柱坐标系与球坐标系

柱坐标系与球坐标系 1、柱坐标系

设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q

在平面oxy 上的极坐标，

点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，记作(ρ,θ,Z).

其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z ＜+∞

2，柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系

及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.

空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为：

3 应用：例1：设点的直角坐标为(1，1，1)，求它:在柱坐标系中的坐标.

解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为 （ ， ，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。

练习：

1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标.

注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。

3，柱坐标系：

r 为常数 圆柱面

半平面

平 面

4π⎪⎩

⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos ⎪⎩

⎪⎨⎧===z 1sin 1cos 1θρθρ224π点在柱坐标系中的坐标为,1)4π的柱坐标为、设点),7,6,2(2πM 7)

为常数θ为常数z

球坐标系

1，球坐标系：

设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为φ.

设P 在oxy 平面上的射影为Q ， Ox 轴按逆时 针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.

这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.

空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系

我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系

(或空间极坐标系) .

有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标，

2 ,

空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)

3 应用：例：设点的球坐标为(2， ， ) 求它的直角坐标.？ 点在直角坐标系中的坐标为（ －1 ，1 ，－ ）.

4 小结：

数轴

平面直角坐标系

坐标系 平面极坐标系

空间直角坐标系

柱坐标系

球坐标系

坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化， 从而产生了坐标法.

y 其中 πθπϕ20,0,0<≤≤≤≥r 称为高低角

－的方位角，被测点称为

球坐标中的角应用，在测量实践中，文学中有着广泛的球坐标系在地理学、天

ϕθϕθ090),,(r P ⎪⎩

⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 43π43π22222r z y x =++） ，，（为直角坐标。

、将下列点的球坐标化例65381ππM

例2、球坐标满足方程r ＝3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程。 例3、建立适当的球坐标系，表示棱长为1的正方体. 5，练习：1、设点P 的球坐标为 求它的直角坐标.

点在直角坐标系中的坐标为 2、设点P 的直角坐标为 ，

求它的球坐标.

3，,球坐标系：

(6,23,4)- A B

C G

D

E

F O z x (0,0,0)O (1,,)22C ππ(1,,0)2A π(2,,0)4E π(2,,)24B ππ(2,,)42

G ππ3(3,arccos ,)34F π(1,0,0)D 33(2,,)44ππ(1,1,2)

--ππ点在球坐标系中的坐标为 为常数

r 半平面 为常数θ圆锥面 为常数

ϕ球 5(8,,)36

ππ