正余弦定理高考真题

高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形

正弦定理、余弦定理高考真题

1、（06湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23

A =，则sin cos A A += A.

153 B ．153- C ．53 D ．53

- 解：由2A ＝20，可知A 这锐角，所以＋

0，

又25(sin cos )1sin 23

A A A +=+=，故选A

2、（06安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则

A ．111A

B

C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形

C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形

D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形

解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222

A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2

sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧

==-⎪⎪

⎪

==-⎨⎪

⎪

==-⎪⎩

，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，

2222

A B C π

++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。故选D 。

3、（06辽宁卷）ABC V 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量

(,)p a c b =+u r ,(,)q b a c a =--r

,若//p q u r r ,则角C 的大小为

(A)6π

(B)3π (C)

2

π

(D) 23π

【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab

⇒+-=-⇒+-=u r r

，利用余弦定理可得

2cos 1C =，即1cos 23

C C π

=

⇒=，故选择答案B 。 【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。

4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ） 3

3 15

15 解：依题意，结合图形可得15tan 2A =，故22

1522tan

15152tan 7151tan 1()

2A

A A ⨯

=

==--，选D

5、（06全国卷I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =

A ．1

4

B ．34

C ．

24 D ．23

解：ABC ∆中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则2，

222cos 2a c b B ac +-==2222

423

44

a a a a +-=，选B. 6、06山东卷）在△中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、

b 、

3

π

31，则

(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3

解：由正弦定理得＝12

，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30︒，所以C ＝90︒，故c ＝2，选B

7、（06四川卷）设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则

()2a b b c =+是2A B =的

（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 解析：设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()2

a b b c =+，

则2sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22

a B

B C --=+， ∴

1

(cos 2cos 2)sin sin 2

B A B

C -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =，

若△中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2a b b c =+， 所以()2a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.

8、（06北京卷）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是. 解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，

由余弦定理可解得B ∠的大小为3

π

.

9、（06湖北卷）在∆中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，

.

解：由正弦定理易得结论＝。

10、（06江苏卷）在△中，已知＝12，A ＝60°，B ＝45°，则＝ 【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识

【正确解答】由正弦定理得，

sin 45sin 60

AC BC

=o o

解得AC = 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理

11、（06全国）已知△的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且＝1，＝4，则边上的中线的长为 ．

解析: 由ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得2B 而π可得3

B π

∠=

为边上的中线可知2,

由余弦定理定理可得AD =

本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。 12、（06上海春）在△ABC 中，已知5,

8==AC BC ，三角形面积为12，

则=C 2cos .

解：由三角形面积公式，得

1sin 20sin 122

BC CA C C ⋅⋅==，即3sin 5C =．

于是2

7cos 212sin 25

C C =-=

从而应填7

25．

13、（06湖南卷）如图3是直角△斜边上一点,记∠α,∠β. （1）证明 sin cos 20αβ+=; （2

,求β的值.

解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 22

2

2

π

π

π

απββαββ=--=-∴=-=-Q ，

即sin cos 20αβ+=．

（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得

B D

C

α

β

A

图