电路第十三章 拉普拉斯变换

目录
§13—1 拉普拉斯变换的定义 §13—2 拉普拉斯变换的基本性质 §13—3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 §13—4 运算电路 §13—5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
本章作业
13—1(2)(4)(6)(8)、13—2(1)(3)、 13—3(2)(4)、13—4、13—12、 12—16、12—18
例： δ(t) R C uC
求：uc(t)的冲击响应 duc 1 解： C + uc=δ(t) dt R 等式两边进行拉普拉斯变换
duc 1 L[C dt ]+L[ R uc]=L[δ(t)] 1 sCUC(s) –Cuc(0–)+ UC(s)=1 R 1 1 1 UC(s)= 1 1 = C s+ RC sC+ R
t 1 1 1 –τ uc(t)=L–1[ C 1 ]= C e s+ RC
1 (sC+ )UC(s)=1 R 进行拉氏反变换
三、(时域)积分性质 设：L[f(t)]=F(s) F(s) 则：L[ ∫ f(ξ)d(ξ)]= s 0–
t
积分性质的意义在于把时域中原函数的积分运算 转换为复频域中象函数除以s的代数运算。 d t f(ξ)d(ξ)=f(t) 证： dt ∫ 0– 两边进行拉氏变换 根据导数性质 d t f(ξ)d(ξ) ]=L[f(t)] L[ ∫ dt 0–
原函数f(t)
Aδ(t) Aε(t) Ae–αt 1–e–αt sin(ωt) cos(ωt) sin(ωt+ϕ) cos(ωt+ϕ) e–αtsin(ωt)
常用函数的拉氏变换表 象函数F(s) 原函数f(t)
A A/s A s+α α s(s+α) ω s2+ω2 s s2+ω2 ssinϕ+ωcosϕ s2+ω2 scosϕ+ωsinϕ s2+ω2 ω (s+α)2+ω2 e–αtcos(ωt) te–αt t sinh(αt) cosh(αt) (1–αt)e–αt 1 2 2 t 1 tn n！ 1 tne–αt n！
第十三章 拉普拉斯变换
内容提要
本章介绍拉普拉斯变换法在线性电路分析中的应 用。主要内容有：拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变 换与电路分析有关的一些基本性质，求拉普拉斯反变 换的部分分式法（分解定理），还将介绍KCL和KVL 的运算形式，运算阻抗，运算导纳及运算电路，并通 过实例说明它们在电路分析中的应用。
频域平移性质
部分分式展开法 F(s)一般可以写成关于s的两个多项式之比。 N(s) F(s)= D(s) N(s)、 D(s)是关于s的多项式 设：F(s)为有 理式( n>m)
a0sm+a1sm–1+‥‥‥+am–1s+am = b0sn+b1sn–1+‥‥‥+bn–1s+bn 对分母进行因式分解 N(s) = (s–p1)(s–p2)‥‥‥(s–pn)
例： 求单个正弦波的象函数。 f(t) f(t′) T t T
f(t)=sinωtε(t)–sin(ωt–T)ε(t–T) ω ω ω –sT F(s)=L[f(t)] = 2 2 – 2 2 e = 2 2 (1–e–sT) s +ω s +ω s +ω
五、(频域)导数性质 dF(s) 设：L[f(t)]=F(s) 则：L[tf(t)]= – ds dnF(s) 推广：L[tn f(t)]= (–1)n dsn 六、(频域)平移性质 设：L[f(t)]=F(s) 求：L[tneαt] 例： 解： n]= n! L[t sn+1 L[tneαt]= n! (s–α)n+1 则：L[e–αtf(t)]=F(s+α) 例：求：L[e–αtsinωt] ω 解：L[sinωt] = 2 2 s +ω ω –αtf(t)] L[e = (s+α)2+ω2
–∫
∞
0–
e–stdt ]=
§13 —2 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性性质 若：L[f1(t)]=F1(s) L[f2(t)]=F2(s)
则： L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s) 证： L[A1f1(t)+A2f2(t)] =∫ [A1f1(t)+A2f2(t)]e–stdt
s2+3 k3 = 2 =1.4 s +2s+5 s= –2 f(t)=0.9e–tcos(2t+116.6º)+1.4e–2t
三、F(s)有重极点 k11 k1m k1m–1 N(s) +…… F(s)= F (s)(s–p )m = s–p +(s–p )2 +……+ m (s–p1) 1 2 1 1 k11=[(s–p1)mF(s)] s=p
象函数F(s)
s+α (s+α)2+ω2 1 (s+α)2 1 s2 α s2–α2 s s2–α2 s (s+α)2 1 s3 1 sn+1 1 (s+α)n+1
§13 —3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
1 σ+j∞ F(s)estds f(t)= 2πj ∫σ–j∞ 求：L–1[ 1 2 ] 例1： (s+α) –1[ 1 –αt –1[ 1 ]=t L 解：L 2 ]=te (s+α) s2 求：L–1[(1–2e–αs +e–2αs )/s2] 例2： 解： –1[(1–2e–αs +e–2αs )/s2] L =L–1[ 12 – 22 e–αs + 12 e–2αs ] s s s =t–2(t–α)ε(t–α)+(t–2α)ε(t–2α) 时域平移性质
例2: 解:
s3+6s2+15s+11 ] 求:L–1[ s2+5s+6 F(s)=s+1+ 4s+5 s2+5s+6
k1 k2 =s+1+ s+2 + s+3 7 –3 =s+1+ s+2 + s+3 L–1[F(s)]=δ′(t)+δ(t)–3e–2t+7e–3t
二、F(s)有共轭复极点 k2 k1 N(s) = s–α–jω + s–α+jω F(s)= (s–α–jω)(s–α+jω) N(s) N(α+jω) k1= s–α+jω = =|k1|ejθ 1 s=α+jω j2ω N(s) N(α–jω) k2= s–α–jω = =|k1|e–jθ1 s=α–jω –j2ω |k1|e–jθ1 |k1|ejθ 1 L–1[F(s)]=L–1[ + ] s–α–jω s–α+jω =|k1|ejθ 1e(α+jω)t +|k1|e–jθ1 e(α–jω)t =|k1|eαt[ej(θ 1+ωt)+e–j(θ1+ωt)] =2|k1|eαtcos(ωt+θ1) k1、k2共轭
1 1
N(s) k1 = (s–p2)‥‥‥(s–pn) s=p1
k2=(s–p2)F(s) s=p
2 n
kn=(s–pn)F(s) s=p
例1:
求:L–1[
s2+2s–2 ] s(s+2)(s+3)
k1 k2 k3 s2+2s–2 解: F(s)= s(s+2)(s+3) = s + s+2 + s+3 s2+2s–2 ] = – 1 k1=[ (s+2)(s+3) s=0 3 s2+2s–2 ] =1 k2=[ s=–2 s(s+3) k3 = 1 3 1 1 F(s)= – 1 1 + s+2 + 1 s+3 3 s 3 L–1[F(s)]=– 1 +e–2t + 1 e–3t 3 3
式中p1、p2、‥‥‥ pn为D(s)=0的根，称为F(s)的极点。
一、F(s)的极点为各不相等的实数根 p1≠p2≠‥‥‥≠pn N(s) F(s)= (s–p1)(s–p2)‥‥‥(s–pn) p1、p2‥‥‥pn为实数 k1 k2 kn = s–p + s–p +‥‥‥+ s–p 1 2 n 则：L–1[F(s)] =k1ep1t+k2ep2 t+‥‥‥+knepnt 如何求k? 用(s–p1)乘以上面等式两边 N(s) kn k2 =k1+ s–p (s–p1)+‥‥‥+ s–p (s–p1) n 2 (s–p2)‥‥‥(s–pn) 即 k1=(s–p1)F(s) s=p 令s=p
§13 —1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换是一种数学变换。 定义： F(s)=∫ f(t)e–stdt
0– ∞
S=σ+jω 拉普拉斯正变换
1 σ+j∞ F(s)estds f(t)= 拉普拉斯反变换 2πj ∫σ–j∞ 拉氏正变换 f(t) 拉氏反变换 F(s)=L[f(t)] 原函数 一一对应 象函数 f(t)=L–1[F(s)] F(s) 简写符号
t t 0– 0–
sL[ ∫ f(ξ)d(ξ)]– ∫ f(ξ)d(ξ) F(s) 因此：L[ ∫ f(ξ)d(ξ)]= s 0–
t
=0
t=0
=F( s)
四、(时域平移)延迟性质 f(t) 时域平移 t 设：L[f(t)]=F(s)
f(t–t0) t
t0 则：L[f(t–t0)ε(t–t0)]=e–st0 F(s) f(t′′) t T t
1 –jωt e ] 2j ω 1 1 2j s+jω = s2+ω2
s 同理： L[cosωt] = 2 2 s +ω
二、(时域)微分性质 设：L[f(t)]=F(s) 则：L[f ′(t)]=sF(s)–f(0–) 证： L[f ′(t)]=∫
∞ df(t) 0–
dt
e–stdt = ∫ e–stdf(t) 0
波形 α=0
f(t)=2|k1|eαtcos(ωt+θ1) f(t) t f(t)
α>0 f(t) α<0
t
t
例：
求：L–1[
s2+3 2+2s+5)(s+2) ] (s
解：s2+2s+5=(s+1–j2)(s+1+j2) 则：α= –1 ω=2 k1 k2 k3 F(s)= s+1–j2 + s+1+j2 + s+2 –1+j2 s2+3 =0.45ej116.6º k1 = = (s+1+j2)(s+2) s= –1+j2 5 则：|k1|=0.45 θ1=116.6º
例：计算下列原函数的象函数； 1.f(t)=ε(t) 2.f(t)=δ(t)
∞ 0–
3. f(t)=e–αt ε(t)
4. f(t)=tε(t)
解： F(s)=∫ f(t)e–stdt 1. F(s)=L[ε(t)]=∫
∞ 0–
ε(t)e–stdt =
∫0
∞
–
e–stdt =
0+
1 –st – s e
0– ∞
=∫ A1f1(t) e–stdt + ∫0 A2f2(t)e–stdt
0–
–
∞
∞
=A1 ∫0 f1(t) e–stdt +A2 ∫ f2(t)e–stdt
–
∞
∞
0–
=A1F1(s)+A2F2(s)
例： 计算下列原函数的象函数； 1、常数U 解： 1、L[U] =L[U ε(t)] = U s 2、L[A(1–e–αt)]=L[A]–L[Ae–αt] = 3、L[sinωt] =L[ 1 ejωt– 2j 1 1 – = 2j s–jω αA A– A s s+α = s(s+α) 2、A(1–e–αt) 3、sinωt
1
k12= d [(s–p1)mF(s)] s=p ds 1 1 d2 k13= [(s–p1)mF(s)] s=p 2 ds2 1 …… 1 dm–1 [(s–p )mF(s)] k1m= 1 s=p1 (m–1)！dsm–1
例： 求：L–1[ s–2 3] s(s+1) k22 k21 k1 k23 + 解： F(s)= s + 2+ (s+1)3 s+1 (s+1) s–2 = –2 k1 = 3 (s+1) s=0 =3 k21= s–2 s= –1 s d [ s–2 ] = 2 =2 k22= ds s s= –1 s2 s= –1 k23= 1 d [ 2 ] =2 2 ds s2 s= –1
1 = s 0–
∞
∞
2. F(s)=L[δ(t)]=∫ δ(t) e–stdt =∫ δ(t)dt =1
0– 0–
∞
3.
F(s)=L[e–αt
ε(t) ] =∫
∞
∞
0–
e–αt
e–stdt=
1 e–(α+s)t – α+s
∞ 0–
1 = α+s 0– 1 s2
4. F(s)=L[tε(t)] =∫ =– 1 [te–st s 0– 同理： F(s)=L[tn ε(t)]= n! sn+1 te–stdt
–
∞
Байду номын сангаас
=e–stf(t)
∞ 0–
– ∫ f(t)(–s)e–stdt
∞ 0– 0–
∞
=–f(0–)+s∫ f(t)e–stdt =sF(s)–f(0–) 导数性质的意义在于把原函数求导数的运算转换 为象函数乘以s再减去初始值的代数运算。 推广： ′′(t)]=s2F(s) – sf(0–)–f ′(0–) L[f L[fn(t)]=snF(s) – sn–1f(0–)–sn–2f ′(0–) ……f(n–1)(0–)