Cauchy不等式的等价形式及其应用【开题报告】

毕业论文开题报告

数学与应用数学

Cauchy 不等式的等价形式及其应用

一、选题的背景、意义（所选课题的历史背景、国内外研究现状和发展趋势）

柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。柯西不等式在数学的各个分支里都有极其广泛的应用，它在不同的领域就有着不同的表现形式，对它的应用可谓灵活多样，无论是初等数学还是高等数学都有着极其不菲的价值，主要都充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。

从收集到的文献中发现国内外对柯西不等式的研究进展主要有对柯西不等式的证明，推广，以及对柯西不等式的应用举例。

二、相关研究的最新成果及动态

柯西不等式的证明主要可以从配方法、数学归纳法、∆判别法、向量内积法等一些常规的方法加以证明。下面就用其中一种方法加以简单地证明。

柯西不等式：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121 均为实数则

()()()22221222212332211b n n n b b b a a a b a b a b a b a ++++++≤++++

当且仅当i i kb a =时（其中k 为常数，n i 3,2,1=）等号成立。

证明：利用配方法证明

,,,A 11212∑∑∑======n

i i i n i i n i i b a C b B a 只需证明.2

B C A ≥由均值不等式有 .2;;2;22222222222221121222

1

n n n n b a B C b B C a b a B C B B C a b a B C b B C a ≥+≥+≥+ n 个式子相加得

.B

C A C B C 2B B C A 2

22≥≥+，即当且仅当()n i kb a i i ,,2,1 ==等号成立[]1。 Cauchy 不等式的不同形式[][][][][]65432

1、

在初等数学中，任意,,...,2,1,,n i R b a i i =∈有.121221∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i n i i n i i i b a b a 当且仅当

存在不全为零的常数21,k k 使n i b k a k i i ,...,2,1,021==+时，等式成立。

2、 在

积分学中，任意()()[],

,,b a C x g x f ∈有()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a ⎰⎰⎰⋅≤222。当且仅当存在不全为零的常数2

1,k k 使()()021=+x g k x f k 时，等式成立。

3、 在高等代数的n 维欧式空间中，任意向量().,,,βαβαβα⋅≤

当且仅当存在不全为零的常数21,k k 使021=+βαk k 时，等式成立。

4、

在概率论中，任意ηξ,.v r ，若22,ηξE E 存在，则有[].222ηξξηE ⋅E ≤E 当且仅当存在不全为零的常数21,k k 使()1021==+P ηξk k 时，等式成立

柯西不等式在不同的数学领域的形式和内容不同，但却具有内在的联系。在初等数学中的柯西不等式就称为柯西不等式；在微积分中的柯西不等式称为柯西—许瓦兹不等式，它是以积分的形式给出的；在概率论中的柯西不等式也称为柯西—许瓦兹不等式，它是以随机变量的数字特征形式给出的；在线性代数中的柯西不等式称为柯西—布涅雅柯斯基不等式，它是用内积形式给出的。

柯西不等式在不同的数学领域有不同的形式和应用。特别是应用柯西不等式在证明不等式[]7、解三角形[]8、求函数最值[]9、解方程、概率统计[][]1110等问题的方面能起到简便直观的作用。

三、课题的研究内容及拟采取的研究方法（技术路线）、难点及预期达到的目标

（1）、研究方法及路线

通过阅读有关文献资料，对柯西不等式的几种形式之间的比较及在不同数学领域中的不同形式进行比较，分析它们之间的内在联系，给出它们之间相互的推证，并在此基础上根据通过对问题的解决进一步了解柯西不等式，结合自己对柯西不等式认识进行总结。（2）、研究难点

在解决不同类型问题的时候能不能充分地利用柯西不等式的不同等价形式。在解题中怎么分析题设条件及其形式特点，如何比较好地利用柯西不等式来提高解题的技巧，如何对柯西不等式的等价形式及其推广及多方面的应用做一个系统的归纳和总结。

（3）、预期达到的目标

通过此课题的研究对柯西不等式的各种形式有一个全面的认识并加以应用。增强学生自主探究数学问题的能力，掌握研究数学问题的立足点和基本思想方法通过柯西不等式的学习，促使学生在提出问题、分析问题、解决问题以及交流和反思等方面获得发展。

四、论文详细工作进度和安排

第七学期第9周至第10周：确定论文题目；开始查阅文献资料，收集各种纸质、电子文件信息、材料并对其进行加工整理，形成系统材料；确定外文翻译资料；

第七学期第11周至第12周：收集资料，阅读相关文献，分析资料，完成外文翻译；对柯西不等式问题作系统整理完成外文翻译；

第七学期第13周至第17周：认真阅读文献资料，加以归纳总结，完成文献综述，深入分析柯西不等式在不同数学领域的不同形式，建立研究和解决问题的基本方案和技术路线，撰写开题报告；

第七学期第18周：完成网上确认；上传外文翻译，文献综述、开题报告.

第八学期第1周至第3周：全面开展课题研究，按照研究方案和路线撰写论文，对柯西不等式的等价性加以总结和归纳并具体分析，并完成论文初稿；

第八学期第4周至第10周：进入实习单位进行毕业实习，对论文进行修改。继续完善论文初稿，完善柯西不等式在初等数学、微积分、线性代数、概率统计的应用，此阶段任务着重对具体问题加以具体分析，完成研究任务；

第八学期第11周至第12周: 对论文进行修改完善，定稿；对柯西不等式问题作研究总