模糊决策与分析方法精编版

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例6中的两个模糊数均为三角模糊数。
对称的三角模糊数
在三角模糊数I的隶属函数
xl
m
l
I
(
x)
x m
u u
0
x [l,m] x [m,u] x (,l) (u, )
中,m-l u m,即左右扩展半径相同,则称I为
对称的三角模糊数,也可记为
I
(
x)
1
xm l
, x [m l,m l]
0
x
2
2
I
J
(
x)
1
6 x
2
0
x2 2 x4 x4 4 x6 x6
1
0 12 345 6
(3)三角模糊数
若(L R)型模糊数I的隶属函数
xl
m
l
I
(
x)
x m
u u
0
x [l,m] x [m,u] x (,l) (u, )
则称I为三角模糊数,l和u分别称为下、上界。
记为I (l,m,u)。
直观解释:
y
f (x)
f (A)
x
A
x
对于有限论域X x1, ,xn,sup即为。
例2:设X 1,2,……,6,Y a,b,c,d,
a,x 1,2,3 f (x) b,x 4,5
c,x 6
A 1 0.2 0.1 0.9 13 5 6
求f ( A)
解:f ( A) sup1,0,0.2 sup0,0.1 0.9
•[a,b] [c,d ] [a,b][ 1 ,1], 0 [c,d ] dc
运算律:交换律、结合律和次分配律成立。
例3:[0,1] [0,1] [0,2]; [0,1] [0,1] [1,1];
[0,1][0,1] [min(0,0,0,1),max(0,0,0,1)] [0,1]
[1,2] [1,2] [1,2][ 1 ,1] [min( 1 ,1,1,2),max( 1 ,1,1,2)] [ 1 ,2]
A (x) A (a) A (b),
则称A为一个凸模糊集。 如下图,左为凸模糊集,右不为凸模糊集。
axb
ax b
性质:(1)A是凸模糊集 A的任意截集A是一个区间, [0,1]。
证: 对任 [0,1],若x,z A,即A (x) ,A(z) 。 不妨设x z,则对任y [x,z],A ( y) A (x) A (z) ,
注:两个LR型模糊数相乘,所得不再是LR型模糊数。
例6:已知模糊数I与J的隶属函数为:
0 x 0
I (x) 1x
0 x 1 x 1
2 x 1 x 2
0 x 2
求I J。
0
J (x) 1x 2
4 x 0
x2 2 x3 x3 3 x4 x4
解:I J (1 3,11,11) (4,2,2)
2
2
2
2
例4:证明 f (x) x(x 7) 6
1
在区间[8,10]
x(x 4) 30
上没有根。
解:把x=[8,10]代入函数f,可得:
f([8,10])=[8,10]([8,10]-[7,7])-[6,6]……=[1.5,23.9], 0 [1.5,23.9].
(3)模糊数的运算
两个模糊数I和J的运算I J仍是一个模糊数
0.1 1 0.1 0.8 0.1 0.1
23
4
5
0.1 1 0.8 0.1 234 5
意义:模糊1加模糊2等于模糊3。
3、L R型模糊数 (1)模糊数的参照函数
若函数L(x)满足:L(x) L(x);L(0) 1;L在[0, ) 非增,则称L( x)为模糊数的参照函数(基准函数)。
五、模糊统计决策 1、普通统计决策(贝叶斯决策) 2、模糊统计决策(模糊贝叶斯决策)
六、模糊矩阵对策 1、普通矩阵对策 2、模糊矩阵对策
七、模糊数据包络分析 1、普通数据包络分析 2、模糊数据包络分析
八、应用
第一节 模糊数学的基本知识
扎德的三个里程碑:
1965 模糊集
1975 扩张原理
1978 可能性理论
即[1 ( x 25)2 ]1 5
0.5,解得:X
30, A0.5
[0,30]。
含义:30岁以下者隶属于“年轻”的程度不低于0.5。
A ( x)
1 A 0.5
0
25
200
练习:扎德给出了一个“年老人”的隶属函数:
0
B
(
x)
[1
来自百度文库
(
x
50 5
)2
]1
求B的 0.5的水平截集。
0 x 50 50 x 200
但A (x1) 0,A (x2 ) 1,显然应有: f (A) ( y) 1。
因此应有: f (A) ( y)
f (x)y
A ( x)
(2)扩张原理:设映射f : X Y,模糊集A X,则
A经f 映射后为Y中模糊集f ( A), f (A) ( y) sup A (x)。
f (x)y
例如:• L(x) max 0,1 x p ,( p 0),
当p 1时,图形如下:
• L(x) exp( x p )( p 0)
(2)L-R型模糊数
设L和R为模糊数的参照函数,若模糊数I的隶属函数为
I
(
x)
L( R(
mx a
xm
),x ),x
m,a m,b
0 0
b
则称I为L R型模糊数,记为I (m,a,b)LR。m称为I的
A
(
x)
1
4、模糊集的表示:A A (x),
Xx
当X为有限论域时,X x1,,xn
A A (x1) A (xn )
x1
xn
5、模糊集的运算:
A B:仍为X中一个模糊集:A B (x) A (x) B (x)
A B:仍为X中一个模糊集:A B (x) A (x) B (x)
二、模糊集的分解定理与扩张原理
优化
应用:模糊决策与分析
评价 预测
控制
一、模糊集及其隶属函数
1、论域X(研究对象的全体、全集)
普通集A:边界清晰 模糊集A:边界模糊 2、特征函数与隶属函数
A A X
A的特征函数
A
(
x)
1 0
x A x A
A的隶属函数A (x) x隶属于A的程度。
当X R1时, A
A
X
3、正则模糊集A:max x
0, 其他
由扩张原理可得三角模糊数的运算如下:
(其中有些是近似式)
加法:I J (l1 l2,m1 m2,u1 u2 )
乘法:I J (l1l2,m1m2,u1u2 )
数乘:I (l1,m1,u1)
倒数:I 1 ( 1 ,1 ,1 ) u1 m1 l1
对数:ln I (ln l1,ln m1,ln u1)
于A的相容程度 (x)称为x在模糊约束A下的可能性分 布,在数值上 (x) A (x)。
例8:X N 1,2,,A 小的正整数,
设A 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 ,x为在X中取值的变 12 3 4 5 6
量,则x是小的正整数的可能性分布为:
x1 π(x) 1
23456 1 0.8 0.6 0.4 0.2
为模糊数。
(2)区间数 任意闭区间[a,b]是模糊数,称区间数。 区间数也可记[a, a],其中a和a分别为下限和上限; 还可记A= m( A), w( A) ,其中m和w分别为中点和半宽。 区间数的运算:设[a,b],[c,d ]为二区间数。则 •[a,b] [c,d ] [a c,b d ] •[a,b] [c,d ] [a d,b c] •[a,b][c,d ] [min(ac,ad,bc,bd ),max(ac,ad,bc,bd )]
最可能值(或均值),a,b分别称为左、右基准值或扩
展值。若对称,即a b,则可记为I (m,a)L或(m,a)R。
ma m
mb
运算:设I (m,a1,b1)LR,J (n,a2,b2 )LR, 则I J (m n,a1+a2,b1 b2 ) J (n,a2,b2 ) I J (m n,a1+a2,b1 b2 )
( , ,,),其隶属函数定义为
IJ
(
x)
(
[0,1]
I
J
(
x))
性质: I J
(z)
x y
z
(
I
(x)
J
(
y))
证:由多元扩展原理即可得。
例5:设X 1,2,3, N ,I 1 0.1,
12 J 0.1 1 0.8,求I J
123
解:
IJ
1 0.1 11 1 0.8 0.1 0.1 0.11 0.1 0.8 11 1 2 13 21 2 2 23
y A,这说明,若两点在A中,则以两点为端点的整 个区间也包含于A, A只能是一个区间。(注:这里关 键要证是一个区间而非多个)。
对任x y z,取 A (x) A (z),则x,z A,而A 是区间, y A,即A ( y) A (x) A (z),即A为凸
模糊集。
(2)A,B是凸模糊集 A B也是凸模糊集。(自证)。
普通集A X,f ( A) Y,
X
AA
f ( A) y Y | 有x A,使f (x) y
那么f ( A)的特征函数 f ( A) ( y) ?
f (A) f (A)
Y
y
f (x)
f (A) y
x1
x2
A
x
分析合理的定义:当f 为单射, 可A (x) f (A) ( y);
当f 为非单射,如图,f (x1) f (x2 ) y,
2、分解定理
定理:设A为X 论域中的一个模糊集,A是A的截 集, [0,1]。则下面的分解式成立:
A A
[0,1]
其中 A称为数与A的乘积,仍为一个集合。
其隶属函数为:
A (x) 0
x A x A
A
1
A

1
A (x) 0
x A x A
故A (x)可表示为 A (x)
A
1 A
1、水平截集
模糊集A的水平截集A x X | A (x) ,
[0,1]。
1
A x
例1:扎德给出了一个“年轻人”的隶属函数:
1
A
(
x)
1
(
x
1 25 5
)
2
求A的 0.5的水平截集。
0 x 25 25 x 200
解:A0.5= x [0,200] | A (x) 0.5 ,而由A (x) 0.5,
2、模糊数 (1)模糊数
R1中的正则模糊集I,若其任意截集I是一个闭区间, 则称I是一个模糊数。 [0,1]
几何表示:(模糊数与凸模糊集的区别)
是开区间
1
1
比较:
模糊数
正则,即的最大值为1 左(右)连续
凸模糊集
的最大值可以小于1
A可以开,故
可以左(右)侧不连续
A
故模糊数必然为凸模糊集,但凸模糊集不一定
a
b
c
1 0.1 0.9 ab c
(3)多元扩张原理
f
:
X1
X2
Y,A1
X1,A2
X

2
( y) f ( A1A2 )
f
(
x1,x2
)
(
y
A1
(
x1
)
A2 (x2 ))
注:这里取最小是因为在直观上,若A1 (x1)=0
则f (x1,x2 )无意义。
A1 X1
A2
X2
Y
三、模糊数 1、凸模糊集 A为R1中的模糊集,若对任a x b,有
x表示汉斯早餐吃的鸡蛋个数,则x是取值于X的变量,
记其与A相容(x是A)的程度为,的分布为 (x),
另一方面,x的取值也具有随机性,记其分布为P( x):
x12345678 π(x) 1 1 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 P(x) 0.1 0.8 0.1 0 0 0 0 0
2、可能性分布 设x是在论域X中取值的变量,A是X中的模糊集,x关
模糊决策与分析方法
主讲人
天津大学管理学院
杜纲
目录
一、模糊数学的基本知识 1、模糊集及其隶属函数 2、模糊集的分解定理与扩张原理 3、模糊数 4、可能性分布与模糊概率
二、模糊线性规划 1、约束不等式有宽容度的模糊线性规划 2、系数是模糊数的模糊线性规划 3、区间规划
三、模糊线性回归
1、普通线性回归 2、模糊线性回归 3、应用举例 四、模糊层次分析法(FAHP) 1、普通层次分析法(AHP) 2、基于模糊(互补)一致矩阵的FAHP 3、基于三角模糊数(互补)一致矩阵的FAHP 4、基于区间数判断矩阵的FAHP
指数:eI
(el1,e
,e m1
u1
)
四、可能性分布与模糊概率 1、随机性与可能性 1978年,扎德提出了“可能性理论”,被称为模糊数 学发展的第三个里程碑。摘录当时扎德文章中的例子: 例7:汉斯的早餐
设论域X 1,2,,8,A 早餐吃鸡蛋的适当个数,
A 1 1 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1234 5 6 7 8
证明:要证两个集合相等,应证其隶属函数相等。
A
(
x)
(
[0,1]
A
( x))
[ 0,1]
[
A
(
(x)
A
(
x))]
[
A (
(
x)
A
(
x))]
(
A ( x)
A
( x))
A ( x)
A ( x)
A A
[0,1]
分解定理的意义:模糊集可表示为普通集的并集。
A
3、扩张原理
(1)回顾映射的概念:f : X Y
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