数学实验.ppt
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《滴水实验》数学好玩PPT
一个没拧紧的水龙头一年会滴多少水
活动任务 设计滴水实验，推算出一个没拧紧的水龙决这个问题？
设计方案
小组讨论，设计具体实验方案。 1.实验方案中应包含哪些内容？ 2.小组讨论实验步骤是什么，每一步要做什么。 3.需要收集哪些数据？如何收集和记录？ 4.小组内如何进行分工？
怎么验证互相 垂直呢？
说一说 生活中有哪些互相垂直的线段？
画一画 1、画一条直线的垂线。
画一画 2、过直线上的一点向这条直线作垂线。
画一画 3、过直线外一点画一条与这条直线垂直的直线。
当堂训练 1、在下面图中分别找出两组相交或垂直的线段。
当堂训练 2、去河边，怎么走最近？
用直线AB表示河边，用 点O表示淘气所在的位置。
(2)如果每个学校有3个“连续成线”的小水流的水龙头， 城区10所学校一年(按上学200天计算)大约要浪费多少 吨水？平均每吨水售价2元，一共要多支付多少元的水 费？如果1个人1年用水30吨，这些浪费的水大约可供多 少人用1年？(1升水＝1千克水)
17×3×24×200×10＝2448000(升)＝2448000(千克) 2448000千克＝2448吨 2448×2＝4896(元) 2448÷30≈81(人)
滴水实验
BS 四年级上册
数学好玩
1 活动内容
一个没拧紧的水龙头一年会滴多少水
2 活动目的
1. 通过参与测量、计算，经历综合运用所学的数学知识与技能 解决实际问题的过程，感受数学与现实生活的密切联系，增 强应用意识和实践能力。
2. 通过小组合作探究和相互交流，能够制定解决问题的方案， 培养向他人学习、善于与他人沟通的习惯。
（2920）天，约（ 24）年。
交流反思 读一读，想一想。
数学实验课件PPT课件
优势分析
直观、动态的演示方式有助于学生理解几何概念， 提高学习兴趣。
实例二：数学公式编辑器在课件中的应用
数学公式编辑器介绍
01
一款专门用于编辑和排版数学公式的工具，支持符号计算和公
式排版。
应用实例
02
使用数学公式编辑器制作课件中的数学公式和定理，并进行格
式化排版。
优势分析
03
方便快捷地编辑和排版复杂的数学公式，提高课件的专业性和
行模拟和分析，为理论研究和实际应用提供支持。
03
在实际生产中的应用
在实际生产中，数学实验也具有广泛的应用价值。例如，在工业设计、
金融分析、物流优化等领域中，可以通过数学实验对各种问题进行建模
和优化，提高生产效率和管理水平。
03 数学实验课件内容
课件结构与布局
01
02
03
课件目录
清晰列出课件的章节和主 要内容，方便学习者了解 整体结构。
文字过多
过多的文字容易使课件显得枯燥乏味，应尽量精简文字， 突出重点，使用图表、图片等形式进行辅助说明。
05 数学实验课件实例展示
实例一：几何画板在数学实验中的应用
几何画板介绍
一款专业的几何绘图工具，适用于数学、物理等 学科的教学演示。
应用实例
利用几何画板绘制各种几何图形，如三角形、圆实验课件的展望和期待
技术升级
随着科技的发展，未来数学实验课件将更加注重虚拟现实、增强现 实等技术应用，为学生提供更加沉浸式的学习体验。
个性化学习
未来的课件将更加注重个性化学习，根据学生的学习习惯和需求， 智能推送学习资源和学习路径。
社区化学习
通过建立学习社区，鼓励学生之间的交流与合作，促进知识的共享和 传播，提高学习效果。
直观、动态的演示方式有助于学生理解几何概念， 提高学习兴趣。
实例二：数学公式编辑器在课件中的应用
数学公式编辑器介绍
01
一款专门用于编辑和排版数学公式的工具，支持符号计算和公
式排版。
应用实例
02
使用数学公式编辑器制作课件中的数学公式和定理，并进行格
式化排版。
优势分析
03
方便快捷地编辑和排版复杂的数学公式，提高课件的专业性和
行模拟和分析，为理论研究和实际应用提供支持。
03
在实际生产中的应用
在实际生产中，数学实验也具有广泛的应用价值。例如，在工业设计、
金融分析、物流优化等领域中，可以通过数学实验对各种问题进行建模
和优化，提高生产效率和管理水平。
03 数学实验课件内容
课件结构与布局
01
02
03
课件目录
清晰列出课件的章节和主 要内容，方便学习者了解 整体结构。
文字过多
过多的文字容易使课件显得枯燥乏味，应尽量精简文字， 突出重点，使用图表、图片等形式进行辅助说明。
05 数学实验课件实例展示
实例一：几何画板在数学实验中的应用
几何画板介绍
一款专业的几何绘图工具，适用于数学、物理等 学科的教学演示。
应用实例
利用几何画板绘制各种几何图形，如三角形、圆实验课件的展望和期待
技术升级
随着科技的发展，未来数学实验课件将更加注重虚拟现实、增强现 实等技术应用，为学生提供更加沉浸式的学习体验。
个性化学习
未来的课件将更加注重个性化学习，根据学生的学习习惯和需求， 智能推送学习资源和学习路径。
社区化学习
通过建立学习社区，鼓励学生之间的交流与合作，促进知识的共享和 传播，提高学习效果。
北师大版四年级数学上册数学好玩---第1课时《滴水实验》PPT课件
滴水情况。
45×（60÷5）=540（毫升）
测量：1分滴水40次，5分共滴水45毫升。 540×24=12960（毫升）
计算：1时滴水（ 540 ）毫升，1昼夜滴水 （ 129）60毫升。
分析：根据以上数据你的感想是（ 积少
成多，节约水资源，从一点一滴做）起。。
2.小明刷牙时不间断放水30秒，用水约6000毫升。小刚 用杯子接水刷牙，需要3杯水，每杯约200毫升。
典例精讲
授之以鱼不如授之以渔
本课结束
（6000－200×3）×2×30=324000（毫升） （6000－200×3）×2×365=3942000（毫升） 答：每月节约324000毫升，1年节约3942000毫升。
课堂总结
节约用水，从我做起， 从一点一滴做起！ 观察自己家的用水情况，看看 平时父母在生活中是怎样节约用水 的。收集起来和大家交流，并把好 的方法告诉自己的家长。
北师大版四年级数学上册数学好玩---第 1课时《滴水实验》PPT课件
情景导入
水资源是一种可再生资源，但并不是 取之不尽用之不竭的。预计到2025年， 世界上将会有30亿人面临缺水，40个 国家和地区淡水严重不足，水资源短
缺已经成为制约经济发展和人们生产 生活的重要因素。
水龙头在滴水，多浪费啊！ 我们用完水后要随手关紧 水龙头！
（1）小明刷一次牙的用水量够小刚刷牙多少次？
6000÷（200×3） =6000÷600 =10（次） 答：小明刷一次牙的用水量够小刚刷牙10次。
思维训练
2.小明刷牙时不间断放水30秒，用水约6000毫升。小刚 用杯子接水刷牙，需要3杯水，每杯约200毫升。
（2）如果按每日刷牙两次计算，那么小刚每月（按30天计算）比小明节约用水多少 毫升？1年（按365 天计算）呢？
实验五：素数(.ppt)
a
2
a (modn) n
• 维路于1978年指出，上述常数C=70. • 由此可以设计如下多项式算法： 对任意n, 依次对a=1,2,…,70(logn)^2检验 上式是否成立。若对每一个a都不成立， 则n为素数。否则，n 为合数。 上述算法的运算量为O(logn)^5.
2、素数表的构造
• Eratosthenes筛法 2 3 4 5 10 11 12 13
18 19 26 27 20 28 21 29
6 14 22 30
7 15
8 16
9 17 25
23 24 31
32 33
经过众多学者的艰辛努力, D.N.Lehmer 于 1914年编织出了10000000以内的素数表。
通过编程计算发现，反过来结论并不成 立。例如，
2
340
1 mod341
1 mod p
但是341=11x34为合数！称使得
2
p 1
成立的p为伪素数。
注意同余的计算：
2
340
(2 ) 1024
10 34 34 34
(3 341 1) 1 mod 341
进一步，伪素数有多少个？
• 五年后他进一步证明了: 一个正n边行可 用直尺与园规作图的充要条件是, n=2^k 或者n=2^k p_1 p_2... p_r, 其中 p_1,p_2,...,p_r为不同的Fermat数. 特 别地, 正17边形可以用直尺与园规做出. • 此后，数学家梨西罗与盖尔美斯给出了 正257边形与正65537边形的做图法！
267 1 193707721 7618382572 87
• 截止2002年2月, 数学家仅发现了39个 Mersenne素数.
2
a (modn) n
• 维路于1978年指出，上述常数C=70. • 由此可以设计如下多项式算法： 对任意n, 依次对a=1,2,…,70(logn)^2检验 上式是否成立。若对每一个a都不成立， 则n为素数。否则，n 为合数。 上述算法的运算量为O(logn)^5.
2、素数表的构造
• Eratosthenes筛法 2 3 4 5 10 11 12 13
18 19 26 27 20 28 21 29
6 14 22 30
7 15
8 16
9 17 25
23 24 31
32 33
经过众多学者的艰辛努力, D.N.Lehmer 于 1914年编织出了10000000以内的素数表。
通过编程计算发现，反过来结论并不成 立。例如，
2
340
1 mod341
1 mod p
但是341=11x34为合数！称使得
2
p 1
成立的p为伪素数。
注意同余的计算：
2
340
(2 ) 1024
10 34 34 34
(3 341 1) 1 mod 341
进一步，伪素数有多少个？
• 五年后他进一步证明了: 一个正n边行可 用直尺与园规作图的充要条件是, n=2^k 或者n=2^k p_1 p_2... p_r, 其中 p_1,p_2,...,p_r为不同的Fermat数. 特 别地, 正17边形可以用直尺与园规做出. • 此后，数学家梨西罗与盖尔美斯给出了 正257边形与正65537边形的做图法！
267 1 193707721 7618382572 87
• 截止2002年2月, 数学家仅发现了39个 Mersenne素数.
四年级数学小实验(共9张PPT)
放实放放港米长实实长放长放实放观 观我观我大大验大大尺5验验5大5大大察察的察的验000后 后 步 后 后 、 步 材 后 后 后 到到 猜 到 猜厘厘厘研的的骤的的铁骤料的的的的 的测的测米米米究角角：角角架：：角角角现 现：现：口（（（度度度度台度度度象 象象宽宽宽记垂变数数数数、数数数： ：：度度度录线大会会会会具不会会当为为为单段。变变变变有会变变长111厘厘厘最吗吗吗吗伸发吗吗绳米米米短？？？？缩生？？与）））。性改泡塑塑塑长变沫料料料绳。板泡泡泡、形沫沫沫成板板板的、、、角三三三度角角角为板板板90、、、度量量量时角角角，器器器长、、、绳大大大的头头头长钉钉钉度。。。最短，即点A到泡沫板的距离垂线段最短。
实验材料：
放大镜 、量角器。
我的猜测： 变大。
实验步骤： 1.让放大镜靠近观察的物体，观察对象不动，人眼和观察对象 之间的距离不变，然后移动手持放大镜在物体和人眼之间来回 移动，直至图像大而清楚。 2. 记录放大镜和实物间的距离，同时用量角器测量所呈象的 角度。 观察到的现象：
放大后的角度数不会发生改变。
结论：我认为角的边是由射线组成，放大镜放大的是角的边， 角的开口大小并没有改变。
实验研究记录单
次数
1
2
3
4
高度
（放大镜距离实物的 高度）
角度
观察到的现象：当长绳与泡沫板形成的角度为90度时，长绳的 长度最短，即点A到泡沫板的距离垂线段最短。
结论：我认为 点到直线距离垂线段最短。
实验研究记录单
次数 1
2
3
4
5
6
长度
角度
实验二：
放大后的角度数会变吗？
放大后的角度数会变吗？
小学数学实验报告单
学 校 育翔小学 年(班)级 四年级
实验材料：
放大镜 、量角器。
我的猜测： 变大。
实验步骤： 1.让放大镜靠近观察的物体，观察对象不动，人眼和观察对象 之间的距离不变，然后移动手持放大镜在物体和人眼之间来回 移动，直至图像大而清楚。 2. 记录放大镜和实物间的距离，同时用量角器测量所呈象的 角度。 观察到的现象：
放大后的角度数不会发生改变。
结论：我认为角的边是由射线组成，放大镜放大的是角的边， 角的开口大小并没有改变。
实验研究记录单
次数
1
2
3
4
高度
（放大镜距离实物的 高度）
角度
观察到的现象：当长绳与泡沫板形成的角度为90度时，长绳的 长度最短，即点A到泡沫板的距离垂线段最短。
结论：我认为 点到直线距离垂线段最短。
实验研究记录单
次数 1
2
3
4
5
6
长度
角度
实验二：
放大后的角度数会变吗？
放大后的角度数会变吗？
小学数学实验报告单
学 校 育翔小学 年(班)级 四年级
数学实验概率统计课件
2
第1章 古典概型
从 17 世纪到 19 世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、 普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发 展做出了杰出的贡献。为概率论确定严密的理论基础的是数 学家柯尔莫哥洛夫。1933 年，他发表了著名的《概率论的基 本概念》，用公理化结构，明确定义了概率论中的基本概念， 成为了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅 速发展奠定了基础。
(2)至少有 2 个一级品的概率？
（1）>> p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)
运行结果：
p1 =
0.2096
（2）
>> p2=1-(nchoosek(32,30)+nchoosek(18,1)*nchoosek(32,29))/nchoosek(50,30)
常见分布的概率密度、分布函数生成
【实验内容】 1. 事件 A 在每次试验中发生的概率是 0.3，计算 （1）在 10 次试验中 A 恰 好发生 6 次的概率； （2）生成事件 A 发生次数的概率分布； （3）在 10 次试验中 A 最多发生 6 次的概率； （4）设事件 A 发生次数为 X，且 X 的分布函数为 F(x)，求 F(6.1)；又 已知 F（x）=0.345，求 x。
27
3425371 5496764
随机数的生成
2．产生 7 个服从参数为 6 的泊松分布的随机数。
>> poissrnd(6,1,7) 运行结果为：
ans =
1.6449
24
2. 1 验证性实验
实验二 随机数的生成
【实验目的】 1．掌握常见分布的随机数产生的有关命令 2．掌握利用随机数进行随机模拟的方法 【实验要求】 掌握常见分布的随机数产生命令，如 binornd，normrnd 等
第1章 古典概型
从 17 世纪到 19 世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、 普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发 展做出了杰出的贡献。为概率论确定严密的理论基础的是数 学家柯尔莫哥洛夫。1933 年，他发表了著名的《概率论的基 本概念》，用公理化结构，明确定义了概率论中的基本概念， 成为了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅 速发展奠定了基础。
(2)至少有 2 个一级品的概率？
（1）>> p1=nchoosek(32,20)*nchoosek(18,10)/nchoosek(50,30)
运行结果：
p1 =
0.2096
（2）
>> p2=1-(nchoosek(32,30)+nchoosek(18,1)*nchoosek(32,29))/nchoosek(50,30)
常见分布的概率密度、分布函数生成
【实验内容】 1. 事件 A 在每次试验中发生的概率是 0.3，计算 （1）在 10 次试验中 A 恰 好发生 6 次的概率； （2）生成事件 A 发生次数的概率分布； （3）在 10 次试验中 A 最多发生 6 次的概率； （4）设事件 A 发生次数为 X，且 X 的分布函数为 F(x)，求 F(6.1)；又 已知 F（x）=0.345，求 x。
27
3425371 5496764
随机数的生成
2．产生 7 个服从参数为 6 的泊松分布的随机数。
>> poissrnd(6,1,7) 运行结果为：
ans =
1.6449
24
2. 1 验证性实验
实验二 随机数的生成
【实验目的】 1．掌握常见分布的随机数产生的有关命令 2．掌握利用随机数进行随机模拟的方法 【实验要求】 掌握常见分布的随机数产生命令，如 binornd，normrnd 等
数学建模与数学实验ppt课件
02
通过数学实验，可以发现和解决数学理论中的问题，推动数学
理论的发展和完善。
数学实验在科学、工程、经济等领域有广泛应用，为解决实际
03
问题提供有效的工具和方法。
数学实验的常用工具
MATLAB
一种常用的数学计算软件，具有强大的数值 计算、矩阵运算和图形绘制等功能。
Python
一种通用编程语言，广泛用于科学计算、数 据分析和机器学习等领域。
02
03
相互促进
两者都是为了解决实际问题或探 究数学问题而进行的方法和工具。
数学建模为数学实验提供理论指 导，而数学实验可以验证数学建 模的正确性和有效性。
区别
目的
数学建模的主要目的是建立数学模型，描述实际问题中变 量之间的关系；而数学实验则是通过实验手段来探究数学 规律或验证数学结论。
应用领域
数学建模广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等； 而数学实验则更多应用于数学教育和研究领域。
简化模型
在保证模型精度的基础上，对模型进行必要 的简化。
求解模型
求解方法选择
根据模型的特点选择合适的数值计算方法或解 析解法。
编程实现
利用编程语言实现模型的求解过程。
误差分析和收敛性判断
对求解过程进行误差分析，判断求解方法的收敛性和稳定性。
模型验证与优化
数据拟合与检验
将模型结果与实际数据进行对比，检验模型的准确性和适用性。
问题分析
明确问题定义
对问题进行深入理解，明确问题的目标、约束条件和 相关参数。
收集数据和信息
收集与问题相关的数据和背景信息，为建立模型提供 依据。
确定主要影响因素
分析问题中起决定性作用的关键因素，忽略次要因素。
数学实验2课件市公开课金奖市赛课一等奖课件
其中
Ra=y
r1 ( x1 ) rm ( x1 )
R
,
r1 ( xn ) rm ( xn )
a1
a
,
am
（3）
y1
y
yn
定理: 当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解， 且即为方程组
RTRa=RTy
解: a=(RTR)-1RTy
第13页
设 y*=a+bxi , 令 δi=yi-y*i=yi-a-bxi, 依据最 小二乘原理, 即使误差平方和达到最小, 也就是令
第22页
用MATLAB作非线性最小二乘拟合 Matlab(优化工具箱)提供了两个求非线性最小二 乘拟合函数: lsqcurvefit和lsqnonlin。 两个命令都要先建立M-文献定义函数, 然后编写 主程序M-文献求解非线性模型未知参数
注意: 二者定义f(x)方式是不同.
第23页
1. lsqcurvefit 已知数据点: xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），
1.线性最小二乘拟合 2.非线性最小二乘拟合 3.cftool(自学)
ployfit \
lsqcurvefit lsqnonlin
第18页
多项式在x处值y可用下列命令计算: y=polyval（a，x）
用MATLAB作线性最小二乘拟合
1.作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有
第28页
课堂小结
x0赋值:注意单位/依据结果重新赋值 ployfit(x,y,m)中x,y赋值: y换行要加… 画图: 非线性模型画出直线
非线性线性化后没有还原
第29页
《数学实验》课件
05
总结与展望
本课程的主要收获
掌握数学实验的基本方法
培养创新思维
通过本课程的学习，学生将掌握如何运用 数学实验的方法解决实际问题，提高数学 应用能力。
数学实验注重探究和创新，通过实验过程 ，学生将学会如何从实际问题出发，设计 合理的数学模型，进而解决问题。
提升数据处理能力
增强团队协作能力
在数学实验中，学生将接触到大量的数据 ，学会如何进行数据清洗、处理和分析， 提高数据处理技能。
利用数学软件进行模拟实验
模拟实验
利用数学软件进行模拟实验，可 以模拟各种数学模型和现象，帮 助学生更好地理解数学概念和应
用。
实验步骤
在课件中详细介绍如何利用数学软 件进行模拟实验，包括实验目的、 实验原理、实验步骤和实验结果分 析等。
实例演示
通过具体的实例演示，展示如何利 用数学软件进行模拟实验，并解释 实验结果和意义。
实验目的
培养学生运用数学知 识和方法解决实际问 题的能力。
培养学生的创新思维 和实践能力，提高综 合素质。
通过实验让学生深入 理解数学概念和原理 ，提高数学素养和应 用能力。
02
数学基础知识回顾
代数基础
01
02
03
代数方程
回顾一元一次方程、一元 二次方程、二元一次方程 组的解法，以及代数方程 的根的性质。
代数运算
掌握基本的代数运算，如 加法、减法、乘法、除法 、乘方和开方等。
代数式与表达式
理解代数式的组成和性质 ，掌握简化代数式的方法 。
几何基础
平面几何
掌握基本的平面几何概念 ，如点、线、面、角等， 以及平行线和相交线的性 质。
立体几何
理解三维空间中的点、线 、面等概念，掌握简单几 何体的性质和特点。
六年级上册数学小球反弹高度实验教学PPT汇报
Байду номын сангаас
足球 84 81 87 88 89 85
弹力 84 81 83 91 92 95 球
02 实验结果
PART 02
对表格数据进行计算 1、计算球体反弹的平均值 2、计算反弹高度是下落高度的几分之几
篮球 足球
弹力 球
球体距离地面高度：1米
木质地板弹跳 地砖弹跳平均
平均高度 cm 高度 cm
11/20
17/25
03
PART 03
知识点拓展
5、若篮球、足球等球体充气量不足，则他们的反弹高度会大幅下降；反之，如果 球体的充气量充足，就会反弹很高。所以在球类比赛中，最好打气适中，否则会 影响比赛的公平性。 6、球的材质不一样也会影响反弹高度。足球的皮比较软，篮球的材质更硬一些， 所以同等条件下下，篮球的反弹高度一般会比足球高。 7.高度和力度这两个因素也会影响反弹高度。起始高度越高，球体的反弹高度越高， 反之亦然。在测试中，如果我们在起始高度给球体一个向下的力，球体下落后反 弹的高度就会明显上升，甚至会超过起始高度，这就说明力量也会影响反弹高度。
球体的反弹高度实验
Experiment on rebound height of sphere
六年级9班 傅雨龙
CONTENTS
01 反弹实验
02 实验结果
目
03 知识点拓展
录
页
01 反弹实验
PART 01
实验目的 1、研究同一个球体从不同高度下落后，在地面的反弹高度 2、研究不同球体从相同高度下落后，在地面的反弹高度
感谢观看
THANKS FOR WATCHING
02 实验结果
PART 02
测量结果如下
足球 84 81 87 88 89 85
弹力 84 81 83 91 92 95 球
02 实验结果
PART 02
对表格数据进行计算 1、计算球体反弹的平均值 2、计算反弹高度是下落高度的几分之几
篮球 足球
弹力 球
球体距离地面高度：1米
木质地板弹跳 地砖弹跳平均
平均高度 cm 高度 cm
11/20
17/25
03
PART 03
知识点拓展
5、若篮球、足球等球体充气量不足，则他们的反弹高度会大幅下降；反之，如果 球体的充气量充足，就会反弹很高。所以在球类比赛中，最好打气适中，否则会 影响比赛的公平性。 6、球的材质不一样也会影响反弹高度。足球的皮比较软，篮球的材质更硬一些， 所以同等条件下下，篮球的反弹高度一般会比足球高。 7.高度和力度这两个因素也会影响反弹高度。起始高度越高，球体的反弹高度越高， 反之亦然。在测试中，如果我们在起始高度给球体一个向下的力，球体下落后反 弹的高度就会明显上升，甚至会超过起始高度，这就说明力量也会影响反弹高度。
球体的反弹高度实验
Experiment on rebound height of sphere
六年级9班 傅雨龙
CONTENTS
01 反弹实验
02 实验结果
目
03 知识点拓展
录
页
01 反弹实验
PART 01
实验目的 1、研究同一个球体从不同高度下落后，在地面的反弹高度 2、研究不同球体从相同高度下落后，在地面的反弹高度
感谢观看
THANKS FOR WATCHING
02 实验结果
PART 02
测量结果如下
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A
F
n
(
n
ai2j
)
1 2
i1 j1
5、矩阵范数与谱半径的关系：
对于 A Rnn，有 ( A) A ，这里 A 是任何一种矩阵
范数。
6、条件数与误差估计：
1）定义
设 A Rnn可逆，对于 A 的任意一种算子范数A ，称 cond( A) A A1
为 矩 阵 A 的 条 件 数 。 对 于 A 2, A 1, A 相 应 地 有 cond2 ( A),cond1( A),cond ( A)。
则称 x 为向量x 的范数（或模）
2、常用的向量范数 记 x (x1, x2, , xn )T Rn
1） 2---范数
x
2
n
(
1
xi2 ) 2
i1
n
2） 1---范数 x 1 xi
i1
3） ---范数
4） p---范数
x
max
1in
xi
1
x
p
n
(
xi
p)p
3、解非线性方程（组）的方法介绍.
实验软件 MATLAB
向量范数
1、定义 设x Rn，若存在实函数N (x) x ，满足： a) （正定性）： x 0 ，当且仅当x 0时 x 0 ；
b) （齐次性）： R, x x ；
c) （三角不等式）：y Rn , x y x y 。
(4)
an(n1,1n)1xn1 an(n1,1n) xn bn(n11)
an(nn) xn bn(n)
从（4）式最后一个方程解出xn ，代入它上面的一个方程 解出xn1，并如此进行下去，即可依次将xn , , x1 全部解 出，这样在ak(kk) 0(k 1,2, , n)的假设下，由上而下的
4、常用的矩阵范数 记 A (aij )nn , aij R
1） 2---范数 A 2 ( AT A) ，( A) 为 A 的谱半径
n
2） 1---范数
A
1
max
1 jn
i1
aij
n
3） ---范数
A
max
1in
j 1
aij
4） Frobenius---范数
误差 A（b 不变）时，解 x 相应地有误差 x ，其大小
有如下估计式：
x cond( A) b
x
b
x cond( A) A
x x
A
注：矩阵的条件数可视为矩阵病态程度的一种度量，条件数 越大，病态越严重，引起方程组解的误差可能越大。
讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程
消元由下而上的回代，就构成 记 A (aij )nn , x (x1, xn )T ,b (b1, b2 )T 则
（1）式表为
Ax b
（5）
则高斯消元法的过程可用矩阵表示为：
M n1 M 2M1Ax M n1 M 2M1b
组：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
一、直接法
1、高斯消元法
在（1）中设a11
0
，将第一行乘以
ak1 a11
，加到第
k行
（k 2,3, , n），得：
a1(11) x1 a1(12) x2 a1(1n) xn b1(1) a2(22) x2 a2(2n) xn b2(2)
(3)
an(22) x2 an(2n) xn bn(2)
c) （三角不等式）：B Rnn , A B A B 。 d) （相容性）：B Rnn , AB A B
则称 A 为向量A 的范数（或模）
2、矩阵范数 与向量范数的相容性条件：
x Rn , A Rnn，有 Ax A x
3、定义 对于x Rn , A Rnn ，和一种向量范数 ，称 A max Ax 为矩阵 A 的算子范数 x0 x
其中a1(1k) a1k ,b1(1) b1
再设a2(22)
0，将（3）式的第二行乘以
ak(22) a2(22)
(k
3,
, n)
加入第 k 行，并如此进行下去，最终得到：
a1(11) x1 a1(12) x2 a1(1n) b1(1) a2(22) x2 a2(2n) b2(2)
lim x(k) x的充要条件是 lim x(k) x 0 ，其中
k
k
• 表示任何一种范数。
矩阵范数
1、定义 设 A Rnn，若存在实函数N ( A) A ，满足： a) （正定性）： A 0 ，当且仅当A 0 时 A 0 ；
b) （齐次性）： R, A A ；
数学实验
Experiments in Mathematics 代数方程组的解法
重庆邮电学院基础数学教学部
实验目的 实验内容
1、用Matlab软件掌握（非）线性方程组的解 法，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步 分析. 2、通过实例练习用（非）线性方程组求解实际 问题.
1、向量和矩阵的范数.
2、解线性方程组的方法介绍.
2）、条件数的性质：
a) cond ( A) 1；
b) 对于 ( 0) R ，cond (A) cond ( A)； c) 对于正交阵Q Rnn ，
cond(QA) cond( AQ) cond( A)；
3）、误差估计：
对于方程组 Ax b，当 b 有误差 b （A 不变）或 A 有
(1
p
)
i1
3、范数性质
定理 1（欧氏空间向量范数的等价性） 设 x , x 为任 意 两 种 范 数 ， 则 存 在 常 数 c1, c2 0 ， 使 c1 x x c2 x 对任意x Rn 成立。
定理 2（向量序列xk (k 1,2, )的收敛性）