计算方法实验一

计算方法实验一

1．迭代函数对收敛性的影响

实验目的：初步了解非线性方程的简单迭代法及其收敛性，体会迭代函数对收敛性的影响，知道当迭代函数满足什么条件时，迭代法收敛。

实验内容：用简单迭代法求方程 012)(3=--=x x x f 的根。

方案一： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(213x x x φ==

∆+= 方案二： 化012)(3=--=x x x f 为等价方程 )(123

x x x φ==∆-=

实验要求：

（1）分别对方案一、方案二取初值00=x ，迭代10次，观察其计算值，并加以分析。

（2）用MATLAB 内部函数solve 直接求出方程的所有根，并与（1）的结果进行比较。

2. 初值的选取对迭代法的影响

实验目的：通过具体的数值实验，体会选取不同的初值对同一迭代法的影响。 实验内容：用牛顿迭代法求方程 013

=--x x 在x =1.5附近的根。

实验要求：

（1）对牛顿迭代公式： 131231----=+k k k k k x x x x x ，编写程序进行实验，分别取00=x ，5.10=x 迭代10次，观察比较其计算值，并分析原因。

（2）用MATLAB 内部函数solve 直接求出方程的所有根，并与（1）的结果进行比较。

1． 收敛性与收敛速度的比较

实验目的：通过用不同迭代法解同一非线性方程，比较各种方法的收敛性与收敛速度。 实验内容：求解非线性方程 0232=-+-x e x x 的根，准确到10

6-。

实验要求：

（1） 用你自己设计的一种线性收敛的迭代法求方程的根，然后用斯蒂芬森加速迭代计算。输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数。

（2）用牛顿迭代法求方程的根，输出迭代初值、各次迭代值及迭代次数，并与（1）的结果比较。

（3）用MATLAB内部函数solve直接求出方程的所有根，并与（1）、（2）的结果进行比较。

相关MATLAB函数提示：

参考程序

function [p0,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,epsilon,max1)

%Input - f is the object function

% - df is the derivative of f

% - p0 is the initial approximation to a zero of f

% - delta is the tolerance for p0

% - epsilon is the tolerance for the function values y

% - max1 is the maximum number of iterations

%Output - p0 is the Newton-Raphson approximation to the zero

% - err is the error estimate for p0

% - k is the number of iterations

% - y is the function value f(p0)

%If f and df are defined as M-file functions use the @ notation

% call [p0,err,k,y]=newton(@f,@df,p0,delta,epsilon,max1).

%If f and df are defined as anonymous functions use the

% call [p0,err,k,y]=newton(f,df,p0,delta,epsilon,max1).

% NUMERICAL METHODS: Matlab Programs

% (c) 2004 by John H. Mathews and Kurtis D. Fink

% Complementary Software to accompany the textbook:

% NUMERICAL METHODS: Using Matlab, Fourth Edition

% ISBN: 0-13-065248-2

% Prentice-Hall Pub. Inc.

% One Lake Street

% Upper Saddle River, NJ 07458

for k=1:max1

p1=p0-f(p0)/df(p0);

err=abs(p1-p0);

relerr=2*err/(abs(p1)+delta);

p0=p1;

y=f(p0);

if (err