模糊决策与分析方法精编版

例6中的两个模糊数均为三角模糊数。
对称的三角模糊数
在三角模糊数I的隶属函数
xl
m
l
I
(
x)
x m
u u
0
x [l，m] x [m，u] x (，l) (u， )
中，m-l u m,即左右扩展半径相同，则称I为
对称的三角模糊数，也可记为
I
(
x)
1
xm l
, x [m l，m l]
0
x
2
2
I
J
(
x)
1
6 x
2
0
x2 2 x4 x4 4 x6 x6
1
0 12 345 6
（3）三角模糊数
若(L R)型模糊数I的隶属函数
xl
m
l
I
(
x)
x m
u u
0
x [l，m] x [m，u] x (，l) (u， )
则称I为三角模糊数，l和u分别称为下、上界。
记为I (l，m，u)。
直观解释：
y
f (x)
f (A)
x
A
x
对于有限论域X x1， ，xn，sup即为。
例2：设X 1，2，……，6，Y a，b，c，d，
a，x 1，2，3 f (x) b，x 4，5
c，x 6
A 1 0.2 0.1 0.9 13 5 6
求f ( A)
解：f ( A) sup1，0，0.2 sup0，0.1 0.9
•[a，b] [c，d ] [a，b][ 1 ，1]， 0 [c，d ] dc
运算律：交换律、结合律和次分配律成立。
例3：[0，1] [0，1] [0，2]； [0，1] [0，1] [1，1]；
[0，1][0，1] [min(0，0，0，1)，max(0，0，0，1)] [0，1]
[1，2] [1，2] [1，2][ 1 ，1] [min( 1 ，1，1，2)，max( 1 ，1，1，2)] [ 1 ，2]
A (x) A (a) A (b)，
则称A为一个凸模糊集。 如下图，左为凸模糊集，右不为凸模糊集。
axb
ax b
性质：(1)A是凸模糊集 A的任意截集A是一个区间， [0，1]。
证： 对任 [0，1]，若x，z A，即A (x) ，A(z) 。 不妨设x z，则对任y [x，z]，A ( y) A (x) A (z) ，
注：两个LR型模糊数相乘，所得不再是LR型模糊数。
例6：已知模糊数I与J的隶属函数为：
0 x 0
I (x) 1x
0 x 1 x 1
2 x 1 x 2
0 x 2
求I J。
0
J (x) 1x 2
4 x 0
x2 2 x3 x3 3 x4 x4
解：I J (1 3，11，11) (4，2，2)
2
2
2
2
例4:证明 f (x) x(x 7) 6
1
在区间[8，10]
x(x 4) 30
上没有根。
解：把x=[8，10]代入函数f，可得：
f([8,10])=[8,10]([8,10]-[7,7])-[6,6]……=[1.5,23.9], 0 [1.5,23.9].
（3）模糊数的运算
两个模糊数I和J的运算I J仍是一个模糊数
0.1 1 0.1 0.8 0.1 0.1
23
4
5
0.1 1 0.8 0.1 234 5
意义：模糊1加模糊2等于模糊3。
3、L R型模糊数 （1）模糊数的参照函数
若函数L(x)满足：L(x) L(x)；L(0) 1；L在[0， ) 非增，则称L( x)为模糊数的参照函数（基准函数）。
五、模糊统计决策 1、普通统计决策（贝叶斯决策） 2、模糊统计决策（模糊贝叶斯决策）
六、模糊矩阵对策 1、普通矩阵对策 2、模糊矩阵对策
七、模糊数据包络分析 1、普通数据包络分析 2、模糊数据包络分析
八、应用
第一节 模糊数学的基本知识
扎德的三个里程碑：
1965 模糊集
1975 扩张原理
1978 可能性理论
即[1 ( x 25)2 ]1 5
0.5，解得：X
30， A0.5
[0，30]。
含义：30岁以下者隶属于“年轻”的程度不低于0.5。
A ( x)
1 A 0.5
0
25
200
练习：扎德给出了一个“年老人”的隶属函数：
0
B
(
x)
[1
来自百度文库
(
x
50 5
)2
]1
求B的 0.5的水平截集。
0 x 50 50 x 200
但A (x1) 0，A (x2 ) 1，显然应有： f (A) ( y) 1。
因此应有： f (A) ( y)
f (x)y
A ( x)
（2）扩张原理：设映射f : X Y，模糊集A X，则
A经f 映射后为Y中模糊集f ( A)， f (A) ( y) sup A (x)。
f (x)y
例如：• L(x) max 0，1 x p ，( p 0)，
当p 1时，图形如下：
• L(x) exp( x p )( p 0)
（2）L－R型模糊数
设L和R为模糊数的参照函数，若模糊数I的隶属函数为
I
(
x)
L( R(
mx a
xm
)，x )，x
m，a m，b
0 0
b
则称I为L R型模糊数，记为I (m，a，b)LR。m称为I的
A
(
x)
1
4、模糊集的表示：A A (x)，
Xx
当X为有限论域时，X x1，，xn
A A (x1) A (xn )
x1
xn
5、模糊集的运算：
A B：仍为X中一个模糊集：A B (x) A (x) B (x)
A B：仍为X中一个模糊集：A B (x) A (x) B (x)
二、模糊集的分解定理与扩张原理
优化
应用：模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X（研究对象的全体、全集）
普通集A：边界清晰 模糊集A：边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
A的隶属函数A (x) x隶属于A的程度。
当X R1时， A
A
X
3、正则模糊集A：max x
0, 其他
由扩张原理可得三角模糊数的运算如下：
（其中有些是近似式）
加法：I J (l1 l2，m1 m2，u1 u2 )
乘法：I J (l1l2，m1m2，u1u2 )
数乘：I (l1，m1，u1)
倒数：I 1 ( 1 ，1 ，1 ) u1 m1 l1
对数：ln I (ln l1，ln m1，ln u1)
于A的相容程度 (x)称为x在模糊约束A下的可能性分 布，在数值上 (x) A (x)。
例8：X N 1，2，，A 小的正整数，
设A 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 ，x为在X中取值的变 12 3 4 5 6
量，则x是小的正整数的可能性分布为：
x1 π(x) 1
23456 1 0.8 0.6 0.4 0.2
为模糊数。
（2）区间数 任意闭区间[a，b]是模糊数，称区间数。 区间数也可记[a, a],其中a和a分别为下限和上限； 还可记A= m( A), w( A) ,其中m和w分别为中点和半宽。 区间数的运算：设[a，b]，[c，d ]为二区间数。则 •[a，b] [c，d ] [a c，b d ] •[a，b] [c，d ] [a d，b c] •[a，b][c，d ] [min(ac，ad，bc，bd )，max(ac，ad，bc，bd )]
最可能值（或均值），a，b分别称为左、右基准值或扩
展值。若对称，即a b，则可记为I (m，a)L或（m，a）R。
ma m
mb
运算：设I (m，a1，b1)LR，J (n，a2，b2 )LR， 则I J (m n，a1+a2，b1 b2 ) J (n，a2，b2 ) I J (m n，a1+a2，b1 b2 )
（ ， ，，），其隶属函数定义为
IJ
(
x)
(
[0，1]
I
J
(
x))
性质： I J
(z)
x y
z
(
I
(x)
J
(
y))
证：由多元扩展原理即可得。
例5：设X 1，2，3， N ，I 1 0.1，
12 J 0.1 1 0.8，求I J
123
解：
IJ
1 0.1 11 1 0.8 0.1 0.1 0.11 0.1 0.8 11 1 2 13 21 2 2 23
y A，这说明，若两点在A中，则以两点为端点的整 个区间也包含于A， A只能是一个区间。（注：这里关 键要证是一个区间而非多个）。
对任x y z，取 A (x) A (z)，则x，z A，而A 是区间， y A，即A ( y) A (x) A (z)，即A为凸
模糊集。
(2)A，B是凸模糊集 A B也是凸模糊集。（自证）。
普通集A X，f ( A) Y，
X
AA
f ( A) y Y | 有x A，使f (x) y
那么f ( A)的特征函数 f ( A) ( y) ?
f (A) f (A)
Y
y
f (x)
f (A) y
x1
x2
A
x
分析合理的定义：当f 为单射， 可A (x) f (A) ( y)；
当f 为非单射，如图，f (x1) f (x2 ) y，
2、分解定理
定理：设A为X 论域中的一个模糊集，A是A的截 集， [0，1]。则下面的分解式成立：
A A
[0，1]
其中 A称为数与A的乘积，仍为一个集合。
其隶属函数为：
A (x) 0
x A x A
A
1
A
而
1
A (x) 0
x A x A
故A (x)可表示为 A (x)
A
1 A
1、水平截集
模糊集A的水平截集A x X | A (x) ，
[0，1]。
1
A x
例1：扎德给出了一个“年轻人”的隶属函数：
1
A
(
x)
1
(
x
1 25 5
)
2
求A的 0.5的水平截集。
0 x 25 25 x 200
解：A0.5＝ x [0，200] | A (x) 0.5 ，而由A (x) 0.5，
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I，若其任意截集I是一个闭区间， 则称I是一个模糊数。 [0，1]
几何表示：（模糊数与凸模糊集的区别）
是开区间
1
1
比较：
模糊数
正则，即的最大值为1 左（右）连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
A可以开，故
可以左（右）侧不连续
A
故模糊数必然为凸模糊集，但凸模糊集不一定
a
b
c
1 0.1 0.9 ab c
（3）多元扩张原理
f
:
X1
X2
Y，A1
X1，A2
X
，
2
( y) f ( A1A2 )
f
(
x1，x2
)
(
y
A1
(
x1
)
A2 (x2 ))
注：这里取最小是因为在直观上，若A1 (x1)＝0
则f (x1，x2 )无意义。
A1 X1
A2
X2
Y
三、模糊数 1、凸模糊集 A为R1中的模糊集，若对任a x b，有
x表示汉斯早餐吃的鸡蛋个数，则x是取值于X的变量，
记其与A相容（x是A）的程度为，的分布为 (x)，
另一方面，x的取值也具有随机性，记其分布为P( x)：
x12345678 π(x) 1 1 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 P(x) 0.1 0.8 0.1 0 0 0 0 0
2、可能性分布 设x是在论域X中取值的变量，A是X中的模糊集，x关
模糊决策与分析方法
主讲人
天津大学管理学院
杜纲
目录
一、模糊数学的基本知识 1、模糊集及其隶属函数 2、模糊集的分解定理与扩张原理 3、模糊数 4、可能性分布与模糊概率
二、模糊线性规划 1、约束不等式有宽容度的模糊线性规划 2、系数是模糊数的模糊线性规划 3、区间规划
三、模糊线性回归
1、普通线性回归 2、模糊线性回归 3、应用举例 四、模糊层次分析法(FAHP) 1、普通层次分析法(AHP) 2、基于模糊（互补）一致矩阵的FAHP 3、基于三角模糊数（互补）一致矩阵的FAHP 4、基于区间数判断矩阵的FAHP
指数：eI
(el1，e
，e m1
u1
)
四、可能性分布与模糊概率 1、随机性与可能性 1978年，扎德提出了“可能性理论”，被称为模糊数 学发展的第三个里程碑。摘录当时扎德文章中的例子： 例7：汉斯的早餐
设论域X 1，2，，8，A 早餐吃鸡蛋的适当个数，
A 1 1 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1234 5 6 7 8
证明：要证两个集合相等，应证其隶属函数相等。
A
(
x)
(
[0，1]
A
( x))
[ 0，1]
[
A
(
(x)
A
(
x))]
[
A (
(
x)
A
(
x))]
(
A ( x)
A
( x))
A ( x)
A ( x)
A A
[0，1]
分解定理的意义：模糊集可表示为普通集的并集。
A
3、扩张原理
（1）回顾映射的概念：f : X Y