数列和三角函数经典例题(有答案)

1．(2016·山东，17)(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.

(1)求f (x )的单调递增区间；

(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左

平移π3

个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．

2．(2016·全国Ⅲ，，17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.

(1)求a 2，a 3；

(2)求{a n }的通项公式．

3．(2016·全国Ⅲ，17)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.

(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S 5＝3132

，求λ.

4．(2016·全国卷Ⅱ文，17)(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

5．(2016·全国Ⅱ理，17)(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.

(1)求b 1，b 11，b 101；

(2)求数列{b n }的前1 000项和．

6．(2016·全国Ⅰ，17)(本小题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1

＝1，b 2＝13

，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；

(2)求{b n }的前n 项和．

7．(2016·全国Ⅰ理，17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .

(1)求C ；

(2)若c ＝7，△ABC 的面积为

332，求△ABC 的周长．

8．(2016·北京，15)(本小题13分)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．

9．(2016·北京，16)(本小题13分)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)求f (x )的单调递增区间．

10．(2016·北京，15)(本小题满分13分)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .

(1)求∠B 的大小；

(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．

11.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(

A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A +的值； （2）若B ,34a π

==，求ABC ∆的面积.

12.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈

*12311111(n N )23

n n b b b b b n

+++++=-∈. （1）求n a 与n b ; （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .

13在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=4π，22b a -=1

22c .

（1）求t a nC 的值；

（2）若ABC 的面积为7，求

b 的值。

14ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.

（Ⅰ）求sin

sin

B

C

∠

∠

；

（Ⅱ）若∠BAC=60°,求∠B.

（15）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求C B

∠∠sin sin ;

(Ⅱ) 若AD =1，

DC =22求BD 和AC 的长.

16 （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2

sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B

（II ）若

90B =，且a = 求ABC ∆的面积.

17(本小题满分12分)

S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，错误！未找到引用源。

(Ⅰ)求{a n }的通项公式：

(Ⅱ)设错误！未找到引用源。 ，求数列错误！未找到引用源。}的前n 项和

1.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2

＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1

＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1

＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2

(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12

(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭

⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．

得到y ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x －π3＋3－1的图象． 再把得到的图象向左平移π3

个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，

即g (x )＝2sin x ＋3－1.

所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 2.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14

. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得

2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．

因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12

.