浅析几种系综熵的统一表述

目录摘要 (1)Abstrast (1)1 绪论 (1)2 熵的定义式和熵的可加性 (2)3 各系综体系的熵 (3)3.1 微正则系综的熵 (3)3.2 正则系综的熵 (3)3.3 巨正则系综的熵 (5)3.4 等温等压系综的熵 (6)4 简述信息熵的应用 (8)5 结束语 (8)参考文献 (9)浅析几种系综熵的统一表述摘要：熵是热力学和统计物理中特有的宏观量，它蕴涵着丰富的物理含义，广泛地应用于物质结构、凝聚态物理、低温物理、化学动力学、生命科学和宇宙学以及诸如经济、社会和信息技术等领域。

本文根据微正则系统、正则系统、巨正则系统、等温等压系综的概率分布函数推导出各个系综的熵，并且推导出这几种系综的熵可用熵的定义式表示。

关键词：系综；熵；概率分布函数Analysis of Several Ensemble Entropy Unified DescriptionAbstrast：Entropy is the thermodynamics and statistical physics in the unique macro, it contains a wealth of physical meaning, is widely used in the structure of matter, condensed matter physics, low-temperature physics, chemical kinetics, life science and cosmology, such as economy, society and the information technology field.Based on microcanonical system, regular system, grand canonical system, the isothermal-isobaric ensemble probability distribution function is derived for each ensemble entropy, and deduces the several ensembles of entropy entropy can be used to define type representation.Key words：ensemble；entropy；probability distribution function1 绪论熵是一个极其重要的物理量，克劳修斯于1865年首先引入它，用来定量阐明热力学第二定律。

后来，玻耳兹曼于1872年推导了玻耳兹曼方程式和H定理；于1877年推出了玻耳兹曼关系式，赋予了熵的统计解释，大大丰富了它的物理内涵并明确了它的应用范围。

到1929年，西拉德又发现了熵与信息的关系，揭示了熵的新含义，进一步扩大了熵的应用面。

目前，不仅在自然科学与工程技术的许多领域，甚至在社会科学和人文科学中，熵也有广泛的应用。

本文就由微正则系综、正则系综、巨正则系综和等温等压系综的概率分布函数分别推导出各个系综的熵，并都可用∑-=S SkSρ㏑Sρ来表示。

2熵的定义式和熵的可加性在大多数热学[1]文献中都用熵的玻耳兹曼公式kS=㏑Ω解释其物理意义：孤立系统由非平衡态向平衡态过渡是由熵较小的宏观态向熵较大的宏观态过渡，即由微观态数少的宏观分布向包含微观状态最多的最可几分布过渡。

热力学平衡态是无序程度最大的状态，熵是系统内部微观粒子运动无序程度大小的量度。

以S ρ（S=1，2……）表示为系统处在微观状态S 的概率,S ρ满足归一化条件，即1=∑SS ρ,于是系统的熵定义为[2-4]∑-=SS k S ρ㏑S ρ （1）它作为平衡态熵k S =㏑Ω的推广，也适用于非平衡态，还作为信息熵的定义。

态函数熵是广延量，它的基本属性是可加性。

设系统由两个子系统A 、B 组成，S ρ、A S ρ、BS ρ分别表示处在微观状态S 时的系统，A 子系统，B 子系统的解释，且子系统A 、B 服从统计独立性质，则有S ρ=A S ρ⋅BS ρ 即 ㏑S ρ=㏑A S ρ+㏑B S ρ又A S ρ、B S ρ满足归一化条件：1=∑A A S S ρ，1=∑BB S S ρ 则S ρ也满足归一化条件：1=∑B A S S S ρ则 ∑-=BA S S S k S ρ㏑S ρ()A B A B A B S S S S S S k ρρρρ=-⋅∑㏑ ()A B A B A B S S S S S S k ρρρρ=-∑㏑+㏑ ＝A A B B B A A B B A S S S S S S S S S S k ρρρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑㏑㏑A B S S =+ （2） 以上说明（1）式定义的熵函数满足可加性的要求。

3 各系综体系的熵系综[5]是在一定的宏观条件下，大量性质和结构完全相同的，处于各种运动状态的，各自独立的系综的集合。

系综是统计理论的一种表达方式，是假想的概念，它并不是真实的客观实体，真实的实体是组成系综的一个个系统，这些系统具有完全相同的力学性质。

吉布斯把整个系统作为统计的个体，提出研究大量系统构成的系综在相宇中的分布，克服了气体动理论的困难，建立了统计物理。

在平衡态统计理论中，对于能量和粒子数固定的孤立系统，采用微正则系综；对于可以和大热源交换能量但粒子数固定的系统，采用正则系综；对于可以和大热源交换能量和粒子的系统，采用巨正则系综。

等温等压系综是正则系综的推广，对应于具有恒定温度和压强的体系。

下面就根据学过的理论知识[6,7]推导出熵在这四种系综中的统一表达式。

3.1 微正则系综的熵微正则系综研究的是孤立系统，是由许多具有相同能量，粒子数，体积的体系的集合。

在微正则系综中，概率分布函数为1S ρ==Ω常数，且1=∑S S ρ，并满足等概率原理的基本假设，可推导出微正则系综的熵k S =㏑Ω （3） 且该熵的表达式（3）只适用于微正则系综则 1S S S S S SS S k k k k ρρρρρ=Ω==-=-∑∑㏑㏑㏑㏑ （4） 说明微正则系综的熵可用熵的定义式（1）表示。

3.2 正则系综的熵通常，正则系综内每个体系的粒子数和体积都是相同的。

但每个体系都可以和系综内其他体系交换能量。

同时系综里所有体系的能量之和，以及所有系综的总个数是固定的。

在这些条件下，当系综内所有体系被分配到不同的微观态上，我们发现：每个状态上的体系个数正比于E e β-。

其中1B k Tβ=,B k 是玻耳兹曼常数，T 是绝对温度。

正则系综的配分函数Z 是： S E SZ e β-=∑由于满足归一化条件：1=∑S S ρ则在正则系综中，概率分布函数为：1S E S e Zβρ-= 内能是在给定粒子数N 、体积V 、温度T 的条件下，系统的能量在一切可能的微观状态上的平均值。

因此11S S E E S S SU E E e e Z Z βββ--⎛⎫∂===- ⎪∂⎝⎭∑∑Z β∂=-∂㏑ 由热力学和统计物理知识可得熵的表达式：S k Z Z ββ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭㏑㏑ （5） 且该熵的表达式（5）只适用于正则系综。

由统计物理得：S S S U E E ρ==∑,1=∑SS ρ则 S k Z Z ββ⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭㏑㏑ ()k U Z β=+㏑S S S k E Z βρ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑㏑()S S S S S k E Z ρβρ⎡⎤=-⋅--⋅⎢⎥⎣⎦∑∑㏑()S S S k E Z ρβ⎡⎤=-⋅--⎢⎥⎣⎦∑㏑ 1SE S S k e Z βρ-⎡⎤⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑㏑ S S Sk ρρ=-∑㏑ （6）说明正则系综的熵能用熵的定义式（1）来表示。

3.3 巨正则系综的熵在巨正则系综中，每个系综内的体系不仅可以和其他体系交换能量，也可以交换粒子，但系综内各体系的能量总和以及粒子数总和都是固定的。

当然系综内的体系总数也是固定不变的，而且各体系的体积是保持在一个固定值上。

巨正则系综对应于具有确定温度T 、确定体积V 和确定化学势μ的体系。

在巨正则系综中，巨配分函数为：s N E Nse αβ--Ξ=∑由于满足归一化条件：1=∑S S ρ则概率分布函数[8]为：1s N E Ns e αβρ--=Ξ由于在系统的各个可能的微观状态中，其粒子数和能量值不是确定的，系统的平均粒子数N 是粒子数N 对给定V 、T 、μ条件下一切可能的微观状态上的平均值：1s N E NsN Ne αβ--=Ξ∑ 1s N E Nse αβα--∂⎛⎫=- ⎪Ξ∂⎝⎭∑1α∂⎛⎫=-Ξ ⎪Ξ∂⎝⎭α∂=-Ξ∂㏑ 内能U 是能量E 的统计平均值：1s N E sNsU E E e αβ--==Ξ∑ 1S N E Nse αββ--⎛⎫∂=- ⎪Ξ∂⎝⎭∑1β⎛⎫∂=-Ξ ⎪Ξ∂⎝⎭β∂=-Ξ∂㏑由热力学和统计物理知识可得熵的表达式：S k αβαβ⎛⎫∂∂=Ξ-Ξ-Ξ ⎪∂∂⎝⎭㏑㏑㏑（7） 且该熵的表达式（7）只适用于巨正则系综。

由统计物理得：s Ns Ns U E E ρ==∑，Ns Ns N N ρ=∑，1Ns Nsρ=∑则 S k αβαβ⎛⎫∂∂=Ξ-Ξ-Ξ ⎪∂∂⎝⎭㏑㏑㏑()k N U αβ=Ξ++㏑Ns s Ns Ns Ns Ns Ns k N E αρβρρ⎛⎫=----Ξ⎪⎝⎭∑∑∑㏑()Ns s Nsk N E ραβ=----Ξ∑㏑1s N E Ns Nsk e αβρ--⎛⎫=-⋅ ⎪Ξ⎝⎭∑㏑ Ns Ns Nsk ρρ=-∑㏑ （8）这说明巨正则系综的熵可用熵的表达式（1）来表示。

3.4 等温等压系综的熵等温等压系综是正则系综的推广，是统计系综的一种。

这个系综对应于具有恒定温度和压强的体系。

每个系综内的体系可以和其他体系进行能量和体积交换。

但系综内各体系的能量总和以及体积总和是固定的，而且各体系有相同的粒子数。

在等温等压系综中，其配分函数为：V E V eγγγβ--∆=∑由于满足归一化条件：1V V γγρ=∑则概率分布函数为[9]：1V E V e γγγβρ--=∆由热力学和统计物理知识可知内能、体积和熵分别为,NU E γβ⎛⎫∂∆==- ⎪∂⎝⎭㏑ ,NV βγ⎛⎫∂∆=- ⎪∂⎝⎭㏑ ,,N N S k γββγβγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∆∂∆=∆--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦㏑㏑㏑ （9） 且该熵的表达式（9）只适用于等温等压系综。

由统计物理得：V V U E E γγγρ==∑ V V V V γγρ=∑ 1V V γγρ=∑则 ,,N N S k γββγβγ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∆∂∆=∆--⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦㏑㏑㏑ ()k U V βγ=∆++㏑ V V V V V V k V E γγγγγγγγρβρρ⎛⎫=----∆* ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑㏑ ()V V k V E γγγργβ=----∆∑㏑ 1N E V V k e γγγγβρ--⎛⎫=-⋅ ⎪∆⎝⎭∑㏑ V V V k γγγρρ=-∑㏑ （10） 这说明等温等压系综的熵可用熵的定义式（1）来表示。