高中数学解不等式方法+练习

不等式

要求层次 重难点

一元二次不等式

C

解一元二次不等式

（一） 知识内容

1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．

一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）：

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根

判别式

2

4b ac ∆=-

0∆>

0∆= 0∆<

二次函数

2y ax bx c =++

(0)a >的图象

x 2x 1O

y

x

x 1=x 2

O y

x

O x

y

一元二次方程

20ax bx c ++= (0)a ≠的根

有两相异实根

12,x x =

242b b ac

a

-±-

12()x x <

有两相等实根

122b

x x a

==-

没有实根

一元二次不等式的解集

2

0ax bx c ++>

(0)a > {1

x x x <

或}2x x >

{R x x ∈，且

2b x a ⎫≠-⎬⎭

实数集R

20ax bx c ++<

(0)a >

{}1

2x x

x x <<

∅ ∅

例题精讲

高考要求

板块一：解一元二次不等式

解不等式

的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．

（二）主要方法

1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．

（三）典例分析：

1.二次不等式与分式不等式求解

【例1】 不等式

1

12

x x ->+的解集是 ．

【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ）

A ．{|31}x x x -或≥≤

B ．{|13}x x -≤≤

C ．{|31}x x -≤≤

D ．{|31}x x x -或≤≥

【变式】 不等式

2

5

2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132⎡

⎤-⎢⎥⎣

⎦，

B ．132⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，

C ．(]11132⎡⎫

⎪

⎢⎣⎭

，，

D ．(]11132

⎡⎫

-⎪⎢⎣⎭

，，

2.含绝对值的不等式问题

【例2】 已知n *∈N ，则不等式

220.011

n

n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥，

D ．{}|202n n n *∈N ≥，

【例3】 不等式

1

11

x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>

B ．{}|01x x <<

C ．{}|10x x -<<

D ．{}|0x x <

【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是 _．

【例4】 若不等式1

21x a x

+

-+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________．

【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值范围为 ．

3.含参数不等式问题

【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<内有解，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．4a <-

B ．4a >-

C ．12a >-

D ．12a <-

【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 .

⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______．

【例7】 若不等式220ax x ++>的解集为R ，则a 的范围是（ ）

A ．0a >

B ．18a >-

C ．1

8

a > D ．0a <

【例8】 若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1)-∞，，则关于x 的不等式

02

ax b

x +>-的解集为（ ）

A ．()()12-∞-+∞，

，

B ．(12)-，

C ．(12)，

D ．()()12-∞+∞，，

【例9】 01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则（ ）

A ．10a -<<

B ．01a <<

C ．13a <<

D ．36a <<

【例10】 ⑴要使满足关于x 的不等式2290x x a -+<(解集非空)的每一个x 至少满足不等式

2430x x -+<和2680x x -+<中的一个，则实数a 的取值范围是 ；

⑵已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<，其中1βα>>，则不等式

()()220a ax bx c cx bx a ++++<的解集是 ．

4.解不等式与分类讨论

【例11】 设m ∈R ，解关于x 的不等式22230m x mx +-<．

【变式】 解关于x 的不等式()()3110()m x x m +-+>∈⎡⎤⎣⎦R ．

【点评】 解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.

【例12】 求不等式22(1)40ax a x -++>的解集．

【例13】 解关于x 的不等式

(1)

1(1)2

a x a x ->≠-