数学实验.ppt

误差 A（b 不变）时，解 x 相应地有误差 x ，其大小
有如下估计式：
x cond( A) b
x
b
x cond( A) A
x x
A
注：矩阵的条件数可视为矩阵病态程度的一种度量，条件数 越大，病态越严重，引起方程组解的误差可能越大。
讨论如下表示含有n 个未知数、由n 个方程构成的线性方程
，加到第
k行
（k 2,3, , n），得：

a1(11) x1 a1(12) x2 a1(1n) xn b1(1) a2(22) x2 a2(2n) xn b2(2)
(3)



an(22) x2 an(2n) xn bn(2)
2）、条件数的性质：
a) cond ( A) 1；
b) 对于 ( 0) R ，cond (A) cond ( A)； c) 对于正交阵Q Rnn ，
cond(QA) cond( AQ) cond( A)；
3）、误差估计：
对于方程组 Ax b，当 b 有误差 b （A 不变）或 A 有
lim x(k) x的充要条件是 lim x(k) x 0 ，其中
k
k
• 表示任何一种范数。
矩阵范数
1、定义 设 A Rnn，若存在实函数N ( A) A ，满足： a) （正定性）： A 0 ，当且仅当A 0 时 A 0 ；
b) （齐次性）： R, A A ；
数学实验
Experiments in Mathematics 代数方程组的解法
重庆邮电学院基础数学教学部
实验目的 实验内容
1、用Matlab软件掌握（非）线性方程组的解 法，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步 分析. 2、通过实例练习用（非）线性方程组求解实际 问题.
1、向量和矩阵的范数.
2、解线性方程组的方法介绍.
组：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2


(1)
an1x1 an2 x2 ann xn bn
一、直接法
1、高斯消元法
在（1）中设a11

0
，将第一行乘以
ak1 a11
4、常用的矩阵范数 记 A (aij )nn , aij R
1） 2---范数 A 2 ( AT A) ，( A) 为 A 的谱半径
n
2） 1---范数
A
1

max
1 jn

i1
aij
n
3） ---范数
A
max
1in

j 1
aij
4） Frobenius---范数
消元由下而上的回代，就构成了方程组的消元法，称高斯
消元法。
高斯消元法矩阵表示
若 记 A (aij )nn , x (x1, xn )T ,b (b1, b2 )T 则
（1）式表为
Ax b
（5）
则高斯消元法的过程可用矩阵表示为：
M n1 M 2M1Ax M n1 M 2M1b
其中a1(1k) a1k ,b1(1) b1
再设a2(22)

0，将（3）式的第二行乘以
ak(22) a2(22)
(k

3,
, n)
加入第 k 行，并如此进行下去，最终得到：

a1(11) x1 a1(12) x2 a1(1n) b1(1) a2(22) x2 a2(2n) b2(2)
3、解非线性方程（组）的方法介绍.
实验软件 MATLAB
向量范数
1、定义 设x Rn，若存在实函数N (x) x ，满足： a) （正定性）： x 0 ，当且仅当x 0时 x 0 ；
b) （齐次性）： R, x x ；
c) （三角不等式）：y Rn , x y x y 。
则称 x 为向量x 的范数（或模）
2、常用的向量范数 记 x (x1, x2, , xn )T Rn
1） 2---范数
x
2

n
(
1
xi2 ) 2
i1
n
2） 1---范数 x 1 xi
i1
3） ---范数
4） p---范数
x

max
1in
xi
1
x
p
Biblioteka Baidu
n
(
xi
p)p
c) （三角不等式）：B Rnn , A B A B 。 d) （相容性）：B Rnn , AB A B
则称 A 为向量A 的范数（或模）
2、矩阵范数 与向量范数的相容性条件：
x Rn , A Rnn，有 Ax A x
3、定义 对于x Rn , A Rnn ，和一种向量范数 ，称 A max Ax 为矩阵 A 的算子范数 x0 x
(1
p

)
i1
3、范数性质
定理 1（欧氏空间向量范数的等价性） 设 x , x 为任 意 两 种 范 数 ， 则 存 在 常 数 c1, c2 0 ， 使 c1 x x c2 x 对任意x Rn 成立。
定理 2（向量序列xk (k 1,2, )的收敛性）


(4)

an(n1,1n)1xn1 an(n1,1n) xn bn(n11)

an(nn) xn bn(n)
从（4）式最后一个方程解出xn ，代入它上面的一个方程 解出xn1，并如此进行下去，即可依次将xn , , x1 全部解 出，这样在ak(kk) 0(k 1,2, , n)的假设下，由上而下的
A
F
n
(
n

ai2j
)
1 2
i1 j1
5、矩阵范数与谱半径的关系：
对于 A Rnn，有 ( A) A ，这里 A 是任何一种矩阵
范数。
6、条件数与误差估计：
1）定义
设 A Rnn可逆，对于 A 的任意一种算子范数A ，称 cond( A) A A1
为 矩 阵 A 的 条 件 数 。 对 于 A 2, A 1, A 相 应 地 有 cond2 ( A),cond1( A),cond ( A)。