2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

第一试

一、选择题：

1．已知x ，y 为整数，且满足(1x ＋1y ) (1x 2＋1y 2)＝－23(1x 4－1

y

4)，则x ＋y 的可能的值有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2．已知非负实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1，则t ＝2xy ＋yz ＋2xz 的最大值为（ ）

A ．47

B ．59

C ．916

D ．1225

3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，BE ⊥AC 于E ，交AD 于P ，已知BP ＝3，PE ＝1，则AE ＝（ ）

A ．

6

2

B ．2

C ．3

D ．6

4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ）

A ．12

B ．25

C ．23

D ．34

5．设[t ]表示不超过实数t 的最大整数，令{t }＝t －[t ].已知实数x 满足x 3＋1

x

3＝18，则

{x }＋{1

x

}＝（ ）

A ．12

B ．3－5

C ．1

2

(3－5) D ．1

6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形, ∠ADE ＝90° ,则BE 的长为（ ）

A ．4－23

B ．2－3

C ．1

2(3－1) D ．3－1

二、填空题：

1．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1， 1 a ＋b －c

＋

1

a ＋c －b

＋

1

b ＋

c －a

＝1，则abc ＝__

2．使得不等式917＜n n ＋k ＜8

15

对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为________．

3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB ＝BC ，∠BPC ＝108°，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心，则∠PAC ＝________．

F

B D

4．已知正整数a ，b ，c 满足: 1＜a ＜b ＜c ，a ＋b ＋c ＝111，b 2＝ac ，则b ＝________．

第一试 参考答案

一、选择题

1.C

2.A

3.B

4.B

5.D

6.A 二、填空题

1. 0

2. 144

3. 48°

4. 36

第二试 （A ）

一、 设实数,a b 满足2

2

(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求

2

211

a b

+的值．

二、如图，在□ABCD 中， D 为对角线BD 上一点，且满足∠ECD ＝∠ACB , AC 的延长线与△ABD 的外接圆交于点F .

证明：∠DFE ＝∠AFB

三、设n 是整数，如果存在整数x ，y ，z 满足n ＝x 3＋y 3＋z 3－3xyz ，则称n 具有性质P . 在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P ，哪些数不具有性质P ？并说明理由.

第二试 （A ）答案

一、解 由已知条件可得22

2

()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.

设a b x +=，ab y =，则有2

2

40x y +=，8x y +=， 联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =.

若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根；

若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2

(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以

22222222222

11()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====.

二、证明 由ABCD 是平行四边形及已知条件知ECD ACB DAF ∠=∠=∠.

又A 、B 、F 、 D 四点共圆，所以BDC ABD AFD ∠=∠=∠，所以△ECD ∽△DAF ，所以

ED CD AB

DF AF AF ==

.又EDF BDF BAF ∠=∠=∠，所以△EDF ∽△BAF ，故 DFE AFB ∠=∠.

三、解 取1x =，0y z ==，可得33311003100=++-⨯⨯⨯，所以1具有性质P .

取2x y ==，1z =，可得33352213221=++-⨯⨯⨯，所以5具有性质P . 为了一般地判断哪些数具有性质P ，记3

3

3

(,,)3f x y z x y z xyz =++-，则

33(,,)()3()3f x y z x y z xy x y xyz =++-+- 3()3()()3()x y z x y z x y z xy x y z =++-+++-++

＝3

()3()()x y z x y z xy yz zx ++-++++

2221

()()2x y z x y z xy yz zx =++++--- 2221

()[()()()]2

x y z x y y z z x =++-+-+-.