【汇总13份试卷】江西省赣中南五校2021届高三(上)第一次联考数学模拟试卷(特色班)含解析
江西省五市九校2021届高三上学期第一次联考 数学(文)试题数学(文)试题
五市九校第一次联考文科数学数学答案一、选择题1--5BDCAB 6—10BDABC11-12AD二、填空题8.1314.115.1416.32三、解答题17.（满分12分）解(1)设等比数{}n a 的公比为q ，由62239a a a =得,92423a a =所以912=q 由已知条件得0>q ，所以31=q ………………………（2分）由13221=+a a 得13211=+q a a ，解311=a ...............(4分)故数列{a n }的通项公式为n n a 31=……………（6分）(2)由(1)可得()()2121log log log 32313+-=+⋅⋅⋅++-=+⋅⋅⋅++=n n n a a a b n n ，……………（8分）故()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=1112121n n n n b n ，………………………（10分）所以1211121+-=+⋅⋅⋅++n n b b b n 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和为12+-n n ………………………（12分）18.（满分12分）解：（1）取CD 的中点F ，连接EF ，AF .因为E 为PD 的中点，所以//EF PC …………（1分）因为2CD AB =，所以AB CF =.…………………………………………………………………（2分）又//AB CD ，AB BC ⊥，所以四边形ABCF 是矩形，所以//AF BC .………………………（3分）因为EF AF F ⋂=，PC BC C ⋂=，所以平面// AEF PBC 平面平面.……………………（5分）因为AE AEF ⊂平面，所以//AE PBC 平面.……………………………………………………（6分）（2）因为E 为PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 距离的12.………（7分）因为PA ABCD ⊥平面，AB BC ⊥，PA AB A ⋂=，所以BC PAB ⊥平面.所以BC PB ⊥.所以1112223323BCD P BCD V S PA BC BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△三棱锥.…………………………………（9分）在Rt PAB △中，1AB =，PB ===，所以1522PCB S BC BC =⨯=△.………………………………………………………………（10分）设点D 到平面PBC 的距离为d ，则12323d BC BC ⨯⨯=，解得5d =.………………（11分）所以点E 到平面PBC 的距离是5.……………………………………………………………(12分)（方法二）//AE PBC平面所以点E 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 距离因为PA ABCD ⊥平面，AB BC ⊥，PA AB A ⋂=，所以BC PAB ⊥平面.所以BC PB⊥BC BC S P A V ABC ABC P 3112123131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-三棱锥.....................................................(9分)在Rt PAB △中，1AB =，PB ===，所以1522PCB S BC BC =⨯=△.………………………………………………………………（10分设点A 到平面PBC 的距离为d ，则BC BC d 312531=⨯⨯，解得552=d .………………（11分）所以点E 到平面PBC 的距离是255.……………………………………………………………(12分)19（满分12分）．（1）750；（2）910；（3）69,74,80a b c ===（或69,75,80a b c ===）【分析】(1)由折线图求得这40人中70分及其以上的人数，作为全年级的“体育良好”学生的频率的估计值，进行估计．(2)先编号，再利用列举计数，可求得概率．(3)根据方差的意义，,,a b c 的数据越集中，方差越小，于是,a c 分别取其给定范围内的最大值和最小值,即69,80,a c ==222213333a b c a b c a b c S a b c ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22212223333a b c b a c c a b ⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22132922a c b a c ⎡⎤+⎛⎫=-+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦将b 看做自变量，注意到b 是整数，对称轴为74.52a cb +==,当b 取最接近74.5的两个整数值时方差取得最小值．【详解】（1）体育成绩大于或等于70分的学生有1431330++=人............（2分），100030=75040⨯人.........................................................................................（.3分）（2）记体育成绩在[60,70)的2名学生编号为1，2，体育成绩在[80,90)的3名学生编号为3，4，5，从中任取3人，有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10种不同的情况，............................................（.6分）每种情况都是等可能的，至少有1人为非“体育良好”，即“至少有1人体育成绩在[)60,70”，记作事件A ，只有345是不含1、2的，∴有9种不同的情况，.................................(.8分）∴()910P A =.................................................................（9分）（3）69,74,80a b c ===（或69,75,80a b c ===）...........................（12分）20（满分12分）.解：（1）由题意可得：a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程：24x+y 2＝1；………（2分）（2）证明：作点P 关于x 轴的对称点P '，由椭圆的对称性可知，点P '在椭圆上，且∠PAB ＝∠P 'AB ，∠QBA ＝∠P 'BA ，因为∠PAB +∠QAB ＝180°．所以∠P 'AB +∠QAB ＝180°，所以P '，A ，Q 三点共线，……（4分）由题意可知直线P 'Q 不与x 轴平行或重合，设直线P 'Q 的方程为：x ＝ty +m ，（mt ≠0），设()()()()1122,,,,,0,,0A B P x y Q x y A x B x '，联立直线与椭圆的方程：224=4x ty m x y =+⎧⎨+⎩，消x 可得()2224240t y tmy m +++-=，……（6分）则有y 1+y 2224mt t =-+，y 1y 22244m t-=+，……（7分）因为∠QBA ＝∠P 'BA ，所以0BQ BP k k '+=，即12120B By y x x x x +=--，所以()()12210B B y ty m x y ty m x +-++-=，即()()121220B ty y m x y y +-+=……（8分）即()222242(044)Bt m mt m xt t ---=++，解得4B x m=，……（10分）因为A x m =，所以44A B x x m m⋅=⋅=，故点A ，B 横坐标之积为定值4．……（12分）另解：0=+AQ AP k k 21.（满分12分）解（1）由()21xax x f x e+-=，....................................（1分）则()()()()()222211212x xxxax e ax x e ax a x f x e e +-+--+-+'==，………（2分）()02f '=，由()01f =-，.......................................（3分)所以()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =-，………（4分）所以在点()()0,0f 处的切线方程与实数a 的取值无关，即证.（2）()212xax x f x e +-=≥-对[]1,1x ∈-恒成立，即2120x ax x e +-+≥对[]1,1x ∈-恒成……（5分）212x ax x e ∴≥--对[]1,1x ∈-恒成立，当0x =时，恒成立，………（6分）当0x ≠时，212xx e a x--≥对[)(]1,00,1x ∈- 恒成立，………（8分）令()212x x e g x x --=，()()()()24212122x x e x e x x g x x+-+++-⋅'=………（10分）()()()()()24421222212xxex x x x x x e x x +-++---==，令()0g x '=，解得ln 2x =-，……………………（11分）()g x ∴在[]1,ln 2--，(]0,1上单调递增，在[)ln 2,0-上单调递减，()()(){}11max ln 2,1max ,2ln 2ln 2g x g g e ⎧⎫∴=-=-=⎨⎬⎩⎭，()max 1ln 2a g x ∴≥=，故实数a 取值范围为1,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.……（12分）22（满分10分）.解（1）曲线1C 的直角坐标方程为3232x y -=+，即3232y x =--.…………（2分）曲线2C 的参数方程为()31cos ,23sin x t y t⎧=+⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得2C 的普通方程为()()22329x y -++=.………………………………………（4分）（2）曲线1C的参数方程可写为12,22x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（s 为参数），………………………………（6分）代入曲线2C的普通方程，得221922s ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得280s s --=.……………………（7分）设A ，B 所对应的参数分别为1s ，2s ，则12121,8,s s s s +=⎧⎨=-⎩…………………………………………（8分）所以12||||AB s s =-==.………………………………………………………（10分）（方法二）圆心()2,3-到直线02323=---y x 的距离为()23132322332=+--+=d .........7分故弦长()33233222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=AB ............................................................10分23（满分10分）.解（1）()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+--≤--=21,13212,3,2,13x x x x x x x f ……………………………………（2分）由()4f x >，可得⎩⎨⎧>---≤4132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-43212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥41321x x ……………（3分）解得2x ≤-或21x -<<-或1x >.…………………………………………………………（4分）所以不等式的解集为{}| 1 1x x x <->或.…………………………………………………………（5分）（2）由（Ⅰ）易求得()25121321min =+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f ，即52m =.………………………………（6分）所以3425a b m -==，即3450a b --=.…………………………………………………………（7分）因为点()2,1-到直线3450x y --=的距离()()1435143222=-+--⨯-⨯=d ，………………………（9分）所以()()2221a b -++的最小值为21d =.…………………………………………………………（10分）。
江西省五市九校协作体2021届高三年级上学期第一次联合考试数学(文)试题及答案
绝密★启用前江西省五市九校协作体2021届高三年级上学期第一次联考质量检测数学(文)试题本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|x 2－4≤0},B ＝{x|2x ＋a ≤0},A∩B＝{x|－2≤x ≤1},则实数a ＝A.－4B.－2C.2D.42.已知复数z 满足z(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位),则z 的虚部为A.－iB.iC.1D.－13.若单位向量1e 、2e 夹角为60°,a ＝212e e ,则|a |＝A.4B.2C.3D.14.设a,b ∈R,则a>b>1是a －b<a 2－b 2的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1＋a 2＝7,a m ＋a m －1＝73(m ≥3),S m ＝2020则m 的值为A.100B.101C.200D.2026.“欲穷千里目,更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》,鹳雀楼位于今山西永济市,该楼有三层,前对中条山,下临黄河,传说常有鹳雀在此停留,故有此名。
下面是复建的鹳雀楼的示意图,某位游客(身高忽略不计)从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°,沿直线前进79米到达E 点,此时看点C 的仰角为45°,若BC ＝2AC,则楼高AB 约为A.65米B.74米C.83米D.92米7.若双曲线22221x ya b-=(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为2,则双曲线的离心率为22238.已知α∈(0,π),且3cos2α－8cosα＝5,则sinα＝A.53B.23C.13D.599.若a,b为正实数,且11122a b a b+=++,则a＋b的最小值为A.23B.43C.2D.410.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的延长线交抛物的准线l于点C,若|BC|＝2,|FB|＝1,则|AB|＝A.2B.3C.4D.511.已知三棱锥A－BCD中,侧面ABC⊥底面BCD,△ABC是边长为3的正三角形,△BCD 是直角三角形,且∠BCD＝90°,CD＝2,则此三棱锥外接球的体积等于A 323πB.643πC.16πD.32π12.已知f(x)＝xex－2t(lnx＋x＋2x)恰有一个极值点为1,则t的取值范围是A.(－∞,14]∪{6e} B.(－∞,16] C.[0,14]∪{6e} D.(－∞,14]二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题 含解析
2021年高三上学期第一次五校联考数学理试题含解析【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。
但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。
试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则＝（）A． B． C． D．【知识点】复数.L4【答案解析】D 解析：解：由题可知，所以D正确.【思路点拨】根据复数的概念与运算法则可求出结果.2.设集合，，则＝（）A． B． C． D．【知识点】集合.A1【答案解析】 C 解析：解：由题意可求出集合()(){}|13,|0|0x 3A x x B y y A B x =-<<=>∴⋂=<<，所以正确选项为C.【思路点拨】根据集合的概念先求出集合A,B.再求它们的交集. 3. 函数的零点所在的区间为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】函数的性质.B10【答案解析】C 解析：解：因为，函数为连续函数，所以函数的零点在之间. 【思路点拨】可过特殊值验证函数值的正负来判定零点的区间. 4. 已知m ，n ，则 “a ＝2”是“mn ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】向量，充要条件.A2,G9【答案解析】B 解析： 解：由共线的条件可知()//12021m n a a a a ⇒-+=∴==-或，所以“a ＝2”是“mn ”的充分而不必要条件，所以B 正确.【思路点拨】根据向量共线的条件求出a 的值，然后再根据题意判定逻辑关系.5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ． 【知识点】三视图.G2【答案解析】A 解析：解：由三视图可知，该多面体是由正方体截去两个正三棱锥所成的几何体，如图，正方体棱长为2，正三棱锥侧棱互相垂直，侧棱长为1，故几何体的体积为：11232=2222111323V V -⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体三棱锥 ．故选：A ．【思路点拨】本题考查三视图求解几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状． 6. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。
江西省五市九校协作体2021届高三年级上学期第一次联合考试数学(理)试题及答案
绝密★启用前江西省五市九校协作体2021届高三年级上学期第一次联考质量检测数学(理)试题本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x|x －a ≤0}，若B ∪A ＝R ，则实数a 的取值范围为A.(3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1]2.已知复数z 满足121i i z+=-(i 为虚数单位)，则z (z 为z 的共轭复数)在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“(a －2)3>(b －2)3”是“lga>lgb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心。
某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾。
某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学。
现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为 A.27 B.514 C.37 D.10215.函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的图像如图所示，为了得到y ＝sinωx 的图像，只需把y ＝f(x)的图像上所有点A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移12π个长度单位6.若x，y满足约束条件40240220x yx yx y--≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则z＝x＋4y的最小值为A.26B.4C.265D.－267.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系。
2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三(上)第一次模拟数学(理科)试题Word版含解析
2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三（上）第一次模拟数学（理科）试题一、单项选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣73．（5分）函数y=的定义域为（）A．（，1） B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）4．（5分）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．125．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（）A．2 B．C．2 D．26．（5分）已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．2 B．4 C．16 D．不存在7．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．000118．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A．﹣ B．C．﹣D．11．（5分）已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（）A．f（x）=x﹣B．f（x）=x+C．f（x）=D．f（x）=x+二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）（理）（1+cosx）dx= ．14．（5分）某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是．（填序号）①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．15．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：＞1，若“￢q且p”为真，则x的取值范围是．16．（5分）已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为．三、综合题：必考题每题12分，选考题共10分；总分70分．17．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，f（x）=•﹣（2m+）•||；A、B、C三点满足满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的最小值为﹣，求实数m的值．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．19．（12分）2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率．20．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角S﹣CM﹣D的余弦值．21．（12分）如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；（2）若点Q（x0，y0）是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切线l1、l2、l3，若l1与l2、l1与l3、l2与l3分别相交于D、E、H，设△ABQ，△DEH的面积依次为S△ABQ，S△DEH，记λ=，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若a=，证明：e x﹣1f（x）≥x．[选修4-4：坐标与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．（1）求|AB|的值；（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三（上）第一次模拟数学（理科）试题参考答案一、单项选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（）A．（﹣∞，] B．（，1） C．（﹣∞，]∪[1，+∞）D．[1，+∞）【分析】先求出集合M，N，再根据集合的交集个补集计算即可【解答】解：∵集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，∴M=（﹣1，1），N=（﹣，2），∴M∩N=（﹣，1）∴∁R（M∩N）=（﹣∞，]∪[1，+∞）故选：C【点评】本题考查了集合的交集和补集的运算，属于基础题2．（5分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（）A．a≥9 B．a≤﹣3 C．a≥5 D．a≤﹣7【分析】求出函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=，令≥4，即可解出a的取值范围．【解答】解：函数y=x2+（1﹣a）x+2的对称轴x=又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得≥4，，得a≥9．故选A．【点评】考查二次函数图象的性质，二次项系数为正时，对称轴左边为减函数，右边为增函数，本题主要是训练二次函数的性质．3．（5分）4．函数y=的定义域为（）A．（，1） B．（，∞）C．（1，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）【分析】由log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0可解得，【解答】解：由题意知log0.5（4x﹣3）＞0且4x﹣3＞0，由此可解得，故选A．【点评】本题考查函数的定义域，解题时要注意公式的灵活运用．5．（5分）6．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==12×=6，则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．故选C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．5．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（）A．2 B．C．2 D．2【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形即可求出该三棱锥中最长棱是多少．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体为底面是等腰三角形，且侧面垂直于底面的三棱锥，如图所示；且三棱锥的高为SD=2，底面三角形边长BC=2，高AD=2；∴该三棱锥的最长棱是SA===2．故选：C．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．6．（5分）已知点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．2 B．4 C．16 D．不存在【分析】由点P（x，y）在经过A（3，0）、B（1，1）两点的直线上可求得直线AB的方程，即点P（x，y）的坐标间的关系式，从而用基本不等式可求得2x+4y的最小值．【解答】解：由A（3，0）、B（1，1）可求直线AB的斜率k AB=，∴由点斜式可得直线AB的方程为：x+2y=3．∴2x+4y=2x+22y（当且仅当x=2y=时取“=”）．故选B．【点评】本题考查基本不等式，难点在于2x+4y=2x+22y（当且x=2y=时取“=”）的理解与运用，属于中档题．7．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；故选C．【点评】本题考查对新规则的阅读理解能力．8．（5分）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．我们分析滚动过程中，M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，及点M，N运动的规律，并逐一对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等．以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，故∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ．大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，故点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选A．【点评】本题考查的知识点是函数的图象与图象变化，其中分析出M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解答本题的关键．9．（5分）△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为，那么b为（）A．B．C．D．【分析】根据等差中项的性质可知2b=a+c．平方后整理得a2+c2=4b2﹣2ac．利用三角形面积求得ac的值，进而把a2+c2=4b2﹣2ac．代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c．平方得a2+c2=4b2﹣2ac．又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△=acsinB=ac•sin30°=ac=，得ac=2，∴a2+c2=4b2﹣4．由余弦定理cosB====．解得b2=．又∵b为边长，∴b=．故选C．【点评】本题主要考查了解三角形的问题．解题过程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面积公式以及勾股定理等知识．10．（5分）（在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则cosB=（）A．﹣ B．C．﹣D．【分析】由已知及正弦定理可得=，解得tanB=，结合范围0＜B＜π，可求B=，即可得解cosB=．【解答】解：∵=，又∵由正弦定理可得：，∴=，解得：cosB=sinB，∴tanB=，0＜B＜π，∴B=，cosB=．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．11．（5分）已知双曲线的方程为，过左焦点F1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段F1P，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】首先写出直线l的方程y=（x﹣c），然后求出线段F1P的中点坐标，进而得到p点坐标并代入双曲线方程，结合c2=a2+b2求出c2=3a2，即可得到结果．【解答】解：过焦点F1（﹣c，0）的直线L的方程为：y=（x+c），直线L交双曲线右支于点P，且y轴平分线F1P，则交y轴于点Q（0，c）．设点P的坐标为（x，y），∴x+c=2c，y=P点坐标（c，），代入双曲线方程得：，又∵c2=a2+b2，∴c2=3a2，∴e=故选C．【点评】本题考查了双曲线的性质以及与直线的关系，关键是用含有c的式子表示出p的坐标，属于中档题．12．（5分）已知函数y=f（x）的大致图象如图所示，则函数y=f（x）的解析式应为（）A．f（x）=x﹣B．f（x）=x+C．f（x）=D．f（x）=x+【分析】函数y=f（x）的解析求不出来，根据选项结合图象采用排除法进行排除，以及利用特殊值法进行排除．【解答】解：根据图象不关于原点对称，则该函数不是奇函数，可排除选项D，取x=时，根据图象可知函数值大于0，而选项B，f（）=+=﹣e2＜0，故B不正确，由题上图象可以看出当x→﹣∞时，有f（x）＜0，但C选项，f（x）=，当x→﹣∞时，f（x）=＞0，∴C错误故选A．【点评】本题主要考查了识图能力，以及函数的对称性和单调性，数形结合的思想和特殊值法的应用，属于中档题．本题正面确定不易，排除法做此类题是较好的选择二、填空题（每空5分，共20分）13．（5分）（理）（1+cosx）dx= ．【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．【解答】解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案为π+2．【点评】此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．14．（5分）某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是．（填序号）①②③①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．【分析】根据抽样方法，可得整个抽样过程三种抽样方法都要用到．【解答】解：由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户．又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法．故整个抽样过程三种抽样方法都要用到．故答案为：①②③．【点评】本题考查的知识点是收集数据的方法，其中熟练掌握各种抽样方法的适用范围，是解答本题的关键．15．（5分）已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：＞1，若“￢q且p”为真，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）．【分析】根据条件先求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．【解答】解：因为“￢q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，由＞1得﹣1=＞0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2+2x﹣3＞0，解得x＞1或x＜﹣3，由，得x≥3或1＜x≤2或x＜﹣3，所以x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞）【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．16．（5分）已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．上述命题中所有正确命题的序号为①②④．【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f （2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），可得f（﹣2）=f（2），在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．从图中可以得出：②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．故答案为：①②④．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．三、综合题：必考题每题12分，选考题共10分；总分70分．17．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，f（x）=•﹣（2m+）•||；A、B、C三点满足满足=+．（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤），的最小值为﹣，求实数m的值．【分析】（Ⅰ）根据向量减法的几何意义，在=+两边同减去，进行向量的数乘运算便可得出=，这样便可得出三点A，B，C共线；（Ⅱ）根据上面容易求出点C的坐标，并求出向量的坐标，从而得出f（x）=（cosx﹣m）2+1﹣m2，这样根据配方的式子，讨论m的取值：m＜0，0≤m≤1，m＞1，这样即可求出m的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得﹣=（﹣）；即=；∴∥，又、有公共点A；∴A，B，C三点共线；（Ⅱ）由=+，得C（1+cosx，cosx）；∵=（cosx，0），∴f（x）=•﹣（2m+）•||=1+cosx+cos2x﹣（2m+）cosx=（cosx﹣m）2+1﹣m2；∵x∈[0，]，∴cosx∈[0，1]；①当m＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值为1，不合题意舍去；②当0≤m≤1时，当且仅当cosx=m时，f（x）取得最小值为1﹣m2=﹣，解得m=±，不合题意舍去；③当m＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，令2﹣2m=﹣，解得m=；综上，m=．【点评】本题考查了平面向量的运算法则与应用问题，也考查了用分类讨论法求函数的最值问题，是综合性题目．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}的通项公式；（2）设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．【分析】（1）把b n=3n+5代入a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），可得数列{a n}是等差数列，并求得公差，再由等差数列的通项公式得答案；（2）由a1=λ＜0，b n=λn，可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n的最大值M和最小值m，再列式求得λ的范围．【解答】解：（1）∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n），b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则a n=1+6（n﹣1）=6n﹣5；（2）∵b n=λn，∴a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（λn+1﹣λn），当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（λn﹣λn﹣1）+2（λn﹣1﹣λn﹣2）+…+2（λ2﹣λ）+λ=2λn﹣λ．当n=1时，a1=λ适合上式，∴．∵λ＜0，∴，．①当λ＜﹣1时，由指数函数的单调性知数列{a n}不存在最大值和最小值；②当λ=﹣1时，数列{a n}的最大值为3，最小值为﹣1，而∉（﹣2，2）；③当﹣1＜λ＜0时，由指数函数的单调性知，数列{a n}的最大值M=a2=2λ2﹣λ，最小值m=a1=λ．由，解得．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19．（12分）2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率．【分析】（Ⅰ）设某题M答对记为“M”，答错记为“”，X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．（Ⅱ）由互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出志愿者甲能被录用的概率．【解答】解：（Ⅰ）设某题M答对记为“M”，答错记为“”X的可能取值为2，3，4，P（X=2）=P（AB）=，P（X=3）=P（）=，P（X=4）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）=，X的分布列为：X 2 3 4PEX==．（6分）（Ⅱ）志愿者甲能被录用的概率P=P（AB+++++A D）=+=．（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）四棱锥S﹣ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面SAD；（Ⅱ）求二面角S﹣CM﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）取SD的中点R，连结AR、RN，由已知得四边形AMNR是平行四边形，从而MN∥AR，由此能证明MN∥平面SAD．（Ⅱ）向量法：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，利用向量法能求出二面角S﹣CM﹣D的余弦值．几何法：取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM=H，连结SH，则∠SHO是二面角S﹣CM﹣D的平面角，由此能求出二面角S﹣CM﹣D的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）如图，取SD的中点R，连结AR、RN，则RN∥CD，且RN=CD，AM∥CD，所以RN∥AM，且RN=AM，所以四边形AMNR是平行四边形，所以MN∥AR，由于AR平面SAD，MN在平面SAD外，所以MN∥平面SAD．（4分）（Ⅱ）解法1：取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，则C（﹣1，2，0），M（1，1，0），S（0，0，），=（2，﹣1，0），=（1，1，﹣），设面SCM的法向量为=（x，y，z），（6分）则，令x=1，得=（1，2，），由已知得面ABCD的法向量=（0，0，1），（8分）则===，所以二面角S﹣CM﹣D的余弦值为．（12分）解法2：如图，取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM=H，连结SH，由SO⊥AD，且面SAD⊥面ABCD，所以SO⊥平面ABCD，SO⊥CM，由已知得△ABO≌△BCM，所以∠ABO=∠BCM，则∠BMH+∠ABO=∠BMH+∠BCM=90°，所以OB⊥CM，则有SH⊥CM，所以∠SHO是二面角S﹣CM﹣D的平面角，设AB=2，则，，，OS=，SH==，则cos∠SHO=，所以二面角S﹣CM﹣D的余弦值为．（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．21．（12分）如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限．（1）求抛物线C的方程及点A、点B的坐标；（2）若点Q（x0，y0）是抛物线C异于A、B的一动点，分别以点A、B、Q为切点作抛物线C的三条切线l1、l2、l3，若l1与l2、l1与l3、l2与l3分别相交于D、E、H，设△ABQ，△DEH的面积依次为S△ABQ，S△DEH，记λ=，问：λ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，求出p，可得抛物线C的方程，根据，点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，且点A位于第一象限，求出点A、点B的坐标；（2）求出D，E，H的坐标，进而求出S△ABQ，S△DEH，即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点F到准线的距离为2，∴p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y；∵点A、点B是抛物线C上的定点，它们到焦点F的距离均为2，∴A（2，1）；B（﹣2，1）；（2）y=x2，∴y′=x∴l1：y=x﹣1；l2：y=﹣x﹣1；l3：y=x0x﹣x02，∴D（0，﹣1），E（，），H（，﹣），∴EH=；=∴S △ABQ==，S△DEH==∴λ==2．【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．22．已知函数f（x）=ax2﹣lnx（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若∀x∈（0，1]，|f（x）|≥1恒成立，求a的取值范围；（3）若a=，证明：e x﹣1f（x）≥x．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）求出导数，对a讨论，①a≤时，②当a＞时，求出单调区间，可得最小值，由恒成立思想即可得到a的范围；（3）a=时，由（Ⅱ）得f（x）min=+ln2a=1，令h（x）=，求出导数，单调区间，运用单调性即可得证．【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=x2﹣lnx，．函数f（x）的定义域为（0，+∞），则由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．…（4分）（2）由已知得f′（x）=2ax﹣．若f′（x）≤0在（0，1]上恒成立，则2a≤恒成立，所以2a≤（）min=1，即a≤．①a≤时，f（x）在（0，1]单调递减，f（x）min=f（1）=a，与|f（x）|≥1恒成立矛盾．…（6分）②当a＞时，令f′（x）=2ax﹣=0，得x=∈（0，1]．所以当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，1]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）min=f（）=a（）2﹣ln=+ln2a．由|f（x）|≥1得，+ln2a≥1，所以a≥．综上，所求a的取值范围是[，+∞）．…（9分）（Ⅲ）证明：a=时，由（Ⅱ）得f（x）min=+ln2a=1．…（11分）令h（x）=，则h′（x）=．所以当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单增；当x≥1时，h′（x）＜0，h（x）单减．所以h（x）≤h（1）=1．…（13分）所以f（x）≥h（x），即e x﹣1f（x）≥x．…（14分）【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题解法和不等式证明，注意运用转化思想和构造函数法，属于难题．[选修4-4：坐标与参数方程]23．（2016•上饶一模）在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为C2：ρcosθ+ρsinθ=1，若曲线C1与C2相交于A、B两点．（1）求|AB|的值；（2）求点M（﹣1，2）到A、B两点的距离之积．【分析】（1）先求出C1的普通方程和C2的参数方程，再根据韦达定理和弦长公式即可求出，（2）直接由（1）即可求出答案．【解答】解：（1）曲线C1的方程为=1，C2：ρcosθ+ρsinθ=1，则C2的普通方程为x+y﹣1=0，则C2的参数方程为，代入C1得2t2+7t+10=0，∴|AB|=|t1﹣t2|==，（2））|MA|•|MB|=|t1t2|=5【点评】本题考查了把参数方程、极坐标方程化为普通方程、参数方程的应用、弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．在平面直角坐标系中，定义点P（x1，y1）、Q（x2，y2）之间的直角距离为L（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，点A（x，1），B（1，2），C（5，2）（1）若L（A，B）＞L（A，C），求x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立，求t的最小值．【分析】（1）根据定义写出L（A，B），L（A，C）的表达式，最后通过解不等式求出x的取值范围；（2）当x∈R时，不等式L（A，B）≤t+L（A，C）恒成立即当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，运用分离变量，即有t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，可用去绝对值的方法或绝对值不等式的性质，求得右边的最大值为4，令t不小于4即可．【解答】解：（1）由定义得|x﹣1|+1＞|x﹣5|+1，即|x﹣1|＞|x﹣5|，两边平方得8x＞24，解得x＞3，（2）当x∈R时，不等式|x﹣1|≤|x﹣5|+t恒成立，也就是t≥|x﹣1|﹣|x﹣5|恒成立，法一：令函数f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣5|=，所以f（x）max=4，要使原不等式恒成立只要t≥4即可，故t min=4．法二：运用绝对值不等式性质．因为|x﹣1|﹣|x﹣5|≤|（x﹣1）﹣（x﹣5）|=4，所以t≥4，t min=4．故t的最小值为：4．【点评】本题考查新定义：直角距离的理解和运用，考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，转化为求函数的最值，属于中档题．。
2021届江西省高三第一次联考测试数学(理)试题Word版含答案
2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2.函数y = ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-3.下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x =”的逆否命题； 其中真命题的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4.幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．25.已知函数()21xf x =-+，定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E F 、分别是边11AA CC 、的中点，点M 是1BB 上的动点，过三点E M F 、、的平面与棱1DD 交于点N ，设BM x =，平行四边形EMFN 的面积为S ，设2y S =，则y 关于x 的函数()y f x =的解析式为（ ） A ．()[]2322,0,12f x x x x =-+∈ B ．()[]2322,0,12f x x x x =-++∈C ．()[]3,0,12f x x x =-∈ D ．()[]3,0,12f x x x =-∈ 7.若函数()()22log 3f x x ax a =--在区间(],2-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞ B ．(]4,4- C ．()[),42,-∞-+∞ D ．[)4,4-8.函数221x x e x y e =-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数()ln x y e x a =-+（e 为自然对数的底数）的值域是正实数集R +，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞- B ．(]0,1 C ．(]1,0- D ．()1,-+∞ 10.已知()f x '为()f x 的导函数，若()ln 2x f x =，且()3111212b b dx f a b x '=+-⎰，则a b +的最小值为（ ）A ．42．2 C ．92 D ．9222+ 11.已知函数()f x 和()1f x +都是定义在R 上的偶函数，若[]0,1x ∈时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ B ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1532f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．1932f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +≥+，则称()f x 为“H 函数”．给出下列函数：①31y x x =-++；②()32sin cos y x x x =--；③1xy e =+；④()()()ln 101x x f x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中“H 函数”的个数有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本小题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若方程210x mx m -+-=有两根，其中一根大于2一根小于2的充要条件 是____________． 14.设,A B 是非空集合，定义{}|A B x x AB x A B ⊗=∈∉且．已知{}{}21|2,02,|2,0x M y y x x x N y y x -==-+<<==>，则M N ⊗=___________．15.若函数()()3211,220,11log ,2x a x f x a a x x -⎧⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭=>≠⎨⎪>⎪⎩且的值域是R ，则实数a 的取值范围是___________． 16.给出下列四个命题：①函数()()log 211a f x x =--的图像过定点()1,0；②已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()()1f x x x =+，则()f x 的解析式为()2f x x x =-；③函数11y x =-的图像可由函数1y x =图像向右平移一个单位得到； ④函数11y x =-图像上的点到()0,1其中所有正确命题的序号是_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）设()()()()log 1log 30,1a a f x x x a a =++->≠，且()12f =． （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．18.（本小题满分12分）命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，命题3:101q a +<-． （1）若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若“非q ”是“[],1m m α∈+”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 19.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的对称轴()2,x f x =-的图像被x 轴截得的弦长为，且满足()01f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若12x f k ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式()210462y x x =+--，其中26x <<． （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．（保留1位小数点） 21.（本小题满分12分） 已知函数()()22xf x x x cec R -=-+∈．（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围； （2）若函数()()()52F x f x f x '=+-（其中()f x '为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()()ln ,x af x m a m R x-=-∈在x e =（e 为自然对数的底）时取得极值且有两个零点． （1）求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的两个零点为12,x x ，证明：212x x e >．2021届江西省高三第一次联考测试数学（理）试题参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDCBAADACCAA二、填空题13. 3m > 14. ()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦15. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎭16. ②④ 三、解答题17.解：（1）∵()12f =，∴()log 420,1a a a =>≠，∴2a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是()21log 42f ==，函数()f x 在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是()20log 3f =，∴()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是[]2log 3,2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）关于命题2:,10p x R ax ax ∀∈+-<，0a >时，显然不成立，0a =时成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 0a <时，只需240a a ∆=+<即可，解得：40a -<<，故p 为真时：(]4,0a ∈-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分关于命题3:101q a +<-，解得：21a -<<，．．．．．．．．．．．．．．．6分 命题“p 或q ”为假命题，即,p q 均为假命题，则41a a ≤-≥或；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（2）非:21q a a ≤-≥或，所以121m m +≤-≥或， 所以31m m ≤-≥或．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19.解：（1）由题意可以设()(22f x a x x =+++-，．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由()011f a =⇒=，∴()(22241f x x x xx =+++=++；．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当[]1,1x ∈-时，11,222xt ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵()f x 开口向上，对称轴为2x =-，∴()f t 在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴()min 11324f t f ⎛⎫==⎪⎝⎭． ∴实数k 的取值范围是13,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.解：（1）当4x =时，销量()210446212y =+-=千件， 所以该店每日销售产品A 所获得的利润是22142⨯=千元；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）该店每日销售产品A 所获得的利润：()()()()()()22321024610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2121122404310626f x x x x x x '=-+=--<<．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()0f x '=，得103x =，且在102,3⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 在10,63⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以103x =是函数()f x 在()2,6内的极大值点，也是最大值点，．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 所以当103.33x =≈时，函数()f x 取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.解：（1）因为()()22xf x x x cec R -=-+∈，所以函数()f x 的定义域为R ，且()2212xf x x ce -'=--，由()0f x '≥得22120x x c e ---≥，即()21212x c x e ≤-对于一切实数都成立．．．．．．．．．．．．2分 再令()()21212x g x x e =-，则()22x g x xe '=，令()0g x '=得0x =， 而当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以当0x =时，()g x 取得极小值也是最小值，即()()min 102g x g ==-． 所以c 的取值范围是1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知()2212xf x x c e-'=--，所以由()0F x =得()22252122x x x x ce x ce ---++--=，整理得2272x c x x e ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 令()2272x h x x x e ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则()()()()222223231x xh x x x e x x e '=+-=+-， 令()0h x '=，解得3x =-或1x =， 列表得：由表可知当3x =-时，()h x 取得极大值62e -；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 当1x =时，()h x 取得极小值232e -． 又当3x <-时，2270,02x x x e +->>，所以此时()0h x >， 故结合图像得c 的取值范围是650,2e -⎛⎫⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）()()21ln 1ln a x x a a xx f x x x--+-'==， 由()10a f x x e+'=⇒=，且当1a x e +<时，()0f x '>，当1a x e +>时，()0f x '<，所以()f x 在1a x e +=时取得极值，所以10a e e a +=⇒=，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以()()()2ln 1ln ,0,x xf x m x f x x x -'=->=，函数()f x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减，()1f e m e=-，()00x x →>时，();f x x →-∞→+∞时，()(),f x m f x →-有两个零点12,x x ，故11,00m m e e m ⎧->⎪<<⎨⎪-<⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）不妨设12x x <，由题意知1122ln ln x mx x mx =⎧⎨=⎩，则()()221121221121lnln ,ln x x x x x m x x m x x m x x x =+=-⇒=-，．．．．．．．．．．．．．．．7分欲证212x x e >，只需证明：()12ln 2x x >，只需证明：()122m x x +>，即证：()122211ln2x x x x x x +>-，即证2122111ln21x x x x x x +>-，设211x t x =>，则只需证明：1ln 21t t t ->+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 也就是证明：1ln 201t t t -->+，记()()1ln 2,11t u t t t t -=->+，∴()()()()222114011t u t t t t t -'=-=>++， ∴()u t 在()1,+∞单调递增，∴()()10u t u >=，所以原不等式成立，故212x x e >得证．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。
2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三(上)第一次模拟数学(理科)试题word版含解析
3．（5分）函数y= 的定义域为（ ）
A．（ ，1）B．（ ，∞）C．（1，+∞）D．（ ，1）∪（1，+∞）
4．（5分）设函数f（x）= ，则f（﹣2）+f（log212）=（ ）
A．3B．6C．9D．12
5．（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（ ）
19．（12分）2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识．志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答．知识问答有A，B，C，D四个题目，答题者必须按A，B，C，D顺序依次进行，答对A，B，C，D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减．答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用．假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A，B，C，D四个题回答正确的概率依次是 ， ， ， ，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
2020-2021学年江西省赣中南五校联考高三（上）第一次模拟
数学（理科）试题
一、单项选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）设集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈M}，则集合∁R（M∩N）等于（ ）
A．（﹣∞， ]B．（ ，1）C．（﹣∞， ]∪[1，+∞）D．[1，+∞）
2．（5分）如果函数y=x2+（1﹣a）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷(文科)
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷（文科）本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|x 2－4≤0}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}，A∩B＝{x|－2≤x ≤1}，则实数a ＝( ) A.－4 B.－2 C.2 D.42.已知复数z 满足z(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( ) A.－i B.i C.1 D.－13.若单位向量1e 、2e 夹角为60°，a ＝212e e -，则|a |＝( ) A.4 B.2 C.3 D.14.设a ，b ∈R ，则a>b>1是a －b<a 2－b 2的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 2＝7，a m ＋a m －1＝73(m ≥3)，S m ＝2020则m 的值为( )A.100B.101C.200D.2026.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名。
下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若BC ＝2AC ，则楼高AB 约为( )A.65米B.74米C.83米D.92米7.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.38.已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝( )A.3 B.23 C.13D.9 9.若a ，b 为正实数，且11122a b a b+=++，则a ＋b 的最小值为( )A.23 B.43C.2D.4 10.已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物的准线l 于点C ，若|BC|＝2，|FB|＝1，则|AB|＝( ) A.2 B.3 C.4 D.511.已知三棱锥A －BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD ＝90°，CD ＝2，则此三棱锥外接球的体积等于( ) A323π B.643π C.16π D.32π 12.已知f(x)＝x e x －2t(lnx ＋x ＋2x)恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是( )A.(－∞，14]∪{6e } B.(－∞，16] C.[0，14]∪{6e } D.(－∞，14] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届江西省五市九校高三上学期第一次联考数学试题(理)
江西省五市九校2021届高三上学期第一次联考试题（理）本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若B ∪A ＝R ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(3，＋∞) B.『3，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1』2.已知复数z 满足1+2i=1-i z(i 为虚数单位)，则z (z 为z 的共轭复数)在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.“(a －2)3>(b －2)3”是“lg a >lg b ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A.27 B.514 C.37 D.10215.函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的图像如图所示，为了得到y ＝sin ωx 的图像，只需把y ＝f (x )的图像上所有点（ ） A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移12π个长度单位6.若x ，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则z ＝x ＋4y 的最小值为（ ）A.26B.4C.265D.－26 7.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位：℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程y ＝0.25x ＋k.则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为（ ） A.33℃ B.34℃ C.35℃ D.35.5℃8.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是C 的右支上一点，连接PF 1与y 轴交于点M ，若|F 1O |＝2|OM |(O 为坐标原点)，PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的离心率为（ ）B.2D.39.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有()()2112120-<-x f x f x x ，记(3)3f a =，b ＝f (1)，(2)2f c -=，则（ ） A.b <c <a B.a <b <c C.c <b <a D.a <c <b10.如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）A.32ππ C.41π11.设A (－2，0)，B (2，0)，O 为坐标原点，点P 满足|P A |2＋|PB |2≤16，若直线kx －y ＋6＝上存在点Q 使得∠PQO ＝6π，则实数k 的取值范围为（ ）A.『－，』B.(－∞，－』∪『，＋∞)C.(－∞∞)D. 12.已知函数f (x )＝ax －E x 与函数g (x )＝x ln x ＋1的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ） A.(E －1，＋∞) B.(e 12-，＋∞) C.『e 12-，＋∞) D.(－∞，E －1) 第II 卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.在ABCD 中，AD 与DC 的夹角为23π，|AD |＝1，|DC |＝2，=DE EC ，则⋅AE DB ＝ .14.若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则33b a b+的最小值为 . 15.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，则012351525354C a C a C a C a +++＋556C a = .16.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，M 分别为棱AB ，A 1D 1，D 1C 1的中点，过点M 与平面CEF 平行的平面与AB 交于点N ，则四面体NCEF 的体积为 . 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.(12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin(A ＋B －C )＝c sin(B ＋C ).(1)求角C 的大小；(2)若2a＋b＝8，且△ABC的面积为ABC的周长.18.(12分)如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于O，∠BAD＝60°，平面ADEF∩平面BCEF＝直线EF，FO⊥平面ABCD，BC＝CE＝DE＝2EF＝2.(1)求证：EF//DA；(2)求二面角A－EF－B的余弦值.19.(12分)学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A、B两个靶子进行射击，先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分.甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A靶射击，命中的概率是23；向B 靶射击，命中的概率为34.假设甲同学每次射击结果相互独立. (1)求甲同学恰好命中一次的概率；(2)求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望.20.(12分)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点E (1)，A 1，A 2为椭圆的左右顶点，且直线A 1E ，A 2E 的斜率的乘积为－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线x ＝－2于点Q ，求PQMN的最小值.21.(12分)已知函数f (x )＝2114ln 22-+++x ax a x a ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)记函数f (x )的导函数是f '(x )，若不等式f (x )<xf '(x )对任意的实数x ∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2a，g'(x)是函数g(x)的导函数，若函数g(x)存在两个极值点x1，x2，且g(x1)＋g(x2)≥g'(x1x2)，求实数a的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.『选修4－4：坐标系与参数方程』(10分)在直角坐标系xOy中，曲线C1：22194x y+=，曲线C2：33cos3sinxyϕϕ=+⎧⎨=⎩(φ为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)射线l的极坐标方程为θ＝α(ρ≥0)，若l分别与C1，C2交于异于极点的A，B两点，求OB OA的最大值.23.『选修4－5：不等式选讲』(10分) 已知函数f(x)＝|x＋m|－2|x－1|.(1)若m ＝2，求不等式f (x )＋3<0的解集；(2)若f (x )的图像与直线y ＝1有且仅有1个公共点，求m 的值.——★ 参*考*答*案 ★——一、选择题1-5 B C B D A 6-10 B A C D C 11-12 C A 二、填空题13、12 14、515、454 16、124三、解答题 17、（1）sin()sin()a A B C c B C +-=+sin sin(2)sin sin A C C A π∴-=2sin sin cos sin sin A C C C A ∴=sin sin 0A C ≠，1cos ,02C C π∴=<<3C π∴=…………6分（2）由题意可得，12= 8ab ∴=，28a b += 联立可得，2,4a b ==，由余弦定理可得，212,c c ==此时周长为6+ …………12分18、（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF //AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF所以//EF AD ； …………5分（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA,OB,OF 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 取CD 中点M ，连EM,OM ，则60BAD ︒∠=,21BC OA OC OB OD =∴====2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，EM =11//,=,//,=,//,=//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC EF OM EF OM OF EM OF EM∴∴从而1(0,1,0),((0,1,0),(2A B C D E --设平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =所以(3,1,0)000311(0022m y m DA m DE m x y ⎧⎧⋅=+=⎧⋅=⎪⎪⎪∴∴⎨⎨⎨⋅=⋅-=++=⎪⎪⎪⎩⎩⎩令11,(1,x y z m =∴===- 设平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =所以(3,1,0)00311(,,002222n yn BCn EC n x y⎧⎧⋅--=-=⎧⋅=⎪⎪⎪∴∴⎨⎨⎨⋅=⋅-=-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩令11,(1,3,1)x y z n=∴==-=--3cos,5|||,|m nm nm n⋅∴<>==因此二面角A EF B--的余弦值为35…………12分19、（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F.由题意可知()23P D=，()()34P E P F==.由于C DEF DEF DEF=++，()()16P C P DEF DEF DEF=++=. …………4分（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6.()111134448P X==⨯⨯=()2111134424P X==⨯⨯=()12113123448P X C==⨯⨯⨯=()12231334144P X C==⨯⨯⨯=()1333534416P X==⨯⨯=()23336P X==⨯⨯=()20348E X=. …………12分20、（1）依题意有，221112a b +=，122112a a ⋅=-+-，解得22a =，21b =，椭圆的方程为2212x y +=；…………4分（2）由题意知直线l 的斜率不为0， 设其方程为1x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程()22221221021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，得到12222my y m -+=+，12212y y m -=+由弦长公式MN =整理得2212m MN m +=+， 又12222P y y m y m +-==+，222P x m =+，2P PQ x =-=，2PQMN =，令t =，1t ≥，上式2242242t t t t +⎫==+≥⎪⎝⎭，当22t =，即1m =±时，PQ MN取得最小值2. …………12分21、（1）当1a =时，213()4ln 22f x x x x =-++，其中0x >，故13(1)4222f =-+=-，1()4f x x x '=-+，故(1)1412f '=-+=-. 所以函数()f x 在1x =处的切线方程为22(1)y x +=--，即20x y +=. …………3分（2）由211()4ln 22f x x ax a x a =-+++，可得()4a f x x a x '=-+.由题知，不等式2114ln 422a x ax a x a x x a x ⎛⎫-+++<-+ ⎪⎝⎭对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，即22ln 10x a x -->对任意实数(1,)x ∈+∞恒成立，令2()2ln 1t x x a x =--，1x >.故22()22a x a t x x x x -'=-=⋅. ①若1a ≤，则()0t x '>，()t x 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0t x t >=，故1a ≤符合题意. ②若1a >，令()0t x '=，得x =.当(x ∈时，()0t x '<，()t x在(上单调递减，故(1)0t t <=，与题意矛盾，所以1a >不符题意.综上所述，实数a 的取值范围1a ≤. …………7分 （3）据题意211()()24ln 322g x f x a x ax a x a =+=-+++，其中0x >. 则24()4a x ax a g x x a x x -+'=-+=.因为函数()g x 存在两个极值点1x ，2x ，所以1x ，2x 是方程240x ax a -+=的两个不等的正根，故220,(4)40,0,a a a a >⎧⎪∆=-->⎨⎪>⎩得14a >，且12124,.x x a x x a +=⎧⎨=⎩所以()()221211122211114ln 34ln 32222g x g x x ax a x a x ax a x a +=-++++-+++ ()()()2212121214ln ln 612x x a x x a x x a =+-+++++()()()212121212124ln 612x x x x a x x a x x a =+--++++ ()21(4)244ln 612a a a a a a a =--⨯+++28ln 51a a a a =-+++； ()1212124431a a g x x x x a a a a x x a '=-+=-+=-+，据()()()1212g x g x g x x '+≥可得，28ln 5131a a a a a -+++≥-+， 即288ln 0a a a a --≤， 又14a >，故不等式可简化为88ln 0a a --≤，令()88ln a a a ϕ=--，14a >，则1()840a a ϕ'=->>， 所以()a ϕ在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又(1)0ϕ=， 所以不等式88ln 0a a --≤的解为114a <≤.所以实数a 的取值范围是114a <≤. …………12分22、（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==, 所以221:194x y C +=可化为22221cos sin :194C ρθρθ+=,整理得()2245sin 36ρθ+=,233cos :3sin x C y φφ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）,则33cos 3sin x y φφ-=⎧⎨=⎩（φ为参数）,化为普通方程为2260x y x +-=,则极坐标方程为26cos 0ρρθ-=,即6cos ρθ=. 所以1C 的极坐标方程是()2245sin 36ρθ+=,2C 的极坐标方程是6cos ρθ=. …………5分（2）由（1）知,联立2245sin 36ρθθα⎧+=⎨=⎩（）可得22123645sin OA ρθ==+, 联立6cos ρθθα=⎧⎨=⎩可得2222=36cos OB ρθ=, 所以22OBOA =224222981cos (45sin )5cos 9cos 5(cos )1020θθθθθ+=-+=--+, 当29cos 10θ=时,22OB OA 最大值为8120,所以OBOA的最大值为. …………10分 23、（1）22130x x +--+<，当2x <-时，22230x x --+-+<，解得1x <，故2x <-；当21x -时，22230x x ++-+<，解得1x <-，故21x -<-；当1x >时，22230x x +-++<，解得7x >．综上所述，不等式的解集为{|1x x <-或7}x >； …………5分（2）令()()1211g x f x x m x =-=+---，问题转化为函数()g x 有1个零点．若1m >-，则3,()33,11,1x m x m g x x m m x x m x --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩，此时()g x 的最大值为g （1）m =，此时0m =满足题设；若1m <-，则3,1()31,11,x m x g x x m x m x m x m --<⎧⎪=--+-⎨⎪-++>-⎩，此时()g x 的最大值为g （1）2m =--，令20m --=，得2m =-，满足题设； 若1m =-，则()110g x x =---<，故1m =-不合题意，舍去．综上所述，2m =-或0m =．…………10分。
江西省五市九校协作体2021届高三上学期第一次联考数学(文)试题(含答案解析)
13．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是______.
14．曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 ________.
15．在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知 ， ， 的面积是 ，则 ______．
16．如图，四棱锥 的底面是边长为1的正方形，点 是棱 上一点， ，若 且满足 平面 ，则 ______．
注： ，其中 .
20．已知椭圆C： 1（a＞b＞0）的离心率为 ，点M（a，0），N（0，b），O（0，0），且△OMN的面积为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A（异于坐标原点）在椭圆C内，点B在椭圆C外．若过点B作斜率不为0的直线与C相交于P，Q两点，且满足∠PAB+∠QAB＝180°．证明：点A，B的横坐标之积为定值．
A．65米B．74米C．83米D．92米
7．若双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线被圆 截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（）
A．2B．3C． D．
8．已知 ，且 ，则 （）
A． B．
C． D．
9．若 ， 为正实数，且 ，则 的最小值为（）．
A． B． C．2D．4
10．已知过抛物线 的焦点F的直线交抛物线于 两点，线段 的延长线交抛物的准线 于点C，若 ，则 （）
考点：充分必要条件.
5．B
【分析】
由等差数列的性质可得 ，再由等差数列前 项和公式列式可算出结果.
【详解】
，由等差数列的性质可知，
故
故
故选：B
【点睛】
解答与等差、等比数列有关问题的处理策略：
1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；
2021届江西省五市九校高三上学期第一次联考 数学(文)
绝密★启用前江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考文科数学试卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|x 2－4≤0}，B ＝{x|2x ＋a ≤0}，A∩B ＝{x|－2≤x ≤1}，则实数a ＝A.－4B.－2C.2D.42.已知复数z 满足z(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为A.－iB.iC.1D.－13.若单位向量1e 、2e 夹角为60°，a ＝212e e -，则|a |＝A.4B.2C.3D.14.设a ，b ∈R ，则a>b>1是a －b<a 2－b 2的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 2＝7，a m ＋a m －1＝73(m ≥3)，S m ＝2020则m 的值为A.100B.101C.200D.2026.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名。
下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若BC ＝2AC ，则楼高AB 约为A.65米B.74米C.83米D.92米7.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.23D.338.已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝A.3B.23C.13D.9 9.若a ，b 为正实数，且11122a b a b +=++，则a ＋b 的最小值为 A.23 B.43C.2D.4 10.已知过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物的准线l 于点C ，若|BC|＝2，|FB|＝1，则|AB|＝A.2B.3C.4D.511.已知三棱锥A －BCD 中，侧面ABC ⊥底面BCD ，△ABC 是边长为3的正三角形，△BCD 是直角三角形，且∠BCD ＝90°，CD ＝2，则此三棱锥外接球的体积等于 A 323π B.643π C.16π D.32π 12.已知f(x)＝x e x －2t(lnx ＋x ＋2x)恰有一个极值点为1，则t 的取值范围是 A.(－∞，14]∪{6e } B.(－∞，16] C.[0，14]∪{6e } D.(－∞，14] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省五市九校协作体2021届高三年级上学期第一次联考数学(理)答案
令
设平面 一个法向量为
所以
令
因此二面角 的余弦值为 …………12分
19、（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C,“甲射击命中A靶”为事件D,
“甲第一次射击B靶命中”为事件E,“甲第二次射击B靶命中”为事件F.
由题意可知 , .
由于 ,
.…………4分
（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3,5,6.
当 时， ，解得 ．
综上所述，不等式的解集为 或 ；…………5分
（2）令 ，问题转化为函数 有1个零点．
若 ，则 ，
此时 的最大值为 （1） ，此时 满足题设；
若 ，则 ，
此时 的最大值为 （1） ，令 ，得 ，满足题设；
若 ，则 ，故 不合题意，舍去．
综上所述， 或 ．…………10分
此时周长为 …………12分
18、（1）因为四边形 为菱形,所以 ,
平面 , 平面
平面 ,
因为平面 平面 直线 平面
所以 ；…………5分
（2）因为四边形 为菱形,所以
因为 平面 ,所以以O为坐标原点、OA,OB,OF为x,y,z轴建立空间直角坐标系
取CD中点M,连EM,OM
则 ,
为正三角形,
从而
设平面 一个法向量为
绝密★启用前
江西省五市九校协作体
2021届高三年级上学期第一次联考
数学(理)试题参考答案
一、选择题
1-5 B C B D A
6-10 B A C D C
11-12 C A
二、填空题
13、 14、5 15、454 16、
三、解答题
17、（1）
…………6分
（2）由题意可得,
, 联立可得, ,由余弦定理可得,
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷(理科)
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷（理科）本试卷分第I 卷选择题和第II 卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
＝{|2－4＋3>0}，B ＝{|－a ≤0}，若B ∪A ＝R ，则实数a 的取值范围为 A3，＋∞ B 满足121ii z+=-i 为虚数单位，则z z 为的共轭复数在复平面内对应的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3“a －23>b －23”是“lga>lgb ”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分又不必要条件4为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心。
某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾。
某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学。
现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为A27 B 514 C 37 D 1021＝cosω＋φω>0，|φ|<2π的图像如图所示，为了得到y ＝sinω的图像，只需把y ＝f 的图像上所有点A 向右平移6π个单位长度 B 向右平移12π个单位长度C 向左平移6π个长度单位 D 向左平移12π个长度单位，y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则＝＋4y 的最小值为C265D －26 7蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率每分钟鸣叫的次数与气温y 单位：℃存在着较强的线性相关关系。
某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于的线性回归方程y ＝＋则当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为℃ ℃ ℃ 已知双曲线C：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，点25()()211212x f x f 0x x -<-(3)3f a =(2)2f c -=236π222252525252e 12-e 12-AD DC23πAD DC DE EC =AE DB ⋅33b a b+012351525354C a C a C a C a +++556C a =3233422221(0)x y a b a b +=>>2212PQ MN 211x 4ax alnx a 22-+++22194x y +=33cos 3sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩OBOA |－2|－1|。
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷(文科)
江西省五市九校协作体2021届上学期高三年级第一次联考数学试卷（文科）本卷满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
＝{|2－4≤0}，B ＝{|2＋a ≤0}，A∩B＝{|－2≤≤1}，则实数a ＝ A －4 B －21＋i ＝1－ii 为虚数单位，则的虚部为 A －i D －13若单位向量1e 、2e 夹角为60°，a ＝212e e -，则|a |＝，b ∈R ，则a>b>1是a －b<a 2－b 2的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 2＝7，a m ＋a m －1＝73m ≥3，S m ＝2020则m 的值为6“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名。
下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客身高忽略不计从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45°，若BC ＝2AC ，则楼高AB 约为米 米 米 米7若双曲线22221x y a b-=a>0，b>0的一条渐近线被圆2＋y 2－4y ＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为8已知α∈0，π，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝A3 B 23 C 13D 9 ，b 为正实数，且11122a b a b+=++，则a ＋b 的最小值为A23 B 432＝2323π643πxe x 2x 146e 16146e 141020220x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩3π23PF PC λ=n 1b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭2222121[()()()]n S x x x x x x n =-+-+⋅⋅⋅+-121()n x x x x n=++⋅⋅⋅+22221(0)x y a b a b +=>>3221xax x e +-3()x 31cost y 23sint=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，且实数a ，b 满足3a －4b ＝2m ，求a －22＋b ＋12的最小值。
江西省五市九校2021届高三上学期第一次联考 数学(文)试题数学(文)试题(1)
五市九校第一次联考文科数学数学答案一、选择题1--5BDCAB 6—10BDABC11-12AD二、填空题8.1314.115.1416.32三、解答题17.（满分12分）解(1)设等比数{}n a 的公比为q ，由62239a a a =得,92423a a =所以912=q 由已知条件得0>q ，所以31=q ………………………（2分）由13221=+a a 得13211=+q a a ，解311=a ...............(4分)故数列{a n }的通项公式为n n a 31=……………（6分）(2)由(1)可得()()2121log log log 32313+-=+⋅⋅⋅++-=+⋅⋅⋅++=n n n a a a b n n ，……………（8分）故()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=1112121n n n n b n ，………………………（10分）所以1211121+-=+⋅⋅⋅++n n b b b n 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和为12+-n n ………………………（12分）18.（满分12分）解：（1）取CD 的中点F ，连接EF ，AF .因为E 为PD 的中点，所以//EF PC …………（1分）因为2CD AB =，所以AB CF =.…………………………………………………………………（2分）又//AB CD ，AB BC ⊥，所以四边形ABCF 是矩形，所以//AF BC .………………………（3分）因为EF AF F ⋂=，PC BC C ⋂=，所以平面// AEF PBC 平面平面.……………………（5分）因为AE AEF ⊂平面，所以//AE PBC 平面.……………………………………………………（6分）（2）因为E 为PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 距离的12.………（7分）因为PA ABCD ⊥平面，AB BC ⊥，PA AB A ⋂=，所以BC PAB ⊥平面.所以BC PB ⊥.所以1112223323BCD P BCD V S PA BC BC -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△三棱锥.…………………………………（9分）在Rt PAB △中，1AB =，PB ===，所以1522PCB S BC BC =⨯=△.………………………………………………………………（10分）设点D 到平面PBC 的距离为d ，则12323d BC BC ⨯⨯=，解得5d =.………………（11分）所以点E 到平面PBC 的距离是5.……………………………………………………………(12分)（方法二）//AE PBC平面所以点E 到平面PBC 的距离是点A 到平面PBC 距离因为PA ABCD ⊥平面，AB BC ⊥，PA AB A ⋂=，所以BC PAB ⊥平面.所以BC PB⊥BC BC S P A V ABC ABC P 3112123131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-三棱锥.....................................................(9分)在Rt PAB △中，1AB =，PB ===，所以1522PCB S BC BC =⨯=△.………………………………………………………………（10分设点A 到平面PBC 的距离为d ，则BC BC d 312531=⨯⨯，解得552=d .………………（11分）所以点E 到平面PBC 的距离是255.……………………………………………………………(12分)19（满分12分）．（1）750；（2）910；（3）69,74,80a b c ===（或69,75,80a b c ===）【分析】(1)由折线图求得这40人中70分及其以上的人数，作为全年级的“体育良好”学生的频率的估计值，进行估计．(2)先编号，再利用列举计数，可求得概率．(3)根据方差的意义，,,a b c 的数据越集中，方差越小，于是,a c 分别取其给定范围内的最大值和最小值,即69,80,a c ==222213333a b c a b c a b c S a b c ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22212223333a b c b a c c a b ⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22132922a c b a c ⎡⎤+⎛⎫=-+-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦将b 看做自变量，注意到b 是整数，对称轴为74.52a cb +==,当b 取最接近74.5的两个整数值时方差取得最小值．【详解】（1）体育成绩大于或等于70分的学生有1431330++=人............（2分），100030=75040⨯人.........................................................................................（.3分）（2）记体育成绩在[60,70)的2名学生编号为1，2，体育成绩在[80,90)的3名学生编号为3，4，5，从中任取3人，有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10种不同的情况，............................................（.6分）每种情况都是等可能的，至少有1人为非“体育良好”，即“至少有1人体育成绩在[)60,70”，记作事件A ，只有345是不含1、2的，∴有9种不同的情况，.................................(.8分）∴()910P A =.................................................................（9分）（3）69,74,80a b c ===（或69,75,80a b c ===）...........................（12分）20（满分12分）.解：（1）由题意可得：a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程：24x+y 2＝1；………（2分）（2）证明：作点P 关于x 轴的对称点P '，由椭圆的对称性可知，点P '在椭圆上，且∠PAB ＝∠P 'AB ，∠QBA ＝∠P 'BA ，因为∠PAB +∠QAB ＝180°．所以∠P 'AB +∠QAB ＝180°，所以P '，A ，Q 三点共线，……（4分）由题意可知直线P 'Q 不与x 轴平行或重合，设直线P 'Q 的方程为：x ＝ty +m ，（mt ≠0），设()()()()1122,,,,,0,,0A B P x y Q x y A x B x '，联立直线与椭圆的方程：224=4x ty m x y =+⎧⎨+⎩，消x 可得()2224240t y tmy m +++-=，……（6分）则有y 1+y 2224mt t =-+，y 1y 22244m t-=+，……（7分）因为∠QBA ＝∠P 'BA ，所以0BQ BP k k '+=，即12120B By y x x x x +=--，所以()()12210B B y ty m x y ty m x +-++-=，即()()121220B ty y m x y y +-+=……（8分）即()222242(044)Bt m mt m xt t ---=++，解得4B x m=，……（10分）因为A x m =，所以44A B x x m m⋅=⋅=，故点A ，B 横坐标之积为定值4．……（12分）另解：0=+AQ AP k k 21.（满分12分）解（1）由()21xax x f x e+-=，....................................（1分）则()()()()()222211212x xxxax e ax x e ax a x f x e e +-+--+-+'==，………（2分）()02f '=，由()01f =-，.......................................（3分)所以()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为21y x =-，………（4分）所以在点()()0,0f 处的切线方程与实数a 的取值无关，即证.（2）()212xax x f x e +-=≥-对[]1,1x ∈-恒成立，即2120x ax x e +-+≥对[]1,1x ∈-恒成……（5分）212x ax x e ∴≥--对[]1,1x ∈-恒成立，当0x =时，恒成立，………（6分）当0x ≠时，212xx e a x--≥对[)(]1,00,1x ∈- 恒成立，………（8分）令()212x x e g x x --=，()()()()24212122x x e x e x x g x x+-+++-⋅'=………（10分）()()()()()24421222212xxex x x x x x e x x +-++---==，令()0g x '=，解得ln 2x =-，……………………（11分）()g x ∴在[]1,ln 2--，(]0,1上单调递增，在[)ln 2,0-上单调递减，()()(){}11max ln 2,1max ,2ln 2ln 2g x g g e ⎧⎫∴=-=-=⎨⎬⎩⎭，()max 1ln 2a g x ∴≥=，故实数a 取值范围为1,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.……（12分）22（满分10分）.解（1）曲线1C 的直角坐标方程为3232x y -=+，即3232y x =--.…………（2分）曲线2C 的参数方程为()31cos ,23sin x t y t⎧=+⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得2C 的普通方程为()()22329x y -++=.………………………………………（4分）（2）曲线1C的参数方程可写为12,22x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（s 为参数），………………………………（6分）代入曲线2C的普通方程，得221922s ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得280s s --=.……………………（7分）设A ，B 所对应的参数分别为1s ，2s ，则12121,8,s s s s +=⎧⎨=-⎩…………………………………………（8分）所以12||||AB s s =-==.………………………………………………………（10分）（方法二）圆心()2,3-到直线02323=---y x 的距离为()23132322332=+--+=d .........7分故弦长()33233222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=AB ............................................................10分23（满分10分）.解（1）()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+--≤--=21,13212,3,2,13x x x x x x x f ……………………………………（2分）由()4f x >，可得⎩⎨⎧>---≤4132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-43212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥41321x x ……………（3分）解得2x ≤-或21x -<<-或1x >.…………………………………………………………（4分）所以不等式的解集为{}| 1 1x x x <->或.…………………………………………………………（5分）（2）由（Ⅰ）易求得()25121321min =+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x f ，即52m =.………………………………（6分）所以3425a b m -==，即3450a b --=.…………………………………………………………（7分）因为点()2,1-到直线3450x y --=的距离()()1435143222=-+--⨯-⨯=d ，………………………（9分）所以()()2221a b -++的最小值为21d =.…………………………………………………………（10分）。
2021届江西省五市九校高三上学期第一次联考数学(理)试卷及答案
2021届江西省五市九校高三上学期第一次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟。
第I 卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－4x ＋3>0},B ＝{x|x －a ≤0},若B ∪A ＝R,则实数a 的取值范围为A.(3,＋∞)B.[3,＋∞)C.(－∞,1)D.(－∞,1]2.已知复数z 满足121i i z +=-(i 为虚数单位),则z (z 为z 的共轭复数)在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“(a －2)3>(b －2)3”是“lga>lgb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.为了让居民了解垃圾分类,养成垃圾分类的习惯,让绿色环保理念深入人心。
某市将垃圾分为四类：可回收物,餐厨垃圾,有害垃圾和其他垃圾。
某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组,其中可回收物宣传小组有3位同学,餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学。
现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动,则每个宣传小组至少选派1人的概率为 A.27 B.514 C.37 D.10215.函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,|φ|<2π)的图像如图所示,为了得到y ＝sinωx 的图像,只需把y ＝f(x)的图像上所有点 A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移12π个单位长度 C.向左平移6π个长度单位 D.向左平移12π个长度单位 6.若x,y 满足约束条件40240220x y x y x y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩,则z ＝x ＋4y 的最小值为A.26B.4C.265D.－267.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐,殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系。
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江西省赣中南五校2021届高三（上）第一次联考数学模拟试卷（特色班） 考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a=log 73，13b log 7=，c=30.7，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】D【解析】【分析】 71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>得解． 【详解】 71log 30a >=>，13log 70b =<，0.731c =>，所以b a c <<，故选D 【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．2．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B ．6C 3D 3【答案】B【解析】【分析】设1AA c=，AB a =，AC b =，根据向量线性运算法则可表示出1AB 和1BC ；分别求解出11AB BC ⋅和1AB ，1BC ，根据向量夹角的求解方法求得11cos ,AB BC <>，即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1，1AA c =，AB a =，AC b = 由题意得：12a b ⋅=，12b c ⋅=，12a c ⋅= 1AB a c =+，11BC BC BBb ac =+=-+()()22111111122AB BC a c b a c a b a a c b c a c c ∴⋅=+⋅-+=⋅-+⋅+⋅-⋅+=-++= 又()222123AB a c a a c c =+=+⋅+= ()222212222BC b a c b a c a b b c a c =-+=++-⋅+⋅-⋅=11111116cos ,66AB BC AB BC AB BC ⋅∴<>===⋅ 即异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为：6本题正确选项：B【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.3．若||1OA =，||3OB =0OAOB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则m n 的值为（ ） A ．13 B ．3 C D【答案】 B 【解析】 【分析】 利用向量的数量积运算即可算出．【详解】解：30AOC ︒∠=3cos ,2OC OA ∴<>= 32OC OAOC OA ⋅∴=()3mOA nOB OA mOA nOB OA +⋅∴=+222232m OA nOB OAOA mnOA OB nOB OA +⋅=+⋅+1OA =，3OB =，0OA OB ⋅=2= 229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n > 3m n ∴= 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 4．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ）A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 【答案】D【解析】【分析】 由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可 【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得233f m π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即23322m m +=+，解得1m =，所以()3sin cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可.故选：D【点睛】 本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题5．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ）A ．6B ．10C ．5D ．15 【答案】D【解析】【分析】以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ︒∠=，取BC 中点E ，以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1,0),(3,1,0),(3,1,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===．设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =， 则130,20,n AC x y n AA z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩取1x =，得(1,3,0)n =-．设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ，则112sin 48||BC nBC nθ⋅-===⋅， cos θ∴==， ∴直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于5故选：D【点睛】本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ）A ．42B ．21C ．7D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=， ()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 7．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．6C ．3D ．33 【答案】C【解析】【分析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,A D F 三点重合，记作D ，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，表示出三角形EGH 的三条边长，用余弦定理即可求得cos EGH ∠.【详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,A D F 三点重合，记作D ：则G 为BD 中点，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，设正四面体的棱长均为a ，由中位线定理可得//GH BC 且1122GH BC a ==， 所以EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，221322EG EH a a a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ ， 由余弦定理可得222cos 2EG GH EH EGH EG GH+-∠=⋅222313a a a+-==，所以直线EG与直线BC，故选：C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.8．设x∈R，则“|1|2x-<“是“2x x<”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必条件【答案】B【解析】【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.【详解】由|1|2x-<，得13x，又由2x x<，得01x<<，因为集合{|01}{|13}x x x x<<⊂-<<，所以“|1|2x-<”是“2x x<”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.9．设 2.71828...e≈为自然对数的底数，函数()1x xf x e e-=--，若()1f a=，则()f a-=( ) A．1-B．1C．3D．3-【答案】D【解析】【分析】利用()f a与()f a-的关系，求得()f a-的值.【详解】依题意()11,2a a a af a e e e e--=--=-=，所以()()11213a a a a f a ee e e ---=--=---=--=-故选：D【点睛】 本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.10．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（ ） A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x << 【答案】A【解析】【分析】 根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解.【详解】解：由函数24y x =-得240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>，则{}12A B x x ⋂=<≤.故选：A.【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.11．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14B ．13 C ．23 D ．16 【答案】A【解析】【分析】 作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果.【详解】如图，作//PD AC交AB于点D，则AP AD DP=+，由题意，13AD AB=，14DP AC=，且180ADP CAB∠+∠=，所以11111||||sin||||sin223412ADP ABCS AD DP ADP AB AC CAB S∆∆=∠=⨯⨯∠=又13AD AB=，所以，134APB ADP ABCS S S∆∆∆==，即14APBABCSS∆∆=，所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键. 12．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，F是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的右焦点，直线2by=与椭圆交于B，C两点，且90BFC∠=︒，则该椭圆的离心率是（）A．63B．34C．12D．32【答案】A【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果.【详解】 由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得2x by ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,2b C ⎫⎪⎪⎝⎭. 由题意知(),0F c，所以,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以2222222331044442b a c BF CF c c c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以2232c a =，所以c e a ==， 故选：A.【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。