第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算

F NE 186 kN
F NG 174 kN
由强度条件求面积
A AB 240 170
3
m

DD BB

AD AB
B B D D /(
AD AB
)
4 . 17 10
3
m
7.4 轴向拉压杆的强度计算
• 工作应力

FN A
• 失效：工作应力超过了杆件材料所能承受的极 限应力；
• 极限应力 u ：材料失效时的应力（试验测 定）。 • 许用应力 ：构件工作应力的最大容许值 （必须低于材料的极限应力）
l FN l A
– 材料常数 – 试验确定
l
FN l EA
• 弹性模量：E
E
• 拉（压）刚度：EA
– 材料在线弹性范围内，拉（压）杆的纵向变形量与 其轴力、杆长成正比，而与拉（压）刚度成反比。
• 对于受多个力作用的杆件和承受轴向分 布力或变截面的杆件，其总的纵向变形
l

最大切应力发生在与轴线成45o的斜截面上
90 ,
o
0,
0
7.3 轴向拉压杆的变形计算 胡克定律
• 实验表明
– 杆件在轴向拉力或压力作用下，杆件沿轴线 方向将发生伸长或缩短； – 在杆件的横向（与杆件轴线相垂直的方向） 亦必同时发生缩短或伸长。
• 轴向变形或纵向变形 l ：杆沿轴线方向变形； • 横向变形 d ：垂直于轴线方向的变形。 • 绝对伸长或缩短量
l l1 l d d1 d
• 纵向线应变 • 横向线应变


l l d d
实验表明，当材料在线弹性范围内时，纵向线应变与横向线 应变的绝对值之比为一常数。
• 泊松比：


– 材料常数 – 试验确定
• 胡克定律
– 实验表明，材料在线弹性范围内，拉（压）杆 的纵向变形量与其轴力、杆长成正比，而与横 截面积成反比。
解：（1）受力分析，求各杆轴力

M
A
0,

M
D
0
FN1 FN 2
3 3 . 75
F P 0 .8 F P F N 1 1 .9 F P
3 .8 3 . 2 sin 30
o
杆EF受力较大，故其为 危险杆。
（2）强度计算
FN 2 A

1 .9 F P 1 / 4 d
G
C
2 Gl [ ] sin 2
③ 求VBD 的最小值：V Al
o
BD
Ah / sin
;
45 时 , V min
2 Gl [ ]
• 例7-7 结构尺寸及受力如图。设AB、CD 均为刚
体 ,BC 、 EF 为 圆 截 面 钢 杆 ， 直 径 均 为 d=30mm,[160MPa。试确定此时结构所能承受 的许可荷载[FP]。

F x 0,
FP sin

Fy 0
（拉力）
FN1
80 kN
F N 2 F N 1 cos 69 . 7 kN （压力）
（2）求各杆变形
l1 l 2 FN 1 l1 E1 A1 FN 2 l 2 E 2 A2 4 FN 1 l1 E1d
2
0.48 10
w
68 . 7 mm
可取
a 70 mm
[练习] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总
重为G，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用 应力为[]。
l x A B
分析：
V A BD l BD ;

h
G
C
A BD F NBD / ; l BD h / sin 。
l l1 l 2 l 3 F N 1 l1 F N 2 l 2 F N 3 l 3 EA 0 . 065 mm
• 例7-3
如图所示等直杆，设杆长为l，杆件横截 面面积为A，材料容重为γ，试求全杆由自重引起 的总伸长量。 解：（1）受力分析，
F N x xA
求杆轴力
（2）求杆件总变形量
对微段dx
d (l ) F N ( x ) dx EA xA dx EA x dx E
全杆总伸长量
l
d (l )
l
l 0
x dx E

l
2

Al l
2 EA

1 Wl 2 EA
2E
※ 关于变形图做法
1、变形图近似画法 各杆的变形量△li ，如图；
【例】已知AB梁为刚体，CD为拉杆，拉杆直径
d=2cm,E=200GPa,FP=12kN, 求B点位移。
C 0.75m A D B
1m
1.5m
FP
解：(1)受力分析，求轴力
FN
F Ax
A
D
B
F Ay
1m
1.5m
FP

M
A
0Leabharlann F P AB F N AD sin
FN
7.2 轴向拉压杆斜截面上的应力
• 截面法

Fx 0
F N F P
• 斜截面上各点的总应力
p F N A / cos FN A cos cos
分解
• 斜截面上的正应力与切应力
p cos cos
2

2
1 cos

2
第七章 轴向拉压杆件的强度 与变形计算
主要内容
• • • • • 轴向拉压杆横截面上的应力 轴向拉压杆斜截面上的应力 轴向拉压杆的变形计算 胡克定律 轴向拉压杆的强度计算 拉压超静定问题
7.1 轴向拉压杆横截面上的应力
• 轴力FN是截面上轴向分布内力的合力
FN
dA
A
– 外力合力的作用线与杆轴重合。 – 材料是均匀连续的。
3
m
3
FN 2 l1 cos E1 a
2
0.24 10
m
（3）求节点Ａ 的位移
_____
_____
_____
AA 3 AE EA 3
_____
l1 sin

l2 tan
1 . 376 mm
_____
AA 2 l 2 0 . 24 mm
A A 1 . 40 mm
i
li FN x

i
F Ni l i EA i
l

l
EA x
dx
• 例7-2
受多个力作用的等直杆，横截面面积 A=500mm2 ，材料的弹性模量E＝200GPa，试求 杆件总的纵向变形量。
解：（1）求杆各段轴力
（2）求杆件总的纵向变形量
l

i
li

i
F Ni l i EA i
A B
l1
C
l2
变形图严格画法，图中弧线；
l2
变形图近似画法，图中弧之切线 （作垂线）。 (小变形放大图)
F C'
l1
C"
2、变形图的做法举例
两杆均变形
变形 l1

垂线 B
l2
位置
A
l1
l2 C B'
求位移
A l1

B
l2
l1

l2 C

By

B'
Bx
Bx l 1
F P AB AD sin
50 kN
(2)作变形图，求B点位移
C
0.75m A 1m D D
l CD
l CD F N l CD EA
3
B D 1 1.5m
DD
10
l CD sin
m
F
B
AD D ~ AB B
1 . 67 10
D
l x
FAx
A
B
FAy

FNBD
G
C
解： BD杆内力FN( )： 取AC为研究对象，如图

M
A
0 , ( F NBD sin ) ( h ctg ) Gx
F NBD
Gl h cos
BD杆面积A：
A F NBD /

l x
FAx
A
B
FAy

FNBD
解：（1）受力分析， 求各杆轴力

F NBD
F x 0, Fy 0
2 F P 31 . 4 kN
（2）求各杆应力

BD
F NCD F P 22 . 2 kN
F NBD A BD F NCD A CD 22 . 2 kN 31 . 4 kN

CD
2


FP
1 4 1 .9
d
2

59 . 5 kN
例 结构如图，AB、CD、EF、GH都由两根不等边角钢组成，
已知材料的[]=170 M P a ，E=210 G P a。 AC、EG可视为刚 杆，试选择各杆的截面型号和A、D、C点的位移。
3.4m
2m
B
F FP=300kN E
2

p sin cos sin
sin 2
– 通过杆内任一点不同方位截面上的正应力和 切应力将随着截面的方位角变化。