线面垂直的性质定理

1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,b ∥α a⊥b
变式探究
β
β
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
交换“条件”与“结论”
①a ⊥α,b ∥α a⊥ b
变式探究
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
b
②交换“直线”与“平面” α
a ⊥α,β ∥α a⊥β 2.逆向探究：
ba
交换“条件”与“结论”
①a ⊥α,a⊥ b b ∥α α
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
b a
变式探究
l
α
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
变式探究
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
图形语言：
a
b
α
符号语言： a ， b a //b
无忧PPT整理发布
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a.
∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .
a
α
β
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
a
b
α
c β
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
a
①交换“平行”与“垂直”
b
a ⊥α,b ∥α a⊥ b α
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
ba
2.逆向探究：
交换“条件”与“结论” α
①a ⊥α,a⊥ b b ∥α 或 b
② 无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 变式探究
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
a
②交换“直线”与“平面” α
a ⊥α,β ∥α a⊥β
2.逆向探究：
β
交换“条件”与“结论”
①a ⊥α,a⊥ b b//或 b
②a ⊥α,β ∥α a⊥β
无忧PPT整理发布
随堂测试
1.判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ③平行于同一个平面的两条直线互相平行； ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
一、知识回顾
1. 直线和平面垂直的定义？
如果直线和这个平面内的任意一条 直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂 直.
注:若l ,b
则l b.
l
bA
α
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直。
图形表示
符号表示
m ,n
a
m
On
mI nO
a
a m,a n
线线垂直 线面垂直
关键：线不在多，相交则行
二、新知探究
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
无忧PPT整理发布
3 线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线互相平行.
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β
a
2.逆向探究：
b
交换“条件”与“结论” α
①
c
β
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b ∥α a⊥ b
②交换“直线”与“平面”
a ⊥α,β ∥α a⊥β 2.逆向探究：
直，则这两条直线互相垂直。（ ） 2、已知直线a、b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的
位置关系 _____b __/__/__或 _ b
小结
1.知识方法
①线面垂直的性质定理及其应用
③类比探究，逆向探究
2.数学思想
线面关系
转化 垂直关系 空间问题
线线关系 平行关系 Байду номын сангаас面问题
反证法
否a 定结b论b’
正确推理
α
o
导出矛盾 肯定结论
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a.
∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .
是AB、PC的中点求证： （1）MNCD;
（2）若PDA45o，求证：MN 面PCD
P
A
M B
E
N D
C
无忧PPT整理发布
典型例题
练习. 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面
A1DC
求证： (1) MN∥AD1
(2) M是AB的中点.
D1
C1
b
a // b
图形语言：
O
简述为：线面垂直 线线平行
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
三、理论迁移
例 1: 如图，已知I l,C A
于点A，CB 于点B，a,aAB,
求证：a / / l .
C β
B
α
l
Aa
无忧PPT整理发布
无忧PPT整理发布
三、理论迁移
例2 如图，已知 PA 矩形ABCD所在平面，M、N分别
2.若a,b表示直线, 表示平面，下列命题
正确的是 (3)(4) 。
(1 )a ,a b,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
(3 )a//,b ,则 b a (4 )a ,b ,则 b a
课堂练习：
√ 1、判断下列命题是否正确；
（1）垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（ ）
√ （2）垂直于同一个平面的两条直线互相平行；（ ） √ （3）一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂
反证法
否a 定结b论b’
正确推理
α
o
导出矛盾 肯定结论
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
直线与平面垂直的性质1：
如果一条直线垂直于一个平面，那么这 条直线垂直于面上任意直线．（定义）
符号语言：a b
图形语言：
α
ab
ab
简述为：线面垂直 线线垂直
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
直线与平面垂直的性质2：
如果两条平行直线中的一条垂直于一个 平面，那么另一条也垂直于这个平面．
符号语言：a / / b a
图形语言：
b a b
O
© 2006 NENU 济南九中高三数学备课组
直线与平面垂直的性质3：
如果两条直线同时垂直于一个平面，
那么这两条直线平行．
符号语言：a b
a
A1
B1
N
O
D
C
A
M
B
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b 1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
变式探究
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b
1.类比探究：
①交换“平行”与“垂直”
a ⊥α,b⊥α ? a ∥b
变式探究
无忧PPT整理发布
无忧PPT整理发布
性质定理：a ⊥α,b⊥α a ∥b