第10章 压杆稳定
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第10章 杆件稳定性
(F )
a
II (大 挠 度 理 论) II (小 挠 度 理 论)
Fcr
B I (稳 定)
D'
O
a)
b)
第10章
两条平衡路径Ⅰ 的交点为分支点 分支点 B 将 分支点。 两条平衡路径 Ⅰ和 Ⅱ 的交点为 分支点 。
10.1 稳定性概念
原始的平衡路径Ⅰ分为两段：前段 OB 上的点属于稳定 原始的平衡路径Ⅰ 分为两段： 平衡， 上的点属于不稳定平衡。 平衡 ， 而后段 BC 上的点属于不稳定平衡 。 具有这种特 征的失稳形式称为分支点失稳形式。 征的失稳形式称为 分支点失稳形式。 分支点失稳形式
θ
例10.2
第10章
考虑如图(a)的单自由度非完善体 考虑如图(a)的单自由度非完善体 (a)
F k
B B'
系，刚性杆AB有初倾角 ε 。 刚性杆 有初倾角
k
10.1 稳定性概念
l
l
A
A
（a） ）
（b） ）
解：在图(b)中，平衡条件(水平方向)为 在图(b)中 平衡条件(水平方向) (b)
F tan(θ + ε ) − kl[sin(θ + ε ) − sin ε ] = 0 sin ε F = kl cos(θ + ε )[1 − ] sin(θ + ε )
第10章
例10.5
10.1 稳定性概念
如图所示， 如图所示，由三根相同的刚性杆组
成的系统，一端作用外力 ,铰结处B、 都是弹性 成的系统，一端作用外力F,铰结处 、C都是弹性 系数为k的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 系数为 的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 的弹性支座
a
II (大 挠 度 理 论) II (小 挠 度 理 论)
Fcr
B I (稳 定)
D'
O
a)
b)
第10章
两条平衡路径Ⅰ 的交点为分支点 分支点 B 将 分支点。 两条平衡路径 Ⅰ和 Ⅱ 的交点为 分支点 。
10.1 稳定性概念
原始的平衡路径Ⅰ分为两段：前段 OB 上的点属于稳定 原始的平衡路径Ⅰ 分为两段： 平衡， 上的点属于不稳定平衡。 平衡 ， 而后段 BC 上的点属于不稳定平衡 。 具有这种特 征的失稳形式称为分支点失稳形式。 征的失稳形式称为 分支点失稳形式。 分支点失稳形式
θ
例10.2
第10章
考虑如图(a)的单自由度非完善体 考虑如图(a)的单自由度非完善体 (a)
F k
B B'
系，刚性杆AB有初倾角 ε 。 刚性杆 有初倾角
k
10.1 稳定性概念
l
l
A
A
（a） ）
（b） ）
解：在图(b)中，平衡条件(水平方向)为 在图(b)中 平衡条件(水平方向) (b)
F tan(θ + ε ) − kl[sin(θ + ε ) − sin ε ] = 0 sin ε F = kl cos(θ + ε )[1 − ] sin(θ + ε )
第10章
例10.5
10.1 稳定性概念
如图所示， 如图所示，由三根相同的刚性杆组
成的系统，一端作用外力 ,铰结处B、 都是弹性 成的系统，一端作用外力F,铰结处 、C都是弹性 系数为k的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 系数为 的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 的弹性支座
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
(英汉双语)工程力学第十章 压杆稳定
P x L P P
P
M ( x, y ) = Py
②Approximate differential equation of the deflection curve
y
xM P P 2 2 y ′′ + y = y ′′ + k y = 0 , where : k = EI EI 19
M P y ′′= = y EI EI
EIy′′= M ( x)= Py+M
x M0 Let
k2 = P EI
y ′′ + k 2 y = k 2
M0 P P
M0
M y = c cos kx + d sin kx + ′ = d cos kx c sin kx P y
The boundary conditions are:
M P
x=0, y= y′=0;x=L, y= y′=0 27
③Solution of the differential equation： ④Determine the integral constants：
y = A sin x + B cos x
y ( 0 )= y ( L )= 0
A× 0 + B = 0 That is A sin kL + B cos kL = 0
Instable equilibrium
15
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
16
3).loss of stability of compressed column：
第10章压杆稳定
9
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。
第10章压杆稳定
第10章压杆稳定10.1【学习基本要求】1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。
2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。
3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。
4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。
5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。
6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。
7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。
8、掌握压杆的稳定条件。
9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。
10、掌握提高压杆稳定性的措施。
10.2【要点分析】1、压杆稳定的概念稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。
失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。
稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。
．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。
．．．失稳：轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。
临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。
临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。
（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。
②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。
③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。
2、理想压杆理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。
工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。
材料力学-10-压杆的稳定问题
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
压杆·稳定性
=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）
第十章压杆稳定 第4节 临界应力的经验公式
查表得 a = 461 MPa、b = 2.568 MPa 临界应力 临界力
cr a bz 461 2.567 64.7 294.9 MPa
Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比 较接近，故该连杆横截面的设计较为合理。
iy
Iy A
14100 5.05 mm 552
y
y l2
iy
0.5 580 57.4 11.6
因为λz = 64.7 >λy ，故连杆将在 x-y 平面内失稳。
2）计算临界力 由优质碳钢 s = 306 MPa，查表得
p 100
s 60
由于 s < z < p ，连杆属于中长杆，故采用直线公式计算临界力
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa 临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa
Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210 GPa，屈服 极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的设计 是否合理。 解： 由于连杆在两
个方向上的约束情
况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面为失稳平面。
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
z = 1
l1 = 750 mm
A 24 12 2 6 22 552 mm2
第十章压杆稳定ppt课件
2E 0.56 S
②s < 时： cr s
临界应力的特点
•它的实质： 象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 安全因数就是稳定中的应力极限
•同作为常数的比例极限、屈服极限不同，变化 的临界应力依赖压杆自身因素而变
例102 截面为 120mm200mm 的矩形 木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa，
Fcr
2 EImin
l2
此公式的应用条件：
•理想压杆
•线弹性范围内
•两端为球铰支座
§10-3 不同杆端约束下细长压杆 临界力的欧拉公式
其它端约束情况，分析思路与两端铰支的相同, 并得出了临界力公式
Fcr
2 EImin (l)2
即压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数） l—相当长度
•求临界力有两种途径：实验测定及理论计算。
•实验以及理论计算表明：压杆的临界力，与压杆 两端的支承情况有关，与压杆材料性质有关，与 压杆横截面的几何尺寸形状有关，也与压杆的长 度有关。
压杆一般称为柱，压杆的稳定也称为柱的稳 定，压杆的失稳现象是在纵向力作用下，使 杆产生突然弯曲的，在纵向力作用下的弯曲， 称为纵弯曲。
AB杆 l
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
i
I A
D4 d4 4 64 D2 d2
D2 d 2 16mm 4
得
1 1.7 3 2 1 03
16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI
l 2
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42 nst
3
AB杆满足稳定性要求
第十章 压杆稳定
Stable equilibrium Instable equilibrium
Chapter 10
②受L压os直s o杆f s单在ta受b击il到ity此干of扰处th后e,编c由olu辑m压n杆母压稳版杆定失性标稳的演题示样动画 式 直线平衡形式转变为弯曲
平压• 衡杆单形仍击式保此,持如处为果编弯干辑曲扰平母消衡版除形后文,本样式
• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
Chapter 10
磨 床 液
单击此处编辑母版标题样 式
压装• 单击此处编辑母版文本样式
置 – 第二级
的 • 第三级
活
– 第四级
塞
» 第五级
杆
P
p
Chapter 10
单击此处编辑母版标题样 式
• 单击此处编辑母版文本样式
– 第二级
倒塌事故, 一声巨响后，整个
班• 组单的击工此人处都编从六辑楼母掉版了文下本样式
去, 8–人第死二亡级、21人受重伤。
• 第三级
– 第四级 » 第五级
Chapter 10
失200稳4年实1例月5单5: 日江击9西时吉此30安分处，编由江辑西母省第版一建标筑题有限样责 式 任公司承建的吉安市井冈山师院学生会堂工程，施
Chapter 10
S2.teAenl reuxlpee单:rim1击×ent2此0一×个处1小5编0实验辑母版标F题样
s 300 MPa
式
F
so•：单Fs 击 此s 处A编辑母版文本样式
–第30二0级106 20106 6000N
test resu•lt第：三F级 30N
to fail by a– s第u四dd级en large
材料力学第十章 压杆稳定性问题2
在求Pcr 及 cr的基础上，进行稳定性校核。 的基础上 进行稳定性校核
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
Page 13
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
Page 6
材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
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Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
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材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
材料力学 第10章 压杆稳定
Fcr (2l )2
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
μ=2
欧拉临界压力公式 :
Fcr
2 EI (l )2
应用欧拉公式时，应注意以下两点：
1、欧拉公式只适用于线弹性范围，即只适用于弹性稳定问题
2、 I 为压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
对于各个方向约束相同的情形(例如球铰约束)，I 取截面的 最小惯性矩，即 I＝Imin；
Fcr
2 EI (l )2
压杆临界压力欧拉公式的一般形式
E——材料的弹性模量；
—长度系数（或约束系数），反映了杆端支承对临界载
荷的影响。
压杆临界力与外
l—压杆的计算长度或相当长度。 力有关吗？？
l—压杆的实际长度。
I—压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。
适用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内
第10章 压杆稳定
第10章 压杆稳定
§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 §10.6
工程中的压杆稳定问题 理解
压杆稳定性概念 掌握
细长压杆临界压力的欧拉公式 掌握
压杆的临界应力 掌握
压杆的稳定性计算
掌握
提高压杆稳定性的措施
了解
关键术语
压杆，稳定性，屈曲，稳定失效，临界压力Fcr， 柔度λ（长细比），计算长度μl
重点 1、细长压杆临界压力的欧拉公式 2、压杆的临界应力 3、压杆临界载荷的欧拉公式的适用条件 4、压杆稳定性设计
难点 1、压杆临界压力的计算 2、压杆稳定性设计
§10.1 工程中的压杆稳定问题
构件的承载能力：
①强度 ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件 具有足够的强度、刚 度，却不一定能安全 可靠地工作。
F
30mm
第十章 压杆稳定
（1）计算压杆的柔度
＞ (所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
（3）计算临界力
查表10—1得μ= 2，因此临界力为
图10.3
二、当截面改为b = h =30mm时
（1）计算压杆的柔度
＞
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
代入欧拉公式，可得
从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
例10.2图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=240MPa， ，直径d=40mm，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力：
0.627
0.546
0.462
1.000
0.971
0.932
0.883
0.822
0.751
0.668
0.575
0.470
0.370
0.300
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0.536
0.466
0.401
0.349
0.306
0.272
0.243
0.218
0.197
0.180
（10.6）
式中 是有关的常数，不同材料数值不同。对Q235钢、16锰钢，
对Q235钢：
(MPa)
对16锰钢： (MPa)
2、临界应力总图
综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当λ≥λc时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式
＞ (所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
（3）计算临界力
查表10—1得μ= 2，因此临界力为
图10.3
二、当截面改为b = h =30mm时
（1）计算压杆的柔度
＞
(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
代入欧拉公式，可得
从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
例10.2图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=240MPa， ，直径d=40mm，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力：
0.627
0.546
0.462
1.000
0.971
0.932
0.883
0.822
0.751
0.668
0.575
0.470
0.370
0.300
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0.536
0.466
0.401
0.349
0.306
0.272
0.243
0.218
0.197
0.180
（10.6）
式中 是有关的常数，不同材料数值不同。对Q235钢、16锰钢，
对Q235钢：
(MPa)
对16锰钢： (MPa)
2、临界应力总图
综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。当λ≥λc时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式
材料力学-10-压杆的稳定问题
其中a和b为与材料有关的常数，单位为MPa （P247） 。
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定学习目标：1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。
对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。
本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。
第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。
实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。
细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。
这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。
一、问题的提出工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。
例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。
1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。
这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。
因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。
二、平衡状态的稳定性压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。
压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。
如图110-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。
当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图)-所示)。
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2
(0.5l )
2
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相 同，设P1和P2分别为这两个桁架稳定的最大载 荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
第14页
解：图(a) 中，AD杆受压 2 EI N AD 2 P 1 2 2a
第38页
P cra : P crb : P crc cra A1 : crb A2 : crc A3
1: 2 : 20
第39页
例：图示圆截面压杆d=40mm，σs=235MPa。
求可以用经验公式σcr=304-1.12λ (MPa)计算 临界应力时的最小杆长。
第40页
a s 304 235 616 . 解： s 112 . b 由
2
，则 v k v 0
2 2
2
特征方程为 r k 0
有两个共轭复根 ki
第 5页
通解： v A sin kx B cos kx 边界条件：x 0时：v 0 B 0 x l 时：v 0 A sin kl 0
sin kl 0 kl n
Pc r
2 2 2
2
第26页
l
i
2
压杆的长细比 压杆的柔度
cr
E 2
计算压杆的临界 应力的欧拉公式
第27页
二、欧拉公式的适用范围 经验公式
在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分
方程:
E I v M ( x)
在推导该方程时,应用了胡克定律。因此，欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
Pmax 2 Pcr
第22页
2 Ed
3
4
64a
2
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相
同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的
θ角（设0<θ<π /2）。
①
90
②
第23页
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为： N1 P cos ， N 2 P sin
两杆的临界压力分别为：
2
2
由此得
arc tg(ctg )
①
90
②
第25页
§10-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、压杆的临界应力
EI Pcr 2 (l )
2
E (i A) E EI cr 2 2 2 (l ) A A (l ) A l i 2 l E 令 则 cr 2 i
i
1 6 4 80 0.3
z y 面 内 ， y = 2.0
2 6 4 y 160 max i 0.3
第45页
L
2、求折减系数
木杆: 80时, 3000 2
160时, 3000 2 0.117
3、求许用压力
cr
Pcr 1
2E I
l1
2
，
Pcr 2
2E I
l2 2
要使P最大，只有N1、N 2 都达 到临界压力，即
P cos P sin
①
EI
2
l1 l2
2
（1） （2）
第24页
90
②
2E I
2
将式 (2) 除以式 (1), 便得
l1 tg ctg 2 l2
cr
E 2 p
2
第28页
或写成
E p
2
记
E p p
2
则 欧拉公式的适用范围：
p
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
第29页
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 9 E 206 10 p 100 6 p 200 10
材料有关。
第43页
[ ] －许用应力； ( ) 1 －折减系数，与压杆的柔度和
二、稳定性计算分类
1、校核稳定性；
2、设计截面尺寸；
3、确定外荷载。
三、强度计算和稳定性计算的区别
强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用 应力不仅与材料有关，还与压杆的支承、截 面尺寸、截面形状有关。
第44页
记 a s s b
a s 即 b
则 s p
经验公式的适用范围
第33页
对于 λ＜λs的杆，不存在失稳问题，应考虑强度
问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
cr a1 b1
第34页
2
式中 a1 、b1 也是与材料性质有关的系数，可 在有关的设计手册和规范中查到。
2
l
2
1
第 9页
Pc r
EI
2
(2 l )
2
2
第10页
Pc r
EI
2
( 0.7 l )
2
0.7
第11页
Pc r
EI
2
( 0.2页
Pc r
EI
2
l
2
EI 2 (2l )
2
第13页
EI
2
EI
2
( 0.7l )
第47页
2、折减系数法 l 1 3.4 100 145.9
i 79.94 14.73
查表——λ =140，φ=0.349； λ=150，φ=0.306。
0.349 0.306 145 .9 0.349 5.9 0.33 10
P 60 10 max 40.7( MPa ) 2 A 14.73 10 0.33 140 46.2( MPa )
例：图示压杆AB为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直径为d = 0.3m；xy 面两端视为铰支；xz 面一端视为固定，一端视为自 2 由；试求此杆的许用压力。 (木杆: 80时, 3000 )
x
y
解：折减系数法
1、最大柔度
xy 面内， z = 1.0
z
z
L
2
第17页
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端
约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则
其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的
横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
第18页
解：(1)
EI Pcr 2 ( l)
2
E
2
d
4
64 ( l) 2
1 16
第20页
解：(a ) 杆BD受压，其余杆受拉 BD杆的临界压力:
Pcr
EI
2
2a
2
EI
2
2a
2
故杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
EI
2
2a
2
Ed
3
4
128a
2
第21页
(b) 杆BD受拉，其余杆受压
四根受压杆的临界压力：
Pcr
EI
2
a
2
故杆系所能承受的最大载荷：
l
i
s
得：
0.04 i 4 l s 616 . 0.88 m 0.7
第41页
§10-4 压杆的稳定性计算
一、稳定性条件
Pmax
Pc r [ns t ]
式中 Pmax ------压杆所受最大工作载荷 Pc r ------压杆的临界压力 [nst ]------压杆的规定稳定安全系数
2E 2E 2E 2 2 2 : 2 : 2 i1 :i2 :i3 2 1 2 3
I1 I 2 I 3 : : A1 A2 A3
d
4
642 d 4
1:1: 5
2 4 2 d d d 4 d 4 2 2 64 4 64 : : 2 2 d d 2 4 4 4
3
第48页
§10-5 提高压杆稳定性的措施
2 EI 2 E Pcr 2 A 2 ( l )
l
i
i
I A
1、选择合理的截面形状：
I P cr
1.287 (MPa)
3002
4
第46页
cr
Pcr A cr
1.287 91(kN )
例：一等直压杆长 L=3.4 m，A=14.72 cm2，I=79.95 cm4， E = 210GPa，F = 60kN，材料为A3钢，两端为铰支座； [nst] = 2、[σ]=140 MPa。分别用安全系数法和折减系数 法进行稳定性校核。 解：1、安全系数法：
2 2
E I正
2
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
( l)
2
2
E I圆
( l)
2
I正 I圆
d 4 a4 12 12 4 4 d d 64 64
3
第19页
例：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构成 平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相同，弹 性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种载荷作用下 杆系所能承受的最大载荷。
1、许用临界压力法:
Pmax [ P cr ]
第42页
Pcr [ Pcr ] [nst ]