2013固体物理-2.3_布里渊区
晶体的倒格子和布里渊区
倒易点阵仍是简立方点阵：
2 2 2 b1 i, b2 j , b3 k, a a a
所以倒格子也是布拉菲格子。 六角点阵： 六角点阵的倒易点阵： 见Ashcroft p88 c 轴方向不变，a 轴在垂直于c 轴的 平面上旋转30度。
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结 构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了 一个角度。
五. 布里渊区： 第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz 原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞。
Léon Brilliouin
（1889-1969）
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有 倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原 点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点 的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面
Face-centered cubic
K L
Middle of an edge joining two hexagonal faces Center of a hexagonal face
U
W X
Middle of an edge joining a hexagonal and a square face
与正格子的晶面系 (h1h2h3 ) 正交。 如图所示，晶面系 (h1h2h3 ) 中最靠近原点的晶面（ABC） 在正格子基矢 a1 , a 2 , a 3 的截距分别为： a1 , a 2 , a 3 h1 h2 h3
a1 a 3 CA OA OC h1 h3 a 2 a 3 CB OB OC h2 h3
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
布里渊区
2
a
i
b2
2
a
j
2
b3 a k
所以，倒格子也是简立方结构，其第一布里渊区仍然是一个简立方。
（4）体心立方结构晶体点阵的布里渊区 对于体心立方结构晶体点阵，如果正格子基矢取为：
a1
a 2
(i
j
k)
a2
a 2
(i
j
k)
a a3 2 (i j k )
原胞体积为 a1 (a2 a3 ) a3 / 2
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
The first Brillouin zone is the Wigner-Seitz primitive cell in the reciprocal lattice.
§2.4 原子的形状因子和结构因子 (atomic form factor and structure factor )
一、散射波振幅（Diffraction amplitude）
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
px)
p 1
S p sin( a
px)
（2.4.6）
其中 p 是整数， f0 ,Cp , S p 是傅立叶系数。
这个展开式可以写成更简洁的形式
2
2013固体物理-2.3_布里渊区
2k ⋅G = G2
D
GD
k1
k
⋅
1
G
=
1
G
2
2 2
k2 O G/2 GC C
任何从原点到 G 的垂直平分面的矢量都满足衍射 条件，这些平面正是布里渊区的边界。布里渊区包含
了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 k
3
2.3 布里渊区
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3. 1 简单立方晶格的倒格子
8
2.3 布里渊区
第 2 章 晶体衍射和倒格子
最短的倒格矢是以下8个矢量
2π (±i ± j ± k) a
上述8个矢量的垂直平 分面围成一个正八面体， 另外由以下6个倒格矢
2π (±2i); 2π (±2 j ); 2π (±2k)
a
a
a
的垂直平分面切割这个八面体的6个角，得 到的截角八面体或十四面体即为第一布里 渊区
K : 2π ( 3 , 3 ,0) a 44
其中 0 < δ < 1, 0 < λ < 1 , 0 < σ < 3
2
4
10
a
a
a
第一布里渊区由上述12个矢量的
垂直平分面围成，是一个正十二面体
6
2.3 布里渊区
第 2 章 晶体衍射和倒格子
体心立方晶格的布里渊区中一些
具有较高对称性的点或轴的坐标
Γ : 2π (0,0,0) a
∆ : 2π (δ ,0,0)
a
Λ : 2π (λ,λ,λ)
a
Σ : 2π (σ ,σ ,0)
a
2.3 布里渊区
第 2 章 晶体衍射和倒格子
布里渊区图示
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第三布里渊区 由4个倒格点
的垂直平分线和第二布 里渊区边界边界所围成 第三布里渊区大小
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
第一、第二和第三布里渊区
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
正格子原胞基矢
a1
ai, a2
a 2
i
3 aj 2取单位矢 Nhomakorabeak垂直于i, j
则，a1，a2和k构成的体积
3 a2 2
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
倒格子原胞的基矢为
b1
2
(a2
k)
2
a
i
2
3a
j
b2
2
(k
a1 )
4
3a
j
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形成
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
二维斜格子其它布里渊区的形状
—— 每个布里 渊区经过适当 的平移之后和 第一布里渊区 重合
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
平面正三角形，相邻原子间距为a,求正格矢和倒格矢，画 出第一和第二布里渊区
选一个倒格点为原点，原点的最近邻倒格矢有6个，分别是
b1, b2 , (b1 b2 )
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
§3-4 三维晶格的振动 —— 晶格振动与晶体的热学性质
《固体物理学》概念和习题 答案
《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题：1.给出原胞的定义。
答：最小平行单元。
2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。
答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。
3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。
4. 请描述七大晶系的基本对称性。
5. 请给出密勒指数的定义。
6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。
7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。
8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。
9. 给出布里渊区的定义。
10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？11. 写出晶体衍射的结构因子。
12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。
13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。
14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。
15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。
（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？）16. 给出声子的定义。
17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。
18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。
19. 简述晶体热膨胀的原因。
20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。
21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。
23. 写出金属的电导率公式。
24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。
25. 简述能隙的起因。
26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。
27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。
28. 给出空穴概念。
29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。
布里渊区
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
固体物理 固体物理
内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
14
固体物理 固体物理
7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
8
固体物理 固体物理
3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
固体物理学：布里渊区(brillouin zone )
a1、a 2、a 3 ,
倒格基矢
b 1、b 2、b 3
Rm ma1 na2 pa3
Gn n1b1 n2 b2 n3b3
例1：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第 一、第二、第三布里渊区。
aa
解：
首先写出正格子 原胞基矢为：
a1 ai
a2 a j
a
利用公式：
a2 a j
a1 ai
第二布里渊区是从原点出发经过1个中垂 面(或中垂线，或布拉格反射面)才能到达的区 域；
第n+1布里渊区是从原点出发经过n个中垂 面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)。
（2）布里渊区作图法
对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画 布里渊区。
晶体 结构
原胞
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
布里渊区
正格基矢
L
X
K
O：2π 0,0,0
a
X：2π 1,0,0
a
L：2π 1 , 1 , 1 a 2 2 2
K： 2π 3 , 3 ,0 a 4 4
第一布里渊 区为原点和8 个近邻格点 连线的垂直 平分面围成 的正八面体 ，和沿立方 轴的6个次近 邻格点连线 的垂直平分 面割去八面 体的六个角, 形成的14面 体。
二维正方晶格的十个布里渊区
第一区 第二区 第三区 第四区 第五区 第六区 第七区 第八区 第九区 第十区
例1： 简单立方格子
解:
正格子基矢：
倒格子基矢：
简单立方格子的第一布里渊区：原点和6个近 邻格点的垂直平分面围成的立方体。
简单立方格子的第一布里渊区
例2：画出体心立方的第一布里渊区。设体心立方
a
2π ( i j )
关于布里渊区
1.4 倒易点阵和布里渊区(Reciprocal lattice; Brillouin zones)一. 定义二. 倒易点阵和晶体点阵的关系三. 倒易点阵的物理意义四. 倒易点阵实例五. 布里渊区4. 正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)h h h 123h h h Ghkl 123123G h b h b h b =++且有：1231232h h h h h h d G π= 证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。
如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC ）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123h h h G h b h b h b =++123()h h h 123()h h h 123,,a a a123123,,a a a h h h3 3)ah实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。
因此，正格子的量纲是长度l, 称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数l-1，称作波矢空间。
例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下面我们将看到：晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。
晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。
1a 2a 1b 2b正格子空间中长的基矢a 3对应于倒格子空间短的基矢b 3，反之亦然。
推广，正格子空间长的线条对应于倒格子空间短的线条。
正点阵为简单点阵，倒易点阵也是简单点阵。
正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵，但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
（具体证明见习题1.11)正方点阵布里渊区第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的布里渊区构造动画正方倒格子正方倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画六角倒格子六角倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画简立方（sc）倒格子布里渊区见黄昆书图4Fcc倒格子布里渊区面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区XΓLK XXUWK zK yK xfcc: 布里渊区的高对称点1st Brillouin Zone:(0,0,0)2:(1,0,0)2111 :(,,)222233:(,,0)44XaLaKaπππΓ0.5√3a109o28’bcc 格子的倒格子（fcc）及布里渊区bcc: 布里渊区的高对称点:(0,0,0)2:(1,0,0)2111:(,,)222211:(,,0)22H a P a N a πππΓIt would be sufficient for most purposes to know the En(k) curves -the dispersion relations -along the major directions of the reciprocallattice (n is the band index).倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的第一布里渊区。
§6.2布里渊区
32
二维长方晶格的布里渊区
33
六角密积结构的第一和第二布里渊区
六角密积结构的第一布里渊区是上下底面为正六边形 的多面体。图(a)即是第一布里渊区； 图(b)是第二布里渊区的外表面。它与其内的第一布里
渊区边界之间的区域是第二布里渊区。
34
倒格矢的长度(基矢)为:
2 3 Kn a
离原点最近的八个倒格点中垂面所围成的八面体的体积大 于倒格子原胞得体积，必须考虑次近邻的六个倒格点。
28
4. 次近邻的倒格点
2 2 2 2 ,0 ,0 0， 2 ,0 0， 2 0， a a a
倒格矢的长度为:
4 K n a
次近邻的六个倒格矢的中垂面将截去原正八面体的 六个角，形成一个截角八面体(实际是十四面体)
29
八个面是
正六边形,
六个面是
正四边形
30
2 3 Kn a 4 K nຫໍສະໝຸດ aΓΧΚ
L
2 2 2 3 3 2 1 1 1 0 ,0 ,0 1,0 ,0 波矢k , ,0 , , a a a 4 4 a 2 2 2 31
2b1 , 2b2 2b1 , 2b2
垂直平分线和第二布里渊区边界
边界所围成第三布里渊区大小
2 2 ( ) a
8
第一、第二和第三布里渊区
9
5.正方格子其它布里渊区的形状
10
每个布里渊区经过
适当的平移之后和
第一布里渊区重合
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上 能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
浅谈布里渊区的结构和性质概要
本科毕业论文题 目 浅谈布里渊区的结构及性质学生姓名 王 丁专业名称 物理学指导教师 杨志怀2015年4月28日教学单位 物理与光电技术学院学生学号 201191014104编 号 WL2015WLX104浅谈布里渊区的结构及性质摘要：能带理论是目前固体电子理论的最重要的理论，而布里渊区的引入是对于能量学习的重要补充，其在半导体，激光，超导等现代科学研究方面取得了重大突破。
只有将理论转化为生产力，才能带动整个现代信息科学技术群的迅速发展。
通过查阅相关的书籍，对比整理，使得对布里渊区的认识达到新的面貌，形成系统的框架。
从而实现对能带理论更加清晰的高度，为材料研制和工程技术提供更加可靠的理论指引。
关键字:晶格；布里渊区；能带。
Discussion on the structure and properties of Brillouin zone Abstract: Brillouin zone as the basic content and the research of the physics of solids lattice can bring important knowledge points. Band theory is the most important theory of the solid electronic theory, and the brillouin zone were introduced for energy learning important supplement, its in the semiconductor, the laser, superconductor, achieved a major breakthrough in modern scientific research. Only convert theory into productivity, can drive the rapid development of modern information science and technology group. Through access to books,contrast, to achieve a new understanding of the brillouin area, form a system framework. So as to realize more clear height of band theory, for research and engineering technology materials provide more reliable theoretical guidance.Keywords: Lattice ；Brillouin zone ；Energy band.目录一论文正文1 晶格性质及布里渊区 (1)1.1 晶格及分类 (1)1.2 一维单原子链 (1)1.3 一维双原子链 (3)2 布里渊区 (4)2.1 布里渊区 (4)2.2 布里渊区的界面方程 (4)2.3 布里渊区的图像 (4)2.3.1 简单立方格子 (5)2.3.2 体心立方 (5)2.3.3 面心立方体 (6)3 布里渊区与能带 (6)3.1 能带的性质 (6)3.2 能带的表示 (7)3.2.1 简约布里渊区图式 (7)3.2.2 周期图示 (8)3.2.3 扩展布里渊区图示 (8)3.3 三维晶格的能带与布里渊区 (9)3.3.1 能带的周期性 (9)3.3.2 能带的对称性 (9)3.3.3 能带的宏观对称性及与布里渊区的联系 (9)4 总结 (10)4.1 布里渊区的基本特征 (10)4.2 布里渊区的重要性 (10)参考文献 (11)谢辞 (12)二附录1 开题报告 (13)2 结题报告 (14)3 答辩报告 (15)1 晶格性质及布里渊区1.1 晶格[1]及分类晶体内部原子是有规律排列的。
固体物理_倒格子与布里渊区_2013
a3 (a1 a2 )
所以：
a3 b3 2
a3 b1/ 2 0
采用同样的方法，我们可以得出：
a2 b2 2 a2 b1/3 0
2 ( a 3 a1 ) b2 2 ( a 2 a3 ) b1
二、特性：
1、第一布里渊区： 在倒格子点阵中，做某一倒格点到其最近邻 倒格点连线的垂直平分面，由这些垂直平分面所 围成的多面体就是第一布里渊区。 除第一布里渊区之外,还有第二布里渊区、第 三布里渊区以及更高阶的布里渊区。
晶面:(111) 面间距：
n
(111)
(111)
法线方向： n
3 a 3
2 2 2 kh i j k 倒格矢： a a a
b3
b2 b1
2 3 k a 面间距： h k 3 h h 法线方向： k i jk kh
三、正格子和倒格子的相互关系
右手定律
2、验证：倒格矢能代表一族晶面吗？
晶面族(h1h2h3) 中最 靠近坐标原点的晶面 ABC在基矢 a1 , a2 , a3
a1 a2 a3 上的截距为 , , h1 h2 h3
kh (1)倒格矢Kh垂直与晶面族 n kh
2 (2)倒格矢的模量等于面间距的倒数成正比。 k h d
3
正格子元胞与倒格 子元胞体积成反比
课堂练习：
试证体心立方格子和面心立方格子互为正、倒格子。
面心立方晶格的初基原胞基矢为：P10 体心立方晶格的初基原胞基矢为：P10 a a a1 ( j k ) a1 (i j k ) 2 2 a a a2 (i j k ) a2 (k i ) 2 2 a a a3 (i j k ) a3 (i j ) 2 2 面心立方晶格的倒格子基矢如下：
固体物理第二章
由于k0=2π/ λ, (2)式:
R ∙(k0 - k)=2 πn
由平移矢量R和倒格式G的关系: R ∙G=2 πm (3) 比较(2)和(3): k0 – k=G (4)
(4)被称为劳厄方程
4.衍射极大条件 劳厄方程 （Laue Equation） a. 坐标空间中的劳厄方程
晶格中任一格点为O，格点A的位矢 Rl=l1a1+l2a2+l3a3, S0和S为单位矢量。 光程差 衍射加强的条件 A
可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积， 即倒格子原胞的体积b
立方晶系的简约区
正格子 格常数 倒格子 格常数 简约区
sc
a
sc
2 a
由6个{100}*面 围成的立方体
由12个{110}*面 围成的菱形12面体 由8个{111}*面和6个{100}*面围 成的14面体
bcc
S=2f 当v1 ＋v2 ＋v3＝偶数
7. 晶体衍射
当辐射的波长与晶格中原子间距可以比较或更小时，可发生显著的衍射现象 。 （1）x射线 一种电磁波，由被高电压加速了的电子撞击靶极物质产生。X射线的光子能量为：
SG=celldV j nj(r-rj) exp(-iG•r)
= j exp(-iG•rj) dV nj() exp(-iG• ),
= r-rj . 原子形状因子 (atomic form factor) : fj= dV nj() exp(-iG• ), SG= j fj exp(-iG•rj) rj =xja1+ yja2+ zja3 , G= v1b1+ v2b2+ v3b3 SG(v1 v2 v3) = j fj exp[-2 i (v1xj + v2yj +v3zj )] 例如：体心立方 S=0 当v1 ＋v2 ＋v3＝奇数
关于布里渊区
1.4 倒易点阵和布里渊区(Reciprocal lattice; Brillouin zones)一. 定义二. 倒易点阵和晶体点阵的关系三. 倒易点阵的物理意义四. 倒易点阵实例五. 布里渊区4. 正点阵晶面族与倒易点阵格矢相互垂直，123(,,)h h h 123h h h Ghkl 123123G h b h b h b =++且有：1231232h h h h h h d G π= 证明：先证明倒格矢与正格子的晶面系正交。
如图所示，晶面系中最靠近原点的晶面（ABC ）在正格子基矢的截距分别为：123,,123123h h h G h b h b h b =++123()h h h 123()h h h 123,,a a a123123,,a a a h h h3 3)ah实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。
因此，正格子的量纲是长度l, 称作坐标空间，倒格子的量钢是长度的倒数l-1，称作波矢空间。
例如：正点阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下面我们将看到：晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。
晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定义的，所以每一种晶体结构，都有2个点阵与其相联系，一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性质的基本特征。
1a 2a 1b 2b正格子空间中长的基矢a 3对应于倒格子空间短的基矢b 3，反之亦然。
推广，正格子空间长的线条对应于倒格子空间短的线条。
正点阵为简单点阵，倒易点阵也是简单点阵。
正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵，但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
（具体证明见习题1.11)正方点阵布里渊区第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的布里渊区构造动画正方倒格子正方倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画六角倒格子六角倒格子中第2到第6Brillouin区约化到第一布里渊区的动画简立方（sc）倒格子布里渊区见黄昆书图4Fcc倒格子布里渊区面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区XΓLK XXUWK zK yK xfcc: 布里渊区的高对称点1st Brillouin Zone:(0,0,0)2:(1,0,0)2111 :(,,)222233:(,,0)44XaLaKaπππΓ0.5√3a109o28’bcc 格子的倒格子（fcc）及布里渊区bcc: 布里渊区的高对称点:(0,0,0)2:(1,0,0)2111:(,,)222211:(,,0)22H a P a N a πππΓIt would be sufficient for most purposes to know the En(k) curves -the dispersion relations -along the major directions of the reciprocallattice (n is the band index).倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的，因此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的第一布里渊区。
固体物理讲义第二章
第二章 晶体中的衍射主要内容：● 晶体的倒格子和布里渊区 ● 晶体衍射的条件✓ 劳厄方程、布拉格反射● 原子散射因子和几何结构因子 2.1 晶体结构的实验确定方法：利用入射的射线束受晶体内部原子的相干散射－衍射。
● X 射线衍射光子与电子作用，晶体内部结构测量● 电子衍射电子与电子作用，表面结构测量● 中子衍射中子与原子核作用，磁性物质结构测量● 一般性地讨论波动在晶体中的衍射 衍射的条件：波长与晶格常数同数量级现在，我们可以利用高分辨电子显微镜、场粒子显微镜和扫描遂穿显微镜直接观察原子排列和晶格结构，虽然往往只能看到表面和局部的原子排列，但无论如何这是一种直接的观察，一种对原子规则结构的周期排列的直接验证。
X 射线衍射：有关晶体在0.1纳米尺度结构的主要知识主要来源于此。
本课程的核心－周期结构中传播的波。
2.2 晶体的倒格子和布里渊区 倒格子的定义根据布拉菲格子的基矢量定义三个新的基矢量，它们之间的关系为：以 为基矢构成的格子称为正格子以 为基矢构成的格子称为倒格子正格子中每个格点的位置为：倒格子中每个格点的位置为：K h 称为倒格矢量，简称倒格矢倒格子空间也叫倒易点阵，每一个布拉菲正格子都有与之对应的倒格子。
[]321a a a ⨯=Ω∙321a a a 、、321b b b 、、()()⎩⎨⎧≠==⋅j i i=j j i j i 0 22 ππδb a[][][]Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=213132321222a a b a a b a a b πππ倒格子的性质1 正格子中的一族晶面(h 1h 2h 3)和倒格矢332211b b b Kh h h h ++= 正交2 倒格矢332211b b b K h h h h ++= 的长度正比于晶面族(h 1h 2h 3)面间距321h h h d 的倒数：34 倒格点与正格子中的一晶面相对应周期性物理量的傅里叶变换晶体中任一处r 的物理量具有晶格周期性:将其展开为傅里叶级数：比较以上两式，可得R,r+R 对于晶格平移保持不变的任何函数，都可以展成傅立叶级数 倒格子和正格子互相是对应的傅立叶空间。
第3章 固体结构 34 倒易点阵和布里渊区
2
22 2
a2 a2
? j? k
22
a2 a2 a2 ? a3 ? j ? k
22
? ? Ω? a1 ?a2 ? a3 ? 1a3 2
代入得：
? ? 2π
b1 ? Ω a2 ? a3 ? 同理得：
? ? ? ? 2π a2
2π
a3
j? k ? j? k
2
a
2
倒格矢：
? ? 2π
b2? a i ? k
第一布里渊区(简约布里渊区)：围绕原点的最小闭合 区域；
第n +1布里渊区：从原点出发经过 n个中垂面(或中垂线) 才能到达的区域(n为正整数)。
对于已知的晶体结构，如何画布里渊区呢 ?
2. 布里渊区作图法
晶体 结构
布拉菲 晶格
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
K h ? h1 b1 ? h2 b2 ? h3 b3
3.4.1 倒易点阵(倒格) 本节主要内容: 3.4.1.1 倒格定义 3.4.1.2 倒格与正格的关系 3.4.1.3 倒格与傅里叶变换
§3.4.1.1 倒格(倒易点阵)
晶体结构=晶格+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是 正格，另一个为倒格。
正格： 正格基矢 a 1 , a 2 , a 3 正格（点位）矢：
?? ? ? ?? a 3 ? a 1 ? a 1 ? a 2
第三布里渊区
E
rr r r r1,ri ,; R1,R ,
i ——电子系统； ——原子系统
利用上式可以得到多粒子体系的能量本征值及其相应的电子
本征态，但是严格求解这样一个多粒子体系的薛定谔方程显
然是不可能的，必须对方程式进行简化。
22
能带理论的三个基本假设（近似）：
（1）波恩-奥本海默(Born－Oppenheimer)绝热近似： 所有原子核(或离子)都周期性地静止排列在其格点位置
18
= 2u
( 1
0
cos2 x
a
-
sin 2 x
a
)
cos
2
a
xdx
=u
19
实际的势场并非是上面的简单形式， 而是一个复杂函数，但可用倒易点阵矢 量展成付氏级数，展成余弦势的叠加， 在一级近似下，在Bz边界都有能量间隙。
u(x)
n
un
cos 2
a
nx
=
Eg un
能隙的大小等于相应的傅立叶分量，Un
自由电子气
真实晶体中的电子
3
能带理论的基本假设
能带理论的基本出发点: ❖ 固体中的电子不是完全被束缚在某个原子周围，
而是可以在整个固体中运动，称为共有化电子。 ❖ 电子在运动过程中并不像自由电子那样完全不受任
何力的作用，电子在运动过程中受到晶格中原子周 期势场的作用。
4
是什么原因决定了固体是导体，绝缘体，或者半导体?
rr r r r1,ri ,; R1,R ,
E
rr r r r1,ri ,; R1,R ,
由体系的薛定谔方程导出单电子的薛定谔方程：
h2 2m
布里渊区的选取
布里渊区的选取————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ电子科技大学光电信息学院课程设计论文课程名称固体与半导体物理题目名称布里渊区的选取学号29053０1０14 29053０1015 ２９05３０１０16姓名李雄风寿晓峰陈光楠指导老师刘爽起止时间2０１1．10.１－2011．10.１５20１１年１0月１日布里渊区的选取摘要本文着重介绍了布里渊区的选取。
首先,本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后,本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程;最后,本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物模型）。
一、相关概念介绍１.1倒格子假设晶格原胞基失为a 1⃑⃑⃑ 、a 2⃑⃑⃑⃑ 和a 3⃑⃑⃑⃑ ，则对应的倒格子原胞基失为b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ ,它们满足如下关系：{ b 1⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 2⃑⃑⃑⃑ ×a 3⃑⃑⃑⃑ )b 2⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 3⃑⃑⃑⃑ ×a 1⃑⃑⃑ )b 3⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 1⃑⃑⃑×a 2⃑⃑⃑⃑ ) 其中Ω=a 1⃑⃑⃑ ∙(a 2⃑⃑⃑⃑ ×a 3⃑⃑⃑⃑ )为原胞体积。
b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ 是不共面的，因而由b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ 也可以构成一个新的点阵,我们称之为倒格子。
倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）：b i ⃑⃑⃑ ∙a j ⃑⃑⃑ =2πδij ={2π 当i =j 0 当i ≠ji,j =1,2,3 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的,它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
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C
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
图中矩形ABCD第一布里渊区，竖线阴影 区和横线阴影区分别为第二、三布里渊区 将任一布里渊 区的各部分平移适 当的位矢就可合并 成第一布里渊区
D O A
C B
由于倒格子的周期性，很多时候我们 只需关心第一布里渊区
2
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
* 3 3 3
倒格子基矢
ak b3 O
aj ai b2 b1
4
Ω=a
3
= (2π) / Ω
第一布里渊区
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2.3. 2 基矢
体心立方晶格的倒格子 倒格子基矢
2π b1 = a ( j + k ) 2π (k + i ) b2 = a 2π b3 = a (i + j )
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
1. 布里渊区
布里渊区定义为倒格子空间中的维格纳-赛 茨原胞，即所谓的第一布里渊区,作W—S晶胞时 的中垂面称为Bragg平面。布里渊区是Laue衍射 条件的几何表示法. 由第一布里 渊区依次向四面 扩展，可得到第 二、三、……布 里渊区 D O A B
1
最短的倒格矢是以下12个矢量
2π 2π 2π (± j ± k ); (± k ± i ); (±i ± j ) a a a
第一布里渊区由上述12个矢量的 垂直平分面围成，是一个正十二面体
6
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
体心立方晶格的布里渊区中一些 具有较高对称性的点或轴的坐标
3
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2.3. 1 基矢
简单立方晶格的倒格子
a1 = ai a2 = aj a3 = ak
b1 = (2 π/a)i b2 = (2 π/a) j b3 = (2 π/a)k
Ω = (2π) / a
面心立方
z a2 x y a3
1 a1 = 2 a(−i + j + k ) 1 a 2 = a ( i − j + k ) 2 1 a3 = 2 a(i + j − k )
体心立方
Ω = a1 ⋅ (a2 × a3 ) 1 = a3 2
体心立方
*
Ω = a1 ⋅ (a2 × a3 ) 1 3 = a 4
Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 ) = 4( 2 π ) 3 / a 3
8
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
最短的倒格矢是以下8个矢量
2π (±i ± j ± k ) a
上述8个矢量的垂直平 分面围成一个正八面体， 另外由以下6个倒格矢
Ω = b1 ⋅ (b2 × b3 )
*
4π a
= 2( 2 π ) 3 / a 3
5
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
倒格矢可以表示为
G = v1b1 + v2b2 + v3b3 4π 2π = [(v2 + v3 )i + (v3 + v1 ) j + (v1 + v2 )k ] a a
其中
2π X: (1,0,0) a 2π 1 1 1 L: ( , , ) a 2 2 2 2π 3 3 K: ( , ,0) a 4 4 1 3 0 < δ < 1, 0 < λ < , 0 < σ < 2 4
10
7
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
2.3. 3 面心立方晶格的倒格子 基矢 倒格子基矢
1 a1 = 2 a( j + k ) 1 a 2 = a ( k + i ) 2 1 a3 = 2 a (i + j )
面心立方
2π b1 = a (−i + j + k ) 2π (i − j + k ) b2 = a 2π b3 = a (i + j − k )
2π Γ: (0,0,0) a 2π 2π (δ ,0,0) H: (1,0,0) ∆: a a 2π 2π 1 1 1 (λ , λ , λ ) P : ( , , ) Λ: a 2 2 2 a 2π 1 1 2π ( , ,0) (σ , σ ,0) N : Σ: a 2 2 a 1 1 0 < δ < 1, 0 < λ < , 0 < σ < 其中 2 2
2. 衍射条件的布里渊区诠释
2k ⋅ G = G 2
D
GD
k1
O G/2 G C C
1 1 2 k ⋅ G = G 2 2
k2
任何从原点到 G 的垂直平分面的矢量都满足衍射 条件，这些平面正是布里渊区的边界。布里渊区包含 了所有能在晶体上发生布拉格反射的波的波矢 k
2π 2π 2π (±2i ); (±2 j ); (±2k ) a a a
的垂直平分面切割这个八面体的6个角，得 到的截角八面体或十四面体即为第一布里 渊区
9
第 2 章 晶体衍射和倒格子
2.3 布里渊区
面心立方晶格的布里渊区中一些 具有较高对称性的点或轴的坐标
Γ: ∆: Λ: Σ: 2π (0,0,0) a 2π (δ ,0,0) a 2π (λ , λ , λ ) a 2π (σ , σ ,0) a