线性代数第7章
线性代数4-7章
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续5)
定理2 设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量. 则 α1，α2，…，αs线性无关 证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0. 两边与 αi 作内积,得： ki(αi，αi)=0, ∴ki=0, i=1,2,...,s.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续7) Schmidt正交化方法
设向量组A: α1，α2，…，αr线性无关, 求与A等价的标准正交向量组.
1.正交化：
取
1 1
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) (2 , 2 )
a1 b1 a2 b2 的内积 定义：n维向量 , a b n n
( , ) a1b1 a2b2 anbn T T
2.( , ) ( , ) ( , );
(i ,i ) 0
∴ α1， α2，…，αs线性无关.
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续6)
定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一 组基,且两两正交,则称 α1，α2，…，αs为V的一组正交基. 若又有||αi||=1(i=1,2,…,s),则称 α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.
1
第四章 向量空间 §2 Rn中的内积 标准正交基(续4) 定理1 | ( , ) ||| || || || .
当α， β均非零向量时，定义α与 β的夹角：
( , ) , arccos || || || ||
(α, β)=0时，称α与 β正交.
线性代数B(部分)第七章1
例1.9 验证集合 V1 = {x = (1, x2, …, xn)T | x2,…, xn ∈R} 对于通常意义上的加法与数乘，是否是一个向量空间. 解 因为∀ α ∈ V1,有 2α = ( 2, 2a2, …, 2an )T ∉ V1 故V1不是一个向量空间. .
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1)加法交换律; 2)加法结合律; 3)V中有一个特殊元素0,对于任何α∈V,恒有α+0= α; 4) V中每个向量α都有它的负向量-α,使α+(- α)=0; 5)1α= α, α ∈V; 6)k(l α)=(kl) α, k,l∈R, α∈V; 7)(k+l) α= kα+ l α; k,l∈R, α∈V; 8)k(α+β)=kα +kβ, k∈R, α, β∈V. 与上述情形类似的集合及其相应运算还可举出一些例 子. 以它们为“源型”,抛开各集合中元素的特定属性和运 算的具体规则,而就运算性质加以抽象,所得到的模型就是 线性空间.
试证 V1 = V2. 证∀ x∈V1,，则x可由α1, α2,…, αm线性表示.因α1, α2,…, αm可由b1,b2,…,bs线性表示，故 x 可由 b1,b2,…,bs线性表示， 所以 x∈V2 .即∀ x∈V1，则 x∈V2，因此V1⊂ 2 . ∀ ⊂V 同理可证∀ x∈V2，则 x∈V1，因此V2⊂V1 . 因为 V1⊂V2 ，V2⊂V1，所以V1 = V2.
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定义1.1 设V是一个非空集合,F是一个数域.如果能定 定义 义一种V的元素间的运算,叫做加法 加法:对于V中任意两个元素 加法 α, β,都有V中唯一的元素 γ之对应; γ 称为α 与β 的和,记 和 为γ =α +β .另外,还能定义一种数域F的数与集合V的元 素间的运算,叫做数乘:对于数域F中任一数k及集合V中任 数乘: 数乘 一元素α ,都有V中唯一的元素δ与之对应; δ称为k与α的数 数 积,记为δ= kα.并且,集合V在以上两种运算下具有如下性质: 对于任意α, β, γ∈V及k,l ∈F, 1) α+ β = β + α; 2)(α + β)+ γ = α +(β + γ); 3)V中存在零元素 零元素,通常记为0,对于任何,恒有α +0= α; 零元素 4) 对于α∈V,都有α的负元素 ′∈V,使α+ α′=0; 负元素α 负元素 5) l α= α; 6) k(lα)=(kl ) α (式中是通常的数的乘法) ; 7)(k + l) α = k α + l α (式中是通常的数的乘法) ; 8) k(α + β)= k α + k β; 则称V为数域F上的一个线性空间 线性空间. 线性空间
高教线性代数第七章 线性变换课后习题答案
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
线性代数与解析几何 第7章 线性空间与线性变换
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
7.1.2 线性空间的性质
7.1.3 子空间
§ 7.1 线性空间的定义与性质
7.1.1 线性空间的定义
定义7.1
设是一个非空集合，为实数域. 若在中定义
了两种运算，一种运算称为加法：即对于中任意两个元素
, ，在中都有唯一的元素与它们相对应，称为与的
证明
因为 a, b R , R
有 a b ab R , a a R
即R+对上述定义的加法与数乘运算封闭.
a
,
b
,
c
R
, , R 时，有
又因
(1) a b ab=ba b a ;
(2) (a b) c (ab) c (ab)c a(bc) a(b c) a (b c) ;
A R mn
又对矩阵加法和数与矩阵的乘法两种运算满足线性运算规律，
所以R mn对矩阵加法和数与矩阵的乘法，构成实数域R
上的线性空间，称此线性空间为mn矩阵空间.
§ 7.1 线性空间的定义与性质
注7.1
检验一个集合是否构成线性空间，当然不能只象例
7.1、例7.2、例7.3那样检验对运算的封闭性.若所定义的加法
(7) ( + ) a a a a a a a a ;
(8) (a b) (ab) (ab) a b
a b a b ;
所以R+对上述定义的加法与数乘运算构成线性空间.
*第7章
线性空间与线性变换
线性空间又称向量空间，是线性代数的中心内容和
第7章 线性代数在工程中的应用实例
第7章在科技及工程中的应用实例 (1)7.1 由拉压杆组成的桁架结构 (1)7.2 格型梯形滤波器系统函数的推导 (1)7.3 计算频谱用的DFT矩阵 (2)7.4 显示器色彩制式转换问题 (4)7.5 人员流动问题 (5)7.6 二氧化碳分子结构的振动频率 (5)7.7 二自由度机械振动 (6)7.8 FIR数字滤波器最优化设计[12] (8)7.9 弹性梁的柔度矩阵 (9)7.10 用二次样条函数插值5个点 (11)7.11 飞行器三维空间运动的矩阵描述 (12)7.12 金融公司支付基金的流动 (14)7.13 质谱图实验结果分析 (15)7.14 用特征方程解Fibonacci数列问题 (16)7.15 简单线性规划问题 (18)第7章 在科技及工程中的应用实例7.1 由拉压杆组成的桁架结构由13根拉压杆件组成的桁架结构，如图7-1所示，13个平衡方程已给出，它们来自6个中间节点，每个节点有x,y 两个方向的平衡方程，还有一个整体结构的y 方向平衡方程。
现求其各杆所受的力。
解：按照题给方程组改写成矩阵形式，令112211cos 14/16^214^20.6585cos 16/16^216^20.7071sin 16/16^214^20.7526k k k θθθ==+===+===+=列方程时假设各杆的受力均为拉力，其相应的方程组及化为矩阵后的形式为： 22122634152121335718438910156935211721112123813211F +k F =0 k 100000000000-F +F =0 0-F =2000F +k F -k F =0k F +F +k F =-1000F +k F -F =0 k F +F = -500F -k F -F =0 F +k F = 4000k F -F =0, k F +F =-500F +k F = 2000F +k F =0⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭2123131322321000100000000010000000000-k 001k 00000000k 0 10k 00000000000-1001k 000000000000k 100000000-k -100010000000k 00010000000000-1000k 000000000000k 100000000k 000100000000000k 01⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎦12345678910111213F 0F 0F 2000F 0F -1000F 0F -500(7.1.1)0F 4000F 0F -500F 2000F 0F ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥=⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎣⎦⎣⎦ 将它看作A*F=B ，编成的程序为pla701，核心语句为给A,B 赋值，再求F=A\B ，结果为： F=[ -7236; 5117; 2000; -6969; 2812; 5117; -4883; -3167; 1883; 6969; -6906; 4383; 4883 ] 其中负号表示杆受的是压力。
第7章 计算矩阵的特征值和特征向量
A (7)
0 0 2.125825 = 0 8.388761 0.000009 0 0.000009 4.485401
从而A的特征值可取为 A
λ1≈2.125825, λ2≈8.388761, λ3≈4.485401
V
下面分析吉文斯变换作用到对称矩阵后正 交相似的变换效果。
注:
bpp = (app cosϑ − aqp sinϑ) cosϑ − (apq cosϑ − aqq sinϑ) sinϑ
注:
1 − s
2 t 1 − t
2
= 0 ⇒
t
2
+ 2 st
− 1 = 0
雅可比方法就是对A连续施行以上变换的方法。 取p,q使 a pq = max aij
由于求解高次多项式的根是件困难的事上述方法一般无法解出阶数略大n4的矩阵特征值的精确解在实际计算中难以按定义计算矩阵特征值
第7章 计算矩阵的特征值和特征向量
在线性代数中，一个n阶矩阵A，若有数λ及非零n维向量 v满足Av=λv，则称λ为A的特征值，v为属于特征值λ的特征 向量。在线性代数中，先计算矩阵A的特征多项式，即计算 det(λ I - A)= λn +…+(-1)ndetA的根，算出A的n个特征值λ i， i=1，2， …，n。然后解线性方程组(A- λiI)v=0，计算出对 应于λ i的特征向量。由于求解高次多项式的根是件困难的事， 上述方法一般无法解出阶数略大(n>4)的矩阵特征值的精确解， 在实际计算中难以按定义计算矩阵特征值。 本章介绍一些简单有效的计算矩阵特征值和特征向量 的近似值的数值方法。
7 ．2
反 幂 法
反幂法
Av = λv ⇒ A v =
线性代数习题集 第七章
第七章 欧几里得空间I. 单项选择题1. 欧式空间V 内的s 个非零向量12,,,s ααα，如果两两正交，则（ ）⑴线性相关 ⑵线性无关 ⑶互相可以线性表示 ⑷两两夹角为零2. 给定两个向量1123a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，23241α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且内积12,1αα=-，则a 为（ ） ⑴2- ⑵34- ⑶14- ⑷123. n 维欧式空间V 的线性变换σ是可逆的对称变换当且仅当σ关于V 的任意一组标准正交基的矩阵是（ ）⑴可逆变换 ⑵对称变换 ⑶正交变换 ⑷可逆的对称变换 4. 正交变换在标准正交基下的矩阵是（ ）⑴初等矩阵 ⑵正定矩阵 ⑶正交矩阵 ⑷实对称矩阵 5. 设A 为n 阶对称矩阵，若1A -存在，则1A -是（ ）⑴正交矩阵 ⑵正定矩阵 ⑶对称矩阵 ⑷反对称矩阵 6. 下列有关正交变换的命题中，正确的是（ ） ⑴保持任意向量长度不变的线性变换是正交变换⑵保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换是正交变换 ⑶正交变换是对称变换⑷正交变换在任意一组基下的矩阵是正交矩阵7. 在欧式空间V 中，两组标准正交基间的过渡矩阵是（ ）⑴正定矩阵 ⑵对称矩阵 ⑶正交矩阵 ⑷转置矩阵 8. 实上三角矩阵为正交矩阵时，必为对角矩阵，其对角线上的元素为（ ） ⑴1 ⑵-1 ⑶0 ⑷±1 9. 欧式空间中线性变换σ是正交变换的充要条件是（ ）⑴σ为对称变换 ⑵σ保持向量的长度不变 ⑶σ保持向量间的夹角不变 ⑷保持向量间的正交关系不变10. n 阶实矩阵T 是正交矩阵当且仅当T 的行向量组是（ ）⑴正交组 ⑵标准正交组 ⑶线性无关组 ⑷单位向量组 11. 正交矩阵的实特征值只能是（ ）⑴正实数 ⑵负实数 ⑶1或-1 ⑷零12. 矩阵11211211213121-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭是（ ） ⑴正交矩阵 ⑵非正交矩阵 ⑶正定矩阵 ⑷实反对称矩阵13. 设1111A ⎛⎫=⎪⎝⎭，P 为二阶正交阵，且'0002P AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则P =（ ）⑴12121212⎛⎫⎪-⎝⎭⑵⎛ -⎝⑶⎛-⎪⎝⎭ ⑷12121212-⎛⎫⎪⎝⎭14. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下规定的哪个内积作成欧式空间（ ） ⑴1221,a b a b αβ=+ ⑵1122,a b a b αβ=-⑶1122,1a b a b αβ=++ ⑷()()121122,2a a b a a b αβ=+++II. 填空题 1. 设12,,,s ααα是欧式空间V 中的s 个向量，如果12,,,s ααα两两正交，则它们______.2. 欧式空间V 内任意两个向量,αβ有,αβαβ≤，等号成立的充要条件是_________.3. 欧式空间中，正交向量组必__________.4. 在欧式空间V 中，设(),,.L V R V σλς∈∈∈如果(),σςλς=且ς________，则称λ为________，ς为________.5.如果向量组()12,,,2s s ααα≥中任一向量都不能被其余向量线性表示，则此向量组________.6. 如果对称矩阵A 为非奇异矩阵，则1A -也是________.7. 正交变换σ保持向量的内积不变，因而它保持向量的________和________不变. 8. 设实数域R 上的一个n 阶方阵T 满足'',T T TT E ==即________，则称T 为________. 9. 设σ为n 维欧式空间V 的一个线性变换，若σ对一组基12,,,n ααα中的向量有()()1111,,,1,2,,i n ασααα==，则σ________正交变换.10. 设()A ij a =是数域K 上的一个n 阶方阵，如果________，则称A 是一个对称矩阵，如果________，则称A 是一个反对称矩阵.11. 正交矩阵A 的行列式A =________或________.12. 设σ是欧式空间V 内的一个对称变换，则σ的对应于不同特征值的特征向量________.13. 欧式空间中的正交变换之积________正交变换. 14. 对称变换在标准正交基下的矩阵是________矩阵.15. 设A 是一个n 阶实对称矩阵，则存在n 阶______，使1'T AT T AT D -==为对角形矩阵. 16. 设V 是一个n 维欧式空间，令()0n 表示V 中全体正交变换所成的集合，则()0n 具有性质⑴_______________；⑵_______________；⑶_______________.17. 设σ是欧式空间V 内的一个线性变换，若对V 中任意向量,αβ都有()(),,ασβαβ=，则称σ为____________.18. 设σ是n 维欧式空间V 内的一个线性变换，如果对任意,V αβ∈，有()(),,αβασβ=，则称σ为一个____________.19. 欧式空间V 中的线性变换σ称为反对称的，如果对V 中任意向量,αβ，都有_________.20. 设(1α=，(2α=-，(3α=-，则123,,ααα是3R 的一个标准正交基，因为____________，____________.III. 判断题1. 设,αβ是欧式空间V 中的任意两个向量，则,αβαβ≤.2. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，规定内积：()()1212,a a b b αβ=++，则,0β≥，当且仅当0α=时，,0αα=.3. 令2R 为实数域上全体二维向量所组成的线性空间，()12,a a α=，()12,b b β=为其中任意两个向量，规定：()12122,a a b a b αβ=++，则,,αββα=.4. 实对称矩阵的特征值必为实数.5. 在某一组基下的矩阵是实对称矩阵的线性变换是对称矩阵.6. 对称变换的特征值都是实数.7. 对称变换在任意一组基下的矩阵都是实对称矩阵.8. 保持任意两个非零向量夹角不变的线性变换一定是正交变换.9. 设()12,a a α=，()12,b b β=为二维实空间2R 中任意两个向量，2R 对以下所规定的内积作成欧式空间，1221,a b a b αβ=+.10. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.11， 在4R 中，向量()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹角为4π.12. 正交变换在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.IV. 简答（或计算）题1. 求与()1,2,1,1α=-，()2,3,1,1β=，()1,1,2,2γ=---都是正交的向量.2. 在欧式空间4R 中，求()1,2,2,3α=，()3,1,5,1β=的夹角.3. 在欧式空间4R 中，求()2,1,3,2α=，()1,2,2,1β=-的夹角.4. 设()()()1231,0,2,0,0,2,0,3,2,6,4,9ααα===，试将()123,,L ααα的基扩充成欧式空间4R 的一组基.5. 求线性方程组123452111311101032112x x x x x ⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭的解空间的标准正交基.6. 设220212020A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交矩阵T ，使'T AT 成对角形.7. 求下列矩阵123213336A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征向量，并将特征向量标准正交化.8. 用正交变换化二次型222123121323222f x x x x x x x x x =+++++为标准形.9. 用正交变换化二次型123444f x x x x =+为标准形.10. 设0111101111011110A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，求正交矩阵U ，使'U AU 成对角形. 11. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间V 的一组标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一组标准正交基.12. 在[]4R x中定义内积为：()()11,f g f x g x dx -=⎰，求[]4R x 的一组标准正交基（对基231,,,x x x 正交单位化）13. 求一个正交变换，把二次型()222123123121323,,44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-化为标准形.14. 已知二次型()22212312323,,2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>，通过正交变换化成标准形：22212325f y y y =++，求参数a 及所用的正交变换矩阵.*15. 设n 阶方阵A 有n 个特征值0,1,2,n 1-，且方阵B 与A 相似. 求B E +，这里E 为n 阶单位矩阵.*16. 设二次型222123122313222f x x x ax x bx x x x =+++++，经正交变换X UY =化成22232f y y =+，其中()'123,,X x x x =和()'123,,Y y y y =是三维列向量，U 是三阶正交矩阵.试求,a b .*17. 欧式空间4R 中，若基()()()()12341,1,0,0,1,2,0,0,0,1,2,11,0,1,1αααα=-=-==的度量矩阵为：23013601001391197A -⎛⎫⎪--⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ⑴求基()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1εεεε====的度量矩阵； ⑵求向量γ，它与以下向量都正交，()()()1231,1,1,1,1,1,1,1,2,1,1,3ςςς=-=--=. *18. 在2R 中，已知基()()121,0,0,1αα==的度量矩阵1112A ⎛⎫=⎪⎝⎭. 求2R 的一个标准正交基，并验证该基的度量矩阵是1001E ⎛⎫=⎪⎝⎭. *19. 设12345,,,,εεεεε是五维欧式空间的一个标准正交基，()1123,,V L ααα=，其中11521243123,,2αεεαεεεαεεε=+=-+=++，求1V 的一个标准正交基.*20. 设M 是欧式空间3R 的二维子空间，取其基()()121,1,2,2,2,3αα==. 求M ⊥.*21. 设V 为四维欧式空间，1234,,,εεεε为V 的一个标准正交基，子空间()12,M L αα=，其中1122123,αεεαεεε=+=+-. 求M ⊥.*22. 设4R 中的子空间M 是齐次线性方程组123412412342303220390x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪+-=⎨⎪++-=⎩的解空间，试分别求M ，M ⊥的基. 并写出以M ⊥为解空间的齐次线性方程组.*23. 已知'100030007Q AQ ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中0Q ⎛⎫- =- ⎪⎝⎭，302032225A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭.求A 的特征值与特征向量.*24. 已知6,3,3是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，()'11,1,1ς=是属于特征值6的一个特征向量.V. 证明题1. 证明：对欧式空间中任意向量,αβ，下列等式成立：222222αβαβαβ++-=+.2. 在欧式空间中，若向量α与β正交. 求证：220αβαβ+--=.3. 设123,,,n αααα是欧式空间V 的一组基. 证明：若1,0(1,2,,)i n βα==，则0β=.4. 设α与β为n 维欧式空间V 中两个不同的向量，且1αβ==. 证明：,1βα≠.5. 设设123,,,n αααα是欧式空间V 的一组基. 证明：如果V γ∈，使1,0(1,2,,)i n γα==，则0r =.6. 设V 为 n 欧式空间，12,V γγ∈，如果对V 中任意向量α均有12,,γαγα=，则12γγ=.7. 设β与123,,,n αααα都正交. 证明：β与123,,,n αααα的任意线性组合都正交.8. 设123,,,n αααα是欧式空间V 内的n 个非零向量且它们两两正交. 证明：123,,,n αααα线性无关.9. 设A 为实对称矩阵. 证明：0A =充要条件是20A =. 10.设12,,,mααα是欧式空间V内的一个向量组，令111212122212,,,,,,,,,m m m m m mααααααααααααααα⎛⎫⎪⎪∆= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明：当且仅当0∆≠时，12,,,m ααα线性无关.11. 设,στ是n 维欧式空间V 的两个线性变换. 证明：στ也是V 的正交变换. 12. 证明：实对称矩阵A 正定的充要条件是'A B B =，其中'B 为可逆矩阵. 13. 设,A B 都是正交矩阵，且A B =-. 证明：0A B +=. 14. 证明：对称的正交矩阵的特征值必为1+或1-.15. 设σ是欧式空间V 中对称变换. 证明：σ对应于不同特征值1,2λλ的特征向量12,ςς彼此正交.16. 设,A B 均为n 阶对称矩阵. 证明：AB 为对称矩阵的充要条件是AB BA =.17. 设A 为实对称矩阵，B 为反对称矩阵，且AB BA =，A B -是非奇异矩阵. 证明：()()1A B A B -+-是正交矩阵.18. 设A 为n 阶反对称矩阵，若A 为非奇异方阵. 证明：1A -也是反对称方阵.19. 设可逆矩阵A 的伴随矩阵A *为反对称矩阵. 证明：A 的转置矩阵'A 也是反对称矩阵. 20. 设,ατ均为欧式空间V 的两个对称变换. 证明：σττσ+也是V 的对称变换.21. 设α是n 维欧式空间V 中的一个非零向量. 证明：{},0M V ξξα=∈=是V 的子空间.22. 证明：第二类正交变换一定有特征值-1. 23. 设A 为正交矩阵. 证明：A *也是正交矩阵. 24. 证明：在欧式空间中，对任意向量,ξη均有22,1414ηξηξη=+--.25. 设12,,,n ααα是n 维欧式空间V 的一个基. 证明：12,,,n ααα是标准正交基的充要条件是对V 中任意1122n n x x x αααα=+++，1122n n y y y βααα=+++，1122,n n x y x y x y αβ=+++.*26. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间的的一个基. 证明：12,,,n εεε是标准正交基的充要条件是任意向量α的坐标可由内积表出：1122,,,n n αεεαεεαεε=+++.*27. 设12,,,n εεε是n 维欧式空间V 的一个标准正交基，n 阶实矩阵()ij A a =是此基到基12,,n ηηη的过渡矩阵. 证明：12,,n ηηη是标准正交基的充要条件是A 为正交矩阵.*28. 证明：有限维欧式空间存在标准正交基. *29. 设12,,,m ααα是n 维欧式空间V 的一个标准正交基. 证明：对任意V ξ∈，以下不等式成立：2211,mi αξ=≤∑.*30. 证明：n 阶实对称矩阵A 是正定的，当且仅当存在n R 一个基，使A 为其度量矩阵. *31. 设,A B 是两个n 阶正交矩阵. 证明：1AB -的行向量构成欧式空间nR 的一个标准正交基.*32. 证明：两个有限维欧式空间同构的充要条件是它们的维数相同.*33. 证明：n 维欧式空间V 与'V 同构的充要条件是，存在双射f ：'V V →，并且对V 中任意向量,ξη，有,(),()f f ηξη=.*34. 设f 是欧式空间V 到'V 的一个同构映射. 证明：1f -是'V 到V 的同构映射.*35. 设()12,,,,1,2,,i i i in a a a i n α==是n 维欧式空间n R 的向量组. 证明：110,1,2,,;,0nnij ji j j i j a xi n αα=====∑∑的解空间同构.*36. 证明：实系数线性方程组1,1,2,,nij jj j a xb i n ===∑⑴有解的充要条件是向量()12,,,nn b b b R β=∈与齐次方程组10,1,2,,nij j j a x i n ===∑⑵的解空间正交.*37. 设A 是n 阶正定矩阵，E 是n 阶单位矩阵. 证明：A E +的行列式大于1.。
《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型
|E + A| = (1+ 1)(2 + 1) ···(n + 1)>1 . 证毕
注 定利矩用阵二A次是型一的个分对类称，矩相阵应，地且得二到次矩型阵x的T形Ax式分是类正。定一的个。正其
他形式的矩阵（如半正定矩阵）的概念可以类似定义。
例6 设 B 为 m×n 实矩阵, 证明: Bx = 0 只有零解的充
即 解得
1 1 1 x1 1 1 1 x2 0, 1 1 1 x3
1
1
p2 1 , p3 1 ,
0
2
显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化.
令
1
1
1
e1 p1 p1
1, 3 1
e2
1 p2
p2
1
1 1 ,
2 0
第七章 对称矩阵和二次型
§7.1 对称矩阵的对角化
定义 1 一个矩阵 A 若满足 AT A 则称为这个矩阵为 对称矩阵。
说明：（1）对称矩阵是方阵； （2）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。
例如
12
A
6 1
6 8 0
1 60
为对称阵.
例1: 设Bmn ,则 BT B 和 BBT 都是对称矩阵.
例4 判定下列二次型的正定性：
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
A = PP-1 ，
线性代数(经济类)习题解答机工版第7章
＋ｙ２
＝１＋ｘｘ２ ＋ｙ２；
ｚ＝ １
ｙ 槡１＋ｘ２
· ＋ｙ２
ｙ
槡１＋ｘ２
＋ｙ２
＝１＋ｘｙ２ ＋ｙ２；
（２）ｕｘ＝ｙ＋ｚ，ｕｙ＝ｘ＋ｚ，ｕｚ＝ｘ＋ｙ；
（３）ｘｚ＝ｌｎｙｘｌｎｙ－１，ｙｚ＝ｘｌｎｙ·ｌｎｘ· １ｙ；
（４）ｘｚ＝１＋（（ｘｘ１－＋ｙｙ））２ ２·ｘ＋（ｙｘ－＋（ｙｘ）－２ｙ）＝２ｘ２２＋ｙ２ｙ２ ＝ｘ２ ＋ｙｙ２；
Ｄ＝｛（ｘ，ｙ） ｘ２ －２ｙ＋１＞０｝
（４）要使函数有意义，则 槡ｘ２＋ｙ２＋２≠０从而定义域
Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）
ｘ∈Ｒ， ｝
ｙ∈Ｒ
( ) ( ) ２解 （１）ｌｉｍ ｙ→∞
１＋ｘ１ｙ
ｘｓｉｎｙ
＝ｌｉｍ ｘ→∞
１＋ｘ１ｙ ｘｙ·ｓｉｙｎｙ ＝ｅ０ ＝１
ｘ→∞
ｙ→∞
（２）ｌｉｍ（ｘ２ ｘ→∞
＋ｙ２）ｓｉｎｘ２３＋ｙ２
ｙ ｕ ｙ ｖ ｙ
ｖ
＝２ｘ２ｙｌｎ（ｘ２＋ｙ２）＋ｘ２２ｘ＋２ｙｙ３２
ｘ２ｚｙ＝４ｘｙｌｎ（ｘ２ ＋ｙ２）＋ｘ４２ｘ＋ｙ３ｙ２ ＋（ｘ２４＋ｘ５ｙｙ２）２
（３）ｄｚ＝ｚ·ｄｘ＋ｚ·ｄｙ＝ｅｘ－２ｙ·ｃｏｓｔ－２ｅｘ－２ｙ·３ｔ２ ｄｔ ｘ ｄｔ ｙ ｄｔ
＝ｅｓｉｎｔ－２ｔ３（ｃｏｓｔ－６ｔ２）
ｙｚ＝１＋（（ｘｘ１－＋ｙｙ））２ ２· －（ｘ＋（ｘｙ）＋－ｙ）（２ｘ－ｙ）＝ｘ２－＋ｘｙ２；
（５）ｘｚ＝ｙｅｘｙ＋２ｓｉｎ（ｘｙ）·ｃｏｓ（ｘｙ）·ｙ＝ｙｅｘｙ＋ｙｓｉｎ（２ｘｙ），ｙｚ＝ｘｅｘｙ＋２ｓｉｎ（ｘｙ）ｃｏｓ（ｘｙ）·ｘ ＝ｘｅｘｙ＋ｘｓｉｎ（２ｘｙ）；
（６）ｕ＝
１
·
ｘ ，ｕ＝
１
２－ｙｓｘｉｙｎｃｚｏｓｚｄｘ＋２－ｘｓｘｉｙｎｃｚｏｓｚｄｙ
《线性代数及其应用》课件-第7章
线性替换
定义 2 设 X = [x1, x2, . . . , xn]T, Y = [y1, y2, . . . , yn]T, S ∈ Pn×n, 称
X = SY
线性替换
定义 2 设 X = [x1, x2, . . . , xn]T, Y = [y1, y2, . . . , yn]T, S ∈ Pn×n, 称
x = x′ cos θ − y′ sin θ, y = x′ sin θ + y′ cos θ,
或
x y
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x′ y′
化为标准形 a′x′2 + c′y′2 = 1.
▶
例如,
二次曲线
x2
√ − [3x]y
+ [2y2
=
1
经坐标旋] 转[ 变]换
x y
=
二次型及其矩阵表示
二次型 (quadratic form)是指含 n 个变量的齐二次多项式 f (x1, x2, . . . , xn) =a11x21 + a22x22 + · · · + annx2n + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2an−1,nxn−1xn
当 j > i 时, 令 aji = aij , 则 2aij xixj = aij xixj + ajixj xi, 二次型可用矩阵乘 积记作：
0 x1 1 x2
0 0 −3 x3
= x21 + 4x1x2 + x2x3 − 3x23,
12 0
该二次型的矩阵为 A = 2 0
1 2
第七章 线性代数方程组的迭代法
(7.4)
BJ D1(L U )
a1 11
a1 22
0
a21
0
0 a12
0
a13 L a23 L
a1n a2n
a1 33 O
a31
a32
0
M M M
O
0
L O
a3n M
a1 nn
an1
an2
an3
L
0
a32
0
M M M O
an1 an2 an3 L 0
U
0
L O
a3n M
0
Ax b (D L U )x b Dx (L U )x b x D1(L U )x D1b
则雅克比迭代法的矩阵形式为：
x(k1) D1(L U )x(k ) D1b BJ x(k ) f (k 0,1,L )
（Sequential Over-Relaxation)
（1）迭代
~xi(k1)
1 aii
bi
i1
aij
x
(k j
1)
j1
n
aij
x
(k j
)
ji1
（2）加速
x(k 1) i
(1 )xi(k)
x%ik 1
(i 1, 2,L , n)
即
x(k1) i
(1 )xi(k)
aii
bi
0
0
a12 a11
a13
L
a11
a1n a11
a21 a22
0
a23 L a22
a2 n a22
a31 a33
a32 a33
第7章特征值与特征向量
第7章 特征值与特征向量7.1 特征值和特征向量的定义，性质与计算设A 是阶方阵，若存在非零向量n x 和常数λ，使得x Ax λ=，则称λ是的特征值，A x 是的属于特征值A λ的特征向量．例1 已知是矩阵 ()Tk x ,1,1−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=163053064A 的特征向量，求k ．A E f A −=λλ)(nnn n n n a a a a a a a a a −−−−−−−−−=λλλ"""""""212222111211． 称为矩阵的特征多项式，A 0=−A E λ叫特征方程．例2 矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−222222220的非零特征值 是 ．矩阵A 的特征向量有两个重要性质：（１）若都是的属于特征值21,X X A λ的特征向量， 则也是的属于特征值21X X +A λ的特征向量；（２）若X 是的属于特征值A λ的特征向量, k 是非零常数，则kX 也是的属于特征值A λ的特征向量． 如果将全体属于λ的特征向量再添一个零向量构成一个集合，记作λV ，称为特征子空间．这个特征子空间的一组基就是属于这个特征值的线性无关的特征向量．特征子空间的维数就是属于这个特征值的线性无关的特征向量的最多个数．矩阵的特征值与矩阵的其他参数有两个很重要关系，他们是（１） 矩阵的所有特征值之和等于矩阵的迹（矩阵的主对角元之和）即∑∑====n i ii n i ia trA 11λ； （２） 矩阵的所有特征值的乘积等于矩阵的行列式，即A n i idet 1=∏=λ．一些有用的结论．（１） 若λ是的特征值，则A λk 是kA 的特征值，其中k 是常数．（２） 若λ是的特征值，则A 2λ是的特征值．2A（３） 若λ是的特征值，且可逆，则A A λ1是的特征值． 1−A （４） 若λ是的特征值，A )(x f 是一个多项式,，则)(λf 是的特征值．)(A f 例3 是三阶矩阵，A 1−A 的特征值是1，2，3，则A 的代数余子式332211A A A ++=？例4 已知⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=a c b c a A 01351，1−=A ，的一 *A 个特征值λ对应的特征向量()T 111−−=α，求λ,,,c b a ．例5 设阶矩阵的所有元素都是1，求的特征值． n A7.3 相似矩阵的概念及性质设A 是阶方阵，若存在可逆矩阵，使得，则称相似于．n P B AP P =−1B A 方阵的相似是矩阵之间的一种等价关系．他们有 （１）反身性：每个方阵都和自己相似；（２）对称性：若和相似，则和也相似； A B B A （３）传递性：若和相似，B 和A B C 相似，则和A C 也相似．相似矩阵有相同的秩，相同的特征多项式，相同的特征值，相同的迹，相同的行列式等．例6 若四阶矩阵与相似，矩阵的特征值为A B A 51,41,31,21，则行列式E B −−1= ． 例7 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0000000000000004,1111111111111111B A ．则与 A B 合同且相似． )(A )(B 合同但不相似．)(C 不合同但相似． )(D 不合同且不相似． 例8 已知3阶矩阵A 与三维向量x ，使得向量组线性无关，且满足x A Ax x 2,,x A Ax x A 2323−=．记)1(()x A Ax x P 2,,=，求３阶矩阵，使B 1−=PBP A ；计算行列式)2(E A +．例9 设B A ,为同阶方阵，（１）如果B A ,相似，试证B A ,的特征多项式相等．（２）举一个二阶方阵的例子说明的逆命题不)1(成立．（３）当B A ,均为实对称矩阵时，试证的逆命题成立．)1(7.4 方阵的相似对角化方阵A 可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量．A n 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.例10设21,λλ是矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为A 21,αα，则)(211ααα+A ,线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ.(C) 01=λ. (D) 02=λ.例11 设为三阶矩阵，A 321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足3211αααα++=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A(1) 求矩阵，使得B B A ),,(),,(321321αααααα=；(2) 求矩阵的特征值；A (3) 求可逆矩阵，使得P AP P 1−为对角矩阵.例12 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论是否可相似对角化． A 例13 设阶方阵满足n A 0652=+−E A A ，试证明矩阵和对角矩阵相似．A 例14 设阶矩阵n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111"""""""b b b b b b A ， （1）求的特征值和特征向量；A （2）求可逆矩阵，使得P AP P 1−为对角矩阵．7.5 实对称矩阵的对角化实对称矩阵的特征值一定是实数．也就是说，n 阶方阵一定有个实的特征值．n 实对称矩阵对应不同特征值的特征向量正交. 实对称矩阵的这个性质，使我们可以找到正交矩阵，使得实对称矩阵和对角矩阵既相似又合同．例15 设3阶实对称矩阵的秩为2，A 621==λλ是的二重特征值，若A ()T0,1,11=α，()T 1,1,22=α，()T3,2,13−−=α都是的属于特征值6的特征向量，A （１） 求的另一特征值和对应的特征向量；A （２） 求矩阵．A 实对称矩阵是一定和对角矩阵相似的，也就是说它是一定可以对角化的．它的对角化有2种形式．它既可以和对角矩阵相似，也可以和对角矩阵既相似同时还合同．就是说，对于实对称矩阵，总存在可逆矩阵，使它和对角矩阵A P D 相似，D AP P=−1， 或存在正交矩阵Q ，使它和对角矩阵Λ既相似又合同， Λ==−AQ Q AQ Q T1．另外，它可以和对角矩阵合同，即存在可逆矩阵Ｔ，使它和对角矩阵C 合同， C AT T T =．给定实对称矩阵，求正交矩阵Q 使其对角化的步骤是：A （１） 设A E −λ＝０，求出的特征值A n λλλ,,,21"；（２） 对每个特征值λ，解齐次线性方程组0)(=−x A E λ，求出对应的特征向量．如果特征值是单根，就对应一个特征向量；如果特征值是几重根，就对应几个线性无关的特征向量；（３） 对于重的特征值，将对应它的那组特征向量 施行施密特正交化．对每个重特征值对应的特征向量全都正交化并单位化以后，所有的特征向量就构成了一个正交向量组；n q q q ,,,21"（４） 将所有正交的特征向量按列排成一个矩阵， 令其为，那么Q 是正交矩阵．有),,,(21n q q q Q "=AQ Q AQ Q T =−1＝⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛n λλλ%21， 注意：中的排列顺序要和特征值),,,(21n q q q Q "=n q q q ,,,21"n λλλ,,,21"的排列顺序一致，使得恰是i q i λ的特征向量．例16 设是()T x 211=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=b a a A 201210的特征向量，求的值，并求正交矩阵使得b a ,P AP P 1−为对角阵．例17 设实对称矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=a a a A 111111，求可逆矩阵，使为对角矩阵，并计算行列式P AP P 1−E A −的值．例18 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=111111a a a A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=211b ．已知线性方程组b Ax =有解但不惟一，试求：（1）a 的值；（2）正交矩阵Q ，使为对角矩阵． AQ Q T7.6 相似对角化的应用例19 求k ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−111222111．。
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
线性代数 第七章
第七章 λ矩阵§1 λ-矩阵的概念前面我们介绍的矩阵，它的元素都是一个数，这种矩阵也可称作数字矩阵，下面给出λ-矩阵的定义.定义1 设()(1,2,,;1,2,,)ij a i m j n λ== 均为λ的多项式，那么以()ij a λ为元素的m ×n 矩阵111212122212()()()()()()()()()()n n m m mn a a a a a a a a a λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A (7.1) 称为λ矩阵或多项式矩阵.显然，数字矩阵是特殊的λ矩阵.λ矩阵的加法、数乘和乘法与数字矩阵的运算相同，并且具有相同的运算规律，这些不再重复叙述和证明.由于λ矩阵的每一个元素都是λ的多项式，所以任何λ-矩阵（7.1)可以惟一地表成以数字矩阵为系数的λ的多项式1110()l l l l λλλλ--=++++A A A A A其中01,,,i A A A 均为m ×n 数字矩阵.例1 设22212(),2231λλλλλλλλ⎡⎤++-+=⎢⎥--⎣⎦A 则A （λ）可以写成2111112().022301λλλ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A 定义2 如果λ矩阵A （λ）中有一个r （r ≥1）阶子式不为零，而所有r +1阶子式（假若有的话）全为零，则称A （λ）的秩为r .零矩阵的秩规定为0.例如，数字矩阵A =（a ij ）n ×n 的特征矩阵λE -A 的秩是n ，因为|λE -A |≠0. 定义3 对于n 阶λ矩阵A （λ），如果有一个n 阶λ矩阵B （λ），使得A (λ)B (λ)=B (λ)A (λ)=E n , （7.2）则称A (λ)是可逆的，此时B (λ)就称为A (λ)的逆矩阵，记为A -1(λ).关于λ矩阵可逆的条件有定理1n 阶λ矩阵A (λ)可逆的充分必要条件为它的行列式|A (λ)|是一个非零的常数.证明 先证必要性.设A (λ)可逆，则在（7.2）式两边取行列式得|A （λ）|·|B （λ）|=1.因为|A （λ）|与|B （λ）|都是λ的多项式，并且它们的乘积等于1，所以它们都是零次多项式，此即|A （λ）|是一个非零的数.再证充分性.设d =|A （λ）|是一个非零常数，A *（λ）是A （λ）的伴随矩阵，它也是一个n 阶λ矩阵，有**11()()()(),2n d λλλλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A E 故A （λ）可逆，且A -1（λ）=1dA *(λ). 例2 λ矩阵 222213(),35413(),3254λλλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤=⎢⎥+++⎣⎦++⎡⎤=⎢⎥++++⎣⎦A B 中，A (λ)是可逆的，但B （λ）不可逆.这是因为|A （λ）|=4,|B （λ）|=-2(λ+1).§2 λ-矩阵的标准型定义4 下列三种变换称为λ-矩阵的初等变换：(1) 互换矩阵的某两行（列）.(2) 用非零的数c 乘矩阵的某一行（列）.(3) 把矩阵中某一行（列）的φ(λ)倍加到另一行（列）上，其中φ(λ)是一个λ的多项式.由单位矩阵E n 经过一次上述初等变换得到的λ矩阵称为初等矩阵.与数字矩阵的讨论相类似，用E （i,j ）,E (i (c )),E (i +j (φ))分别表示由单位矩阵E n 互换i,j 两行（列）；第i 行（列）乘以非零常数c ；第j 行（i 列）的φ(λ)倍加到第i 行（j 列）上所得到的初等矩阵.我们有结论：（A ） 初等矩阵都是可逆的，并且E （i,j ）-1=E (i,j ),E (i (c ))-1=E (i (c -1)),E (i +j (φ)) -1=E (i +j (-φ)).(B) 对一个λ矩阵A （λ）作一次初等行（列）变换，相当于A （λ）左（右）乘一个相应的初等矩阵.定义5 如果λ矩阵A （λ）经过有限次初等变换而化为B （λ)，则称A （λ）与B （λ）等价，记为A （λ）≅B （λ）.定理2 两个λ矩阵A （λ）与B （λ）等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P （λ）和Q （λ），使得B （λ）=P （λ）A （λ）Q （λ）.证明 由定义5及（B ）知,A （λ）与B （λ）等价的充分必要条件是存在一系列初等矩阵P 1，P 2，…，P s 与Q 1，Q 2，…，Q t ，使得B （λ）=P s P 2…P 1A （λ）Q 1Q 2…Q t令P （λ）= P s P 2…P 1，Q （λ）= Q 1Q 2…Q t ，因为初等矩阵都是可逆的，它们的乘积还是可逆的，所以P （λ）和Q （λ）均为可逆的，故定理得证.由（A ），（B ），容易证明，λ矩阵的等价关系具有下列性质：(1) 自反性每一个λ矩阵与自己等价.(2) 对称性若A （λ）≅B （λ），则B （λ）≅A （λ）.(3) 传递性若A （λ）≅B （λ），且B （λ）≅C （λ），则A （λ）≅C （λ）.λ矩阵具有多种形式的标准型，在这里我们只介绍其中最基本的一种，即施密斯标准型.为此先证明一个引理.引理 若λ矩阵A （λ）=（a ij (λ)）m ×n 的左上角元素a 11（λ）≠0，并且A （λ）中至少有一个元素不能被a 11（λ）整除，则必存在一个与A （λ）等价的矩阵B （λ），它的左上角元素B 11（λ）也不为零，且b 11（λ）的次数小于a 11（λ）的次数.证明 根据A （λ）中不能被a 11（λ）整除的元素所处位置，分三种情况讨论.（1） 若A (λ)的第一列有一个元素a i 1(λ)不能被a 11（λ）整除，则用a 11（λ）去除a i 1（λ）可得a i 1（λ）=q （λ）a 11（λ）+r （λ），这里r （λ）(≠0)的次数小于a 11（λ）的次数.此时[]111(())(1,)11()()()()()()r i q r i a r r a λλλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B 上面右端矩阵B （λ）即为所求.（2） 若A (λ)的第一行有一个元素a 1j (λ)不能被a 11(λ)整除，则这种情况的证法与情况（1）类似.（3） 若A (λ)中第一行与第一列的元素都能被a 11 (λ)整除，但A (λ)中另有元素a ij (λ)(i >1,j >1)不能被a 11 (λ)整除.此时可设a i 1 (λ)= a 11 (λ)φ(λ)，则有[][]1111()111111()()()0()()()()()()(1())()0()()()j r i ij j ij j r i ij j a a a a a a a a a ϕλλλλλϕλλλλϕλλλλϕλ-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥-⎢⎥⎣⎦+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A M 上面右端矩阵M (λ)中第一行有一个元素a ij (λ)+a 1j (λ)(1-φ(λ))=f (λ)不能被a 11(λ)整除，这就化到了已经证明的情况（2）.定理3 任一非零的m ×n 的λ-矩阵A (λ)都等价于一个如下形式的矩阵：12()()()()00r m nd d d λλλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (7.3)其中r ≥1,d i (λ)(i =1,2,…,r )均为首项系数为1的多项式，且1()();1,2,, 1.i i d d i r λλ+=-证明 不妨设a 11(λ)≠0，否则总可以经过适当的行、列交换，使得A (λ)的左上角元素不为零.如果a 11(λ)不能整除A (λ)的所有元素，由引理，可以找到与A (λ)等价的矩阵B 1(λ)，它的左上角元素b 1(λ)≠0，且b 1(λ)的次数小于a 11(λ)的次数.如果b 1(λ)还不能整除B 1(λ)的所有元素，再由引理，可以找到与B 1(λ)等价的矩阵B 2(λ)，它的左上角元素b 2(λ)≠0，且b 2(λ)的次数小于b 1(λ)的次数.如此作下去，将会得到一系列彼此等价的λ-矩阵A (λ),B 1(λ),B 2(λ),….这些矩阵的左上角元素均不为零，而且次数越来越低.由于非零多项式的次数总是非负整数，因此在有限步后，必将得到一个λ矩阵B s (λ)，它的左上角元素b s (λ)≠0，且b s (λ)能整除B s (λ)的所有元素.可设b ij (λ)= b s (λ)q ij (λ)，此时，对B s (λ)作一些适当的初等变换，可使得除左上角元素外它的第一行与第一列的其他元素全为零，即1()000()()0s i b λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥≅⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A显然，A 1(λ)的元素都是B s (λ)中元素的组合，而b s (λ)能整除B s (λ)的所有元素，所以b s (λ)也能整除A 1 (λ)的所有元素.如果A 1 (λ)≠0，则对于A 1 (λ)重复上述过程，进而可把矩阵化为121()000()0()00d d λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中d 1(λ), d 2 (λ)都是首项系数为1的多项式，且d 1 (λ)| d 2 (λ)(因d 1 (λ)= b s (λ)能整除A 1 (λ)的所有元素)，d 2 (λ)能整除A 2 (λ)的所有元素.如此一直做下去，最后终将A （λ）化为所要求的形式.（7.3）式中的J （λ）称为A （λ）的施密斯标准型.例3 求λ-矩阵2222121()11λλλλλλλλλλλ-+-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥++--⎣⎦A的施密斯标准型.解 对A (λ)作初等变换：[][][][][][][]2213312222,,21(2131()3(1)2223222232()223121121()0011010100000010000λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+---------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−−−→−−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----++⎣⎦⎣⎦−−−−→-++A []32(1)31000000λλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦上式最后一个矩阵就是所求的施密斯标准型.§3 λ-矩阵的不变因子定义6 设λ矩阵A (λ)的秩为r ≥1,k 是不大于r 的正整数，那么A (λ)中所有k 阶子式的首项系数为1的最大公因式D k (λ)称为A (λ)的k 阶行列式因子.由定义6知，一个秩为r （≥1）的λ矩阵有且仅有r 个行列式因子.关于行列式因子有下面重要结论.定理4 等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子.证明 我们只需证明，经过一次初等变换后λ矩阵的秩和行列式因子是不变的.设λ矩阵A (λ)经过一次初等变换变成B （λ），f (λ)与g (λ)分别是A (λ)与B （λ）的k 阶行列式因子.下面分三种情况证明f (λ)=g (λ).（1） A (λ)[,]i j −−−→ B （λ）.这时B （λ）的任一k 阶子式或者等于A (λ)的某一个k 阶子式，或者与A (λ)的某一个k 阶子式反号，因此f (λ)是g (λ)的因式，即f (λ)|g (λ). （2） A (λ)[()]i c −−−→ B （λ）(c ≠0).这时B （λ）的任一k 阶子式或者等于A (λ)的某一个k 阶子式,或者等于A (λ)的某一个k 阶子式的c 倍，因此f (λ)是g (λ)的因式，即f (λ)|g (λ). （3） A (λ)[()]i j ϕ+−−−−→ B （λ）.这时B （λ）中那些包含i 行与j 行的k 阶子式和不包含i 行的k 阶子式都等于A (λ)中对应的k 阶子式，而B （λ）中那些包含i 行但不包含j 行的k 阶子式，恰好等于A (λ)中对应的k 阶子式与另一个k 阶子式的φ(λ)倍之和，因此f (λ)是g (λ)的因式，即f (λ)|g (λ).对于列变换可以完全一样地讨论.于是经过一次初等变换将A (λ)变成B （λ），总有f (λ)|g (λ).由于初等变换具有可逆性，所以B （λ）也可以经过一次初等变换变成A (λ)，同样也有g (λ)|f (λ)，故f (λ)=g (λ).根据上述讨论和秩的定义可知，A (λ)与B （λ）既有相同的各阶行列式因子，又有相同的秩.设A (λ)的Smith 标准型为(7.3),则A (λ)≅ J （λ）.由定理4得A (λ)的各阶行列式因子为1121212()(),()()(),,()()()(),r r d d d d d d λλλλλλλλλ===D D D （7.4）于是有112211()(),()(),,()()(),()r r r d d d d λλλλλλλλ-=== D D D D （7.5） 这表明任一λ矩阵的施密斯标准型是惟一的.定义7 在A (λ)的施密斯标准型（7.3)中，多项式d 1(λ),d 2(λ),…,d r (λ)称为A (λ)的不变因子.关系式(7.4)或(7.5)给出了A (λ)的不变因子与行列式因子的关系，其不变因子完全由行列式因子所惟一确定，它们都是在初等变换下A (λ)的不变量.于是得到定理5 A (λ)≅B （λ）的充分必要条件是A (λ)与B (λ)有相同的行列式因子，或者说有相同的不变因子.例4 在例3中，A (λ)的不变因子为d 1(λ)=1, d 2 (λ)=λ, d 3 (λ)=λ(λ2+1).A (λ)的行列式因子为D 1（λ）=1,D 2(λ)=λ,D 3(λ)=λ2(λ2+1).§4 矩阵的若当标准型本节在复数范围内介绍n 阶矩阵的若当标准型.设A 是一个n 阶复矩阵，A (λ)=λE -A 是A 的特征矩阵，则A (λ)必有n 个非零的不变因子，把每一个次数大于零的不变因子都分解为互不相同的一次因式的方幂之积，所有这些一次因式的方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为A (λ)的初级因子.由于特征矩阵A (λ)=λE -A 完全由矩阵A 所确定，因此这里A (λ)的不变因子及初级因子也常常称之为A 的不变因子及初级因子.例5 求矩阵1212⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦A 的全部不变因子和初级因子.解 因为A 的特征矩阵为1212λλλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-=⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦E A 所以λE -A 的行列式因子为D 4（λ）=|λE -A |=（λ2-1）（λ2-4），D 3（λ）=D 2（λ）=D 1（λ）=1；A 的不变因子为123443()()()1,()()(1)(1)(2)(2)()d d d d λλλλλλλλλλ=====-+-+D D 而次数大于零的不变因子只有d 4(λ)，因此A 的全部初级因子为λ-1,λ+1,λ-2,λ+2.定义8 形如1(,)1s sa a a s a ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ J （7.6） 的矩阵称为若当（Jordan ）块，其中a 是复数.由若干个若当块组成的准对角矩阵称为若当形矩阵.比如0310,,11310110i i i ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 都是若当块，而111521212i i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦ 是一个若当形矩阵.不难算出若当块J (a,s )的初级因子是（λ-a ）s .事实上，因为J （a,s ）的特征矩阵为1(,),1a a a s a λλλλ-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦E J显然它的行列式为(λ-a )s ，且它的左下角那一个s -1阶子式为（-1）s -1，所以J （a,s ）的行列式因子为D 1(λ)=…=D s -1(λ)=1,D s (λ)=(λ-a )s ，因此它的不变因子为d 1(λ)=…=d s -1(λ)=1,d s (λ)=(λ-a )s ,由此即得J （a,s ）的初级因子是（λ-a ）s .下面我们叙述矩阵相似的判别定理.定理6 两个n 阶矩阵A 与B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵λE -A 与λE -B 等价，或者说A 与B 有相同的不变因子，或者说A 与B 有相同的初级因子.证明 （略）.有了以上的一些概念和结论，现在来介绍矩阵的若当标准型.设n 阶复矩阵A 的全部初级因子为（λ-λ1）k 1,（λ-λ2）k 2,…,（λ-λt ）kt ,每一个初级因子（λ-λi ）k i 对应一个k i 阶若当块1,1i i i i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 由所有这些若当块构成的准对角矩阵12i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J J J 称为矩阵A 的若当形矩阵，或A 的若当标准型.不难证明，矩阵A 与它的若当标准型具有相同的初级因子.于是我们得到定理7 任一n 阶复矩阵A 都与它的若当标准型J 相似，即存在可逆矩阵P ，使P -1AP =J ，并且除了其中若当块的排列次序外，这个若当标准型是由A 惟一确定的.由于|λE -A |=|λE -J |=(λ-λ1)k 1(λ-λ2)k 2…(λ-λt )kt所以若当形矩阵J 的主对角线上的元素λ1,λ2,…,λs （可能有些相同）全为A 的特征值.因为对角矩阵是特殊的若当形矩阵，即它是由n 个一阶若当块构成的若当形矩阵，因此我们有推论 n 阶复矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是它的初级因子全为一次的. 例6 求矩阵126103114--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 的若当标准型.解 先求λE -A 的初级因子：222126013213011114114100100,01101001210021λλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤--+⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→----+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→→--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦E A 所以A 的全部初级因子为λ-1,(λ-1)2，因此A 的若当标准型是100.010011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J习 题 七1. 求下列λ矩阵的Smith 标准型.2322222212(1);(2);531(1)000(1)0(3);(4).000100(1)002λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤-⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥+-⎣⎦++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦.2. 求下列λ矩阵的不变因子.1020001(1);(2).1200001200a b b a a b b a λλλλλλλ+⎡⎤-⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦-+⎣⎦3. 证明12211000010000000001n n n a a a a a λλλλλ---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦的不变因子为d 1(λ)=…=d n -1(λ)=1,d n (λ)=λn +a 1λn -1+…+a n -1λ+a n .4. 证明000000000100010a a λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与（a 为任一非零实数）相似.5. 求下列复矩阵的若当标准型. 120131616(1);(2).020576221687⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦。
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0
23
5
线性代数 第七章
117
极值点满足方程
x1
2x2 x1 4
8
求得极值点坐标（4，2），此时f 20.
因此得唯一最优解x (4,2)T ,最优目标函数值min f 20.
线性代数 第七章
118
例2.求解线性规划问题
min f x1 2x2
x1 x2 －2
s.t .
x1 x2 2 x1 0
定义7.2 设x 为线性规划模型的可行解，且使目标函数f在D上达到最小值， 即x D,有f ( x ) f ( x), 则称x为该线性规划问题的最优解.
性质7.1
若x1
,
x2为线性规划模型的可行解，则x
x1
(1
)
x
仍
2
是
其可行解，其中0 1。
证明：因为Ax1 b, Ax2 b,
所有Ax A[x1 (1 )x2 ] Ax1 (1 )Ax2 b (1 )b b
其
中，A
a21
a12
a22
a1n a2n
C (c1 , c2 ,, cn )T ; x ( x1 , x2 ,, xn )T
am1 am2 amn b (b1 , b2 ,, bm )T
线性代数 第七章
114
三 线性规划模型解的基本概念
定义7.1向量x ( x1 , x2 , xn )T 若满足线性规划模型的标准形式中的约束条件 s.t. Ax b, x 0 则称x为该问题的可行解。所有可行解的集合D称为可行域.
x2 0
二.从可行域中找出最优解.
为此，将目标函数f
x1 2 x2变形为x2
1 2
x1＋
f 2
当f变化时便产生一簇斜率为－1的平行线簇，令f 0,1 2
平行线簇在平面上截距减少的方向如箭头所指，
因此，极限位置的点的坐标就是要求的最优解.
一。画出由约束条件确定的可行域.
1.用等式约束代替不等式约束画出
3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160
2x1
+4 x3 +2 x4 ＝160
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4 ≤180
x1、x2 、x3 、x4≥0
5
模型特点
1 都用一组决策变量X = (x1,x2,…,xn)T表示某一方案，且决策变量 取值非负； 2 都有一个要达到的目标，并且目标要求可以表示成决策变量 的线性函数； 3 都有一组约束条件，这些约束条件可以用决策变量的线性等 式或线性不等 式来表示。
因此，极限位置的点的坐标就是要求的最优解.
极限位置
一。画出由约束条件确定的可行域.
4
1.把决策变量x1, x2看作平面上的点的坐标.
2.用等式约束代替不等式约束画出
3
l1 : x1 2 x2 8
2
l2 : x1 4
l3 : x2 3
1
3.确定每个不等式表示的半平面，结合x1, x2 0,
取交集即为所求的可行域.
• 2.存在唯一的最优解，此最优解为可行域的 顶点，此时可行域为非空有界集或者为非 空无界集；
• 3.存在唯一的最优解，此最优解与可行域的 一条边界重回。
由于边界上必包含可行域的顶点，因此， 必有最优解为可行域的顶点。
线性代数 第七章
223
§7.3线性规划问题的单纯形法
3.由于该线性规划问题的可行域是空集， x2 因此没有可行解，当然也就没有最优解. 4
3
2
1
线性代数 第七章
0
23
5
x1
221
图解法解题步骤：
• 1.确定可行域 • 2.做目标函数等值线，确定目标函数增大或
减少的方向； • 3.确定最优解和最优值
线性代数 第七章
222
线性规划最优解的3种情况：
• 1.不存在最优解；此时可行域为空集或者为 非空无界集；
x1 s.t .4 x1
2x2 8 16
4x2 12
x1
s.t
.
4
x1
2x2 4x2
x3
x4 －x5
8 16 12
x1 , x2 0
x1 , x2 , x3 , x4 , x 0
线性代数 第七章
112
例2.线性规划模型化为标准型。
原非标准型: max f ( x) 3x1 2x2 4x3
2 x1 3 x2 4 x3 300
s.t .
x1 5 x2 6 x3 400 x1 x2 x3 200
x3 不限, x1 , x2 0
标准型 : min f ( x) 3 x1 2 x2 4 x3 4 x3 0 x4 0 x5 0 x6
2 x1 3 x2 4 x3 4 x3 x4 300
药物
单位成本
原料
A B C （元／吨）
甲
1 23
5
乙
2 01
6
丙
1 41
7
丁
1 22
8
要求：生产A种药物至少160单位；
B种药物恰好200单位，C种药物不
超过180单位，且使原料总成本最
小。
线性代数 第七章
解：
1.决策变量：设四种原料的使用
量分别为： x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数：设总成本为z，则有： min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4
线性代数 第七章
2
线性规划的发展
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇用线性模型研究提高 组织和生产效率问题 1947年，美国数学家丹茨格（Dantzig）提出求解线性规 划的单纯形法 1950-1956年，主要研究线性规划的对偶理论 1958年，发表整数规划的割平面法
• 1960年，Dantzig和Wolfe研究成功分解算法，奠定了大规 模线性规划问题理论和算法的基础。
23
5
x1
119
例3.求解线性规划问题
max f 6 x1 3 x2
2x1 x2 8
s.t .
x1 1 x2 4
x2 0
二.从可行域中找出最优解.
为此，将目标函数f
6x1 3x2变形为x2
2
x1＋
f 3
当f 变化时便产生一簇斜率为－2的平行线簇，令f 0,1,
平行线簇在平面上截距增大的方向如箭头所指，
a21 x1
a22 x2
a2 am2 x2 amn xn bm
x1 , x2 , xn 0
4
bi 0,
3
线性规划的标准形有如下四个特点：
目标最小化、 约束为等式、
变量均非负、 右端约束常数非负。
线性代数 第七章
8
线性规划模型的变换
1． 极小化目标函数的问题
设目标函数为 Max f c1 x1 c2 x2 cn xn
令 f f 则可转化为标准形 Min f c1 x1 c2 x2 cn xn
2． 右端项有负值的问题 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非
负，当某一个右端项系数为负时，则把该等式约束两 端同时乘以－1，得到：
• 1979年，Khachiyan，1984年，Karmarkaa研究成功线性 规划的多项式算法。
线性代数 第七章
3
§7.1 线性规划的数学模型
一、问题的提出
例1.1 某厂生产两种产品，下表给 出了单位产品所需资源及单位产品 利润
产品 资源
I
设备
1
材料 A
4
材料 B
0
单位利润
（元）
2
可利用
II
资源
例1.求解线性规划问题
max f 3 x1 4 x2
x1 2 x2 8
s.t .
x1 4 x2 3
x j 0 ( j 1,2)
为此，将目标函数f
3 x1 4 x2变形为x2
f 4
3 4
x1
当f变化时便产生一簇斜率为 3的平行线簇，令f 0,1, 4
平行线簇在平面上截距增多的方向如箭头所指，
——— 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划
线性代数 第七章
6
二. 线性规划的数学模型
一般表示方式
决策变量
目标函数
min(max) f ( x1, xn ) c1x1 c2 x2 cn xn
约束条件
s.t .
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn (, )b2
线性代数 第七章
115
一般地，设D为非空集合，如果对任意x1 , x2 D,有x1 (1 )x2 D 其中0 1，则称集合D为凸集.
凸集
非凸集
性质7.2 若线性规划模型的可行域非空，则可行域为凸集
线性代数 第七章
116
§7.2线性规划问题的图解法
二.从可行域中找出最优解. 最优解是使目标函数去最大值的可行域中的点.
ai1 x1 ai 2 x2 ai n xn bi
线性代数 第七章
9
3．约束条件不是等式的问题
（1）设约束条件为： ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
可以引进一个新的变量 yi 使得：
ai1 x1 ai2 x2 ain xn yi bi
显然，yi也具有非负约束，即 yi ≥0
形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。
线性代数 第七章
110
4． 变量无符号限制的问题
在标准形式中，必须每一个变量有非负约束，当
某一个变量 xj 没有非负约束时，令