离散数学(chapter10一些特殊的图)
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
返回第5、3节目录
五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学(chapter10一些特殊的图)精品PPT课件
因为每个值班人员的值班天数都不多于四天，故每 个结点的度数至少是３，任两个结点度数的和至少是 ６，根据判断定理（1）， G包含一条哈密尔顿通路， 它对应着一个可行的值班安排方案。
29.11.2020
离散数学
31
§10.4 平面图
一、平面图的基本概念及性质
平面图：图G若能够以除顶点外没有边交叉的方式 画在平面上，则称G为平面图。 画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入。
大臣要求男女各站一边，彼此愿意成婚的举手，结 果大臣认为无法配对成婚。
但国王不理解他的解释，他的命运？
29.11.2020
离散数学
3
用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系： 卫士
宫女
29.11.2020
离散数学
4
1994年全国大学生数学建模竞赛B题：锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制 造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足 以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一 批. 出来的所有互不相同的锁具称为一 批.
K5
K3,3
29.11.2020
离散数学
32
面：设G是一个连通的平面图(G的某个平面嵌入)， G的边将G所在的平面划分成若干个区域， 每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面)，记R0， 面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
29.11.2020
离散数学
33
包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。 边界的长度称为该面的次数，R的次数记为deg(R)。
29.11.2020
离散数学
31
§10.4 平面图
一、平面图的基本概念及性质
平面图：图G若能够以除顶点外没有边交叉的方式 画在平面上，则称G为平面图。 画出的没有边交叉的图称为G的一个平面嵌入。
大臣要求男女各站一边，彼此愿意成婚的举手，结 果大臣认为无法配对成婚。
但国王不理解他的解释，他的命运？
29.11.2020
离散数学
3
用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系： 卫士
宫女
29.11.2020
离散数学
4
1994年全国大学生数学建模竞赛B题：锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制 造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足 以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一 批. 出来的所有互不相同的锁具称为一 批.
K5
K3,3
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离散数学
32
面：设G是一个连通的平面图(G的某个平面嵌入)， G的边将G所在的平面划分成若干个区域， 每个区域称为的一个面。
其中面积无限的区域称为无限面(或外部面)，记R0， 面积有限的区域称为有限面(或内部面)。
29.11.2020
离散数学
33
包围每个面的所有边所构成的回路称为该面的边界。 边界的长度称为该面的次数，R的次数记为deg(R)。
离散数学 图
陕西师范大学计算机科学学院
欧拉是这样解决这个问题的：将四块陆
地表示成四个点，桥看成是对应结点之间的 连线。则哥尼斯堡七桥问题就变成了：从A， B ， C ， D 任一点出发，通过每边一次且仅一 次返回原出发点的路线（回路）是否存在？ 欧拉证明这样的回路是不存在的。
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第二阶段是从 19 世纪中叶到 1936 年。
陕西师范大学计算机科学学院
图论的产生和发展经历了二百多年的历
史，大体上可分为三个阶段： 第一阶段是从 1736 年到 19 世纪中叶。 当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问 题。最有代表性的工作是著名数学家欧拉于 1736年解决的哥尼斯堡七桥问题。
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东普鲁士的哥尼斯堡城（今俄罗斯的加里宁格
陕西师范大学计算机科学学院
例10.1.1 图10-1的两个图分别为无向图和
有向图。在（ a ）中， e7 是环， e1 、 e2 与 e3
是邻接边。在（ b ）中， v2v1 与 v2v3 是邻接
边，但v2v3和v3v2不是邻接边，v5为孤立结
点。
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定义 10.1.2 （ 1 ）含有平行边（或弧）的图 称为多重图（ Multigraph ）。不含平行边 （ 或 弧 ） 和 环 的 图 称 为 简 单 图 （ Simple Graph）。
论应用于电网络研究。1857年英国的凯莱也
独立地提出了树的概念，并应用于有机化合 物分子结构即CnH2n+2的同分异构物数目的研 究中。 1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
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离散数学10图的基本概念分解
10.2 图与图模型 例10.2 某学校共有10名教师，他们分别参加7个班级的讨论 课，每个班级可能同时需要多位教师参加，有的教师可能需 要参加多个班级的讨论，每个班级必须单独开展讨论课，则 如何安排才使得所有班级在最短时间段内完成讨论课？讨论 课的情况如下（Vi为班级编号，数字1-10为教师编号）： V1={1，2，3}， V2={1，3，4，5}，
图是人们日常生活中常见的一种信息载
体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾
名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，
但这里的图不是平面坐标系中的函数，而是 由一些点和连接这些点的线组成的结构。图 论是有许多应用的古老学科，也一直以来都 是一个热门学科，它已经被广泛应用于计算
机科学、化学、运筹学、心理学等很多领域。
V1
V7
V2
V3={2，5，6，7}，
V4={2，6，7}， V5={4，7，8，9}， V6={8，9，10}， V7={1，3，9，10}。
V6 V3 V4
V5
10.2 图与图模型
V2
V1 V7
V6 V3 V4
V5
顶点集V={V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7 } 边集E={ <V1,V2>,<V1,V3>,<V1,V4>,<V1,V7>,<V2,V3>,<V2,V4>,<V2,V7>,
研究主题
旅行商问题：TSP问题 中国邮路问题
地图着色问题：四色定理
最短路径问题 网络流 匹配 组合计数
主要内容
1) 图的基本术语；
2) 结点的度，子图，完全图；
离散数学10 树
第十章 树10.1画出所有不同构的，有5个顶点的树。
解图10.1 习题1图10.2 证明：一棵树的顶点度数之和为)1 |(|2-V ，其中V 是顶点集。
证明一棵树的所有顶点的度数之和∑==ni iE v 1||2)deg(，因为树的1||||-=V E ，所以)1|(|2||2)deg(1-==∑=V E v ni i。
故一棵树的顶点度数之和为)1 |(|2-V 。
10.3 一棵树有3个2度顶点，5个3度顶点，8个4度顶点，问有几个一度顶点？解设树T 有n 个一度顶点，则∑)deg(v =)1853(21483523-+++=⨯+⨯+⨯+⨯n n ，从而有23=n 。
即该棵树有23个一度顶点。
10.4 一棵树2n 个顶点的度数为2，3n 个顶点的度数为3，…，k n 个顶点度数为k ，问有几个顶点度数为1个顶点。
解设有1n 个度数为1的顶点。
顶点数k n n n v +++=...21，边数1)...(121-+++=-=k n n n v e 。
由握手定理知：∑==-=ni i v v e 1)deg()1(22，故k n n n n n n k k ⨯++⨯+⨯=-+++...212) (22121)因此，2)2(...2431+-+++=k n k n n n10.5 证明：一棵树若有三片树叶，则至少有一个顶点度数大于等于3。
证明反证法。
设),(E V T =且没有一个顶点度数大于等于3，则对于V v ∈∀，有2)de g (≤v ，从而有：∑-+≤)3|(|23)deg(V v||21)1|(|2E V <--=与握手定理矛盾。
故至少有一个顶点度数大于等于3。
10.6 ),(E V T =是一棵树，证明：若T 仅有两个1度顶点，则T 是一条直线。
证明假设T 不是一条直线，因为T 仅有两个1度顶点，所以树中至少存在一个顶点，其度数3≥。
从而有：∑-++⨯≥)3|(|2312)deg(V v1)1|(|2+-=V 1||2+=E ||2E > 与握手定理矛盾。
第8章 一些特殊的图 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]PPT课件
![第8章 一些特殊的图 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/0bbf8143f90f76c660371a1f.png)
若街道图（街道的交叉口为顶点）存在欧拉 通路，显然此路是全程最短。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
11
有向欧拉图的例子
❖一个模数转换中的应用举例：
旋转鼓设计：只需要16个物理触点便可以表示0-15总共16个不同的状态。
如何安排这16个触点使每转过一个触点都得到一个不同的二进制信号。
❖ 连通有向图D具有欧拉通路当且仅当D中除了两个 顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个特 殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个 顶点的入度比出度小1。
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
中国邮递员问题
(欧拉通路的应用)(加权图)
问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街 道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全 程最短。
第八章 一些特殊的图
9/16/2020
§1 二部图 §2 欧拉图 §3 哈密尔顿图 §4 平面图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
1
§1 二部图
无向图G是二部图当且
仅当G中无奇数长度的
❖ 二部图(偶图)：G=<V1,V2,E>
回路。
❖ 完全二部图(完全偶图)：Kn,m，其中|V1| =n, |V2|=m.
（求布鲁英序列）
0000
❖每转一个触点，信号1234变成2345，
000
前者后三位决定了后者的前三位。因此，可把所
0001
1000
001
1001
0010 010 0100
100
有三位二进制数作顶点，从每一个顶点123到 234引一条有向边表示1234这个4位二进
制数，做出表示所有可能的码变换的有向图。于
9/16/2020
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
11
有向欧拉图的例子
❖一个模数转换中的应用举例：
旋转鼓设计：只需要16个物理触点便可以表示0-15总共16个不同的状态。
如何安排这16个触点使每转过一个触点都得到一个不同的二进制信号。
❖ 连通有向图D具有欧拉通路当且仅当D中除了两个 顶点外，其余顶点的入度均等于出度。这两个特 殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个 顶点的入度比出度小1。
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第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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中国邮递员问题
(欧拉通路的应用)(加权图)
问题:
邮递员从邮局出发，走遍投递区域的所有街 道，送完邮件后回到邮局，怎样使所走的路线全 程最短。
第八章 一些特殊的图
9/16/2020
§1 二部图 §2 欧拉图 §3 哈密尔顿图 §4 平面图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
1
§1 二部图
无向图G是二部图当且
仅当G中无奇数长度的
❖ 二部图(偶图)：G=<V1,V2,E>
回路。
❖ 完全二部图(完全偶图)：Kn,m，其中|V1| =n, |V2|=m.
（求布鲁英序列）
0000
❖每转一个触点，信号1234变成2345，
000
前者后三位决定了后者的前三位。因此，可把所
0001
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001
1001
0010 010 0100
100
有三位二进制数作顶点，从每一个顶点123到 234引一条有向边表示1234这个4位二进
制数，做出表示所有可能的码变换的有向图。于
离散数学耿素云PPT第版
3
通路与回路(续)
在两种意义下计算圈的个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).
1
通路与回路实例
2
通路与回路(续)
说明: 表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
4
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
6
点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
通路与回路(续)
在两种意义下计算圈的个数 ① 定义意义下 在无向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作2l个不同的 圈. 如v0v1v2v0 , v1v2v0v1 , v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l3)的圈看作l个不同的 圈. ② 同构意义下 所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).
1
通路与回路实例
2
通路与回路(续)
说明: 表示方法
① 用顶点和边的交替序列(定义), 如=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. 在无向简单图中, 所有圈的长度3; 在有向简单图 中, 所有圈的长度2.
4
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
6
点割集
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
离散数学及其应用课件：特殊图
特殊图
图6-7 基于用户的协同过滤
特殊图
基于物品的协同过滤算法与基于用户的协同过滤算法类 似,只是将商品和用户互换。通过计算不同用户对不同物品 的评分获得物品间的关系,基于物品间的关系对用户进行相 似物品的推荐。举个例子:若用户A 购买了商品a 和b,那么说 明a 和b 的相关度较高。当用户B 也购买了商品a,就可以推 断用户 B 也有购买商品b 的需求。该算法可描述如图 6-8所示。
特殊图
图6-6-题设对应的二部图
特殊图
基于用户的协同过滤算法是通过用户的历史行为(如商 品购买、收藏、内容评价或分享)数据发现用户对商品或内 容的喜欢程度,并对这些喜好进行度量和打分,然后根据不同 用户对相同商品或内容的偏好程度计算用户之间的关系,在 有相同喜好的用户之间进行商品推荐。比如:若A,B 两个用户 都购买了x,y,z 三本图书,并且给出了5星好评,那么A,B 属于同 一类用户,可以将A 看过的书w 推荐给用户B,也可以将B 买过 的商品β推荐给用户A。该算法可描述如图6-7所示。
特殊图
特殊图
解 表6-1中的关系可以用一个二部图G=<V1,V2,E>表示, 如图6-6所示,其中V1={A1,A2,A3,A4,A5}表示5名应届毕业 生,V2={C1,C2,C3,C4,C5}表示五座西部城市。因为A1、A2、A3、 A4、A5 关联的边数分别为2、2、2、3、3,所以每个顶点至少 关联t=2条边,而C2、C3 关联了4条边,4>2,所以不满足t条件,于 是找不到合适的匹配,使得每个人都能去到自己想去的城市。
特殊图 例6.6-考虑图6-16,判断它们是否是欧拉图或半欧拉图,为
什么?
图6-16-有向图的欧拉图判定
特殊图
离散数学10图的基本概念解剖
例10.11 在右图中，
e d
1)通道：aebcaebd。
a
c
2)通道：beacbd（迹）。
3)通道：acbe（路）
b
4）通道：acbea（环）。
10.3 路径与图连通性
图论中的许多概念和应用都与对图的遍 历有关，即是从一个结点u出发，到达与之 相邻接的结点，在从该邻接结点出发到达其 邻接的结点，依次类推，最后可以到达图中 的某结点v，从而就得到一条从u到v的通路。 从
10.2 图与图模型：有向图
边e2(有向边<v1,v2> )关联结点v1、v2
结点 (顶点)
e1 v2 e2
孤立点
v3
v1 分离边
悬挂边 悬挂点
v3结点度为3, 出度为1,入度为2
10.2 图与图模型
e1 v2 e2
v1
e1 v2 e2
v1
无向图
有向图
10.2 图与图模型
练习1 设G=(V,E)是一无向图，V={v1,v2,…, v8}， E={(v1,v2),(v2,v3),(v3,v1),(v1,v5),(v5,v4), (v4,v3),(v7,v8)} （1）画出G的图解； （2）指出与V3邻接的结点，以及和V3关联的边； （3）指出与(v2,v3)邻接的边和与(v2,v3)关联的结点； （4）该图是否有孤立结点和孤立边？ （5）求出各结点的度数，并判断是否是完全图和正 则图？ （6）该(n,m)图中，n=？，m=？
则 G=（V，E）是一个图。
图(a).(b)分别给出了图G的图解方法。
10.2 图与图模型
节点集合V(G)的基数n表示图G的阶，边集合E(G)的 基数m表示图G的规模，有时也将图G记作(n,m)。
离散数学教学图论【共58张PPT】
一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
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关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
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离散数学
20
例2：判断下列图是否为欧拉图。
a c d b e j i h a a e c d
b
b
c d
e
f
g
是欧拉图
不是欧拉图， 但有欧拉通路
是欧拉图
2013-7-25
离散数学
21
一笔画问题的条件：一个图可一笔画当且仅当 图中 (1) 所有点都是偶点； 或 (2)恰好有两个奇点。
2013-7-25
4) 按照原来的装箱办法, 如何定量地衡量团 体顾客抱怨互开的程度 (试对购买一、二 箱者 给出具体结果).
2013-7-25
离散数学
7
可以证明： (1)槽高的和为奇数(或偶数)的锁之间不能互开； (2)一批锁具中，槽高的和为奇数与偶数的各占
一半。
2013-7-25
离散数学
8
此问题涉及到“互开”关系，用图表示这种互开关
系： 奇
偶
以上两个问题对应图有什么特点？
2013-7-25 离散数学 9
§10.1 二部图
二部图(偶图)：若无向图G = <V, E>的顶点集V能 划分成两个子集V1和V2，使得G中任何一条边的
两个端点一个属于V1，另一个属于V2，则称G为
二部图(偶图)。V1,V2称为互补顶点子集。
完全二部图(完全偶图)：若V1中任一顶点与V2中
赵 钱 孙 李
DM
2013-7-25
OS
离散数学
C
图10-9 课程安排图
DB
16
图论中的第一个问题： 哥尼斯堡七桥问题
B
C D
A
B° 欧拉于1736年解决了此 问题，从而使他成了图论 和拓扑学的创始人。 D°
2013-7-25 离散数学 17
C°
°A
§10.2 欧拉图
（一笔画问题）
欧拉通路(欧拉回路)：经过图中每条边一次且仅一
离 散 数 学
主讲教师 邓毅雄
2013-7-25
离散数学
1
第10章
一些特殊的图
§10.1 二部图
§10.2 欧拉图
§10.3 哈密尔顿图
§10.4 平面图
§10.5 树
2013-7-25
离散数学
2
亚瑟国王的配婚问题：150个卫士和150个宫女来 自不同的家族，有的家族之间有历史恩怨，彼此不愿 意成婚。 亚瑟国王要求其一大臣将他们配对成婚，否则将
推广 则有V– E + F = k + 1成立。
其中：V为顶点数，E为边数，F为面数。 例.已知一个连通的平面图有10个点，12个面，问该 平面图有多少条边？ E=V+F-2=10+12-2=20
2013-7-25 离散数学 40
例： 设非连通平面图G有9个结点，2个连通 分支，且所有的有限面的次数均为3条边， 而无限面的次数为7，问G有多少边和面？
v1 v3 v5
v2
v4
v6
2013-7-25
离散数学
13
设M是G的一个匹配，v是G的一个点，如果v是M
中某边的端点，则称v为M饱和的。
如果G中所有点都是M饱和的，则称M为完美匹配。
v1
v3
v5
v2
v4
v6
2013-7-25
离散数学
14
亚瑟王的配婚问题，就是寻找完美匹配。
最大匹配：边数最多的匹配。 匹配数：最大匹配中元素的个数。 锁具装箱问题要求匹配数。 有关图的完美匹配的存在性的判断： (1)Hall定理（二部图）； (2)Tutte定理（一般情况）。
2013-7-25
离散数学
34
v1 R2 v2
v4 R1 v3 v5
v6
v1 R1 v2
v4
v1 R1 v2
v4 R0 v3 v6
v5 R2 v7
v5 R2 R3
v3 R0
R0
deg(R1) = 3 deg(R2) = 3 deg(R0) = 8
deg(R1) = 4 deg(R2) = 3 deg(R3) = 1 deg(R0) = 6
把该大臣投入监狱。
大臣要求男女各站一边，彼此愿意成婚的举手， 结果大臣认为无法配对成婚。 但国王不理解他的解释，他的命运？
2013-7-25
离散数学
3
用图表示卫士与宫女愿意成婚的关系： 卫士
宫女
2013-7-25
离散数学
4
1994年全国大学生数学建模竞赛B题：锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁具, 每个锁具的钥匙有 5 个槽, 每个槽的高度从 {1,2,3,4, 5,6} 6 个数 (单位略) 中任取一数. 由于工艺及其它原因, 制 造锁具时对 5 个槽的高度 还有两个限制: 至少有 3 个不同的数; 相邻两槽高度之差不能为 5. 满足 以上条件制造 出来的所有互不相同的锁具称为一 批. 出来的所有互不相同的锁具称为一批.
离散数学
11
例1：判断下列图是否为二部图。
v8 v7 v6 v5 v1 v6 v5
2013-7-25
v2 v3 v4 v1
v1 v3 v5 v7
同构于
v2 v4 v6 v8
v2
v1
v3
v5
同构于
v3 v4
离散数学
v2
v4
v6
12
匹配：设E’是图G=(V,E)的边集的子集，如果 E’中的边是相互不相邻的，则称E’ 是G的一个匹配。
设无向图G = <V, E>是哈密尔顿图，V1是V的 其中，p(G –V1)为从G中删除V1 (删除V1中各
顶点及其关联的边)后所得子图的连通分支数。
2013-7-25
离散数学
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哈密尔顿图（续）
例3：判断下列图是否为哈密尔顿图。
都不是哈密尔顿图
2013-7-25
离散数学
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充分 设G是n(n 3)阶无向简单图， 条件 (1)若G中任何一对不相邻的顶点的度数之和
每个顶点均有且仅有一条边相关联，则称G为完
全二部图(完全偶图)。
2013-7-25 离散数学 10
若|V1| = n，|V2| = m，则记完全二部图G为Kn, m
K2, 3
二部图 判定定理
K3, 3
一个无向图G = <V, E>是二部图当且仅 当G中无奇数长度的回路。
圈的长度都是偶数
2013-7-25
离散数学
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哈密顿环游世界游戏
哈密顿是18世纪英国的一位爵士,他发明了一个环 游世界的游戏,该游戏以5英镑卖给了一个经销商.
是否存在 从一城市 出发经过 每个城市 恰好一次 有回到出 发城市的 旅游路线?
正十二面体 点表示世界 的20个城市 边表示路线
一个图如果存在这样的路线,称为哈密顿图.23 离散数学 2013-7-25
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ห้องสมุดไป่ตู้
离散数学
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该条件不是必要条件，如下图：
2013-7-25
离散数学
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哈密尔顿图（续）
充分 条件 有向边均用无向边代替，所得无向图中含生
在n(n 2)阶有向图D = <V, E>中，如果所有 成子图Kn，则有向图D中存在哈密尔顿通路。
推论 n(n 3)阶有向完全图是哈密尔顿图。
离散数学
38
极大平面图的性质：(1) 极大平面图是连通的；
(2) 任何n(n 3)阶极大平面图每个面的次数均为3； (3) 任何n(n 4)阶极大平面图G均有 (G) 3。
2013-7-25
离散数学
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欧拉 公式 则有V – E + F = 2成立。
设G是任意的连通的平面图， 其中：V为顶点数，E为边数，F为面数。 设G是任意的连通分支为k(k 2)的平面图，
所得图为非平面图，则称G为极大平面图。
一个极 大平面 图 结论：若G是一个(p,q)极大平面图，则每个有限面是 一个三角形，且q=3p-6。
2013-7-25 离散数学 37
非极大 平面图
极小非平面图：若在非平面图G中任意删除一条边，
所得图为平面图，则称G为极小非平面图。
两个极小非平面图
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从顾客的利益出发, 自然希望在每批锁具中" 一把钥匙开一把锁".
2013-7-25
离散数学
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但是在当前工 艺条件下, 对于同一批中两个 锁具是否能够互开, 有以下试验结果: 若二者相对 应的 5个 槽的高度中有 4个相同, 另一个的高度 差为 1, 则可能互开; 在其它情形下, 不可能互 开.
原来, 销售部门在一批锁具中随意地取每 60 个装一箱出售. 团体顾客往往购买 几箱到几十箱, 他们抱怨购得的锁具会出现互相开的情形.
欧拉图（续）
欧拉图的判定定理：
(3) 有向图D具有欧拉通路当且仅当D是连通图，且
除了两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度。
这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度 大1，另一个顶点的出度比入度大1。 (4) 有向图D是欧拉图(具有欧拉回路)当且仅当D是 连通图，且所有顶点的入度等于出度。
2013-7-25
2013-7-25 离散数学 15
例
要给四位教师（赵、钱、孙、李）从离散数学（DM）、 操作系统（OS）、C++（C）、数据库（DB）中各安排一门 课程。现知道赵老师能教离散数学，钱老师能教操作系统 和数据库，孙老师能教离散数学、C++和数据库，李老师 能教操作系统和C++。问如何安排才能使每个教师不教自 己不熟悉的课程？ 解 用结点表示教师和课程，教师能教课程用边连接相关的 结点，得如图所示的二部图。