差分方程

1 y 2 = φ 0 (1 + φ1 + φ12 ) + φ13 y −1 + φ12 w2 + φ1 w1 + φ1 w0
M
M
t t i =0 i =0
y t = φ 0 ∑ φ1i + φ1t y −1 + ∑ φ1i wi
(1.2)
上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将
程均是定义方程： y t − j = y t − j ， j = 1, 2, L , p
φ 3 L φ p −1 φ p wt 0 L 0 0 0 0 L 0 0 ， vt = 0 M M M M M 0 L 1 0 0
(1.13) 需要注意，在 p 阶差分方程的解中需要知道 p 个初值： ( y −1 , y −2 , L , y − p ) ，以及从时 刻 0 开始时的所有外生变量的当前和历史数据： ( w0 , w1 , L , wt ) 。 由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程(1.12)表示为： ξ t + j = F j +1 ξ t −1 + F j vt + F j −1 vt +1 + L + F v t + j −1 + vt + j 类似地，表示成为单方程形式：
y t 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出 y t 对这些变量取值的依赖性和动态变化
过程。 1.1.2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier) 在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如 w0 的变化对 t 阶段以后的 y t 的影响。 假设初始值 y −1 和 w1 , L , wt 不受到影响，则有：
mt = 0.27 + 0.72 mt −1 + 0.19 I t − 0.045rbt − 0.019rct
上述方程便是关于 mt 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断 其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式， 可以通过以前的数 据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：
j
∂ yt + j ∂ wt
= ∑ β jφ j =
j =0
∞
1 ， | β φ |< 1 1− β φ
上述分析的是外生变量的暂时扰动， 如果 wt 发生一个单位的变化， 而且其后的 ws , s > t 也都发生一个单位的变化， 这意味着变化是持久的。 这时持久扰动对于 (t + j ) 时刻的 y t + j 的 影响乘数是： ∂ y t + j ∂ y t +1 ∂ yt + j +L+ = φ1j + φ1j −1 + L + φ10 + ∂ wt +1 ∂ wt + j ∂ wt 当 | φ1 |< 1 时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响： ∂ y t + j ∂ y t +1 ∂ yt+ j 1 lim ( )= +L+ + j →∞ ∂ w ∂ wt + j 1 − φ1 ∂ wt +1 t 中可以求出货币需求的长期收入弹性为： dmt dmt dwt 0.19 = × = = 0.68 dI t dwt dI t 1 − 0.72 这说明收入增加 1%最终将导致货币需求增加 0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持 久影响效果。 如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于 y t 以后 路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为： ∞ ∂y 1 t+ j = ∑ 1−φ j = 0 ∂ wt
y t = φ 0 + φ1 y t −1 + wt
(1.1)
在上述方程当中，由于 y t 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值 y t −1 ，因此称具有 这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量 wt 是确定性变量，则此方程是确定性差分 方程；如果变量 wt 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设 wt 是确定性变量。 例 1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、 实际收入、 银行储蓄利率和商业票据利率的 对数变量分别表示为 mt 、 I t 、 rbt 和 rct ，则可以估计出美国货币需求函数为：
(1.15)
利用上述表达式，可以得到 p 阶差分方程的动态反应乘子为： ∂ yt + j ( j) Lj = = f11 ， j = 0, 1,L ∂ wt 由此可见，动态反应乘子主要由矩阵 F j 的首个元素确定。 例 1.4 在 p 阶差分方程中，可以得到一次乘子为： ∂ y t +1 (1) L1 = = f11 = F11 = φ1 ∂ wt 二次乘子为： ∂ yt + 2 (2) 2 L1 = = f11 = F11 = φ12 + φ 2 ∂ wt 虽然可以进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子， 但是利用矩阵特征根表示则更 为方便，主要能够更为方便地求出矩阵 F j 的首个位置的元素。 根据定义，矩阵 F 的特征根是满足下述的 λ 值：
( j +1) ( j +1) y t + j = f 11 y t −1 + f 12 y t − 2 + L + f 1(pj +1) y t − p 1) ( j) ( j −1) + f11 wt + f11 wt +1 + L + f1(1 wt + j −1 + wt + j
(1.14)
y t 流贴现到现在的总值为：
j =0
∑ β j yt + j
∞
(1.6)
如果 wt 发生一个单位的变化，而 ws , s > t 不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响 为边际导数：
2
时间序列分析方法讲义
∞ ∞
第 1 章 差分方程
∂( ∑ β j y t + j ) / ∂wt = ∑ β
j =0 j =0
(1.7)
(1.8)
例 1.3 货币需求的长期收入弹性 在例 1.1 中我们已经获得了货币的短期需求函数， 从
(1.9)
由此可见，如果能够估计出差分方程中的系数，并且了解差分方程解的结构，则可以对 经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质 比较敏感地依赖差分方程中的系数。 §1.2 p 阶差分方程 如果在方程当中允许 y t 依赖它的 p 阶前期值和输入变量，则可以得到下述 p 阶线性差 分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：
y t = φ1 y t −1 + φ 2 y t − 2 + L + φ p y t − p + wt
为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：
(1.10) (1.11)
ξ t = F ξ t −1 + v t
其中：
yt φ1 φ 2 y t −1 1 0 ξ t = y t −2 ， F = 0 1 M M M y t − p +1 0 0
| F − λ I p |= 0
一般情况下，可以根据行列式的性质，将行列式方程转换为代数方程。 例 1.5 在二阶差分方程当中，特征方程为： (φ1 − λ ) φ 2 = λ 2 − φ1 λ − φ 2 = 0 1 −λ
(1.16)
具体可以求解出两个特征根为： 1 1 (1.17) λ1 = φ1 + φ12 + 4φ 2 ， λ 2 = φ1 − φ12 + 4φ 2 2 2 上述特征根的表达式在讨论二阶线性差分方程解的稳定性时，我们还要反复用到。
1
时间序列分析方法讲义
第 1 章 差分方程
∂ yt = φ1t ∂ w0
类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到： ∂ yt+ j = φ1j ∂ wt 何差分方程中都是适用的。
(1.3)
(1.4)
上述乘子仅仅依赖参数 φ1 和时间间隔 j ， 并不依赖观测值的具体时间阶段， 这一点在任 例 1.2 货币需求的收入乘子 在我们获得的货币需求函数当中， 可以计算当期收入一个 单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即： ∂ mt + 2 ∂ mt + 2 ∂ wt ∂ wt = × = φ12 ∂ It ∂ wt ∂ It ∂ It 利用差分方程解的具体系数，可以得到： ∂ wt = 0.19 ， φ1 = 0.72 ∂ It 从而可以得到二阶乘子为： ∂ mt + 2 = 0.098 ∂ It 注意到上述变量均是对数形式， 因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系 数，这意味着收入增长 1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加 0.098%，其弹性是比较微 弱的。 定义 1.1 在一阶线性差分方程中， 下述乘子系列称为 y t 相对于外生扰动 wt 的反应函数： ∂ yt + j Lj = = φ1j ， j = 0, 1,L (1.5) ∂ wt 显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数 φ1 的取值。 (1) 当 0 < φ1 < 1 时，反应函数是单调收敛的； (2) 当 − 1 < φ1 < 0 时，反应函数是震荡收敛的； (3) 当 φ1 > 1 时，反应函数是单调扩张的； (4) 当 φ1 < −1 时，反应函数是震荡扩张的； 反应函数是收敛的； 当 | φ1 |> 1 可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性： 当 | φ1 |< 1 时， 时，反应函数是发散的。 这时扰动将形成持续的单一影响， 即 wt 的一个单位变化 一个特殊情形是 φ1 = 1 的情形， 将导致其后任何时间 y t + j 的一个单位变化： ∂ yt + j Lj = ≡ 1 ， j = 0, 1,L ∂ wt 为了分析乘子的持久作用，假设时间序列 y t 的现值贴现系数为 β ，则未来所有时间的
t = 0 ： y 0 = φ 0 + φ1 y −1 + w0 t = 1 ： y1 = φ 0 + φ1 y 0 + w1
M M
t = t ： y t = φ 0 + φ1 y t −1 + wt
依次进行叠代可以得到：
y1 = φ 0 + φ1 (φ 0 + φ1 y −1 + w0 ) + w1 = φ 0 (1 + φ1 ) + (φ1 ) 2 y −1 + φ1 w0 + w1
其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其余方
将 p 阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于， 它可以进行比较方便的叠代处理， 同时 可以更方便地进行稳定性分析。另外，差分方程的系数都体现在矩阵 F 的第一行上。
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时间序列分析方法讲义
第 1 章 差分方程
进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为：
ξ t = F t +1 ξ −1 + F t v 0 + F t −1v1 + L + F 1v t −1 + v t
利用 示为：
(1.12)
f i (tj ) 表示矩阵 F t
中第 i 行、第 j 列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程可以表
( t +1) ( t +1) (t ) ( t −1) t +1) y t = f11 y −1 + f12 y − 2 + L + f 1(p y − p + f 11 w0 + f11 w1 + L + f 1(11) wt −1 + wt
(
)
(
)
距阵 F 的特征Fra Baidu bibliotek与 p 阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出： 命题 1.1 距阵 F 的特征根满足下述方程，此方程也称为 p 阶线性差分方程的特征方程：
时间序列分析方法讲义
第 1 章 差分方程
第一章
差分方程
差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基 础， 也是分析时间序列动态属性的基本方法。 经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理 具有随机项的差分方程的求解问题， 因此， 确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要 内容。 §1.1 一阶差分方程 假设利用变量 y t 表示随着时间变量 t 变化的某种事件的属性或者结构，则 y t 便是在时 间 t 可以观测到的数据。假设 y t 受到前期取值 y t −1 和其他外生变量 wt 的影响，并满足下述 方程：