠状病毒及其流行规律的研究还刚刚开始，因此，有必要根据SARS流行的特点，建立数学模型预测其传染，从而采取措施预防和控制其发展。

而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。

二问题的分析通过分析北京，香港和广东三地的受感染人数的变化规律，我们就可以对不同地区预测流行病的变化趋势提出以下模型假设。

模型的假设：1 将人群分为三类易感染者人数（疑似病例）：用S表示；病人数（已受感染者，即确疹者）：用I表示；移出者人数（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 该地区人口不流动，疫情阶段无病原的输入和输出，设最初易感染者人数为N，此时I，R均为0。

大学生数学建模竞赛模板--sars模型灰色预测

SARS对经济指标的影响王海燕徐昊天吴德春摘要本文针对SARS 疫情传播对经济指标影响的问题，建立灰色预测模型，得到03年预测数据，并与实际数据作比较，进而研究SARS疫情对该市各经济指标的影响及其程度。

为研究SARS疫情对该市各经济指标的影响，我们作出了不同经济指标的散点图和数据列表，使得对问题的研究更直观。

（1）SARS对零售业的影响为简化计算，我们以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。

利用方程先预测出2003年零售额的年总值，根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月预测值。

利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值有一定的相差但相差并不大。

从表三我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。

（2）SARS对海外旅游业的影响以1997--2002年每年同期的数据构造参考数列，可以得到1-12月的共12个预测方程，即可预测2003年各月的海外旅游人数。

利用MATLAB软件求解，得到的预测值和实际值相差很大，说明从4月份开始SARS疫情就对旅游业产生影响，尤其5、6月份影响最大，但10月份以后影响就变小甚至没有影响了。

（3）SARS对综合服务业总额的影响以1997--2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。

利用方程先预测出2003年的年总值，再根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月的预测值。

利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值是很一致的。

因此，我们得出结论：SARS疫情的传播对综合服务业没有影响。

另外，本文对模型的误差进行了准确的分析，使得结论更加科学更加有说服力。

虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。

关健词：经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差§1问题的提出背景知识与要解决的问题2003年SARS疫情席卷全球，对世界各国各地区各行业都造成一定的影响。

论文基于灰色预测的sars疫情影响的分析模式识别数学建模论文

论文基于灰色预测的sars疫情影响的分析模式识别数学建模论文基于灰色预测的SARS疫情影响的分析摘要灰色系统模型在农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛的应用前景。

2003年的SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业产生了巨大的影响。

本文使用灰色预测对影响进行分析，得到了若在2003年未发生疫情时的预测数据，与SARS疫情影响下的实际数据进行比较，得出了较为客观的评价结果。

然后以对疫情期间接待海外旅游人数的分析为例，通过使用多项式拟合模型及最小二乘法拟合模型进行分析，同时与灰色预测模型得出的结果进行比较分析，使得结果更加全面、客观。

一、问题的提出2003 年的SARS 疫情对中国部分行业的经济发展产生了一定影响，特别是对部分疫情较严重的省市的相关行业所造成的影响是显著的，经济影响主要分为直接经济影响和间接影响。

直接经济影响涉及商品零售业、旅游业、综合服务等行业。

很多方面难以进行定量地评估，现仅就SARS 疫情较重的某市商品零售业、旅游业和综合服务业的影响进行定量的评估分析。

究竟SARS 疫情对商品零售业、旅游业和综合服务业的影响有多大，已知某市从1997 年1 月到2003 年12 月的商品零售额、接待旅游人数和综合服务收入的统计数据如表1、表2 和表3。

年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1997 83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9 1998 101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5 1999 92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 2000 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9 2001 139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7 2002 137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9 2003 163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5年代1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1997 9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.6 1998 9.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.9 1999 10.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.5 2000 11.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.5 2001 11.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.8 28.7 28.1 22.2 20.7 2002 13.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.9 2003 15.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8年代2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1997 96 144 194 276 383 466 554 652 747 832 972 1998 111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 1139 1999 151 238 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238 2000 164 263 376 531 600 711 913 1038 1173 1296 1497 2001 182 318 445 576 708 856 1000 1145 1292 1435 1667 2002 216 361 504 642 818 979 1142 1305 1479 1644 1920 2003 241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218 试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003 年SARS 疫情给该市的商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。

数学建模 SARS疫情分析与经济预测

SARS疫情分析与经济预测摘要本文以微分方程为理论基础,综合运用机理分析和参数辨识的一般原理建立模型，利用北京地区的统计数据,研究了SARS的传播规律；并利用时间序列分析法等预测方法针对SARS对北京海外旅游业的影响，作出合理的预测。

问题一，从参数的合理性与实用性对题目提供的模型进行了客观评价。

问题二，首先将社会系统的人群分为四类：健康类，潜伏类，病人类，退出类，建立转化关系；其次，由于疫情发展规律主要由日接触率()tλ制约, 将疫情发展过程分为控制前阶段和控制后阶段。

控制前阶段考虑了超级传染事件（SSE），将SSE事件对疫情的影响等效为一个脉冲的瞬时行为，建立脉冲微分方程组模型；控制后阶段详细刻画()tλ的影响因素，即()tλ受人们防范意识的影响，而防范意识受政府措施力度和人们警惕指标两因素的影响；结合实际定性或定量的刻画各因素的内在关系，建立微分方程模型；最后，用数值方法求解，并用参数辨识确定()tλ中的未知参数。

问题三，以预测SARS对北京市海外旅游人数的影响为例建立两个模型。

模型一首先综合利用时间序列分析法和灰色GM(1,1)建立了预测模型，预测了若不发生SARS时2003年4－12月的旅游人数为：1.9.30289.3.30；之后，通过定性分析面对危302.33289.2.2.29335.33机事件时，人们心理恐慌度的变化规律，建立疫情与恐慌度的联系；又由于经济受到的影响与危机带来的恐慌度正相关，从而根据疫情可以得出海外旅游人数受到的影响， 5月影响最大，10月影响比较小，到第二年的2月完全恢复；得到2003年5－12月的旅游人数为：17.014.922.721.2；模型二简单基于时间序列分析法预测影响。

19.319.223.724.1问题二的结果分析，对卫生部采取严格隔离措施的时间、政府措施力度、人们的警惕程度三因素分别对疫情的影响，绘制了对比曲线，并结合实际进行了比较深入的分析，对卫生部门所采取的措施做了评价。

数学建模论文sars

数学建模论文论文题目：北京SARS的传播研究姓名:熊坤学号:********* 专业:机械设计制造及其自动化姓名: 何红学号:********* 专业:信息与计算科学姓名:劳洁琼学号:********* 专业:通信工程摘要SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中北京感染2847，给我过社会和经济带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS 的认识，疫情分析及对北京疫情走势的预测研究也变得尤为重要。

为提高人们对疾病的SARS的认识并通过数学方法控制疫情的传播，本文对北京市的SARS传播问题建立了数学模型，针对疫情传播特点，构建控前模型和控后模型。

针对问题一：本文研究附件一的模型N(t)=NO(1+K)，分析得出模型是基于现实中的自然状态，描述出了SARS传染病最核心最本质的变化趋势。

因此该模型具有的合理性。

针对问题二：对于附件1的模型建立优于它控前模型和控后。

根据定义与假设列出相应的所需的方程组，由直接拟合推导各个参数存在较大的困难，因此采用整体拟合。

再通过相应式子计算预测每日新增的隔离的SARS病毒感染者，整理相应的数据；最后预测北京最终的累计感染非典人数。

据此，在后标题“模型的评论与改进”中阐述对卫生部门锁采取的措施的评论。

针对问题三；通过对早期模型和实际情况的分析，我们认为影响SARS传播因素众多，大致可分为时域因素和地域因素。

列举如下：(1)时域因素a．政府干预：初期疫情较轻，政府介入不足，后期疫情较重，政府加强干预（如：强行隔离，公共场所消毒等行为）。

b．媒体宣传：初期疫情较轻，媒体宣传强度很弱，导致民众的自我保护意识不足，容易感染；后期疫情较重，媒体宣传强度很大，民众的自我保护意识大大加强。

c．认识程度：当一种新的传染病出现时，初期因为研究人员的认识程度不足，没有及时设计并采取有效的预防和治疗措施，但随着研究的深入，认识程度会越来越高。

(2)地域因素a．人口密度和人口流动：人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，疫情程度会比人口密度和人口流动小的城市严重。

大学生数学建模论文：SARS疫情对某些经济指标的影响

37.20833
588.1818
108.475
58.04167
657.8182
118.4167
82.43333
778.3636
132.8083
107.18333
874.9091
145.4083
134.35833
1000.909
再将处理后的数据作图：
140
图四
120
100
80
60
40
20
0
1
1.5
2
2.5
（2）若完全落入该区域，则 x(0) 可以作为模型 GM(1,1) ，进行数据灰色预测。
其次，我们通过 MATLAB 画出通过检验的数列
x (0 ) ( x (0 ) (1), x (0 ) ( 2), , x (0 ) (6))
观察图形，判断数据是否有规律性。两种情况：
（1）若有规律性，则无需进行数据处理。

x (0 ) (6 ) az (0 ) (6 ) b
相应的白化微分方程为 dx(1) ax(1) b 称之为 GM (1,1) 模型。 dt
x(0) (2)
z(0) (2) 1
令
X

x(0) (3)
x(0) (6)

294.5917 98.04167 1729.273
413.0083 122.43333 2507.636
545.8167 147.18333 3382.545
691.225 174.35833 4383.455
3、模型求解
对通过极比的数列 x(0) 做一次累加，记作： xk (1)

2003年全国数学建模优秀论文设计北京SARS的传播研究

小组成员SARS的传播研究摘要SARS从2003年陆续传入，期间先后感染6000多人其中感染2847，我国给我过经济·社会带来严重额的影响，为减少疾病的危害，提高人们对疾病的ARS的认识，疫情分析及对疫情走势的预测研究也变得尤为重要。

为改善现状并提高人们对疾病的是SARS的认识，我们对市的SARS传播问题建立数学模型。

关键词： SARS 人群分类微分模型整体拟合1、问题重述1.1问题的背景严重急性呼吸综合征（Severe Acute Respiratory Syndromes），又称传染性非典型肺炎，简称SARS，是一种因感染SARS冠状病毒引起的新的呼吸系统传染性疾病。

主要通过近距离空气飞沫传播，以发热，头痛，肌肉酸痛，乏力，干咳少痰等为主要临床表现，严重者可出现呼吸窘迫。

本病具有较强的传染性，在家庭和医院有显著的聚集现象。

首发病例，也是全球首例。

于2002年11月出现在，并迅速形成流行态势1.2问题的叙述现阶段SARS的传播正处于高峰期。

由于人们对该种疾病的传播机理还不太清楚，因此引起人们的恐慌，它关系社会的稳定和经济的发展。

因此对该问题的研究非常有必要，我们把人口分成四类，即:健康人S(t)SARS病人I(t)病人免疫（包括死亡）的人R(t)及疑似病人P(t)四类人，利用现有数据着重从四类人口中：把该传染病进行统计学分析，归纳出主要特征通过假设，参数以及它们的相互联系，进行数据判定，数据假设，数据处理，数据分析，建立模型，数据总结等得出较为科学的SARS问题的分析，相关信息（见附件1、2、3）附件1SARS疫情分析及对走势的预测附件2市疫情的数据附件3市接待海外游客人数附件4相关编程1.3问题的提出问题一：对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

问题二：建立自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型，对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。

大学毕设论文__sars的传播数学建模论文

SARS的传播摘要本文首先采用抽样检测法对SARS早期的模型的合理性及实用性进行了评价，然后我们通过对传染病的共性及SARS的特性的分析。

我们根据北京疫情的数据，通过多项式的数据拟合法分别得a(t),b(t)的表达式，我们把a(t),b(t)及T结合，从而建立出模型。

由于医疗条件的逐步改善，必会研制出其疫苗。

于是我们在不改变人群分类的情况下，增加了一个系数c，（c表示疫苗日成功接种率，由于在疫情期间，疫苗未能及时改良，故c为常数。

）进一步完善了我们的模型。

本文利用数学软件（Mathematica,Matlab）很好的实现了模型运算，并结合实际数据得出了各类人群与时间的关系图。

从图中可以很好的反映出各类人群的变化规律，它们的变化规律与实际变化相吻合，从而证明了我们的模型基本符合要求。

一问题的提出严重急性呼吸道综合症，简称SARS，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。

二问题的分析通过分析北京，香港和广东三地的受感染人数的变化规律，我们就可以对不同地区预测流行病的变化趋势提出以下模型假设。

大学生数学建模有关传染病论文

2013上学期数学论姓名：杨丽香、涂蓉学号：（02）、（04）学院：湖南信息职业技术学院专业：计算机网络****:***2013 年06月06日邮箱：***************传染病一、摘要:描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程和一般规律，建立模型。

利用了数学、力学、物理等学科中的定理来建立微分方程模型。

利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。

在我们的实际问题中，许多现象的规律性并不是很清楚，如果有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设中去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微积分方程，然后从数学上去求解或分析所建的方程及其解的性质，再去与实际情况相对比，检验此模型能否刻画模拟了某些实际现象。

二、问题重述问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。

现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。

考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。

2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为。

单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。

建立模型求t时刻的感染人数。

3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。

（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。

2003年A题全国数学建模优秀论文5

测控SARS流行趋势的优化模型齐秋锋魏杰万晓晨指导教师谭欣欣等摘要SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响。

为了能定量的研究传染病的传播规律，人们建立了各类模型来预测、控制疾病的发生发展。

在本题中给出了一个早期指数模型，我们把它称为模型1，它在短期内有着计算参数简单等合理性与实用性，但却存在着用短期参数描述长期过程偏离实际的缺陷。

基于此，我们考虑应该引进新的参数，建立更优的模型。

由于SARS是新发传染病，人们对其的有效防治手段主要还是以预防为主的隔离和检疫，所以我们引进一个预防效果指数k，来反映防控措施对SARS传播的影响；又由于SARS发病传染迅猛，为了描述这个特征，我们又引入了参数 r ，用来表示发病率。

在假设所研究各地区人口为理想状态下的人群、对该病普遍易感等前提下，我们应用Logistic回归结合各地SARS发病的疫情资料，用Matlab软件模拟，得到了一个更为优化的Logistic SARS模型，它给出了SARS流行趋势以及控制措施有效性的定量评估。

由于参数k的引进，更符合实际情况也符合医学解释，并且能够预测SARS高峰期的到来时间，可能累计最大发病数，在测控和拟合实际上优于模型1。

同时，我们也通过Matlab语言对北京、山西等的计算值和实际数据进行了拟合，进而验证了这个模型的可靠性。

当然，要建立一个最优模型还需要考虑更多因素，在考虑了传播途径及易感人群等因素后，也可以建立一个最优的SEIRQ模型。

但这样考虑就需要大量的数据采集整理工作，但在实际中这是不易实现的。

在对卫生部所采取部分措施的评析中，我们引入了小世界网络模型，对政府措施作出了定量评论，并用图形直观的表示出来。

最后，我们分析了Logistic SARS模型的特点，并对其改进与应用做出了展望。

数学建模论文-传染病模型)

传染病模型摘要“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。

利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害。

由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义，利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。

问题一：描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。

问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设，同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。

问题三，传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染，一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。

一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程，它受很多社会因素的制约和影响，如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小，人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出，潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。

如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。

为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素，去掉次要因素。

先把问题简化，建立相应的数学模型。

将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设，再建立一个与实际比较吻合的模型。

从而使模型逐步完善。

下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性，读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。

一．问题的提出描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型。

11552-数学建模-2003年AC题《SARS的传播》题目、论文、点评

11552-数学建模-2003年AC题《SARS的传播》题目、论文、点评2003年A\C题《SARS的传播》题目、论文、点评考虑自愈的SARS的传播模型李贝本文根据对SARS传播的分析，把人群分为5类：易感类、潜伏期类、患病未被发现类、患病已被发现类和治愈及死亡组成的免疫类，并考虑自愈因素，提出了两个模型：微分方程模型和基于Small-world Network的模拟模型。

对微分方程模型，以香港为例讨论了自愈的影响，在一定意义下说明自愈现象在SARS传播中是普遍存在的。

模拟模型利用Small-World Network模拟现实中人们之间的接触；借鉴Sznajd模型观念传播的基本思想“考察区域内每个成员如何影响与其有联系的其他成员”，用影响类比传染，从患病者去传染与其有接触的健康人的角度，模拟SARS的传播过程；然后吸收元胞自动机模型同步更新的思想，最终建立了一个患病者传染邻居，且一个成员同时受所有邻居影响的基于Small-World Network的模拟模型。

对此模型，我们讨论了一些主要参数及接种疫苗的影响，最后拟合北京数据，讨论了提前或推迟5天采取措施的影响。

考虑自愈的SARS的传播模型.pdf (341.9 KB)SARS传播的数学原理及预测与控制邹宇庭郑晓练...众所周知，SARS对中国社会带来了重大的影响。

我们以北京地区4月到6月有关SARS的数据为参考资料，就病毒的实际传播特征引入了电子线路中的负反馈的概念，建立了SARS传播的负反馈系统，并在分析该系统参数实际意义的情况下，建立时间序列的模型。

该模型将传染率定义为时间的函数，以拟合数据和实际数据之间的总残差最小为目标，利用matlab中的fminseareh函数模拟得到最优的模型参数。

该模型可以较好的预测SARS的发展趋势，且可以就此趋势提出如何控制SARS传播的措施。

继而，本文通过模拟出在不同日期提前或滞后5天实施隔离政策所引起SARS发展趋势变化的曲线，分析了卫生部门实施隔离政策的日期对SARS发展趋势的影响。

SARS的传播数学建模优秀论文

SARS 的传播模型摘要传染病、战争、饥荒是影响世界人口的三大因素，其中尤其以传染病对人口的影响最为大。

对于问题1，本文结合附件一所给的模型，对它提出的半模拟循环计算的方法进行了检验，得出该模型的优点在于形式简单，模拟的精确度较高，K 值的改变体现出了其合理性，同时指出了它的主要缺点在于过分依赖数据和不具有长远的预测性。

对于问题2，我们以2003年6月以前的有关数据为资料，根据对SARS 传播的分析，在传统的SIR 传染病模型的基础上对人群作了合理的分类：健康者、患病者和移出者。

其中，移出者指死亡及治愈组成的免疫类。

考虑到3类人群均是关于时间的变量且患病者的数量和采取的控制手段密切相关，建立了控制前传播模型和控制后传播模型，通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法得到了病人的自由传播源平均每天造成的感染率81.331710λ-=⨯和该病平均每天的治愈率0.0810μ=，病人平均每天的死亡率0.0383δ=，疑似病例中每日被排除的人数占疑似病例的比例10.2692β=，疑似病例中每日转化为确诊病人占疑似病例的比例20.2062β=，可控系数0.9384α=五个参数。

关键词：SARS ；微分方程；SIR 模型一、问题重述SARS （Severe Acute Respiratory Syndrome ，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。

SARS 的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。

请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。