数列和三角函数经典例题(有答案)
三角函数与数列复习资料(含解析)
向左平移π个单位得到
y＝cos
x＋π 6
，再把
y＝cos
6
x＋π 6
图象上各点的横坐标变为原来的1得到 2
C2.故选
D.
变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．如本题易错点有二：
一是不改变函数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的改变量出错.
题型 2 利用三角函数图象求解析式
2
6
6
称，故
B
正确；在
－π，π 63
上
2x＋π∈
－π，5π 66
，故
y＝g(x)在
－π，π 63
上没有单调性，故
C
错误；由
x＝5π，
6
12
5π，0 可得 g(x)＝0，故 y＝g(x)的图象关于点 12 对称，故 D 正确．故选 C.
本题易错点有两个：一是平移规则不熟悉而导致 g(x)解析式错求为 g(x)＝sin2x；二是不会利用 y＝ Asin(ωx＋φ)性质的整体代换意识解决此类问题.
π，2π
2π，π
3
3 (k∈Z)，所以 2 3 是减区间， 3 是增区间，D 项错误．故选 D.
4.(2018·江苏高考)已知函数
y＝sin(2x＋φ)
－π<φ<π 22
的图象关于直线 x＝π对称，则φ的值是________. 3
答案 －π 6
解析
由题意可得
sin
2π＋φ 3
＝±1，所以2π＋φ＝π＋kπ，
-2-
题型 1 三角函数的图象与变换
2x＋2π
(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cosx，C2：y＝sin
2015-2019全国1卷三角函数和数列高考题 汇编(含答案解析)
2020.2.15三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.记为等差数列的前n项和．已知，，则A. B. C. D.2.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.3.记为等差数列的前n项和．若，，则A. B. C. 10 D. 124.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 85.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线6.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 977.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为A. 11B. 9C. 7D. 58.A. B. C. D.9.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛10.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记为等比数列的前n项和．若，，则________．12.记为数列的前n项和，若，则_____．13.已知函数，则的最小值是______．14.设等比数列满足，，则的最大值为______．15.在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是________．16.函数的最小正周期是______．17.设等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______．18.已知数列是等差数列，是其前n项和若，则的值是____．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求A；若，求sinC．20.在平面四边形ABCD中，，，，．求；若，求BC．21.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．求sinBsinC；若，，求的周长．22.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C的大小；若，的面积为，求的周长．23.为数列的前n项和，已知，求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．2020.2.15三角函数和数列高考题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）24.记为等差数列的前n项和．已知，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，关键是求出等差数列的公差以及首项，属于基础题．根据题意，设等差数列的公差为d，则有，求出首项和公差，然后求出通项公式和前n项和即可．【解答】解：设等差数列的公差为d，由，，得，，，，故选：A．25.关于函数有下述四个结论：是偶函数在区间单调递增在有4个零点的最大值为2其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合绝对值的应用以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：，则函数是偶函数，故正确；当时，，，则为减函数，故错误；当时，，由，得，即或，由是偶函数，得在上还有一个零点，即函数在有3个零点，故错误；当，时，取得最大值2，故正确，故正确是，故选C．26.记为等差数列的前n项和．若，，则A. B. C. 10 D. 12【答案】B【解析】解：为等差数列的前n项和，，，，把，代入得．故选：B．利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程，能求出的值．本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．27.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等差数列公式及等差数列求和的基本量运算，属于简单题．利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差．【解答】解：为等差数列的前n项和，设公差为d，，，解得，，的公差为4．故选C．28.已知曲线：，：，则下面结论正确的是A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数的图象变换、诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题．利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，即曲线，故选D．29.已知等差数列前9项的和为27，，则A. 100B. 99C. 98D. 97【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键，属于基础题．根据已知可得，进而求出公差，可得答案．【解答】解：设的公差为d，等差数列前9项的和为27，．，，又，，．故选C．30.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为A. 11B. 9C. 7D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦型函数的图象和性质的综合运用，属于中档题．根据已知可得为正奇数，且，结合为的零点，为图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合在上单调，可得的最大值．【解答】解：为的零点，为图象的对称轴，，即，，即，，即为正奇数，在上单调，则，即，解得：，当时，，，，，此时在不单调，不满足题意；当时，，，，，此时在单调，满足题意；故的最大值为9，故选B．31.A. B. C. D.【答案】D【解析】解：．故选：D．直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．32.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米如图，米堆为一个圆锥的四分之一，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B【解析】【分析】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则，解得，故米堆的体积为，斛米的体积约为立方，，故选：B．33.函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】解：由函数的部分图象，可得函数的周期为，，．再根据函数的图象以及五点法作图，可得，，即，由，，求得，，故的单调递减区间为，，故选：D．由周期求出，由五点法作图求出，可得的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得的减区间．本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）34.记为等比数列的前n项和．若，，则________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和的计算，结合条件建立方程组求出q是解决本题的关键．根据等比数列的通项公式，建立方程求出q的值，结合等比数列的前n项和公式进行计算即可．【解答】解：在等比数列中，由，得，即，解得，则，故答案为．35.记为数列的前n项和，若，则_____．【答案】【解析】【分析】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．先根据数列的递推公式可得是以为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．【解答】解：为数列的前n项和，，当时，，解得，当时，，，由可得，，是以为首项，以2为公比的等比数列，，故答案为．36.已知函数，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．由题意可得是的一个周期，问题转化为在上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得是的一个周期，故只需考虑在上的值域，先来求该函数在上的极值点，求导数可得，令可解得或，可得此时，或；的最小值只能在点，或和边界点中取到，计算可得，，，，函数的最小值为，故答案为：．37.设等比数列满足，，则的最大值为______．【答案】64【解析】【分析】本题考查数列的通项，数列与函数相结合，属于中档题．求出数列的公比与首项，化简，然后求解最值．【解答】解：等比数列满足，，设公比为q，可得，解得，，解得，则，当或时，取得最大值：，故答案为64．38.在平面四边形ABCD中，，，则AB的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．【解答】如图所示，延长BA，CD交于点E，则在中，，，，设，，，，，，，，而，的取值范围是故答案为：39.函数的最小正周期是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质，关键是合理使用二倍角公式，属于基础题．用二倍角公式可得，然后用周期公式求出周期即可．【解答】解：，，的周期，故答案为．40.设等差数列的前n项和为，若，，则______，的最小值为______．【答案】0，【解析】【分析】本题考查等差数列的第5项的求法，考查等差数列的前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出，，由此能求出的的最小值．【解答】解：设等差数列的前n项和为，，，解得，，，，或时，取最小值为．故答案为0，．41.已知数列是等差数列，是其前n项和若，则的值是____．【答案】16【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．设等差数列的首项为，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得的值．【解答】解：设等差数列的首项为，公差为d，则，解得．．故答案为16．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）42.的内角A，B，C的对边分别为a，b，设．求A；若，求sin C．【答案】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．则，由正弦定理得：，，，．，，由正弦定理得，解得，，，．【解析】由正弦定理得：，再由余弦定理能求出A．由已知及正弦定理可得：，可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解．本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．43.在平面四边形ABCD中，，，，．求；若，求BC．【答案】解：，，，．由正弦定理得：，即，，，，．，，，．【解析】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由正弦定理得，求出，由此能求出；由，得，再由，利用余弦定理能求出BC．44.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．求sin B sin C；若，，求的周长．【答案】解：由三角形的面积公式可得，，由正弦定理可得，，；，，，，，，，，，，，，，，周长．【解析】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，根据两角余弦公式可得，即可求出，再根据正弦定理可得，根据余弦定理即可求出，问题得以解决．45.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角C的大小；若，的面积为，求的周长．【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，，，，又，；由余弦定理得，，，，，，的周长为．【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C不为0求出cos C的值，即可确定出C的度数；利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．46.为数列的前n项和，已知，求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．【答案】解：由，可知，两式相减得，即，，，，舍或，则是首项为3，公差的等差数列，的通项公式；Ⅱ，，数列的前n项和．【解析】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．根据数列的递推关系，利用作差法即可求的通项公式；Ⅱ求出，利用裂项法即可求数列的前n项和．。
高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结
高中数学高考三角函数重点题型解析及常见试题、答案+数列常见题型总结高考三角函数重点题型解析及常见试题(附参考答案)三角函数的主要考点是：三角函数的概念和性质（单调性，周期性，奇偶性，最值），三角函数的图象，三角恒等变换（主要是求值），三角函数模型的应用，正余弦定理及其应用，平面向量的基本问题及其应用．题型1 三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题．例 1 若x 是三角形的最小内角，则函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值是（ ）A ．1-BC ．12-+ D ．12+分析：三角形的最小内角是不大于3π的，而()2sin cos 12sin cos x x x x +=+，换元解决．解析：由03x π<≤，令sin cos ),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤，得1t <≤．又212sin cos t x x =+，得21sin cos 2t x x -=，得2211(1)122t y t t -=+=+-，有2111022y -+<≤=．选择答案D ． 点评：涉及到sin cos x x ±与sin cos x x 的问题时，通常用换元解决．解法二：1sin cos sin cos sin 242y x x x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，max 12y =，选D 。
例2．已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+．，且(0)8,()126f f π==．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值．分析：待定系数求a ，b ；然后用倍角公式和降幂公式转化问题． 解析：函数)(x f 可化为()sin 2cos 2f x a x b x b =++．（1）由(0)8f = ，()126f π=可得(0)28f b ==，3()12622f a b π=+= ，所以4b =，a =（2）()24cos 248sin(2)46f x x x x π=++=++，故当2262x k πππ+=+即()6x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值为12．点评：结论()sin cos a b θθθϕ+=+是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽带，是三角函数部分高考命题的重点内容．题型 2 三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质，一直是高考所重点考查的问题之一．例3．（2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决． 解析：函数π55cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故要将函数sin 2y x =的图象向左平移5π12个长度单位，选择答案A ． 例4 （2008高考江西文10）函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断． 解析：函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时．结合选择支ABCD-和一些特殊点，选择答案D ． 点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或是函数分段不准确时，就会解错这个题目．题型3 用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换公式解决．例5 （2008高考山东卷理5）已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是A． BC ．45-D ．45分析：所求的7πsin sin()66παα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，将已知条件分拆整合后解决． 解析： C．34cos sin sin cos sin 6522565ππααααα⎛⎫⎛⎫-+=⇔+=⇔+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以74sin sin 665ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分拆与整合的数学思想和运算能力．解题的关键是对πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 例6（2008高考浙江理8）若cos 2sin αα+=则tan α= A ．21B ．2C ．21-D ．2- 分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路．()αϕ+=sin ϕϕ==，即1tan 2ϕ=，再由()sin 1αϕ+=-知道()22k k παϕπ+=-∈Z ，所以22k παπϕ=--，所以sin cos 2tan tan 2tan 222sin cos 2k πϕππϕαπϕϕπϕϕ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--=--=== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．方法二：将已知式两端平方得()2222222cos 4cos sin 4sin 55sin cos sin 4sin cos 4cos 0tan 4tan 40tan 2ααααααααααααα++==+⇒-+=⇒-+=⇒=方法三：令sin 2cos t αα-=，和已知式平方相加得255t =+，故0t =， 即sin 2cos 0αα-=，故tan 2α=．方法四：我们可以认为点()cos ,sin M αα在直线2x y +=而点M 又在单位圆221x y +=上，解方程组可得5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，从而tan 2y x α==．这个解法和用方程组22cos 2sin sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩求解实质上是一致的．方法五：α只能是第三象限角，排除C ．D ．，这时直接从选择支入手验证，由于12计算麻烦，我们假定tan 2α=，不难由同角三角函数关系求出sin ,cos 55αα=-=-，检验符合已知条件，故选B ． 点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知()1sin cos ,0,5βββπ+=∈，求tan β的值（人教A 版必修4第三章复习题B 组最后一题第一问）”之类的题目 ，背景是熟悉的，但要解决这个问题还需要考生具有相当的知识迁移能力．题型4 正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题，主要表现在航海和测量上，解决的主要方法是利用正余弦定理建立数学模型． 例7．（2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A ．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A相距B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ+ (其中sin 26θ=，090θ<<)且与点A相距海里的位置C ．（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析：根据方位角画出图形，如图．第一问实际上就是求BC 的长，在ABC ∆中用余弦定理即可解决；第二问本质上求是求点E 到直线BC 的距离，即可以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决． 解析：（1）如图，402AB =2， 1013AC =26,sin 26BAC θθ∠==由于090θ<<，所以226526cos 1()2626θ=-= 由余弦定理得222cos 10 5.BC AB AC AB AC θ+-=1051553=/小时）． （2）方法一 ： 如上面的图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系， 设点,B C 的坐标分别是()()1122,,,B x y C x y ，BC 与x 轴的交点为D ． 由题设有， 112402x y AB ===， 2cos 1013cos(45)30x AC CAD θ=∠=-=， 2sin 1013sin(45)20.y AC CAD θ=∠=-=所以过点,B C 的直线l 的斜率20210k ==，直线l 的方程为240y x =-． 又点()0,55E -到直线l 的距离35714d ==<+，所以船会进入警戒水域．解法二： 如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q ．在ABC ∆中，由余弦定理得，222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅=2222402105⨯⨯=31010．从而2910sin 1cos 110ABC ABC ∠=-∠=-= 在ABQ ∆中，由正弦定理得，102sin 1040sin(45)2210AB ABC AQ ABC ∠===-∠⨯． 由于5540AE AQ =>=，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且15EQ AE AQ =-=． 过点E 作EP BC ⊥于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离． 在QPE ∆Rt 中，5sin sin sin(45)15357.5PE QE PQE QE AQC QE ABC =∠=⋅∠=⋅-∠=⨯=<所以船会进入警戒水域．点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图． 本题容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由于运算相对繁琐，在运算上出错． 题型5 三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切，这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点．例8（2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题）已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ωωω==，（0>ω），令b a x f ⋅=)(，且)(x f 的周期为π．(1) 求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)写出()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间． 分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数()f x 的解析式求出来，再根据)(x f 的周期为π就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可． 解析：(1)x x x b a x f ωωω2cos sin cos 2)(+=⋅=x x ωω2cos 2sin +=)42sin(2πω+=x ，∵)(x f 的周期为π． ∴1=ω， )42sin(2)(π+=x x f ，12cos 2sin )4(=π+π=π∴f ．(2) 由于)42sin(2)(π+=x x f ，当πππππk x k 224222+≤+≤+-（Z k ∈）时，()f x 单增，即ππππk x k +≤≤+-883（Z k ∈），∵∈x ]2,2[ππ- ∴()f x 在]2,2[ππ-上的单调递增区间为]8,83[ππ-．点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点． 例9 （2009江苏泰州期末15题）已知向量()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且a b ⊥．（1）求tan α的值； （2）求cos 23απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值． 分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问． 解析：（1）∵a b ⊥，∴0a b ⋅=．而()3sin ,cos a αα=，()2sin ,5sin 4cos b ααα=-，故226sin 5sin cos 4cos 0a b αααα⋅=+-=，由于cos 0α≠，∴26tan 5tan 40αα+-=， 解得4tan 3α=-，或1tan 2α=．∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，tan 0α<， 故1tan 2α=（舍去）．∴4tan 3α=-． （2）∵3π 2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴3ππ24α∈（，）． 由4tan 3α=-，求得1tan 22α=-，tan 22α=（舍去）．∴sincos 22αα=cos 23απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 2323αα-=12= ． 点评：本题以向量的垂直为依托，实质上考查的是三角恒等变换．在解题要注意角的范围对解题结果的影响．题型6 三角形中的三角恒等变换：这是一类重要的恒等变换，其中心点是三角形的内角和是π，有的时候还可以和正余弦定理相结合，利用这两个定理实现边与角的互化，然后在利用三角变换的公式进行恒等变换，是近年来高考的一个热点题型．例10．（安徽省皖南八校2009届高三第二次联考理科数学17题）三角形的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量(,),(,)m c a b a n a b c =--=+，若//m n ，（1）求角B 的大小；（2）求sin sin A C +的取值范围． 分析：根据两个平面向量平行的条件将向量的平行关系转化为三角形边的关系，结合余弦定理解决第一问，第一问解决后，第二问中的角,A C 就不是独立关系了，可以用其中的一个表达另一个，就把所要解决的问题归结为一个角的三角函数问题． 解析：（1）//,()()()m n c c a b a a b ∴---+，222222,1a c b c ac b a ac +-∴-=-∴=． 由余弦定理，得1cos ,23B B π==．（2）2,3A B C A C ππ++=∴+=，222sin sin sin sin()sin sin cos cos sin 333A C A A A A A πππ∴+=+-=+-3sin )26A A A π=+=+ 250,3666A A ππππ<<∴<+<1sin()1,sin sin 26A A C π∴<+≤<+≤点评：本题从平面向量的平行关系入手，实质考查的是余弦定理和三角形中的三角恒等变换，解决三角形中的三角恒等变换要注意三角形内角和定理和角的范围对结果的影响．题型7 用平面向量解决平面图形中的问题：由于平面向量既有数的特征（能进行类似数的运算）又具有形的特征，因此利用平面向量去解决平面图形中的问题就是必然的了，这在近年的高考中经常出现．考试大纲明确指出用会用平面向量解决平面几何问题．例11. 如图，已知点G 是ABO ∆的重心，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且PQ 过ABO ∆ 的重心G ，OP mOA =，OQ nOB =，试证明11m n+为常数，并求出这个常数．分析：根据两向量共线的充要条件和平面向量基本定理，把题目中需要的向量用基向量表达出来，本题的本质是点,,P G Q 共线，利用这个关系寻找,m n 所满足的方程． 解析：令OA a =，OB b =，则OP ma =，OQ nb =，设AB 的中点为M ， 显然1().2OM a b =+，因为G 是ABC ∆的重心，所以21()33OG OM a b ==⋅+．由P 、G 、Q 三点共线，有PG 、GQ 共线，所以，有且只有一个实数λ，使 PG GQ λ=，而111()()333PG OG OP a b ma m a b =-=+-=-+， 111()()333GQ OQ OG nb a b a n b =-=-+=-+-，所以1111()[()]3333m a b a n b λ-+=-+-．又因为a 、b 不共线，由平面向量基本定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-)31(313131n m λλ，消去λ，整理得3mn m n =+，故311=+nm ．结论得证．这个常数是3． 【点评】平面向量是高中数学的重要工具，它有着广泛的应用，用它解决平面几何问题是一个重要方面，其基本思路是根据采用基向量或坐标把所要解决的有关的问题表达出来，再根据平面向量的有关知识加以处理．课标区已把几何证明选讲列入选考范围，应引起同学们的注意．题型8 用导数研究三角函数问题：导数是我们在中学里引进的一个研究函数的重要工具，利用导数探讨三角函数问题有它极大的优越性，特别是单调性和最值． 例12. 已知函数22()cos 2sin cos sin f x x t x x x =+-，若函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，求实数t 的取值范围． 分析：函数的()f x 导数在(,]126ππ大于等于零恒成立．解析：函数()f x 在区间(,]126ππ上是增函数，则等价于不等式()0f x '≥在区间(,]126ππ上恒成立，即()2sin 22cos 20f x x t x '=-+≥在区间(,]126ππ上恒成立， 从而tan 2t x ≥在区间(,]126ππ上恒成立， 而函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上为增函数，所以函数tan 2y x =在区间(,]126ππ上的最大值为max tan(2)6y π=⨯=，所以t ≥为所求．点评：用导数研究函数问题是导数的重要应用之一，是解决高中数学问题的一种重要的思想意识．本题如将()f x 化为()sin 2cos 2)f x t x x x ϕ=+=+的形式，则ϕ与t 有关，讨论起来极不方便，而借助于导数问题就很容易解决．题型9 三角函数性质的综合应用：将三角函数和其它的知识点相结合而产生一些综合性的试题，解决这类问题往往要综合运用我们的数学知识和数学思想，全方位的多方向进行思考．例13. 设二次函数2()(,)f x x bx c b c R =++∈，已知不论α，β为何实数，恒有(sin )0f α≥和(2cos )0f β+≤．（1）求证：1b c +=- ； （2）求证：3c ≥；（3）若函数(sin )f α的最大值为8，求b ，c 的值．分析：由三角函数的有界性可以得出()10f =，再结合有界性探求．解析：（1）因为1sin 1α-≤≤且(sin )0f α≥恒成立，所以(1)0f ≥，又因为12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立，所以(1)0f ≤， 从而知(1)0f =，10b c ++=，即1b c +=-．（2）由12cos 3β≤+≤且(2cos )0f β+≤恒成立得(3)0f ≤， 即 930b c ++≤，将1b c =--代如得9330c c --+≤，即3c ≥． （3）22211(sin )sin(1)sin (sin )()22c c f c c c αααα++=+--+=-+-， 因为122c+≥，所以当sin 1α=-时max [(sin )]8f α=， 由1810b c b c -+=⎧⎨++=⎩ ， 解得 4b =-，3c =．点评：本题的关键是1b c +=-，由(sin )0(2cos )0f f αβ≥⎧⎨+≤⎩ 利用正余弦函数的有界性得出()()1010f f ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩，从而(1)0f =，使问题解决，这里正余弦函数的有界性在起了重要作用． 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．若[0,2)απ∈，sin cos αα=-，则α的取值范围是（ ）A ．[0,]2πB ．[,]2ππ C ．3[,]2ππ D ．3[,2)2ππ 2．设α是锐角，且lg(1cos )m α-=，1lg 1cos n α=+，则lgsin α=（ ） A ．m n - B ．11()2m n - C ．2m n - D ．11()2n m-3．若00||2sin15,||4cos15a b ==，a 与b 的夹角为30。
2020.2.22三角函数和数列全国卷3(2016-2019全国3卷)答案
2020.2.22三角函数和数列全国卷3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的性质和前n 项和公式，考查方程思想，属基础题．设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，根据条件可得{a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15a 1q 4=3a 1q 2+4a 1，解方程即可． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q(q >0)， 则由前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，有{a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,∴{a 1=1q =2, ∴a 3=22=4，故选C ．2. 若sinα=13，则cos2α=( )A. 89B. 79C. −79D. −89【答案】B【解析】【分析】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题． 根据cos2α=1−2sin 2α能求出结果． 【解答】 解：∵sinα=13，∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选B ．3. ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若ΔABC 的面积为a 2+b 2−c 24，则C = ( )A. π2B. π3C. π4D. π6【答案】C【解析】【分析】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查学生运算能力，是基础题． 由S △ABC =12absinC =a 2+b 2−c 24得sinC =a 2+b 2−c 22ab=cosC ，由此能求出结果．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选C．4.函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题．解函数f(x)=2sinx−sin2x=0，在[0,2π]的解，即2sinx=sin2x令左右为新函数ℎ(x)和g(x)，作图求两函数在区间的交点即可．【解答】解：函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数，即：2sinx−sin2x=0在区间[0,2π]的根个数，即2sinx=sin2x，令左右为新函数ℎ(x)和g(x)，ℎ(x)=2sinx和g(x)=sin2x，作图求两函数在区间[0,2π]的图象可知：ℎ(x)=2sinx和g(x)=sin2x，在区间[0,2π]的图象的交点个数为3个．故选：B．5.设函数f(x)=cos(x+π3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为−2πB. y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称C. f(x+π)的一个零点为x=π6D. f(x)在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础．根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可．【解答】解：对于A，函数的周期为2kπ，k∈Z，当k=−1时，周期T=−2π，故A正确；对于B，当x=8π3时，cos(x+π3)=cos(8π3+π3)=cosπ=−1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=8π3对称，故B正确；对于C，因为f(x+π)=cos(x+π+π3)=−cos(x+π3)，且，则f(x+π)的一个零点为x=π6，故C正确；对于D，当π2<x<π时，5π6<x+π3<4π3，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误．故选D．6.若tanα=34，则cos2α+2sin2α=()A. 6425B. 4825C. 1D. 1625【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的关系式，二倍角公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于基础题．将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α)，再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=34，∴cos2α+2sin2α=cos2α+4sinαcosαsin2α+cos2α=1+4tanαtan2α+1=1+4×34 916+1=6425．故选A．7.若tanθ=−13，则cos2θ=()A. −45B. −15C. 15D. 45【答案】D【解析】【分析】本题考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数公式，解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成弦切的互化，属于基础题．利用余弦函数的二倍角公式可求得cos2θ=cos2θ−sin2θ，进而利用同角三角函数的基本关系式完成弦切的互化，然后把tanθ的值代入即可．【解答】解：由tanθ=−13，得cos2θ=cos2θ−sin2θ=cos2θ−sin2θcos2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=1−(−13)21+(−13)2=45，故选D．8.在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sinA=()A. 310B. √1010C. √55D. 3√1010【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键，属于基础题．由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sin A．【解答】解：∵在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，∴AB=√23BC，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cosB=√29BC2+BC2−23BC2=√53 BC，故12BC⋅13BC=12AB⋅AC⋅sinA=12⋅√23BC⋅√53BC⋅sinA，∴sinA=3√1010，故选D．9.已知sinα−cosα=43，则sin2α=()A. −79B. −29C. 29D. 79【答案】A【解析】【分析】本题考查了二倍角公式，属于基础题．由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出．【解答】解：∵sinα−cosα=43，∴(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−sin2α=169，∴sin2α=−79，故选A．10.函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为()A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】【分析】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，函数的周期性，属于基础题．利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．【解答】解：f(x)=tanx1+tan2x =sinxcosxcos2x+sin2x=12sin2x，∴最小正周期为2π2=π．故选C．二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）11.记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1≠0，a2=3a1，则S10S5=______．【答案】4【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a1≠0，a2=3a1可得，d=2a1，∴S10S5=10(a1+a10)5(a1+a5)=2(2a1+9d) 2a1+4d=2(2a1+18a1)2a1+8a1=4，故答案为：4．根据a2=3a1，可得公差d=2a1，然后利用等差数列的前n项和公式将S10S5用a1表示，化简即可．本题考查等差数列前n项和性质以及等差数列性质，考查了转化思想，属基础题．12.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=___________．【答案】100【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式与前n项和，是基础的计算题，属基础题．由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3=5，a7=13，得d=a7−a37−3=13−54=2，∴a1=a3−2d=5−4=1．则S10=10×1+10×9×22=100．故答案为100．13.设等比数列{a n}满足a1+a2=−1，a1−a3=−3，则a4=______．【答案】−8【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a2=−1，a1−a3=−3，可得：a1(1+q)=−1，a1(1−q2)=−3，求解即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=−1，a1−a3=−3，∴a1(1+q)=−1，a1(1−q2)=−3，解得a1=1，q=−2．则a4=(−2)3=−8．故答案为−8．14.函数y=sinx−√3cosx的图象可由函数y=sinx+√3cosx的图象至少向右平移______个单位长度得到．【答案】2π3【解析】【分析】本题考查辅助角公式的应用和函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0)的图象，属于中档题．令f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，则f(x−φ)=2sin(x+π3−φ)，依题意可得2sin(x+π3−φ)=2sin(x−π3)，由，可得答案．【解答】解：∵y=f(x)=sinx+√3cosx=2sin(x+π3)，y=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)，∴f(x−φ)=2sin(x+π3−φ)(φ>0)，令2sin(x+π3−φ)=2sin(x−π3)，则，即，当k=0时，正数φmin=2π3，故答案为2π3．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=√6，c=3，则A=______．【答案】75°【解析】【分析】本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题．根据正弦定理和三角形的内角和计算即可． 【解答】解：根据正弦定理可得b sinB =csinC ，C =60°，b =√6，c =3， ∴sinB =√6×√323=√22， ∵b <c ， ∴B =45°，∴A =180°−B −C =180°−45°−60°=75°， 故答案为75°．16. 设{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{a n }的通项公式为______． 【答案】a n =6n −3【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=3，d =6，由此能求出{a n }的通项公式． 【解答】解：∵{a n }是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36， ∴{a 1=3a 1+d +a 1+4d =36， 解得a 1=3，d =6，∴a n =a 1+(n −1)d =3+(n −1)×6=6n −3． ∴{a n }的通项公式为a n =6n −3． 故答案为a n =6n −3．17. 设函数f(x)=cos(ωx −π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______． 【答案】23【解析】【分析】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可． 【解答】解：因为f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立， 所以x =π4处函数f(x)取得最大值， 所以ω⋅π4−π6=2kπ，k ∈Z ， 解得ω=8k +23，k ∈Z ，ω>0． 则ω的最小值为23． 故答案为23．18.已知函数y=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π3对称，则φ的值为______．【答案】−π6【解析】解：∵y=sin(2x+φ)(−π2<φ<π2)的图象关于直线x=π3对称，∴2×π3+φ=kπ+π2，k∈Z，即φ=kπ−π6，∵−π2<φ<π2，∴当k=0时，φ=−π6，故答案为：−π6．根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．(1)求{a n}的通项公式；(2)记S n为{a n}的前n项和．若S m=63，求m．【答案】解：(1)∵等比数列{a n}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×(1×q2)，解得q=±2，当q=2时，a n=2n−1，当q=−2时，a n=(−2)n−1，∴{a n}的通项公式为，a n=2n−1，或a n=(−2)n−1．(2)记S n为{a n}的前n项和．当a1=1，q=−2时，S n=a1(1−q n)1−q =1−(−2)n1−(−2)=1−(−2)n3，由S m=63，得S m=1−(−2)m3=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n=a1(1−q n)1−q =1−2n1−2=2n−1，由S m=63，得S m=2m−1=63，m∈N，解得m=6．【解析】(1)利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{a n}的通项公式．(2)当a1=1，q=−2时，S n=1−(−2)n3，由S m=63，得S m=1−(−2)m3=63，m∈N，无解；当a1=1，q=2时，S n=2n−1，由此能求出m．本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．20. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，a =2√7，b =2．(1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 【答案】解：(1)∵sinA +√3cosA =0，∴tanA =−√3， ∵0<A <π，∴A =2π3．由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 即28=4+c 2−2×2c ×(−12)， 即c 2+2c −24=0，解得c =−6(舍去)或c =4， 故c =4．(2)∵c 2=b 2+a 2−2abcosC ， ∴16=28+4−2×2√7×2×cosC ， ∴cosC =√7，∴CD =AC cosC =22√7=√7，∴CD =12BC ，∴S △ABD =12S △ABC ， 又S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12×4×2×√32=2√3，∴S △ABD =√3．【解析】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题． (1)先根据同角的三角函数的关系求出A ，再根据余弦定理即可求出；(2)先根据夹角求出cos C ，求出CD 的长，得到S △ABD =12S △ABC ，然后求出三角形ABC 的面积从而得到三角形ABD 的面积．21. 已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，a n2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0． (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．【答案】解：(1)根据题意，a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0，当n =1时，有a 12−(2a 2−1)a 1−2a 2=0，而a 1=1，则有1−(2a 2−1)−2a 2=0，解可得a 2=12，当n =2时，有a 22−(2a 3−1)a 2−2a 3=0，又由a 2=12，解可得a 3=14，故a 2=12，a 3=14；(2)根据题意，a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0，变形可得(a n −2a n+1)(a n +1)=0， 即有a n =2a n+1或a n =−1， 又由数列{a n }各项都为正数， 则有a n =2a n+1，故数列{a n }是首项为a 1=1，公比为12的等比数列， 则a n =1×(12)n−1=(12)n−1， 故a n =(12)n−1．【解析】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到a n 与a n+1的关系．(1)根据题意，由数列的递推公式，令n =1可得a 12−(2a 2−1)a 1−2a 2=0，将a 1=1代入可得a 2的值，进而令n =2可得a 22−(2a 3−1)a 2−2a 3=0，将a 2=12代入计算可得a 3的值，即可得答案；(2)根据题意，将a n 2−(2a n+1−1)a n −2a n+1=0变形可得(a n −2a n+1)(a n +a n+1)=0，进而分析可得a n =2a n+1或a n =−a n+1，结合数列各项为正可得a n =2a n+1，结合等比数列的性质可得{a n }是首项为a 1=1，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．22. 设数列{a n }满足a 1+3a 2+⋯+(2n −1)a n =2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{an2n+1}的前n 项和．【答案】解：(1)数列{a n }满足a 1+3a 2+⋯+(2n −1)a n =2n ， n ≥2时，a 1+3a 2+⋯+(2n −3)a n−1=2(n −1)， ∴两式相减得(2n −1)a n =2， ∴a n =22n−1，当n =1时，a 1=2，上式也成立， ∴a n =22n−1；(2)a n 2n +1=2(2n −1)(2n +1)=12n −1−12n +1∴数列{an2n+1}的前项和为：S n =(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)=1−12n+1=2n2n+1．【解析】本题主要考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了计算能力，属于中档题． (1)利用数列递推关系即可得出；(2)a n2n+1=2(2n−1)(2n+1)=12n−1−12n+1，利用裂项求和方法即可得出．23.在△ABC中，a=7，b=8，cos B=−17．(1)求∠A；(2)求AC边上的高．【答案】解：(1)∵a<b，∴A<B，即A是锐角，∵cosB=−17，∴sinB=√1−cos2B=√1−(−17)2=4√37，由正弦定理得asinA =bsinB得sinA=asinBb=7×4√378=√32，A为锐角，则A=π3;(2)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即64=49+c2+2×7×c×17，即c2+2c−15=0，得(c−3)(c+5)=0，得c=3或c=−5(舍)，则AC边上的高ℎ=csinA=3×√32=3√32．【解析】本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．(1)由正弦定理结合大边对大角进行求解即可;(2)利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可．第11页，共11页。
数列三角函数立体几何习题
数列三角函数立体几何习题一．选择题（共3小题）1．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4+a 5=24，S 6=48，则{a n }的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．82．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ）A ．﹣24B ．﹣3C ．3D ．83．已知数列{a n }为等差数列，S n 其前n 项和，且a 2=3a 4﹣6，则S 9等于（ ）A ．25B ．27C ．50D ．54二．填空题（共3小题）4．设等比数列{a n }满足a 1+a 2=﹣1，a 1﹣a 3=﹣3，则a 4= ．5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则2a 10﹣a 12的值为 ．6．公差不为0的等差数列{a n }中，a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9和等比中项，则a 5= ．三．解答题（共10小题）7．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n +1=2S n +1，数列{b n }满足a 1=b 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2=0上，n ∈N *．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=AD ，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．10．如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．（I）求证：平面SBC⊥平面SOD；（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2，求该圆锥的侧面积．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．12．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．13．已知函数f（x）=4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．14．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f（A）的值域．数列三角函数立体几何习题参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．2．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8【解答】解：∵等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，∴，∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，解得d=﹣2，∴{a n}前6项的和为==﹣24．故选：A．3．已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25 B．27 C．50 D．54【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．二．填空题（共3小题）4．设等比数列{a n}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4=﹣8．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解得a1=1，q=﹣2．则a4=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．5．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10﹣a12的值为24．【解答】解：∵a n为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120∴a1+7d=24∵2a10﹣a12=2a1+18﹣a1﹣11d=a1+7d=24故答案为：246．公差不为0的等差数列{a n}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，则a5= 13．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，∵a1+a3=8，且a4为a2和a9和等比中项，∴2a1+2d=8，，解得a1=1，d=3．则a5=1+3×4=13．故答案为：13．三．解答题（共10小题）7．记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．【解答】解：（1）设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ，则a 3=S 3﹣S 2=﹣6﹣2=﹣8，则a 1==，a 2==，由a 1+a 2=2，+=2，整理得：q 2+4q +4=0，解得：q=﹣2，则a 1=﹣2，a n =（﹣2）（﹣2）n ﹣1=（﹣2）n ，∴{a n }的通项公式a n =（﹣2）n ；（2）由（1）可知：S n ===﹣（2+（﹣2）n +1）， 则S n +1=﹣（2+（﹣2）n +2），S n +2=﹣（2+（﹣2）n +3），由S n +1+S n +2=﹣（2+（﹣2）n +2）﹣（2+（﹣2）n +3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n +1+（﹣2）2×+（﹣2）n +1]，=﹣[4+2（﹣2）n +1]=2×[﹣（2+（﹣2）n +1）]，=2S n ，即S n +1+S n +2=2S n ，∴S n +1，S n ，S n +2成等差数列．8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n +1=2S n +1，数列{b n }满足a 1=b 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2=0上，n ∈N *．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）由a n +1=2S n +1可得a n =2S n ﹣1+1（n ≥2），两式相减得a n +1﹣a n =2a n ，a n +1=3a n （n ≥2）．又a 2=2S 1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．（1）证明：直线BC∥平面PAD；（2）若△PCD面积为2，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∵∠BAD=∠ABC=90°．∴BC∥AD，∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴直线BC∥平面PAD；（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°．设AD=2x，则AB=BC=x，CD=，O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为：E，连接OE，则OE=，PO=，PE==，△PCD面积为2，可得：=2，即：，解得x=2，PE=2．=×（BC+AD）×AB×PO==4．则V P﹣ABCD10．如图，圆锥的轴截面为三角形SAB，O为底面圆圆心，C为底面圆周上一点，D为BC的中点．（I）求证：平面SBC⊥平面SOD；（II）如果∠AOC=∠SDO=60°，BC=2，求该圆锥的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）由题意知SO⊥平面OBC，又BC⊂平面OBC，∴SO⊥BC，在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∴OD⊥BC，又SO∩OD=O，∴BC⊥平面SOD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面SOD．解：（Ⅱ）在△OBC中，OB=OC，CD=BD，∵∠AOC=60°，∴∠COD=60°，∵CD=，∴OD=1，OC=2，在△SOD中，∠SDO=60°，又SO⊥OD，∴SO=，在△SAO中，OA=OC=2，∴SA=，∴该圆锥的侧面积为．11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，由已知，得，故．所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为．证明：（Ⅱ）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC．解：（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC﹣BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得．所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．12．已知函数f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[﹣，]时，f（x）≥﹣．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）﹣2sinxcosx，=（co2x+sin2x）﹣sin2x，=cos2x+sin2x，=sin（2x+），∴T==π，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴f（x）≥﹣13．已知函数f（x）=4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=4tan（x+）cos2（x+）﹣1．∵正切函数的定义域满足，x+，可得：x≠，k∈Z∴函数f（x）的定义域为{x|x≠，k∈Z}，函数f（x）化简可得：f（x）==2sin（2x+）﹣1∴f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+）﹣1，由2x+，k∈Z得：，∵x∈（0，）上时，令k=0，可得f（x）在区间（0，]上是单调增区间．由2x+，k∈Z．得：，∵x∈（0，）上，令k=0，可得f（x）在区间[，）上是单调减区间．∴f（x）在区间（0，）上时，（0，]是单调增区间，[，）上是单调减区间．14．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，则≤sin（2x+）≤1，即×≤g（x），解得≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在[﹣，]上的值域为：[，1]．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，∴，∴，故当时，函数f（x）的最大值为．当时，函数f（x）的最小值为．16．已知函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f（A）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sinωx•cosωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期为=2π，∴ω=，f（x）=sin（x﹣）．（Ⅱ）在△ABC中，∵sinB，sinA，sinC成等比数列，∴sin2A=sinBsinC，∴a2=bc．∵cosA==≥，∴A∈（0，]，∴A﹣∈（﹣，]，求此时f（A）=sin（A﹣）∈（﹣，]．。
三角函数数列经典习题(含答案)
试卷2（总分：201 考试时间：197分钟）学校___________________ 班级____________ 姓名___________ 得分___________一、选择题 ( 本大题共 12 题, 共计 60 分)1、(5分) 设等比数列的公比，前n项和为，则（）A. 2B. 4C.D.2、(5分) 记等差数列{a n}的前n项和为S n.若S2=4,S4=20,则该数列的公差d等于( )A.2B.3C.6D.73、(5分) 已知等差数列满足，，则它的前10项的和（）A．138 B．135 C．95 D．23 4、(5分) 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1 024C.1225 D.1 3785、(5分) 等差数列{a n}的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项，则数列{a n}的前10项之和是( )A.90B.100 C .145 D.1906、(5分) 已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5＝105,a 2+a 4+a 6＝99,则a 20等于( )A.-1B.1C.3D.77、(5分) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若,则等于( )A.2B.C.D.38、(5分) 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )A.13B.35C.49D.639、(5分) {a n }为等差数列,且a 7－2a 4＝－1,a 3＝0,则公差d 等于( )A.－2 B. C.D.210、(5分) 已知等比数列{a n }满足a n ＞0,n ＝1,2,…,且a 5·a 2n -5＝22n (n≥3)，则当n≥1时，log 2a 1+log 2a 3+…+log 2a 2n-1＝( )A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n 2D.(n-1)211、(5分) 函数=()cosx 的最小正周期为( )A.2πB.C.πD.12、(5分) 函数y ＝2cos 2()-1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数二、填空题 ( 本大题 共 4 题, 共计 20 分)1、(5分) 已知函数f(x)=2x ,等差数列{a n }的公差为2.若f(a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4,则log2[f(a 1)·f(a 2)·f(a 3)·…·f(a 10)]= .2、(5分) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9=72,则a 2+a 4+a 9=___________.3、(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5－5S 3＝5,则a 4＝__________.4、(5分) 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1=1,S 6=4S 3,则a 4=__________.三、解答题 ( 本大题 共 10 题, 共计 121 分)1、(12分) 已知等差数列{a n }的公差d 不为0,设S n ＝a 1+a 2q+…+a n q n －1,T n ＝a 1－a 2q+…+(－1)n －1a n q n－1,q≠0,n∈N *.(1)若q ＝1,a 1＝1,S 3＝15,求数列{a n }的通项公式; (2)若a 1＝d 且S 1,S 2,S 3成等比数列,求q 的值;(3)若q≠±1,证明(1－q)S 2n －(1+q)T 2n ,n∈N *.2、(10分) 已知等差数列{a n}中,a3a7=-16,a4+a6=0,求{a n}的前n项和S n.3、(12分) 已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,,n∈N*.(1)令bn =an+1-an,证明{bn}是等比数列;(2)求{an}的通项公式.4、(12分) 已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2+2n,数列{b n}的前n项和T n＝2-b n.(1)求数列{an }与{bn}的通项公式;(2)设cn ＝an2·bn,证明当且仅当n≥3时,cn+1＜cn.5、(14分) 已知等差数列{a n }的公差为d(d≠0),等比数列{b n }的公比为q(q ＞1).设S n ＝a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ,T n ＝a 1b 1－a 2b 2+…+(－1)n －1a n b n ,n∈N *. (1)若a 1＝b 1＝1,d ＝2,q ＝3,求S 3的值;(2)若b 1＝1,证明,n∈N *;(3)若正整数n 满足2≤n≤q,设k 1,k 2,…,k n 和l 1,l 2,…,l n 是1,2,…,n 的两个不同的排列,,,证明c 1≠c 2.6、(12分) 在△ABC 中, ,.(1)求sinA 的值; (2)设,求△ABC 的面积.7、(12分) 已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0).（1）求向量b+c的长度的最大值；（2）设，且a⊥(b+c)，求cosβ的值.8、(12分) 在△ABC中,sin(C-A)＝1,.(1)求sinA的值;(2)设,求△ABC的面积.9、(13分) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,. (Ⅰ)求sinC的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.10、(12分) 在△ABC中,,AC ＝3,sinC ＝2sinA.(1)求AB 的值;(2)求sin()的值.试卷2（总分：201 考试时间：197分钟）学校___________________ 班级____________ 姓名___________ 得分___________一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1、(5分)C 解法一:由等比数列定义,S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=+a 2+a 2q+a 2q 2,得解法二:S 4=,a 2=a 1q,∴.2、(5分)答案：B 由条件a 1+a 2=4,a 1+a 2+a 3+a 4=20, ∴a 3+a 4=16. ∴a 1+2d+a 2+2d=16. ∴4d=12.∴d=3.3、(5分)C 解析:∵a 2+a 4=4=2a 3,∴a 3=2.又∵a3+a5=10=2a4,∴a4=5.∴公差d=a4-a3=3,a1=-4.∴S10=10×(-4)+×3=95.4、(5分)C解析:正方形数即为n2(n∈N*).又三角形数满足:a1=1,a2=3,an-an-1=n,故可得,经验证可得, 5、(5分)B解析：设等差数列{an }的公差为d(d≠0),由题意可建立方程a22=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),由a 1=1可以解出d=2,∴数列{an}的前10项之和.6、(5分)B解析:设其公差为d,∵a1+a3+a5＝105,∴3a3＝105.∴a3＝35.同理,由a2+a4+a6＝99得a4＝33,∴d＝a4-a3＝-2.a 20＝a4+16d＝33+16×(-2)＝1.7、(5分)B解析:设其公比为q.由已知可得, ∴q3＝2..另解:可知S3,S6－S3,S9－S6成等比数列,则可设S6＝3,S3＝1,则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6),解得S9＝7,故.8、(5分)C解析：.9、(5分)B解析:本题考查等差数列的通项公式,a7－2a4＝a3+4d－2a3－2d＝a3+2d＝－1,所以.10、(5分) C解析:由{an }为等比数列,则a5·a2n-5＝a1·a2n-1＝,则(a1·a3·a5·…·a2n-1)2＝(22n)n a1·a3·…·a2n-1＝,故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1＝log2(a1·a3·…·a2n-1)＝n2.11、(5分)A解析:=()cosx==2sin(),∴T=2π,选A.12、(5分)A解析:y＝2cos2()-1＝cos()＝sin2x.∴f(x)的最小正周期为π,且为奇函数.二、填空题 ( 本大题共 4 题, 共计 20 分)1、(5分)-6 解析：∵f(x)=2x,∴log2［f(a1)f(a2)…f(a10)］=log2=a1+a2+…+a10.∵a2+a4+a6+a8+a10=2,∵{an}为d=2的等差数列,∴a1+a3+a5+a7+a9=-8.∴a1+a2+…+a10=-6.2、(5分)24解析:∵ ,∴a1+a9=16.∵a1+a9=2a5,∴a5=8.3、(5分)解析:设等差数列的首项为a1,公差为d,则由6S5－5S3＝5,6×(5a1+10d)－5(3a1+3d)＝5,得6(a1+3d)＝2,∴a4＝.4、(5分) 3解析:S6=4S3.∴a4=a1·q3=1×3=3.三、解答题 ( 本大题共 10 题, 共计 121 分)1、(12分)本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力和推理论证能力.满分12分.(1)解:由题设知,S3＝a1+(a1+d)q+(a1+2d)q2.将q＝1,a1＝1,S3＝15代入上式,解得d＝4.所以,an＝4n－3,n∈N*.(2)解:当a1＝d时,S1＝d,S2＝d+2dq,S3＝d+2dq+3dq2.因为S1,S2,S3成等比数列,所以S22＝S1S3,即(d+2dq)2＝d(d+2dq+3dq2). 注意到d≠0,整理得q2+2q＝0. 因为q≠0,解得q＝－2.(3)证明:由题设知,S 2n ＝a1+a2q+a3q2+a4q3+…+a2nq2n－1,①T 2n ＝a1－a2q+a3q2－a4q3+…－a2nq2n－1.②①式减去②式,得S 2n －T2n＝2(a2q+a4q3+…+a2nq2n－1).①式加上②式,得S 2n +T2n＝2(a1+a3q2+…+a2n－1q上标2n－2).③③式两边同乘q,得q(S2n +T2n)＝2(a1q+a3q3+…+a2n－1q2n－1).所以,(1－q)S2n －(1+q)T2n＝(S2n－T2n)－q(S2n+T2n)＝2d(q+q3+…+q2n－1),n∈N*.2、(10分)分析：考查等差数列的基本性质及求和公式.解：设{an}的公差为d,则即解得或因此,Sn =-8n+n(n-1)=n(n-9),或Sn=8n-n(n-1)=-n(n-9).3、(12分)分析:第(1)问利用等比数列的定义(q≠0).第(2)问利用迭加法求通项a n =(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1.解:(1)证明:b1=a2-a1=1,当n≥2时,b n =a n+1-a n =,∴{b n }是以1为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知b n =a n+1-a n =()n-1,当n≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+1+()+…+()n-2===,当n=1时,,∴(n∈N *).4、(12分)本小题主要考查等差数列,等比数列,不等式等有关知识,考查数列的通项与其前n 项和之间的关系,考查抽象概括和运算求解能力. 解:(1)a 1＝S 1＝4.对于n≥2,有a n ＝S n -S n-1＝2n(n+1)-2(n-1)n ＝4n.综上,{a n }的通项公式a n ＝4n.将n ＝1代入T n ＝2-b n ,得b 1＝2-b 1,故T 1＝b 1＝1. (求b n 方法一)对于n≥2,由T n-1＝2-b n-1,T n ＝2-b n ,得b n ＝T n -T n-1＝-(b n -b n-1), ,b n ＝21-n .(求b n 方法二)对于n≥2,由T n ＝2-b n 得T n ＝2-(T n -T n-1),2T n ＝2+T n-1, ,T n -2＝21-n (T 1-2)＝-21-n ,T n ＝2-21-n ,b n ＝T n -T n-1＝(2-21-n )-(2-22-n )＝21-n . 综上,{b n }的通项公式b n ＝21-n .(2)方法一:由c n ＝a n 2·b n ＝n 225-n ,得.当且仅当n≥3时，,即c n+1＜c n .方法二:由c n ＝a n 2·b n ＝n 225-n ,得c n+1-c n ＝24-n ［（n+1)2-2n 2］＝24-n ［-(n-1)2+2］. 当且仅当n≥3时，c n+1-c n ＜0,即c n+1＜c n .5、(14分)分析:本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识,考查运算能力、推理论证能力及综合分析和解决问题的能力. (1)解:由题设,可得a n ＝2n －1,b n ＝3n －1,n∈N *. 所以,S 3＝a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3＝1×1+3×3+5×9＝55. (2)证明:由题设,可得b n ＝q n －1,则 S 2n ＝a 1+a 2q+a 3q 2+a 4q 3+…+a 2n q 2n －1,① T 2n ＝a 1－a 2q+a 3q 2－a 4q 3+…－a 2n q 2n －1.②①式减去②式,得S 2n －T 2n ＝2(a 2q+a 4q 3+…+a 2n q 2n －1). ①式加上②式,得S 2n +T 2n ＝2(a 1+a 3q 2+…+a 2n －1q 2n －2).③ ③式两边同乘q,得q(S 2n +T 2n )＝2(a 1q+a 3q 3+…+a 2n －1q 2n －1). 所以,(1－q)S 2n －(1+q)T 2n ＝(S 2n －T 2n )－q(S 2n +T 2n ) ＝2d(q+q 3+…+q 2n －1),n∈N *.(3)证明:＝(k 1－l 1)db 1+(k 2－l 2)db 1q+…+(k n －l n )db 1q n －1. 因为d≠0,b 1≠0,所以.①若k n ≠l n ,取i ＝n.②若k n ＝l n ,取i 满足k i ≠l i ,且k j ＝l j ,i+1≤j≤n. 由①,②及题设知,1＜i≤n,且.(ⅰ)当k i ＜l i 时,得k i －l i ≤－1.由q≥n,得k t －l t ≤q－1,t ＝1,2,…,i－1, 即k 1－l 1≤q－1,(k 2－l 2)q≤(q －1)q,…,(k i －1－l i －1)q i －2≤(q－1)q i －2. 又(k i －l i )q i －1≤－q i －1,所以.因此c1－c2≠0,即c1≠c2.(ⅱ)当ki ＞li时,同理可得≤－1,因此c1≠c2.综上,c1≠c2.6、(12分)本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力.解:(1)由和A+B+C＝π,得,0＜A＜.故cos2A＝sinB,即,.(2)由(1)得.又由正弦定理,得,,所以.7、(12分)分析：本小题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基础知识,考查基本运算能力.(1)解法一:b+c=(cosβ-1,sinβ),则|b+c|2=(cosβ-1)2+sin2β=2(1-cosβ).∵-1≤cosβ≤1,∴0≤|b+c|2≤4,即0≤|b+c|≤2.当cosβ=-1时,有|b+c|=2,∴向量b+c的长度的最大值为2.解法二:∵|b|=1,|c|=1,|b+c|≤|b|+|c|=2.当cosβ=-1时,有b+c=(-2,0),即|b+c|=2,∴向量b+c的长度的最大值为2.(2)解法一:由已知可得b+c=(cosβ-1,sinβ),a·(b+c)=cosαcosβ+sinαsinβ-cosα=cos(α-β)-cosα.∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cos(α-β)=cosα.由,得cos()=,即(k∈Z).∴或β=2kπ,k∈Z.于是cosβ=0或cosβ=1.解法二:若,则a=(,).又由b=(cosβ,sinβ),c=(-1,0),得a·(b+c)=(,)·(cosβ-1,sinβ)=. ∵a⊥(b+c),∴a·(b+c)=0,即cosβ+sinβ=1.∴sinβ=1-cosβ,平方后化简得cosβ(cosβ-1)=0,解得cosβ=0或cosβ=1.经检验,cosβ=0或cosβ=1即为所求.8、(12分)本题主要考查了正弦定理,以及与三角形有关的知识,考查运算求解能力. 解:(1)由sin(C-A)＝1,-π＜C-A＜π,知.又A+B+C＝π,所以,即,0＜A＜.故cos2A＝sinB,即,.(2)由(1)得.又由正弦定理,得,,所以.9、(13分)分析：第(Ⅰ)小问利用A+B+C=π,将C转化为即可,第(Ⅱ)小问利用面积公式易解.解:(Ⅰ)因为角A,B,C为△ABC的内角,且,,所以，.于是)=.(Ⅱ)由（Ⅰ)知,.又因为,所以在△ABC中，由正弦定理得.。
三角函数数列大题
高中数学学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos 2cos 0c B b C ab +-=. (1)求b ；(2)若AD AB ⊥交BC 于点D ，6ACB π∠=，ABCS，求CD 边长.2．如图，某景区拟开辟一个平面示意图为五边形ABCDE 的观光步行道，BE 为电瓶车专用道，120BCD BAE CDE ∠=∠=∠=︒，11km DE =，5km BC CD ==．(1)求BE 的长；(2)若sin ABE ∠=ABCDE 的周长． 3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，ccos b B =+． (1)求A ； (2)若31,cos 5a C ==，求ABC 的面积．4．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2sin a C ． (1)求角A 的大小；(2)若2b =，a =△ABC 的面积．5．已知函数()sin 2cos 22sin cos .36f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； (2)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，求()y g x =在[0，2π]上的单调递减区间.6．已知函数()sin 22f x x x =，R x ∈． (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调区间．7．已知函数()2sin 22sin 6x f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （3）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若322A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7b c +=，ABC ∆的面积为a 的长.8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将简车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为4m ，筒车转轮的中心O 到水面的距离为2m ，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（即P 0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设盛水筒M 从点P 0运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为h （单位：m ）（在水面下则h 为负数）.(1)求点P 距离水面的高度为h 关于时间为t 的函数解析式； (2)求点P 第一次到达最高点需要的时间（单位：s ）.9．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ＝n 2+r ，其中r 为常数． (1)求r 的值； (2)设()112n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn ．11．某公司2021年年初花费25万元引进一种新的设备，设备投入后每年的收益均为21万元.若2021年为第1年，且该公司第()n n *∈N 年需要支付的设备维修和工人工资等费用总和n a （单位：万元）的情况如图所示.（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年该公司开始获利？12．已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n －5an －85，n △N *. (1)证明：{an －1}是等比数列； (2)求数列{an }的通项公式.13．已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+.（1）证明{}1n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()3log 1n nb a =+,n T 为数列1n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求n T ． 14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51430a a S -==. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)若______，求数列{}n b 的前n 项和n T .在△21log n n n b a a +=+，△()()2211log 1log 1n n n b a a +=+⋅+，△n n b n a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．某企业2021年第一季度的营业额为1.1亿，以后每个季度的营业额比上个季度增加0.05亿；该企业第一季度的利润为0.16亿，以后每季度比前一季度增长4％． （1）求2021年起前20季度营业额的总和；（2）请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的18％．16．在△q d =△4q d ⋅=△4q d +=这三个条件中选择一个补充在下面的问题中，并求解.设等差数列{}n a 的公差为d (*d N ∈)，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q .已知11b a =，22b =，___________，10100S =.（1）请写出你的选择，并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 17．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且13C E EC =．(1)证明：1A C ⊥平面BED ；(2)求异面直线BE 与1A C 所成角的大小； (3)求二面角1A DE B --的余弦值．18．已知E ，F 分别是正方形ABCD 边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于P ，GC 垂直于ABCD 所在平面．(1)求证：EF ⊥平面GPC ．(2)若4AB =，2GC =，求点B 到平面EFG 的距离．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且侧棱P A △底面ABCD ，P A ＝2AD ．E ，F ，H 分别是P A ，PD ，AB 的中点，G 为DF 的中点．(1)证明：//GH 平面BEF ；(2)求PC 与平面BEF 所成角的正弦值．20．如图在三棱锥O ABC -中，OA OC ==2AB OB BC ===且OA OC ⊥．(1)求证：平面OAC ⊥平面ABC(2)若E 为OC 中点，求平面ABC 与平面EAB 所成锐二面角的余弦值．21．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，边长为2，侧棱13A A =，M N 、分别为1111A B A D 、的中点，E F 、分别是1111B C C D 、的中点．(1)求证：平面AMN //平面EFDB ； (2)求平面AMN 与平面EFDB 的距离．22．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AA 1＝2，点E 为CC 1中点，点F 为BD 1中点．（1）求异面直线BD 1与CC 1的距离；（2）求直线BD 1与平面BDE 所成角的正弦值； （3）求点F 到平面BDE 的距离．23．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为：1ρ=.在平面直角坐标系中，曲线2C 的参数方程为3cos 33sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数，02θπ≤<）.(1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程； (2)在极坐标系中，射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求AB .24．已知直线 l的参数方程为1,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 4ρρθ+=．(1)求直线 l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线 l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，点M 的直角坐标为(1,0)-，求||||MP MQ +．25．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设点Q 的坐标为()3,0，直线l 与C 交于A ，B ，求QA QB ⋅的值.26．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为240x y +-=．(1)若点M 为曲线1C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值； (2)倾斜角为3π的曲线2C 过点()1,0P -，交曲线1C 于A ，B 两点，求11PA PB +． 27．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4,5315x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 0ρθ-=. (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AB .28．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为241x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为222124sin 3cos ρθθ=+．（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．29．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2213sin 4ρθ+=．(1)求直线l 的一般式方程和曲线C 的标准方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，求PA PB ⋅的值． 30．直线l 过点()2,0A ，倾斜角为4π． (1)以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．过O 作l 的垂线，垂足为B ，求点B 的极坐标()0,02ρθπ≥≤<；(2)直线l 与曲线22:2x t C y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）交于M 、N 两点，求MN ．31．在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α（α为常数）的直线l 过点()2,4M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.(1)写出直线l 的一个参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)当3πα=时，直线l 与曲线C 能否交于两点？若能，记两交点为A ，B ，求出11MA MB+的值；若不能，说明理由. 32．若a ，b ，c △R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值； （2）证明：11192a b c ++≥.33．已知函数()21f x x x =+--. (1)求max ()f x 及当()(0)f x f ≥时的解集；(2)若关于x 的不等式()12f x m ≥-有解，求正数m 的取值范围.34．已知函数()()223f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时，求不等式()6f x ≥的解集 (2)若()6f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．35．已知0m >，函数()2f x x x m =++-的最小值为3，()25g x x m =+． (1)求m 的值；(2)求不等式()()f x g x ≤的解集. 36．已知函数()112f x x x =-+-的值域为M . (1)求M ；(2)证明：当,a b M ∈时，214a b ab -≤-. 37．已知,,a b c 均为正数，且满足 1.abc =证明： （1）3ab bc ca ++；（2）333a b c ab bc ac ++++．38．设a ，b ，c 均为正数，且a b +=1． (1)求12a b+的最小值；(2)≤39．已知函数()||2||(0,0)f x x a x b a b =+-->>. （1）当1a b ==时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()||g x f x x b =+-的最大值为2，求14a b+的最小值.40.如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，PA ⊥PD ,PA=PD,AB ⊥,（I ）求证：PD ⊥平面PAB;（II ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（II I ）在棱PA 上是否存在点M ，使得BMll 平面PCD?若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值； （2）若b=2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1) 由余弦定理：conB=14sin22A B ++cos2B= -14（2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B（II ）解：由2cos ,2==⋅B a 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。
(1)求角B 的大小;(2)求 C A sin sin +的取值范围。
三角函数与数列(高考题)
三角函数与数列（高考题）1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝. (1)证明：sin A sin B＝sin C；(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(a cos B＋b cos A)＝c. (1)求C； (2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．3.在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求∠B的大小； (2)求cos A＋cos C的最大值．4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A. (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值．5.设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值．6.设f(x)＝sin x cos x－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值．7.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求；(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．8.已知向量＝，＝(sinx，cos2x)，x∈R,设函数f(x)＝·.(1) 求f(x)的最小正周期. (2) 求f(x) 在上的最大值和最小值．9.已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量，，．（1）若//，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若⊥，边长c= 2，角C=，求ΔABC的面积．10.已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)令c n＝.求数列{c n}的前n项和T n.11.设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*.(1)求通项公式a n；(2)求数列{|a n－n－2|}的前n项和．12.已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立。
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案
(完整版)高考三角函数经典解答题及答案1. 在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，且 a²+c²-b²=(1) 求 sin²(2A+C)+cos²B 的值；(2) 若 b=2，求△ABC 面积的最大值。
解：(1) 由余弦定理：cosB=(a²+ c²- b²)/(2ac)=4/√115，得sinB=√(1-cos²B)=3√(23)/23。
由正弦定理sin²(2A+C)+cos²B=4sin²B+cos²B=13/23。
2. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且bcosC=3acosB-ccosB。
(I) 求 cosB 的值；(II) 若 BA·BC=2，且b=√2，求 a 和 c·b 的值。
解：(I) 由正弦定理得 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即 sin(B+C)=3sinAcosB，可得 sinA=3sinAcosB/sinB。
又sinA≠0，因此 cosB=1/3。
3. 已知向量 m=(sinB,1-cosB)，向量 n=(2,k)，且 m 与 n 所成角为π/3，其中 A、B、C 是△ABC 的内角。
(1) 求角 B 的大小；(2) 求 sinA+sinC 的取值范围。
解：(1) ∠m与∠n所成角为π/3，且 m·n=2sinB+ k(1-cosB)=2√3/2cosB+k√(1-cos²B)，又 m·n=2cosB+k(1-cosB)，解得 k=4/3。
三角函数部分高考题(带标准答案)
3 22．设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ，b ，c ，且 a cos B b cosAc ．5（Ⅰ）求 tan Acot B 的值；（Ⅱ）求 tan(AB) 的最大值．解读：（Ⅰ）在 △ ABC 中，由正弦定理及 a cosBb cos A3c5可得sin AcosB 33sin( AB)33sin B cos Asin Csin A cosB cos Asin B5 55 5即 sin A cosB 4cos A sin B ，则 tan Acot B 4 ； （Ⅱ）由 tan Acot B 4 得 tan A 4tan B 03 tan(A B) tan A tan B 3tan B 31 tan A tan B 1 4tan2 Bcot B 4tan B ≤4 当且仅当4 tan B cot B,tan B1, tan A 2 时，等号成立，123故当 tan A2,tan B时， tan(A.2 B) 的最大值为5 4423. 在 △ ABC 中， cosB．， cosC5（Ⅰ）求 sin A 的值； 13（Ⅱ）设 △ ABC 的面积△33，求 BC 的长．S ABC2解：（Ⅰ）由 cosB5 12，，得 sin B134133由 cosC．，得 sin C5533所以 sin A sin(B C) sin B cosC cosB sin C5 分． ···········33得 13365（Ⅱ）由 S △ ABCAB AC sin A ，2 2 2由（Ⅰ）知 sin A 33，故 AB AC65 65，···························· 8 分又 ACAB sin B20AB ，sin C 13故20AB 2 65， AB13 ．132AB sin A11． ························10 分所以 BCsin C224. 已知函数 f (x)sin 2 x3 sin x sinx π （0 ）的最小正周期为 π．2（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间2π上的取值范围．0，3解：（Ⅰ） f (x)1cos 2x 3sin 2x3sin 2x1cos2 x122222sin 2 xπ 1 ．62因为函数f ( x)的最小正周期为，且，π所以2ππ，解得1．2（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x)sin2 xπ 1 ．62因为 0≤ x ≤2π，37π所以ππ≤ 2x≤6，66所以1≤ sin2xπ≤ 1，26因此 0≤ sinπ1≤3，即 f ( x) 的取值范围为3 2x220，．6225. 求函数y74sin x cos x4cos 2 x4cos4x 的最大值与最小值。
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
三角函数数列高考题专题训练答案
解：（Ⅰ）由1＋cos 2A ―cos 2B ―cos 2C ＝2sinB ·sinC 得C B A C B sin sin sin sin sin 222=-+ （2分） 由正弦定理得bc a c b =-+222，（4分）∴2221cos 22b c a A bc +-==∵0＜A ＜π ∴3π=A （6分）21解：（Ⅰ）证明：由2231++=+n n n a a a 得 22222321+-=-++=-+n n n n n a a a a a ① 2)1(4122311++=+++=++n n n n n a a a a a②（2分）∴12411211+-⋅=+-++n n n n a a a a 即n n b b 411=+，且4112111=+-=a a b ∴数列{}n b 是首项为41，公比为41的等比数列． （4分） 16．解：（Ⅰ）假设a ∥b ，则2cos (cos sin )sin (cos sin )0x x x x x x +--=，……… 2分∴221cos211cos22cos sin cos sin 0,2sin20222x xx x x x x +-++=⋅++=， 即sin 2cos 23x x +=-，∴2(sin 2)34x π+=-，…………………………………… 4分与|2(sin2)|24x π+≤矛盾，∴假设不成立，故向量a 与向量b 不可能平行．……………………………………… 6分 （Ⅱ）∵a ⋅b (cos sin )(cos sin )sin 2cos x x x x x x =+⋅-+⋅22cos sin 2sin cos x x x x =-+22cos 2sin 22(cos 2sin 2)2(sin 2)224x x x x x π=+=+=+，……… 8分 ∴2sin(2)42x π+=． ]2,0[π∈x ，∴52[,]444x πππ+∈，……………………………………………………10分442ππ=+∴x 或4342ππ=+x ，0=∴x 或4π=x ．………………………………12分16．⑴∵x x x f 2c o s 3)22co s (1)(-+-=π 1分 ＝)32sin(21π-+x3分 又由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-πππ32,632x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-1,21)32sin(πx5分故22121)(min =⨯+=x f ，f (x )max ＝1+2×1＝3 6分⑵m x f -)(＜2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 上恒成立⇔⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππx 时⎩⎨⎧+<->2)(2)(min max x f m x f m9分结合⑴知：⎩⎨⎧=+<=->422123m m 故m 的取值范围是（1，4）12分20．⑴由x x f =)(得ax 2＋(2a －1)x ＝0(a ≠0)∴当且仅当21=a 时，x x f =)(有唯一解x ＝0，∴22)(+=x xx f 当1)(=n x f 得x 1＝2，由211122)(11=-+==++n n n n n n x x x x x f x 得 ∴数列}1{nx 是首项为2111=x ，公差为21的等差数列∴nx nn x n n 22)1(21211==-+=故 7分16.解：（1）BA BA B A B A b a sin cos cos sin sin sin cot tan 2222=∴=由正弦定理得'6,22sin 2sin ,cos sin cos sin 或直角三角形为等腰或即于是∆∆∴=+=∴==πB A B A B A B B A A（2）,,60B A c =∴︒='126120cos 22323432-=︒⨯⨯⨯=⋅+⋅+⋅=⇒==∴∆∆AB CA CA BC BC AB a a S ABC 故是正三角形即19．解：（1）212142212111=---=---=-++n n n n n n n a a a a a b b故数列{b n }是等差数列 ………………………………3分nn a n n n b b n n 22,2212121)1(1+=∴=++=-+=, ……………………7分 16.解：（1）x x x x x x b a x f cos 2sin )sin (cos )sin (cos )(⋅+-⋅+=⋅=分的最小正周期分分分6.)(5)42sin(2)2sin 4cos 2cos 4(sin23)2sin 222cos 22(22sin 2cos 2cos sin 2sin cos 22 ππππ=∴+=+=+=+=+-=T x f x x x x x x x x x x x （2）.45424,20ππππ≤+≤∴≤≤x x …………8分 分有最小值时即当分有最大值时即当12.1)(,2,454210.2)(,8,242 -==+==+∴x f x x x f x x ππππππ18．解:（1）由题意知，*)()41(N n a nn ∈= ，……………2分又143log 2n n b a =-，故 32(*)n b n n N =-∈……………4分 （2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴……………6分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- ……7分∴1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S …9分 两式相减，得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)41()23(211+⨯+-=n n …12分2321()(*)334nn n S n N +∴=-⨯∈……………12分解：（1）由已知条件及余弦定理得 3sin 3tan ,,2cos cos 2cos bc A A bc A A A=∴=∴3sin 2A =. ∵(0,)2A π∈,.3A π=故 ……………………6分（2）)50cos 50sin 31(70sin )]10tan(31)[10sin(︒︒-︒=︒--︒+A A= sin7050cos 50sin 350cos - =2sin7050cos )5030sin(-==－40sin 20cos 20sin 2=－1 21. 解（1）由n+1n n 12a 3a a -=-变形得2a 1+n -2a n = a n -a 1-n (n 2≥)，故2b 1+n =b n 故{}n b 是以a 2-a 1为首项，21为公比的等比数列。
数列与三角函数练习题(有答案)
数列与三角函数练习题一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.在公差不为零的等差数列{a n}中，a1=1，a5是a2，a14的等比中项，则数列{a n}前7项和S7=()A. 13B. 49C. 26D. 27−12.已知函数f(x)=sin2x−cos2x，则()A. f(x)的最小正周期为π2B. 曲线y=f(x)关于(3π8,0)对称C. f(x)的最大值为2D. 曲线y=f(x)关于x=3π8对称3.已知扇形的圆心角为60°，面积为π6，则该扇形的半径为()A. 1B. 2C. 3D. 44.已知sinθ⋅tanθ<0，那么角θ是()A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第三或第四象限角D. 第一或第四象限角5.若△ABC为钝角三角形，则cos A cos B cos C的值()A. 恒为正B. 恒为负C. 等于0D. 不能确定6.已知弧度数为2π3的圆心角所对的弦长为2√3，则这个圆心角所对的弧长是()A. 2π3B. 4π3C. 2√3π3D. 4√3π37.已知α是第二象限的角，那么α2是第几象限的角()A. 第一、二象限角B. 第二、三象限角C. 第一、三象限角D. 第三、四象限角8.已知tanα=2，π<α<3π2，则sinα+cosα=()A. −3√55B. −√55C. −√5D. √55二、填空题（本大题共1小题，共5.0分）9.函数f(x)=2sinx+3cosx的最小值为______．三、解答题（本大题共11小题，共132.0分）10.正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S2+4S4=S6．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n+n}的前n项和T n．11.在等差数列{a n}中，a1+a6=9，a2+a7=11．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)已知数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{b n}的前n和S n．12.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n(n∈N∗)，b n=a n+12．(1)求证：数列{b n}为等比数列；(2)若c n=2n⋅b n，求数列{b n}的前n项和T n．13.已知{a n}是递增的等差数列，a3=5，a1，a4−a2，a8+a1成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n=3a n a n+1，求数列{b n}的前n项和S n，并证明S n<32．14.已知函数f(x)=cos(2x+π3)．(1)求函数y=f(x)的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间[−π12,π2]上的最大值和最小值．15.已知函数f(x)=cos2x−sin2x−2√3sinxcosx(x∈R)．(1)求f(π6)的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递减区间．16.设函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ为常数，且A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的表达式；(2)当aϵ[−π12,5π12]时，求f(a)的取值范围．17.已知函数f(x)=cos(2x−π3)−2√3sinxcosx(1)求函数f(x)的对称轴方程及最大值；(2)将函数f(x)的图像向右平移π4个单位，得到y=g(x)的图像，求g(x)的单调递增区间。
三角函数10道大题(带答案解析)
三角函数10道大题(带答案解析)1. 题目：已知sinA = 3/5，且A为锐角，求cosA的值。
答案解析：由sinA = 3/5可知，对边与斜边的比值为3/5。
根据勾股定理，我们可以求出邻边的长度，进而求出cosA的值。
设斜边长度为5，对边长度为3，则邻边长度为4。
因此，cosA = 4/5。
2. 题目：已知tanB = 2/3，且B为钝角，求sinB的值。
答案解析：由tanB = 2/3可知，对边与邻边的比值为2/3。
由于B为钝角，我们可以利用tanB = sinB/cosB的关系，结合勾股定理，求出sinB的值。
设邻边长度为3，对边长度为2（因为B为钝角，对边为负值），则斜边长度为根号13。
因此，sinB = 2/根号13。
3. 题目：已知cosC = 1/2，且C为锐角，求tanC的值。
答案解析：由cosC = 1/2可知，邻边与斜边的比值为1/2。
根据勾股定理，我们可以求出对边的长度，进而求出tanC的值。
设斜边长度为2，邻边长度为1，则对边长度为根号3。
因此，tanC = 根号3/1。
4. 题目：已知sinD = 1/2，且D为钝角，求cosD的值。
答案解析：由sinD = 1/2可知，对边与斜边的比值为1/2。
由于D为钝角，我们可以利用sinD = cos(90° D)的关系，结合勾股定理，求出cosD的值。
设斜边长度为2，对边长度为1（因为D为钝角，对边为负值），则邻边长度为根号3。
因此，cosD = 根号3/2。
5. 题目：已知tanE = 1，且E为锐角，求sinE的值。
答案解析：由tanE = 1可知，对边与邻边的比值为1。
根据勾股定理，我们可以求出斜边的长度，进而求出sinE的值。
设邻边长度为1，对边长度为1，则斜边长度为根号2。
因此，sinE = 1/根号2。
6. 题目：已知cosF = 1/2，且F为钝角，求tanF的值。
答案解析：由cosF = 1/2可知，邻边与斜边的比值为1/2。
高考三角函数及数列大题
三角函数典型例题1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小;(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.3 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22sin 2sin =++C B A . I.试判断△ABC 的形状;II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.5 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652=+-x x 的两个根. (Ⅰ)求)tan(B A +的值;(Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.6 ．在ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量()2s i n ,3m B =- ,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ｡ (I)求锐角B 的大小;(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡11．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23a ,)4cos ,4(sin x x b ππ=,b a x f ⋅=)(｡ (1)求)(x f 的单调递减区间｡(2)若函数)(x g y =与)(x f y =关于直线1=x 对称,求当]34,0[∈x 时,)(x g y =的最大值｡25．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(222bc A a c b =-+(I)求角A;(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡高考数学数列大题1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥（1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。
三角函数、数列、导数试题及详解
三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a，则实数y 的值为A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为A B C D ．14-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为A ．12πB ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x 3，x 4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为A ．12B ．12-CD9．设函数f （x ） =e x （sinx —cosx ），若0≤x ≤2012π，则函数f （x ）的各极大值之和为A ．1006(1)1e e e πππ--B ．20122(1)1e e eπππ-- C ．10062(1)1e e e πππ-- D ．2012(1)1e e eπππ-- 10．设函数011()(),21xf x x A x =++为坐标原点，A 为函数()y f x =图象上横坐标为*()n n N ∈ 的点，向量11,(1,0),n n k k n n k a A A i a i θ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan 3nkk θ=<∑的最大整数n 是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．设1(sin cos )sin 2,()3f f ααα+=则的值为 ．12．已知曲线1*()()n f x x n N +=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为201212012220122011,log log log n x x x x +++ 则的值为____．13．已知22sin sin ,cos cos ,33x y x y -=--=且x ，y 为锐角，则tan （x -y ）= ． 14．如图放置的正方形ABCD ，AB =1．A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称 这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n 可 得到“n 边形数列”，记它的第r 项为P （n ，r ），则（1）使得P （3，r ）>36的最 小r 的取值是 ；（2）试推导P （n ，r ）关于，n 、r 的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1cos 1)OA a x a OB x x ==-+ ，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-= 表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力． 【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。
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1．(2016·山东，17)(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．2．(2016·全国Ⅲ，，17)(本小题满分12分)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．3．(2016·全国Ⅲ，17)(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0.(1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.4．(2016·全国卷Ⅱ文，17)(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.5．(2016·全国Ⅱ理，17)(本题满分12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．6．(2016·全国Ⅰ，17)(本小题满分12分)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和．7．(2016·全国Ⅰ理，17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．8．(2016·北京，15)(本小题13分)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．9．(2016·北京，16)(本小题13分)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间．10．(2016·北京，15)(本小题满分13分)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．11.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=. （1）求2sin 2sin 2cos A A A +的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.12.（本题满分15分）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ; （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .13在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=4π，22b a -=122c .（1）求t a nC 的值；（2）若ABC 的面积为7，求b 的值。
14ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.（Ⅰ）求sinsinBC∠∠；（Ⅱ）若∠BAC=60°,求∠B.（15）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求C B∠∠sin sin ;(Ⅱ) 若AD =1，DC =22求BD 和AC 的长.16 （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边， 2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且a = 求ABC ∆的面积.17(本小题满分12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，错误！未找到引用源。
(Ⅰ)求{a n }的通项公式：(Ⅱ)设错误！未找到引用源。
，求数列错误！未找到引用源。
}的前n 项和1.解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)．得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象． 再把得到的图象向左平移π3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1.所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 2.解 (1)由题意得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1. 3.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1. 因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.4解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎡⎦⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1； 当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3； 当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4. 所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.5.解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.6.解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2. 所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列． 记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 7.解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C,2cos C sin(A ＋B )＝sinC ，故2sin C cos C ＝sin C ．可得cos C ＝12，所以C ＝π3. (2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.8.解 (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1，q ＝3. ∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1， 又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27， ∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1,2,3，…)．(2)设数列{c n }的前n 项和为S n .∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×(1－3n )1－3＝2×(n ＋1)n 2－n ＋3n －12＝n 2＋3n －12. 即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n －12. 9.解 (1)f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2⎝⎛⎭⎫22sin 2ωx ＋22cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4， 由ω＞0，f (x )最小正周期为π得2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z ， 即f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．10.(1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0＜B ＜π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4， 所以C ＝3π4－A,0＜A ＜3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A ＋cos 3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为0＜A ＜3π4，所以π4＜A ＋π4＜π，故当A ＋π4＝π2， 即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 111）利用两角和与差的正切公式，得到tan 13A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦原理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积试题解析：（1）由tan 12,tan ,43A A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭得 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++(2) 由tan 13A =可得，sin 1010A A ==. 3,,4a B π==由正弦定理知：又()sin sin sin cos ,5C A B A B =+==所以S∆ABC =11sin 22ab C =×3×=9 12. 【答案】(1)2;n n n a b n ==；(2)1*(1)22()n n T n n N +=-+∈（1）由112,2,n n a a a +==得2.n n a =当n =1时，121,b b =-故22b =当n 2≥时，11,n n n b b b n+=-整理得11,n n b n b n ++=所以n b n = （2）由（1）知，2n n n a b n =所以23n 222322n T n =+++⋅⋅⋅+()4231n 222222122n n T n n +=+++⋅⋅⋅+-+所以()1122n n T n +=-+13.（本题满分14分）【答案】（1）2；（2）3b =.14解：（Ⅰ）由正弦定理得,.sin sin sin sin AD BD AD DC B BAD C CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分,2,BAC DB DC ∠=所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠ （Ⅱ）因为()00180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()1sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（Ⅰ）知2sin sin ,B C ∠=∠ 所以tan 3B ∠=即030B ∠=。