窄带随机过程

Fourier 变换
S ( )
时域复信号。
问题：如何由给定的时域实信号构造对应的时域复信号?
2．解析信号的构造 对给定的时域实信号s(t)，设构造的时域复信号为
ˆ(t ) z(t ) s(t ) js
ˆ(t ) 为一由s(t)构造的信号，其构造方法可为， 其中，s
s( t )
即，
h( t )
S( ) S( ) e j ( f ) S ( )， 偶函数 奇函数 ( )，
R 2 ( ) I 2 ( )e
j arctan
I ( ) R ( )
由此可知：时域实信号正、负频域的频谱可互求。
从有效利用信号的角度出发，实信号负频域部分是冗余 余的，所以只要保留正频域的频谱，记为 S ( ) ，即可。
平稳窄带过程
表达式1： 表达式2：
Z (t ) B(t ) cos[ 0 t (t )],
Z (t ) X (t ) cos0t Y (t ) sin0t
X ( t ) B( t ) cos ( t ) Y ( t ) B( t ) si n ( t )
即: 幅度调制信号(窄带过程), 仅对载波进行Hilbert 变换.
X (t ) B(t ) cos(t )
ˆ (t ) Y (t ) B(t ) sin (t ) X
§6.3 窄带随机过程的性质
问题：若已知 Z (t ) X (t ) cos0 t Y (t ) sin0 t 的功率谱密度 GZ ( ) 或统计特性 RZ ( )
以便于分别分析。
表达式 1 和表达式 2 两者间的几何关系： 表达式1：Z (t ) B(t ) cos[ 0 t (t )], B(t ) 0 表达式2：Z (t ) X (t ) cos0t Y (t ) sin0t
B( t ) Y( t )
( t )
X( t )
ˆ ( t ) 的互相关函数满足： 性质5. 平稳随机过程 X(t) ~ X
ˆ ˆ RX X ˆ ( ) R X ( ), R X ˆX ( ) R X ( ),
又 RX ˆ X ( ) R X X ˆ ( ); RX X ˆ ( ) R X X ˆ ( )
窄带随机过程性质的证明，p.165~168。
窄带随机过程的性质的证明与讨论：
1. 均值 (性质2) ∵ E[ Z (t )] E[ X (t )]cos 0 t E[Y (t )]sin 0 t E[ X (t )] E[Y ( t )] 0 ∴ 由E[ Z ( t )] 0的条件，可知： 2.相关函数 RZ (t , t ) E{[ X (t ) cos 0 t Y (t ) sin 0 t ]
[ X (t ) cos 0 (t ) Y (t ) sin 0 (t )]}
RX (t , t ) cos 0 t cos 0 (t ) RXY (t , t ) cos 0 t sin 0 (t ) RYX (t , t ) sin 0 t cos 0 (t ) RY (t , t ) sin 0 t sin 0 (t )
RZ ( ) RY ( ) cos0 RYX ( ) sin0
(2)
性质1. 若Z(t)是宽平稳的, 则X(t)与Y(t)也是宽平稳的。

R X ( )、 RY ( ) 以及 RXY ( ) 、 RYX ( ) 的性质：
性质5. 窄带随机过程的同相和正交分量的自相关函数相等。 由上述关系式（2）-（1），可得
。
h( t ) F
1
H ( )
1 t
故此，
1 1 s( ) ˆ ( t ) s( t ) s d H [s(t)]， t t
称为Hilbert变换。
Hilbert 变换与反变换:
s( ) ˆ ( t ) H [ s( t )] s d t 1
ˆ s( t )
z( t ) s( t ) js( t ) h( t )
Z ( ) S ( )1 jH ( )
F变 换
H()的设计要求：
1．要满足使得Z()只有正频域频谱； 2．要使z(t)信号与s(t)信号的总能量保持不变。
由此可得:
j , f 0 H ( ) j sgn( ) j, f 0
X ( t ) B( t ) cos( t ) 其中： Y ( t ) B( t ) si n( t )
B( t ) X 2 ( t ) Y 2 ( t ) , tan( t ) Y ( t ) / X ( t )
由于 cos 0 t 与 sin 0 t正交，故称 X( t )-----Z( t )的同相分量， Y( t )-----Z( t )的正交分量。 引入表达式 2 的目的是将Z( t )分解成两个相互正交的分量，
Z( t )的一个样本函数 B( t )----窄带随机过程Z(t)的包络函数---慢变化 Ф( t )----窄带随机过程Z(t)的相位函数----慢变化， B( t ) , Ф( t )都是随时间 t 慢变化的随机过程。
表达式(二)：
Z (t ) X (t ) cos0t Y (t ) sin0t

ˆ( ) s 1 ˆ(t )] ˆ(t ) * s(t ) H [ s d s t t
1
1

全通滤波器
H( )
1
| H( ) | 1
H ( )
90
0
0
1
f 0

0
f
f
90
0
90°相移器 H()或h(t)称为Hilbert变换器。 它不改变信号的幅频特性，只改变信号的相频特性。
0 0 为高频载波。
窄带随机过程---ห้องสมุดไป่ตู้- 若一个随机过程的功率谱密度，只分布在高频载波 ω0 附近的一个较窄的频率范围∆ω内，且满足ω0>>∆ω 时，则称该过程为窄带随机过程。记为：Z( t ) 。
例：图6.1为以窄带随机过程的功率谱密度函数
GZ(ω)


0
0
0
性质2 若 y( t ) h(t ) x( t ) ，则
ˆ(t ) x(t ) 。 H [ y( t ) ] h(t ) x ˆ (t ) h

性质3
ˆ ( t ) 和x(t)的能量及平均功率相等，即 x



ˆ ( t )dt x
2
T 2



x 2 ( t )dt
性质8． RX Y (0) E[ X (t )Y (t )] 0, RY X (0) 0 性质9． GX ( ) Lp [GZ ( 0 ) GZ ( 0 )] 其中，Lp[· ]为求等效低通运算。即，令ω0=0 性质10． G X ( ) GY ( ) 性质11． GX Y ( ) jLp [GZ ( 0 ) GZ ( 0 )] 性质12．GY X ( ) G X Y ( ),
1 lim T 2T
1 ˆ lim T x (t )dt T 2T

T
T
x 2 ( t )dt
性质4. 平稳随机过程X(t)和其对应的Hilbert变换
ˆ (t ) 的自相关函数满足： X
RX ˆ ( ) RX ( )
RX ˆ (0) RX (0)
变换后平均功率不变
窄带随机过程的定义 解析信号与希尔伯特变换 窄带随机过程的性质 窄带高斯随机过程Z(t)的高斯分布
余弦波加窄带高斯过程
§6.1
窄带随机过程的定义
窄带系统---------很多无线电系统的通频带 是比较窄的， 它们远小于其中心频率 ，这种系统只允许输入信号靠近 0 附近的频率分量通过，故称为窄带系统。其满足：

0
问题: 对应于功率谱密度GZ (ω)的窄带随机过程Z(t)的表达 式为何？即如何 Gz ( ) Z (t )。
2 | Z ( ) | 1. 由 G ( ) E[ l i m T ] 可知: z T T
若Gz(ω)占的频带很窄，则│ZT(ω)│也一定占很窄的
如何确定 X (t ),Y (t )
设: 若Z(t)是任意的窄带、宽平稳、实随机过程，零均 且功率谱密度满足：
GZ ( ) 0, 0 0 0, 其他

0
0
0


则X(t)和Y(t)具有下列性质： 性质1． X(t)和Y(t)各自宽平稳且联合宽平稳。 性质2． E[ X (t )] E[Y (t )] 0 性质3． E[ X 2 (t )] E[Y 2 (t )] E[ Z 2 (t )] 1 0 ) ]d 性质4． R X ( ) 0 G Z ( ) cos[( 性质5． RX ( ) RY ( ) 1 0 ) ]d 性质6． R XY ( ) 0 G Z ( ) sin[( 性质7． RY X ( ) RX Y ( ), RX Y ( ) RX Y ( )
B( t ) 0
B( t ) X 2 ( t ) Y 2 ( t ) ,
问题的提出：
tan( t ) Y ( t ) / X ( t )
B( t )与Ф( t ) X( t )和Y( t )
统计特性或功率谱密度如何 确定呢？
§ 6.2 解析信号与希尔伯特变换
1． 解析信号的引入--- 仅在正频域有值的复信号.
j t 一般时域信号 S(t) S ( ) s ( t ) e dt R( ) jI ( )
S ( )满足共轭对称性，即，
S () S ()

R( ) R( ), 偶函数 I ( ) I ( )， 奇函数
由此方法构造的复信号称为实信号s(t)的解析信号:
s A (t ) s(t ) j H s( t )
2 S ( ), 0 S A ( ) S ( )1 jH ( ) 0, 0
3．Hilbert变换的性质


ˆ (t )]= x( t ) 性质1. H [ x
频带,即其系统函数具有与功率转移函数相似的形式
2. 由信号与线性系统可知： 时域中的一个慢变化信号对一高频(ω0)信号调幅变换时, 信号具有如图所示的频响特征。
窄带随机过程的时域表达(一):
Z (t ) B(t ) cos[ 0t (t )], B(t ) 0
B( t )
B(t ) cos[ 0t (t )]
由Z(t)的平稳性： RZ (t , t ) RZ ( ) 可知，Z(t)的自相关函数应该与时间 t 无关，而仅与 有 关。 即 t 可为任何值，而不影响 RZ (t , t ) 。 故， ( 1 ) 令 t=0，可得： RZ ( ) RX ( ) cos0 RXY ( ) sin0 (1) （2） 令 t=π/2ω0，可得：
为奇函数
RX X ˆ (0) RX ˆ X (0) 0
ˆ (t ) X(t) ~ X 在同一时刻正交
性质6. 设具有有限带宽 的信号 a(t)的傅氏变换 A() , 假定
0
， 则有
H [ a(t ) cos 0 t ] a(t ) sin 0 t
H [ a(t ) sin 0 t ] a(t ) cos 0 t