圆的切线长定理(优秀)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
F E
.B
D
C
练习 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线分别 交PA 、PB于D 、E
（1）若PA=2，则△PDE的周长为_4___；若PA=a，则 △PDE的周长为__2_a__。
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则∠DOE=_7_0__°_;
A
A
D. .F
B
CB
.
E
C
.
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内 切圆，如何画？
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、
CN，交点为I
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D
N
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I
⊙I就是所求的圆
A
M I
.
B
D
C
与三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆
（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系
反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等 .
1、四边形ABCD外切于⊙O
（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 C
O·
则最长的边为_____
D
2、
A
B
A
C
O·
B
D
C
O· D
圆内接平行四边形是矩形
(180 k)
若∠P=k,∠DOE=______2_____ 度 。
A D
P
C
O
E B.
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
.
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
G
D
C
H
F
O·
A
B
E
（1）图中有哪些相等的线段
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，. 求半径OA
反思：在解决有关圆
A
的切线长的问题时，
往往需要我们构建基
本图形。
。
O
P
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
E B
D F C
D F C
练习一、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是
小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。
求证：AC=BD
A
C
O·
P
.
D
B
想 一 想
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的 工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？ 若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆 半径的近似值。
.
圆外切平行四边形是_______
3、
圆内接梯形为等腰梯形
4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为____
反思：圆外切等腰梯形的腰长 等于中位线长
A E B
（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为____ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为____
.
A
.
符号表示
A
O ·
1 2
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
.
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切
点，直线OP交于⊙O于点D、E，交 E AB于C。
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
东莞厚街圣贤学校：罗坤
班级：初三（2）班 2007年11月29日
.
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？
.
观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O
·
P
B
.
① PA=PB ② PO平分∠APB
.
三角形的外接圆：
A
三角形的内切圆：
A
O
B
Fra Baidu bibliotek
C
B
I C
D
.
.
B
切线长定理为证明线 段相等，角相等，弧相 等，垂直关系提供了理 论依据。必须掌握并能 灵活应用。
典型例题
例、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，
A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
C
A
OD
P
B
.
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面
截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽
可能大呢？
三角形内切圆的圆心叫做三角形的 内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
D
三角形的内心就是三角形的三个内角角 F 平分线的交点
I
三角形的内心到三角形的三边的距离
相等
┐
B
E
C
.
例2、已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的 内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、 E、F,求AF、BD和CE的长。
连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A O
·
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵OA=OB，OP=OP
1 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP 2 P ∴PA=PB
∠1 =∠2
B
.
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。
F E
.B
D
C
练习 如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别 切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线分别 交PA 、PB于D 、E
（1）若PA=2，则△PDE的周长为_4___；若PA=a，则 △PDE的周长为__2_a__。
（2）连结OD 、OE，若∠P=40 °，则∠DOE=_7_0__°_;
A
A
D. .F
B
CB
.
E
C
.
问题：如图△ABC，要求画△ABC的内 切圆，如何画？
已知：△ABC
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：1、作∠B、∠C的平分线BM、
CN，交点为I
2、过点I作ID⊥BC，垂足为D
N
3、以I为圆心，ID为半径作⊙I
⊙I就是所求的圆
A
M I
.
B
D
C
与三角形各边都相切的圆 叫做三角形的内切圆
（2）猜想四边形的两组对边怎样的关系
反思：圆的外切四边形的两组对边的和相等 .
1、四边形ABCD外切于⊙O
（1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4
BA
则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 C
O·
则最长的边为_____
D
2、
A
B
A
C
O·
B
D
C
O· D
圆内接平行四边形是矩形
(180 k)
若∠P=k,∠DOE=______2_____ 度 。
A D
P
C
O
E B.
已知：△ABC中,∠ABC=50º,∠ACB=70º,点 O是内心，求∠BOC的度数。
A
O
B
C
.
例2、圆的外切四边形ABCD，四边与圆的切点分别为E、F、G、H
G
D
C
H
F
O·
A
B
E
（1）图中有哪些相等的线段
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中相等的圆弧
（5）写出图中所有的等腰三角形 △ABP， △AOB
（6）若PA=4、PD=2，. 求半径OA
反思：在解决有关圆
A
的切线长的问题时，
往往需要我们构建基
本图形。
。
O
P
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点 （3）连结圆心和圆外一点
E B
D F C
D F C
练习一、已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是
小圆的两条切线，A、B、C、D为切点。
求证：AC=BD
A
C
O·
P
.
D
B
想 一 想
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的 工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？ 若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆 半径的近似值。
.
圆外切平行四边形是_______
3、
圆内接梯形为等腰梯形
4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为____
反思：圆外切等腰梯形的腰长 等于中位线长
A E B
（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为____ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为____
.
A
.
符号表示
A
O ·
1 2
B
PA、PB分别切⊙O于A、B
.
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切
点，直线OP交于⊙O于点D、E，交 E AB于C。
O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
东莞厚街圣贤学校：罗坤
班级：初三（2）班 2007年11月29日
.
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
思考： 切线和切线长这两个概念有何区别？
.
观察与思考: PA、PB有怎样的数量关系？ PO与∠APB又有怎样的关系？
A
O
·
P
B
.
① PA=PB ② PO平分∠APB
.
三角形的外接圆：
A
三角形的内切圆：
A
O
B
Fra Baidu bibliotek
C
B
I C
D
.
.
B
切线长定理为证明线 段相等，角相等，弧相 等，垂直关系提供了理 论依据。必须掌握并能 灵活应用。
典型例题
例、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，
A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
C
A
OD
P
B
.
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面
截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽
可能大呢？
三角形内切圆的圆心叫做三角形的 内心
这个三角形叫做圆的外切三角形
A
D
三角形的内心就是三角形的三个内角角 F 平分线的交点
I
三角形的内心到三角形的三边的距离
相等
┐
B
E
C
.
例2、已知,△ABC 中,BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的 内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、 E、F,求AF、BD和CE的长。
连结OA、OB、 ∵PA、PB与⊙O相切，点A、 B是切点
∴OA⊥AP，OB⊥BP
A O
·
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵OA=OB，OP=OP
1 ∴Rt△AOP≌Rt△BOP 2 P ∴PA=PB
∠1 =∠2
B
.
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线， 它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两条切线 的夹角。