线性代数第7章

设目标函数为 Max f c1 x1 c2 x2 cn xn
令 f f 则可转化为标准形 Min f c1 x1 c2 x2 cn xn
2． 右端项有负值的问题 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非
负，当某一个右端项系数为负时，则把该等式约束两 端同时乘以－1，得到：
2 x1 3 x2 4 x3 300
s.t .
x1 5 x2 6 x3 400 x1 x2 x3 200
x3 不限, x1 , x2 0
标准型 : min f ( x) 3 x1 2 x2 4 x3 4 x3 0 x4 0 x5 0 x6
2 x1 3 x2 4 x3 4 x3 x4 300
23
5
x1
119
例3.求解线性规划问题
max f 6 x1 3 x2
2x1 x2 8
s.t .
x1 1 x2 4
x2 0
二.从可行域中找出最优解.
为此，将目标函数f
6x1 3x2变形为x2
2
x1＋
f 3
当f 变化时便产生一簇斜率为－2的平行线簇，令f 0,1,
平行线簇在平面上截距增大的方向如箭头所指，
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b2
2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
x1 , x2 , xn 0
4
bi 0,
3
线性规划的标准形有如下四个特点：
目标最小化、 约束为等式、
变量均非负、 右端约束常数非负。
线性代数 第七章
8
线性规划模型的变换
1． 极小化目标函数的问题
2
8
0
16
4
12
3
问：应如何安排生产计划，才能使 总利润最大？
线性代数 第七章
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量分
别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + 3 x2
3.约束条件：
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1
≤ 16
4x2 ≤ 12
x1， x2≥0
4
例1.2 某厂生产三种药物，这些药 物可以从四种不同的原料中提取。 下表给出了单位原料可提取的药物 量
取交集即为所求的可行域.
1
0
线性代数 第七章
A 极限位置
23
B
5
x1
220
例4.求解线性规划问题
min f x1－3 x2
x1 x2 5
s.t .
x1 2 x1 0
x2 0
一。画出由约束条件确定的可行域. 1.用等式约束代替不等式约束画出 l1 : x1－x2 5 l2 : x1 2 2.确定每个不等式表示的半平面，结合x1 , x2 0, 取交集即为所求的可行域.可以看到，其可行域 为空集。
此时，极限位置恰与可行域的边界线
2 x1＋x2＝8重合.因此，边界线段AB上的所有点均为最优解. max f 24.
一。画出由约束条件确定的可行域.
1.用等式约束代替不等式约束画出
x2
l1 : 2 x1＋x2 8
4
l2 : x1 1
l3 : x2＝4
3
2.确定每个不等式表示的半平面，结合x1 , x2 0, 2
线性代数 第七章
2
线性规划的发展
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高 组织和生产效率问题 1947年，美国数学家丹茨格（Dantzig）提出求解线性规 划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论 1958年，发表整数规划的割平面法
• 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规 模线性规划问题理论和算法的基础。
（2）当约束条件为： ai1 x1 ai 2 x2 ai n xn bi
可以引进一个新的变量 ys使得：
ai1 x1 ai2 x2 ain xn ys bi
显然，ys也具有非负约束，即 ys≥0
为了使约束由不等式成为等式而引进的变量 yi , ys ， 称为“松弛变量”。
如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准
定义7.2 设x 为线性规划模型的可行解，且使目标函数f在D上达到最小值， 即x D,有f ( x ) f ( x), 则称x为该线性规划问题的最优解.
性质7.1
若x1
,
x2为线性规划模型的可行解，则x
x1
(1
)
x
仍
2
是
其可行解，其中0 1。
证明：因为Ax1 b, Ax2 b,
所有Ax A[x1 (1 )x2 ] Ax1 (1 )Ax2 b (1 )b b
0
23
5
线性代数 第七章
117
极值点满足方程
x1
2x2 x1 4
8
求得极值点坐标（4，2），此时f 20.
因此得唯一最优解x (4,2)T ,最优目标函数值min f 20.
线性代数 第七章
118
例2.求解线性规划问题
min f x1 2x2
x1 x2 －2
s.t .
x1 x2 2 x1 0
其
中，A
a21
a12
a22
a1n a2n
C (c1 , c2 ,, cn )T ; x ( x1 , x2 ,, xn )T
am1 am2 amn b (b1 , b2 ,, bm )T
线性代数 第七章
114
三 线性规划模型解的基本概念
定义7.1向量x ( x1 , x2 , xn )T 若满足线性规划模型的标准形式中的约束条件 s.t. Ax b, x 0 则称x为该问题的可行解。所有可行解的集合D称为可行域.
3.由于该线性规划问题的可行域是空集， x2 因此没有可行解，当然也就没有最优解. 4
3
2
1
线性代数 第七章
0
23
5
x1
221
图解法解题步骤：
• 1.确定可行域 • 2.做目标函数等值线，确定目标函数增大或
减少的方向； • 3.确定最优解和最优值
线性代数 第七章
222
线性规划最优解的3种情况：
• 1.不存在最优解；此时可行域为空集或者为 非空无界集；
am1 x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x1, x2 ,, xn 0
式中的aij , c j , bi均为实常数
线性代数 第七章
7
线性规划问题的标准形式
1 min f ( x1 , xn ) c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
因此，极限位置的点的坐标就是要求的最优解.
极限位置
一。画出由约束条件确定的可行域.
4
1.把决策变量x1, x2看作平面上的点的坐标.
2.用等式约束代替不等式约束画出
3
l1 : x1 2 x2 8
2
l2 : x1 4
l3 : x2 3
1
3.确定每个不等式表示的半平面，结合x1, x2 0,
取交集即为所求的可行域.
x2 0
二.从可行域中找出最优解.
为此，将目标函数f
x1 2 x2变形为x2
1 2
x1＋
f 2
当f变化时便产生一簇斜率为－1的平行线簇，令f 0,1 2
平行线簇在平面上截距减少的方向如箭头所指，
因此，极限位置的点的坐标就是要求的最优解.
一。画出由约束条件确定的可行域.
1.用等式约束代替不等式约束画出
ai1 x1 ai 2 x2 ai n xn bi
线性代数 第七章
9
3．约束条件不是等式的问题
（1）设约束条件为： ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
可以引进一个新的变量 yi 使得：
ai1 x1 ai2 x2 ain xn yi bi
显然，yi也具有非负约束，即 yi ≥0
x1 s.t .4 x1
2x2 8 16
4x2 12
x1
s.t
.
4
x1
2x2 4x2
x3
x4 －x5
8 16 12
x1 , x2 0
x1 , x2 , x3 , x4 , x 0
线性代数 第七章
112
例2.线性规划模型化为标准型。
原非标准型: max f ( x) 3x1 2x2 4x3
第七章 线性规 划
1
线性代数第一章 §1.1
线性规划研究的主要问题
一类是已有一定数量的资源（人力、物质、时间等），研 究如何充分合理地使用它们，才能使完成的任务量为最大。
另一类是当一项任务确定以后，研究如何统筹安排， 才能使完成任务所耗费的资源量为最少。
—— 实际上，上述两类问题是一个问题的两个不同的方面， 都是求问题的最优解（ maxf 或 minf ）。
——— 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划
线性代数 第七章
6
二. 线性规划的数学模型
一般表示方式
决策变量
目标函数
min(max) f ( x1, xn ) c1x1 c2 x2 cn xn
约束条件
s.t .
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn (, )b2
线性代数 第七章
115
一般地，设D为非空集合，如果对任意x1 , x2 D,有x1 (1 )x2 D 其中0 1，则称集合D为凸集.
凸集
非凸集
性质7.2 若线性规划模型的可行域非空，则可行域为凸集
线性代数 第七章
116
§7.2线性规划问题的图解法
二.从可行域中找出最优解. 最优解是使目标函数去最大值的可行域中的点.
• 1979年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线性 规划的多项式算法。
线性代数 第七章
3
§7.1 线性规划的数学模型
一、问题的提出
例1.1 某厂生产两种产品，下表给 出了单位产品所需资源及单位产品 利润
产品 资源
I
设备
1
材料 A
4
材料 B
0
单位利润
（元）
2
可利用
II
资源
s.t .
x1 5 x2 6 x3 6 x3 x5 400 x1 x2 x3 x3 x6 200
x1 , x2 , x3 , x3, x4 , x5 , x6 0
线性代数 第七章
113
标准形式也可写为矩阵式
min f ( x) CT x
s.t .
Ax b
x0
a11
3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
2x1
+4 x3 +2 x4 ＝160
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4≥0
5
模型特点
1 都用一组决策变量X = (x1,x2,…,xn)T表示某一方案，且决策变量 取值非负； 2 都有一个要达到的目标，并且目标要求可以表示成决策变量 的线性函数； 3 都有一组约束条件，这些约束条件可以用决策变量的线性等 式或线性不等 式来表示。
形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。
线性代数 第七章
110
4． 变量无符号限制的问题
在标准形式中，必须每一个变量有非负约束，当
某一个变量 xj 没有非负约束时，令
xj
来自百度文库
x
j
x j
x
j
0
,
x
j
0
线性代数 第七章
111
例1 将 线性规划模型化为标准型。
min f 2x1 3x2 min f 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
• 2.存在唯一的最优解，此最优解为可行域的 顶点，此时可行域为非空有界集或者为非 空无界集；
• 3.存在唯一的最优解，此最优解与可行域的 一条边界重回。
由于边界上必包含可行域的顶点，因此， 必有最优解为可行域的顶点。
线性代数 第七章
223
§7.3线性规划问题的单纯形法
x2
l1 : x1－x2 －2
4
l2 : x1＋x2 2
2.确定每个不等式表示的半平面，结合x1 , x2 0,
3
取交集即为所求的可行域.可以看到，其可行域
2
为无界域。
极值点满足方程
x1＋x2 x1
2
2
1
0
求得极值点坐标（2，0），此时f 2.
极限位
因此得线唯性一代最数优解x第 七(2，章0)T ,最优目标函数值min f 置 2.
药物
单位成本
原料
A B C （元／吨）
甲
1 23
5
乙
2 01
6
丙
1 41
7
丁
1 22
8
要求：生产A种药物至少160单位；
B种药物恰好200单位，C种药物不
超过180单位，且使原料总成本最
小。
线性代数 第七章
解：
1.决策变量：设四种原料的使用
量分别为： x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数：设总成本为z，则有： min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4
例1.求解线性规划问题
max f 3 x1 4 x2
x1 2 x2 8
s.t .
x1 4 x2 3
x j 0 ( j 1,2)
为此，将目标函数f
3 x1 4 x2变形为x2
f 4
3 4
x1
当f变化时便产生一簇斜率为 3的平行线簇，令f 0,1, 4
平行线簇在平面上截距增多的方向如箭头所指，