第10章 压杆稳定

i

1 6 4 80 0.3
z y 面 内 ， y = 2.0
2 6 4 y 160 max i 0.3
第45页
L
2、求折减系数
木杆: 80时, 3000 2
160时, 3000 2 0.117
3、求许用压力
cr
2
2
由此得
arc tg(ctg )

①

90
②
第25页
§10-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、压杆的临界应力
EI Pcr 2 (l )
2
E (i A) E EI cr 2 2 2 (l ) A A (l ) A l i 2 l E 令 则 cr 2 i
2
，则 v k v 0
2 2
2
特征方程为 r k 0
有两个共轭复根 ki
第 5页
通解： v A sin kx B cos kx 边界条件：x 0时：v 0 B 0 x l 时：v 0 A sin kl 0
sin kl 0 kl n
第20页
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉 BD杆的临界压力:
Pcr

EI
2
2a

2

EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
EI
2
2a
2

Ed
3
4
128a
2
第21页
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
3

第48页
§10-5 提高压杆稳定性的措施
2 EI 2 E Pcr 2 A 2 ( l )
l
i
i
I A
1、选择合理的截面形状：
I P cr
l
i

1 3.4 100 145.9 p 100 79.94 14.73
2 EI 2 E 2 210 103 2 Pcr A 14.73 10 143.3(kN ) 2 2 ( L) 145.9
nst Pcr 143.3 2.39 [nst ] P 60
Pmax 2 Pcr
第22页
2 Ed
3
4
64a
2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相
同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
θ角（设0<θ<π /2）。

①

90
②
第23页
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为： N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
第38页
P cra : P crb : P crc cra A1 : crb A2 : crc A3
1: 2 : 20
第39页
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。
求可以用经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算 临界应力时的最小杆长。
第40页
a s 304 235 616 . 解： s 112 . b 由
1 EI P1 2 2 2 a
2
图（b）中，AB杆受压
N AB P2
EI
2
a
2
P2
EI
2
a
2
(B) P1<P2
第15页
例：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果
将 b改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的
多少倍？
第16页
4 解： E Ib h 2 3 Pcr b I ( l) h b 12 2 3 8 Ia Pcr a E I a b hb 2 12 ( l)
三、临界应力总图
1. 细长杆 ( p ), 用欧拉公式
cr
E 2
2
2. 中长杆 ( s p ), 用经验公式
cr a b
3. 粗短杆 ( s ), 用强度条件
cr s
第35页
cr cr s s cr a b
第10章 压杆稳定
材料力学
第 1页
§10-1 压杆稳定性的概念
第 2页
Pcr 称为临界压力
第 3页
§10-2 细长压杆的临界压力欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M ( x) P v
第 4页
M ( x) P v
P E I v M ( x) P v 即 v v0 EI P 令k EI
材料有关。
第43页
[ ] －许用应力； ( ) 1 －折减系数，与压杆的柔度和
二、稳定性计算分类
1、校核稳定性；
2、设计截面尺寸；
3、确定外荷载。
三、强度计算和稳定性计算的区别
强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用 应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截 面尺寸、截面形状有关。
第44页
例：图示压杆AB为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直径为d = 0.3m；xy 面两端视为铰支；xz 面一端视为固定，一端视为自 2 由；试求此杆的许用压力。 (木杆: 80时, 3000 )
x
y
解：折减系数法
1、最大柔度
xy 面内， z = 1.0
z
z
L
2
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用欧 拉公式计算其临界压力。
第30页
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不适
用。在工程上，一般采用经验公式, 在我国的
设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物
线公式。
直线公式
cr a b
式中 a、b是与材料性质有关的系数。
第31页
表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
(n 0,1,2,)
n k l
P EI
P
第 6页
n 2 EI P
2 2
k2
l
EI
Pcr
EI
2
l
2
两端铰支细长压杆 临界压力的欧拉公式
第 7页
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
EI Pcr 2 (l )
2
称为长度系数
第 8页
Pc r
EI
2
第17页
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端
约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则
其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的
横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
第18页
解：(1)
EI Pcr 2 ( l)
2
E
2
d
4
64 ( l) 2
1 16
第47页
2、折减系数法 l 1 3.4 100 145.9
i 79.94 14.73
查表——λ =140，φ=0.349； λ=150，φ=0.306。
0.349 0.306 145 .9 0.349 5.9 0.33 10
P 60 10 max 40.7( MPa ) 2 A 14.73 10 0.33 140 46.2( MPa )


1.287 (MPa)
3002
4
第46页
cr
Pcr A cr
1.287 91(kN )
例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4， E = 210GPa，F = 60kN，材料为A3钢，两端为铰支座； [nst] = 2、[σ]=140 MPa。分别用安全系数法和折减系数 法进行稳定性校核。 解：1、安全系数法：
l
i
s
得：
0.04 i 4 l s 616 . 0.88 m 0.7
第41页
§10-4 压杆的稳定性计算
一、稳定性条件
Pmax
Pc r [ns t ]
式中 Pmax ------压杆所受最大工作载荷 Pc r ------压杆的临界压力 [nst ]------压杆的规定稳定安全系数
p
cr
小柔度杆
E 2
2
O
中柔度杆 大柔度杆 a s s 2E p b

l
i
p
第36页
例：三根材料、长度均相同、两端均为球
铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图，
求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
第37页
cr a : cr b : cr c
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木 a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7
第32页
b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
对于塑性材料：
cr a b s
记 a s s b
a s 即 b
则 s p
经验公式的适用范围
第33页
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度
问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
cr a1 b1
第34页
2
式中 a1 、b1 也是与材料性质有关的系数，可 在有关的设计手册和规范中查到。
2
l
2
1
第 9页
Pc r
EI
2
(2 l )
2
2
第10页
Pc r
EI
2
( 0.7 l )
2
0.7
第11页
Pc r
EI
2
( 0.5 l )
2
0.5
第12页
Pc r
EI
2
l
2
EI 2 (2l )
2
第13页
EI
2
EI
2
( 0.7l )
Pcr 1
2E I
l1
2
，
Pcr 2
2E I
l2 2
要使P最大，只有N1、N 2 都达 到临界压力，即
P cos P sin

①
EI
2
l1 l2
2
（1） （2）
第24页

90
②
2E I
2
将式 (2) 除以式 (1), 便得
l1 tg ctg 2 l2
Pc r
2 2 2
2
第26页

l
i
2
压杆的长细比 压杆的柔度
cr
E 2
计算压杆的临界 应力的欧拉公式
第27页
二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分
方程:
E I v M ( x)
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
2
(0.5l )
2
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
第14页
解：图(a) 中，AD杆受压 2 EI N AD 2 P 1 2 2a


1、许用临界压力法:
Pmax [ P cr ]
第42页
Pcr [ Pcr ] [nst ]
2、安全系数法:
nst Pc r Pmax [nst ]
式中 ns t 为压杆实际的工作稳定安全系数。
3、折减系数法:
max
P cr ( ) . A
cr () .
2 2
E I正
2
(2)
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Pcr 正 Pcr 圆

( l)
2
2
E I圆
( l)
2

I正 I圆
d 4 a4 12 12 4 4 d d 64 64


3
第19页
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
2E 2E 2E 2 2 2 : 2 : 2 i1 :i2 :i3 2 1 2 3
I1 I 2 I 3 : : A1 A2 A3
d
4
642 d 4
1:1: 5
2 4 2 d d d 4 d 4 2 2 64 4 64 : : 2 2 d d 2 4 4 4
cr
E 2 p
2
第28页
或写成
E p
2
记
E p p
2
则 欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
第29页
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 9 E 206 10 p 100 6 p 200 10