课堂用非线性动力学讲义第三部分
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王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
5
一的特征的尺度。即使在任意小的尺度下，总有更复杂的细节。 （3）形体的各种尺度往往具有相似性，可以是精确意义的相似度，也可以是近 似的或统计意义下的。 传统意义下的数学观念，比如维数、尺度、度量等不再适用于分形体，必须使 用分形几何的工具来解释和研究。 1975 年 Mandelbrot 创造了 fractal 一词，fractal ← fractus 原意是“破碎的” 。在近 20 年的时间里迅速得到应用。
http://club.kdnet.net/dispbbs.asp?page=1&boardid=33&id=3262826
自然界中存在着大量复杂的几何形体（海岸线）等，它们具有以下特点： （1）形体是不规则的，其内外边界是不光滑的，但往往是“有规律的”粗糙。 （2）形体具有精细的结构，具有多重的甚至是无限重的尺度。形体没有一个统
Ultral-Fractal5.0 程序演示
wenku.baidu.com
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
8
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
9
b
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
10
6.3 Julia 集
Z Z2 + c ，
Z ∈ C= , c constant ∈ C , p, q ∈ R ，Z 为坐标值。
Df
=K
log K 即 D f = log L
有趣的是，分形体的 Hausdorff 维数不是整数。现举例说明。 （1）Cantor 集 此时，将线段长度放大到原来的 3 倍:
2 log 2 ⋅ 3 = 2 = = 0.6309 。显然 0 < D f < 1 D f 新的长度为 3 ，故 log 3
（2）Koch 雪花
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
14
放大倍数 L = 3, K =
4 log 4 × 3 = 4 ,∴ D f = = 1.2618 ， 1 < D f < 2 。 log 3 3
（3）Sierpinski 三角形 边长放大倍数 L = 2 ，面积放大倍数
log 3 3 = = 1.5849 ， 1 < D f < 2 。 D ) K = 3(4 × , f log 2 4
Newton 分形
Z n +1 = Z n − f ( Z n ) f ′( Z n ), n = 0,1,2,...
http://www.xgdfz.com/fractal/Julia%20%E9%9B%86.htm
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
11
6.4 规则分形的维数
前述的几种分形具有传统的几何学不能解释的独特特征，包括下面要讨论的维 数。在 Euclid 空间中，对维数的定义是这样的： 取一个长度为 l 的线段,把它放大两倍， 则放大后的长度为 2l ， 图形变化的倍数为 2，满足关系:
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
7
Mandelbrot 集合中的元素。 换句话说，Mandelbrot 集是所有使 Z Z
2
+ c ( p, q ) 不发散的像素点的集合。
作出 M 集的图像并非易事。我们采用的是所谓逃逸时间法作图。对每个 ( p, q ) 点， 给定一个选代数上限 N，例如 N=255。如果 n=N 且 Z n
有时候，为反映分形体在空间分布上的不均匀性，人们又提出了所谓的信息维 数的概念。其方法是先统计出分形体的某一部分落入第 i 个盒子的概率：
N N i (r ) Pi (r ) = Pi (r ) = 1 ∑ ， N (r ) i =1
来反映第 i 个盒子的填空程度。根据信息熵的定义
I (r ) = ∑ Pi log Pi (r )
log 4 1 = 1.2618 N = 4, β = , ∴ Ds = log 3 3
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
17
（3）Sierpinski 三角形
N = 3, β =
log 3 1 = 1.5849 , Ds = log 2 2
6.4 不规则分形的维数
对自然界中广泛存在的不规则的 （近似的或统计 意义上） 分形， 一般无法确知局部与整体的相似程度。
2
再取边长为 l 的立方体，把边长放大 2 倍，则放大后图形的体积为原来的 8 倍，
于是有: L3 = K ，其中当 L = 2 时， K = 8 。 由此看来，传统的 Euclid 空间的维数可以定义为：满足
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
13
L
Df称为Hausdorff维数。
依次放大其中的 x, y ∈ [0.55,0.7]× [0.15,0.21] ， [0.625,0.64]× [0.185,0.19] ，可以看出吸引 子的精细结构。
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24
0.21
0.190
0.20
0.189
0.19
0.188
0.18
0.187
0.17
i =1 N
定义
Di = lim
I (r ) r →0 1 log r
在一般情况下， Di ≤ DC 这也是分形的特点之一。
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
22
此外，还有关联维数，被定义为
d c = lim
a →0
ln ∑ Pi 2
i =1
N0
ln a
其中 a 为给定的距离， Pi 是相点落在第 i 个小盒子的概率。
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
23
6.5 动力学中的分形现象
例1 Henon 映射中的吸引子
2 x n +1 = 1 + y n − 1.4 x n y n +1 = 0.3 y n
其相点在 R 中形成了一个吸引子，具有无标度性和自相似性，这样的吸引子具
2
有分形特征，被称为奇怪吸引子（strange attractor）
< K , K 为某个阈值，则在该像
≥ K ，则在 ( p, q ) 描色 n 。
素点上着色，这给出了一个 M 集元素。否则若有 n = N 且 Z n 如此偏历整个荧屏，便画出了一幅 Mandelbrot 集。 Mandelbrot 的 Fortran 程序演示。
Z 0 = 0, (C ( p, q ) = ( p0 + p ⋅ ∆p ) + i (q0 − q ⋅ ∆q ))
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
6
6.2
Mandelbrot 集——二维世界中的分形几何体 1980 年 Mandelbrot 给出了 Mandelbrot 集。 其产生过程如下：
Z Z 2 + c ( p, q )
其中 Z , c ∈ C , p, q ∈ R 为屏幕的像素编号，令 Z 0 = 0 为给定的初值，由 此导出迭代格式 Z n= +1
正方体
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
16
log 8 1 = D = 3 则 N = 8, β = 2 , 于是 s log 2
现在来看分形体。 （1）Cantor 集
1 log 2 = 0.6309 N = 2, β = , 于是∴ Ds = log 3 3
（2）Koch 雪花
0.16
0.186
0.15 0.55
0.60
0.65
0.70
0.185 0.625
0.630
0.635
0.640
其分形维数为 Dc = 1.2 左右。
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2 Zn + c ( p, q )
q p c(p,q)=p+i*q
一般地说，这个格式给出以下的结果： （1） Z n
→ ∞ 当 n → ∞ （不稳定）
（2） Z n → 0 当 n → ∞ （渐近稳定） （3） Z n 有界，但 Z n
≠ 0 （稳定）
对屏幕上的所有像素点 ( p, q ) ，若它们的迭代结果不发散，则称这一点对应一个
L1 = K ,其中 L = 2 是线段长度的放大倍数， K = 2 是图形变化的倍数。
取一个长度（边长）为 l 的正方形，把边长放大 2 倍，则放大后正方形的面积为
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
12
原来的 4 倍，
于是有： L = K ，其中当 L = 2 时， K = 4 。
第六章
6.1 分形初步
例1 Weierstrass 曲线
∞
分形
大自然和科学现象的新几何描述
w( x) = ∑ a k cos(2π b k x)
k =0
处处连续而不可微 这对传统的基于光滑数学的空间描述方法提出了挑战。
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
1
例2
Koch 曲线
n=0
n =1
N (r ) ∝ 1 r。
2
counting） ，用这种
若是用边长为 r
1 的方块去覆盖一个平面，那么测到的方块数目满足 N (r ) ∝ r
3
。若
1 是用半径为 r 的小球去填充立体，那么 N (r ) ∝ r
。以上分别为 Euclid 空间的一维、二
维和三维的情形。 对于分形体， N (r ) 与容量维数的关系是
n=2
初始图 —— 第一步 第二步 第三步 第四步 当 n → ∞ ，Koch
长度 1 长度 3
4 长度 3
4 长度 3
2
4
3
n=3
n=4
4 长度 3
4
4 lim =∞ 曲线处处连续而又处处不可微。其长度 n→∞ 3
n
将 n 理解为观察的尺度，显然，
log N (r ) = 7.507 − 1.267 log r ，显然 Dc = 1.267 。据称，英国和挪威的海岸线的 Dc 分别为 1.3
和 1.52。 分维的大小反映了分形所占空间的程度，维数越大，空间被它占有的部分就越
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
21
大，结构越致密。
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
18
我们可以采用一个小方块（或圆片覆盖或填充）被测对象，通过统计覆盖所需 的小方块数来计算其维数，这种方法被称为盒子计数法（box 方法计算出的维数称为容量维数，用 Dc 表示。 设想用一根长度为 r 的尺子去测量线段，测到的数目与 r 成反比，即
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2
例3
Sierpinski 三角形 面积 面积 面积 ……
3 3 ⋅ = 0 面积 lim n →0 4 4
n
初始图 第一步 第二步 第三步 第n步
3 4
3 3 ⋅ 4 4
内边长
0
3 内边长 2
2
3 3 ⋅ 4 4
内边长 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4
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19
1 N (r ) ∝ r
或者 于是有
Dc
1 lim N (r ) = r →0 r
Dc
log N (r ) Dc = lim r →0 1 log r
在实际测量中，选取几种不同的长度测量，将结果画成 log N ~ log r 双对数图，通 过观察斜率就得到 Dc 的值。
3
3
3 →∞ 内边长 3 ⋅ 2
n
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
3
例4
Cantor 集 ———— — — —
初始图 第一步 第二步 第三步
……
点的个数 → ∞ ，长度 → 0
例5
挪威的海岸线
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
4
例 6 世界的真实面目：奇妙之旅--微观到宏观，从宏观到微观 http://hi.baidu.com/_ctrip/blog/item/1123193bcde742ea14cecb6f.html 视频： “十的力量”
1 1 例如，对于 Henon 映射的相平面，分别用 2 和 4 的 2 种方块去覆盖它，分别用
3.89，继续加密方块， 可以得到 Dc = 1.26 。 去了 95 块和 220 块，得到 Dc 分别为 6.57，
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
20
再如中国的海岸线的分形维数。用不同的比例尺进行测量，得
下面介绍相似维。所谓的相似维的定义为
王跃方 《非线性动力学》大连理工大学 2010 年
15
Ds =
log N 1 log
β
其中 N 为组成某几何体的彼此相似的局部图形的数目， β 为各局部与整体的相似比。 例如：规则的正方形
log 4 1 = D 则 N = 4, β = 2 , 于是 s log 2 = 2
5
一的特征的尺度。即使在任意小的尺度下，总有更复杂的细节。 （3）形体的各种尺度往往具有相似性，可以是精确意义的相似度，也可以是近 似的或统计意义下的。 传统意义下的数学观念，比如维数、尺度、度量等不再适用于分形体，必须使 用分形几何的工具来解释和研究。 1975 年 Mandelbrot 创造了 fractal 一词，fractal ← fractus 原意是“破碎的” 。在近 20 年的时间里迅速得到应用。
http://club.kdnet.net/dispbbs.asp?page=1&boardid=33&id=3262826
自然界中存在着大量复杂的几何形体（海岸线）等，它们具有以下特点： （1）形体是不规则的，其内外边界是不光滑的，但往往是“有规律的”粗糙。 （2）形体具有精细的结构，具有多重的甚至是无限重的尺度。形体没有一个统
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b
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6.3 Julia 集
Z Z2 + c ，
Z ∈ C= , c constant ∈ C , p, q ∈ R ，Z 为坐标值。
Df
=K
log K 即 D f = log L
有趣的是，分形体的 Hausdorff 维数不是整数。现举例说明。 （1）Cantor 集 此时，将线段长度放大到原来的 3 倍:
2 log 2 ⋅ 3 = 2 = = 0.6309 。显然 0 < D f < 1 D f 新的长度为 3 ，故 log 3
（2）Koch 雪花
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14
放大倍数 L = 3, K =
4 log 4 × 3 = 4 ,∴ D f = = 1.2618 ， 1 < D f < 2 。 log 3 3
（3）Sierpinski 三角形 边长放大倍数 L = 2 ，面积放大倍数
log 3 3 = = 1.5849 ， 1 < D f < 2 。 D ) K = 3(4 × , f log 2 4
Newton 分形
Z n +1 = Z n − f ( Z n ) f ′( Z n ), n = 0,1,2,...
http://www.xgdfz.com/fractal/Julia%20%E9%9B%86.htm
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11
6.4 规则分形的维数
前述的几种分形具有传统的几何学不能解释的独特特征，包括下面要讨论的维 数。在 Euclid 空间中，对维数的定义是这样的： 取一个长度为 l 的线段,把它放大两倍， 则放大后的长度为 2l ， 图形变化的倍数为 2，满足关系:
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Mandelbrot 集合中的元素。 换句话说，Mandelbrot 集是所有使 Z Z
2
+ c ( p, q ) 不发散的像素点的集合。
作出 M 集的图像并非易事。我们采用的是所谓逃逸时间法作图。对每个 ( p, q ) 点， 给定一个选代数上限 N，例如 N=255。如果 n=N 且 Z n
有时候，为反映分形体在空间分布上的不均匀性，人们又提出了所谓的信息维 数的概念。其方法是先统计出分形体的某一部分落入第 i 个盒子的概率：
N N i (r ) Pi (r ) = Pi (r ) = 1 ∑ ， N (r ) i =1
来反映第 i 个盒子的填空程度。根据信息熵的定义
I (r ) = ∑ Pi log Pi (r )
log 4 1 = 1.2618 N = 4, β = , ∴ Ds = log 3 3
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（3）Sierpinski 三角形
N = 3, β =
log 3 1 = 1.5849 , Ds = log 2 2
6.4 不规则分形的维数
对自然界中广泛存在的不规则的 （近似的或统计 意义上） 分形， 一般无法确知局部与整体的相似程度。
2
再取边长为 l 的立方体，把边长放大 2 倍，则放大后图形的体积为原来的 8 倍，
于是有: L3 = K ，其中当 L = 2 时， K = 8 。 由此看来，传统的 Euclid 空间的维数可以定义为：满足
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L
Df称为Hausdorff维数。
依次放大其中的 x, y ∈ [0.55,0.7]× [0.15,0.21] ， [0.625,0.64]× [0.185,0.19] ，可以看出吸引 子的精细结构。
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0.21
0.190
0.20
0.189
0.19
0.188
0.18
0.187
0.17
i =1 N
定义
Di = lim
I (r ) r →0 1 log r
在一般情况下， Di ≤ DC 这也是分形的特点之一。
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22
此外，还有关联维数，被定义为
d c = lim
a →0
ln ∑ Pi 2
i =1
N0
ln a
其中 a 为给定的距离， Pi 是相点落在第 i 个小盒子的概率。
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6.5 动力学中的分形现象
例1 Henon 映射中的吸引子
2 x n +1 = 1 + y n − 1.4 x n y n +1 = 0.3 y n
其相点在 R 中形成了一个吸引子，具有无标度性和自相似性，这样的吸引子具
2
有分形特征，被称为奇怪吸引子（strange attractor）
< K , K 为某个阈值，则在该像
≥ K ，则在 ( p, q ) 描色 n 。
素点上着色，这给出了一个 M 集元素。否则若有 n = N 且 Z n 如此偏历整个荧屏，便画出了一幅 Mandelbrot 集。 Mandelbrot 的 Fortran 程序演示。
Z 0 = 0, (C ( p, q ) = ( p0 + p ⋅ ∆p ) + i (q0 − q ⋅ ∆q ))
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6.2
Mandelbrot 集——二维世界中的分形几何体 1980 年 Mandelbrot 给出了 Mandelbrot 集。 其产生过程如下：
Z Z 2 + c ( p, q )
其中 Z , c ∈ C , p, q ∈ R 为屏幕的像素编号，令 Z 0 = 0 为给定的初值，由 此导出迭代格式 Z n= +1
正方体
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log 8 1 = D = 3 则 N = 8, β = 2 , 于是 s log 2
现在来看分形体。 （1）Cantor 集
1 log 2 = 0.6309 N = 2, β = , 于是∴ Ds = log 3 3
（2）Koch 雪花
0.16
0.186
0.15 0.55
0.60
0.65
0.70
0.185 0.625
0.630
0.635
0.640
其分形维数为 Dc = 1.2 左右。
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2 Zn + c ( p, q )
q p c(p,q)=p+i*q
一般地说，这个格式给出以下的结果： （1） Z n
→ ∞ 当 n → ∞ （不稳定）
（2） Z n → 0 当 n → ∞ （渐近稳定） （3） Z n 有界，但 Z n
≠ 0 （稳定）
对屏幕上的所有像素点 ( p, q ) ，若它们的迭代结果不发散，则称这一点对应一个
L1 = K ,其中 L = 2 是线段长度的放大倍数， K = 2 是图形变化的倍数。
取一个长度（边长）为 l 的正方形，把边长放大 2 倍，则放大后正方形的面积为
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原来的 4 倍，
于是有： L = K ，其中当 L = 2 时， K = 4 。
第六章
6.1 分形初步
例1 Weierstrass 曲线
∞
分形
大自然和科学现象的新几何描述
w( x) = ∑ a k cos(2π b k x)
k =0
处处连续而不可微 这对传统的基于光滑数学的空间描述方法提出了挑战。
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1
例2
Koch 曲线
n=0
n =1
N (r ) ∝ 1 r。
2
counting） ，用这种
若是用边长为 r
1 的方块去覆盖一个平面，那么测到的方块数目满足 N (r ) ∝ r
3
。若
1 是用半径为 r 的小球去填充立体，那么 N (r ) ∝ r
。以上分别为 Euclid 空间的一维、二
维和三维的情形。 对于分形体， N (r ) 与容量维数的关系是
n=2
初始图 —— 第一步 第二步 第三步 第四步 当 n → ∞ ，Koch
长度 1 长度 3
4 长度 3
4 长度 3
2
4
3
n=3
n=4
4 长度 3
4
4 lim =∞ 曲线处处连续而又处处不可微。其长度 n→∞ 3
n
将 n 理解为观察的尺度，显然，
log N (r ) = 7.507 − 1.267 log r ，显然 Dc = 1.267 。据称，英国和挪威的海岸线的 Dc 分别为 1.3
和 1.52。 分维的大小反映了分形所占空间的程度，维数越大，空间被它占有的部分就越
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21
大，结构越致密。
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18
我们可以采用一个小方块（或圆片覆盖或填充）被测对象，通过统计覆盖所需 的小方块数来计算其维数，这种方法被称为盒子计数法（box 方法计算出的维数称为容量维数，用 Dc 表示。 设想用一根长度为 r 的尺子去测量线段，测到的数目与 r 成反比，即
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2
例3
Sierpinski 三角形 面积 面积 面积 ……
3 3 ⋅ = 0 面积 lim n →0 4 4
n
初始图 第一步 第二步 第三步 第n步
3 4
3 3 ⋅ 4 4
内边长
0
3 内边长 2
2
3 3 ⋅ 4 4
内边长 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4
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1 N (r ) ∝ r
或者 于是有
Dc
1 lim N (r ) = r →0 r
Dc
log N (r ) Dc = lim r →0 1 log r
在实际测量中，选取几种不同的长度测量，将结果画成 log N ~ log r 双对数图，通 过观察斜率就得到 Dc 的值。
3
3
3 →∞ 内边长 3 ⋅ 2
n
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3
例4
Cantor 集 ———— — — —
初始图 第一步 第二步 第三步
……
点的个数 → ∞ ，长度 → 0
例5
挪威的海岸线
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例 6 世界的真实面目：奇妙之旅--微观到宏观，从宏观到微观 http://hi.baidu.com/_ctrip/blog/item/1123193bcde742ea14cecb6f.html 视频： “十的力量”
1 1 例如，对于 Henon 映射的相平面，分别用 2 和 4 的 2 种方块去覆盖它，分别用
3.89，继续加密方块， 可以得到 Dc = 1.26 。 去了 95 块和 220 块，得到 Dc 分别为 6.57，
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20
再如中国的海岸线的分形维数。用不同的比例尺进行测量，得
下面介绍相似维。所谓的相似维的定义为
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15
Ds =
log N 1 log
β
其中 N 为组成某几何体的彼此相似的局部图形的数目， β 为各局部与整体的相似比。 例如：规则的正方形
log 4 1 = D 则 N = 4, β = 2 , 于是 s log 2 = 2