2.2 一阶逻辑合式公式及解释

2.2 一阶逻辑合式公式及解释
Def. Lp的一个解释I由下面4部分组成： ①非空个体域DI； ②DI中一部分特定元素: a‛, b‛, …； ③DI上一些特定的函数: f‛, g‛, …； ④DI上一些特定的谓词；P‛, Q‛, …． ——解释、赋值 谓词公式à命题 Ø "x(F(x)∧G(x,a))
Ø
换名规则与代替规则的共同点都是不能改变约束关系。
Ø
不同点是：
①施行的对象不同．换名是对约束变项施行，代替是对 自由变项施行． ②施行的范围不同．换名可以只对公式中一个量词及其 辖域内施行．即只对公式的一个子公式施行；而代替 必须对整个公式同一个自由变项的所有自由出现同时 施行，即必须对整个公式施行． ③施行后的结果不同．换名后，公式含义不变。因为约 束变项只改名为另一个个体变项，约束关系不变．代 替规则，不仅可用另一个个体变项进行代入，也可用 个体常项去代入，从而使公式由具有普遍意义变为仅 对该个体常项有意义，即公式的含义改变了．
• •
$x的辖域是H(x,y), x约束出现,y自由出现．
在整个公式中,x为约束出现,y既约束出现又自由出现,z 为自由出现． Ø 常用A(x)表示x是其中的一个个体变项自由出现的任 意公式，如A(x)为P(x)®Q(x), 或P(x)∨$yQ(x,y)等. 一旦在A(x)前加上量词"x或$x, 即公式"xA(x)或 $xA(x), 这时x即是约束出现了．类似地，用A(x,y)表 示x和y是自由出现的公式．
Discrete Math. 离 散 数 学
第二章 一阶逻辑
First-order Logic Ø 2.1 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑合式公式及解释 Ø 2.3 一阶逻辑等值式
Ø 2.2
一阶逻辑推理理论 Ø 2.5 题例分析
Ø 2.4
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
1. 谓词公式
Def. 字母表如下：
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
Def. 合式(谓词)公式的定义如下： ①原子公式是合式公式； ②若A是合式公式，则(ØA)是合式公式； ③若A, B是合式公式，则(A∧B),(A∨B), (A®B)和 (A«B)都是合式公式； ④若A是合式公式，x是个体变项，则"xA和$xA都 是合式公式； ⑤只有有限次应用①～④构成的符号串才是合式公式 (谓词公式，简称公式)．
Ø l
解释：DI={2,3}, a=2, F(x):F(2)=0,F(3)=1, G(x,y):G(i,j)=1,i,j=2,3 上式Û(F(2)∧G(2,2))∧(F(3)∧G(3,2))
l
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
Def. Lp的一个公式A称为逻辑有效式(永真式)，如果A 在Lp的任何解释下都是真；A是矛盾式(永假式)，如 果它在任何解释下都是假的；若至少存在一个解释使 A为真，则称A为可满足式。 Def. 令A为Ls中的公式，其中出现的命题变项为 P1,P2,…,Pn. A1‛,A2‛,…,An‛是Lp中的公式，用Ai‛(l≤i≤n) 处处代入A中的Pi而得到Lp中的公式A‛，称A‛为A在Lp 中的代入实例． Ø 若A为永真式，则A‘为Lp的永真式．
Ø
若存在d0属于D, 使得A(d0)为假, 则"xA为假, 所以 "xA®$xA为真; 若"x属于D, 都有A(x)为真, 则"xA, $xA均为真, 所以 "xA®$xA为真, 故在解释I下, 原公式为真, 由I的任意性, 所②. "x$yF(x,y)®$x"yF(x,y) ②本公式不是逻辑有效的. 为此, 只需构造一个解释及其 不满足此公式的赋值即可． Ø 取解释I如下：
例. 指出下列各合式公式中的量词辖域、个体变项的约 束出现和自由出现． ① "x(F(x)®$yH(x,y))
• •
$y的辖域为H(x,y)，y约束出现，x自由出现． "x的辖域是F(x)®$yH(x,y)，x和y均约束出现，x约 束出现2次，y约束出现1次． $x的辖域是F(x)，x为约束出现, G(x,y)中的x和y都为自由出现． 对于整个公式，x约束出现1次, 自由出现1次, y自由出 现1次．
Ø
若A为矛盾式，则A‘为Lp的矛盾式．
l
如，"xA(x)®"xA(x)是P®P的代入实例，并且是 Lp中的永真式．
例. 判断下列公式是否为逻辑有效： ①. "xA®$xA, 其中A为任何公式, x为任意个体变项． ②. "x$yF(x,y)®$x"yF(x,y) 解 ①令I是Lp的任意解释, 其个体域为D．
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
Def. 设A为任意一个公式，若A中无自由出现的个体变 项，则称A为封闭的合式公式，简称闭式.
Ø
由定义，闭式中所有个体变项均为约束出现．
"x(P(x)®Q(x))和$x"y(P(x)∨Q(x,y))是闭式, l "x(P(x)®Q(x,y))和$y"zL(x,y,z)不是闭式．
1).个体常项：a, b, c, ai, bi, ci, ... 2).个体变项：x, y, z, xi, yi, zi, ... 3).函数符号：f, g, h, fi, gi, hi, ... 4).谓词符号：F, G, H, Fi, Gi, Hi, ... 5).量词符号：", $ 6).联结词符： ¬, ∧, ∨, →, « 7).括号和逗号：(, ), ，。
l
Ø
在同一公式中，有的个体变项既可以约束出现，又可 以自由出现，为了避免混淆，采用下面两个规则:
①约束变项换名规则. 将量词辖域中某个约束出现的个 体变项及相应指导变项，改成本辖域中未曾出现过的 个体变项，其余不变． ②自由变项代替规则. 对某自由出现的个体变项可用个 体常项或用原公式中与所有个体变项不同的变项符号 去代替，且处处代替．
② $xF(x)∧G(x,y)
• • •
③"x"y(R(x,y)∨L(y,z))∧$xH(x,y)
③"x"y(R(x,y)∨L(y,z))∧$xH(x,y)
•
在"x"y(R(x,y)∨L(y,z))中,
• •
"y的辖域: R(x,y)∨L(y,z), y约束出现, x,z自由出现 "x的辖域: "y(R(x,y)∨L(y,z)), x,y约束出现,z自由出现
Ø Ø
命题公式是合式谓词公式的一个特例． 在不引起混淆时，也可以将谓词公式的最外层括号可 省略．但是，量词后面的括号是不能省略的．
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
Def. 在合式公式"xA(x)或$xA(x)中，称x为指导变 项，称A(x)为相应量词的辖域．在辖域中，x的所有 出现称为约束出现，A中不是约束出现的其它个体变 元的出现称为自由出现． Ø 通常，一个量词的辖域是某公式A的一部分，称为A的 子公式．因此，确定一个量词的辖域即是找出位于该 量词之后的相邻接的子公式： ①若量词后有括号，则括号内的子公式就是该量词 的辖域； "x(A(x)…)… ②若量词后无括号，则与量词邻接的子公式为该量 词的辖域． "xA(x)…
Ø
作业
Ø P56-57
l 2.6,
2.7
n 以上习题中的奇数题号
l Ø
令DI为自然数集合N, F(x,y):x=y.
显然, 在解释I下, "x$y(x=y)为真, 而$x"y(x=y)为假, 因此在I下, 蕴涵式为假, 从而它不是逻辑有效的．
在上面的解释I中, 取F(x,y):x<=y, 组成新的解释I‛, 在 I‛下, 蕴涵式的前、后件都是真的, 所以蕴涵式为真, 即 它也不是矛盾式． Ø 综上, 可满足式。
2.2 一阶逻辑合式公式及解释
Def. 项的递归定义如下： ①个体常项和变项是项； ②若φ(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是 项，则φ(t1,t2,…,tn)是项； ③只有有限次地使用①、②生成的符号串才是项． Def. 若P(x1,x2,…,xn)是n元谓词，t1,t2,…,tn是项，则称 P(t1,…,tn)为Lp中原子谓词公式，简称原子公式.
例. 将"x(P(x)®Q(x,y))∧R(x,y)的约束变项换名. 解 把约束变项x改为z, 得 "z(P(z)®Q(z,y))∧R(x,y), 其中R(x,y)的x为自由出现，所以不改． 例. 对"x(P(x)®Q(x,y))∧R(x,y)中的自由变项代替． 解 用z代替自由变项y, w代替自由变项x,得 "x(P(x)®Q(x,z))∧R(w,z)