单摆非线性动力学

单摆的非线性动力学分析

亚兵

（交通大学车辆工程专业，，730070）

摘要:研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况。再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况。关键词:单摆；振动；阻尼；驱动力

Abstract:The vibration of simple pendulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force its influence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an approximate Lyapunov theory of stability of motion is derived pendulum situation. Drawing tools with help from matlab, small angle and wide-angle pendulum motion simulation, by changing the parameters, such as damping size, drive size draw simple pendulum of different phase diagram, analysis and comparison of the phase diagram, from the verification the stability of the situation pendulum movement.

Key words: simple pendulum; vibration; damp; drive force

1 引言

单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动（摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解析解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解析的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动。

θ=时, 随着摆角的减小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降,至0

加速度取极小值。本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的非线性运，得出了在运动过程中.,t

θθθ

--的关系。

图1 单摆模型

2单摆的线性情况

2.1线性单摆的无阻尼振动

如图所示，忽略细绳重量，也不计小球受到的空气阻力，则上诉单摆可看成理想单摆，对其进行受力分由牛顿第二定律得：

θsin mg ma -=

（1） 因为2222dt

d l dt s d a θ

==

)(θl s = （2）

把（2）代入（1）式可得

0sin 22=+θθ

mg dt

d ml

（3）

将（3）两端同除以ml 可得 0sin 2

2=+θθl g

dt d （4） 令l

g

=

0ω，其中0ω为自然频率.则（4）可变为 0sin 2

02

2=+θωθdt

d （5） 当θ很小时,θθ=sin

故有,02

022=+θωθdt d （6）

解此方程得:t i t

i e C e

C t 0021)(ωωθ-+= （7）

若θ为实数,则有θθ=*,即

t i t i t

i t i e C e C e C e C 000021*2*1ωωωω--+=+ （8）

所以, *

21C C =, *12C C = （9）

令ϕi e A C 21=,ϕ

i e A C -=22.

则有())cos(2

)(0)()

(0

ϕωθϕωϕω+=+=+-+t A e e A t t i t i （10） )cos()(0ϕωθ+=t A t （11）

从能量守恒方面考虑:

002

2=+θωθdt

d 可变形为 020=+⋅⎪

⎭⎫ ⎝⎛θωθθθdt d d dt d d （12） 令dt

d θθ='，则有 0''20=+θωθθθd d （13）

两边同时乘以θd ，得到 0''2

0=+θθωθθd d （14）

在对两边求积分， ⎰

⎰⎰=+θθθωθθd d d 0''2

0 （15）

积分结果为

E =+2

2022

1'21θωθ （16） 令2'21θ=

T (动能),2202

1

θω=V (势能). 则有E V T =+,机械能守恒.

E =+2

2022

1'21θωθ为椭圆方程：

图2 无阻尼单摆的相平面轨迹图

3 有阻尼和有驱动力单摆的运动分析

有阻尼和有驱动力单摆的运动方程为

...

2sin cos f t θβθθ++=Ω (17) 在任意大振幅下，方程(17)的解变得十分复杂，下面利用计算机模拟，分别讨论

单摆运动随初值的变化和其混沌运动。 3.1 初值不同所产生的t θ-曲线

为简单计，设0.10,1,2/3f β==Ω=，当t=0时，两振动初始条件相差极小，

有.

11.

12(0)0, (0)0.01(0)0.01, (0)0

θθθθ⎧

==⎪⎨⎪=-=⎩ (18) 取0120t s ≤≤，对(6)式在初始值(18)式下利用MATLAB 绘图，其t θ-变化曲线如图4所示(其中实线为1t θ-，虚线为2t θ-)。

图3 有阻尼和驱动力的t θ-图

由图4可以看出，当025t s ≤≤时，两条曲线重合，两个解12()()t t θθ、不能分辨；但当25t s ≥时，两条曲线不再重合，两个解12()()t t θθ、、完全不一样，这种混沌运动对初始条件的敏感性称为蝴蝶效应。 3.2 振幅不同所产生的相图.

θθ-

为简单计，设方程(17)中，除驱动参数f 取变值外，其余参数不变，即

0.25,2/3β=Ω=。

对(17)式在初始值式.

(0)0, (0)0θθ==下利用MATLAB 作计算模拟绘图，相图.

θθ-如图3所示。

当 1.06f =时，振荡周期τ等于外加周期力的周期T ，2/3T τπϖπ===，

应

应单周期解，其相图.

θθ-如图4示。