逻辑代数基础 作业题

第三章逻辑代数基础

（Basis of Logic Algebra）

1．知识要点

逻辑代数（Logic Algebra）的公理、定理及其在逻辑代数化简时的作用；逻辑函数的表达形式及相互转换；最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质；利用卡诺图（Karnaugh Maps）化简逻辑函数的方法。

重点：

1．逻辑代数的公理（Axioms）、定理（Theorems），正负逻辑（Positive Logic, Negative Logic）的概念与对偶关系（Duality Theorems）、反演关系（Complement Theorems）、香农展开定理，及其在逻辑代数化简时的作用；

2．逻辑函数的表达形式：积之和与和之积标准型、真值表（Truth Table）、卡诺图（Karnaugh Maps）、最小逻辑表达式之间的关系及相互转换；

3．最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质；

4．利用卡诺图化简逻辑函数的方法。

难点：

利用卡诺图对逻辑函数进行化简与运算的方法

（1）正逻辑（Positive Logic）、负逻辑（Negative Logic）的概念以及两者之间的关系。

数字电路中用电压的高低表示逻辑值1和0，将代数中低电压（一般为参考地0V）附近的信号称为低电平，将代数中高电压（一般为电源电压）附近的信号称为高电平。以高电平表示1，低电平表示0，实现的逻辑关系称为正逻辑（Positive Logic），相反，以高电平表示0，低电平表示1，实现的逻辑关系称为负逻辑（Negative Logic），两者之间的逻辑关系为对偶关系。

（2）逻辑函数的标准表达式

积之和标准形式（又称为标准和、最小项和式）：每个与项都是最小项的与或表达式。

和之积标准形式（又称为标准积、最大项积式）：每个或项都是最大项的或与表达式。

逻辑函数的表达形式具有多样性，但标准形式是唯一的，它们和真值表之间有严格的对应关系。

由真值表得到标准和的具体方法是：找出真值表中函数值为1的变量取值组合，每一组变量组合对应一个最小项（变量值为1的对应原变量，变量值为0的对应反变量），将这些最小项相或，即得到标准和表达式。

由真值表得到标准积的具体方法是：找出真值表中函数值为0的变量取值组合，每一组变量组合对应一个最大项（变量值为1的对应反变量，变量值为0的对应原变量），将这些最大项相与，即得到标准积表达式。

每个真值表所对应的标准和与标准积表达方式是唯一的。

（3）利用卡诺图化简逻辑函数

卡诺图是真值表的图形表示，利用卡诺图对逻辑函数进行化简的原理是反复使用公式AB+AB′=A，对应到卡诺图上，即为相邻的小方格可以合并。通常：

2个相邻的方格可以合并，并可消去1个变量；4个相邻的方格可以合并，并可消去2个变量；8个相邻的方格可以合并，并可消去3个变量……

在相邻方格合并的过程中，通常采用画圈的方法进行标记。

利用卡诺图化简，圈1的结果是得到最简和的表达式，圈0的结果是得到最简积的表达式。

利用卡诺图化简的步骤（以最简和为例）：

①填卡诺图；

②找出全部质主蕴含项；

③找到奇异1单元，圈出对应的质主蕴含项；

④若未圈完所有1方格，则从剩余的主蕴含项中找出最简的；

⑤写出各圈所对应的与项表达式（取值发生变化的变量不写，取值无变化的变量保留，取值为0写反变量，取值为1写原变量）。

⑥将所得到的与项相或，即为化简结果。

化简的原则是：圈1不圈0，1至少圈1次，圈数越少越好，圈越大越好。

（4）利用卡诺图对逻辑函数进行运算

利用卡诺图可以完成逻辑函数的逻辑加（或）、逻辑乘（与）、反演（非）、异或等运算。进行这些运算时，要求参加运算的两个卡诺图具有相同的维数（即变量数相同）。

①卡诺图相加

两函数做逻辑加（或）运算时，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按逻辑加的规则相或，而得到的卡诺图应包含每个相加卡诺图所出现的全部1项。

②卡诺图相乘

两函数做逻辑乘（与）运算时，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按逻辑乘的规则相与，所得到的卡诺图中的1方格，是参加相乘的卡诺图中都包含的1格。

③反演

卡诺图的反演（非），是将函数F的卡诺图中各个为1的方格变换为0，将各个为0的方格变换为1。

④卡诺图异或

两函数做异或运算，只需将卡诺图中编号相同的各相应方格中的0、1按异或运算的规则进行运算，所得到的卡诺图中的1方格，是进行异或运算的卡诺图中取值不同的方格。

2．Exercises

Prove theorems (X+Y)(X+Z) = X+Y·Z using perfect induction.

If X = 0, Left = (0+Y)(0+Z) = Y·Z Right = 0+ Y·Z = Y·Z ∴ Left = Right

If X = 1, Left = (1+Y)(1+Z) = 1·1 = 1Right = 1+ Y·Z = 1∴ Left = Right

According to DeMorgan’s theorem, the complement of WX+YZ is W′+X′Y′+Z′. Yet both functions are 1 for WXYZ= 1110. How can both a function and its complement be 1 for the same input combination? What’s wrong here?

The mistake is that the original operation priority has been changed.

The complement of WX+YZ should be (W′+X′)(Y′+Z′)

Use the theorems of switching algebra to simplify each of the following logic functions:

(1) F = WXYZ(WXYZ′+WX′YZ+W′XYZ+WXY′Z)

(2) F = AB+ABC′D+ABDE′+ A′BC′E+A′B′C′E

(3) F = MRP+ QO′R′+MN+ONM+QPMO′

(1) F = W·X·Y·Z·(W·X·Y·Z'+W·X'·Y·Z+W'·X·Y·Z+W·X·Y'·Z)

= W·X·Y·Z·W·X·Y·Z'+ W·X·Y·Z·W·X'·Y·Z+ W·X·Y·Z·W'·X·Y·Z+ W·X·Y·Z·W·X·Y'·Z

= 0

(2) F = A·B·(1+C'·D+D·E') + A'·C'·E·(B+B') = A·B + A'·C'·E

(3) F = M·R·P + Q·O'·R' + M·N + Q·P·M·O' = M·P·R + Q·O'·R' + M·P·Q·O' + M·N = M·P·R + Q·O'·R' + M·N

Write the truth table for each of the following logic functions:

(1) F = AB′+B′C+CD′+CA′

(2) F = (A′+B+C′)(A′+B′+D)(B+C+D′)(A+B+C+D)

(3) F = AB+AB′C′+A′BC

(4) F = XY′+YZ+Z′X

(1)