差分方程

y t = φ1 y t −1 + φ 2 y t − 2 + L + φ p y t − p + wt
为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：
(1.10) (1.11)
ξ t = F ξ t −1 + v t
其中：
yt φ1 φ 2 y t −1 1 0 ξ t = y t −2 ， F = 0 1 M M M y t − p +1 0 0
( j +1) ( j +1) y t + j = f 11 y t −1 + f 12 y t − 2 + L + f 1(pj +1) y t − p 1) ( j) ( j −1) + f11 wt + f11 wt +1 + L + f1(1 wt + j −1 + wt + j
(1.14)
j
∂ yt + j ∂ wt
= ∑ β jφ j =
j =0
∞
1 ， | β φ |< 1 1− β φ
上述分析的是外生变量的暂时扰动， 如果 wt 发生一个单位的变化， 而且其后的 ws , s > t 也都发生一个单位的变化， 这意味着变化是持久的。 这时持久扰动对于 (t + j ) 时刻的 y t + j 的 影响乘数是： ∂ y t + j ∂ y t +1 ∂ yt + j +L+ = φ1j + φ1j −1 + L + φ10 + ∂ wt +1 ∂ wt + j ∂ wt 当 | φ1 |< 1 时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响： ∂ y t + j ∂ y t +1 ∂ yt+ j 1 lim ( )= +L+ + j →∞ ∂ w ∂ wt + j 1 − φ1 ∂ wt +1 t 中可以求出货币需求的长期收入弹性为： dmt dmt dwt 0.19 = × = = 0.68 dI t dwt dI t 1 − 0.72 这说明收入增加 1%最终将导致货币需求增加 0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持 久影响效果。 如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于 y t 以后 路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为： ∞ ∂y 1 t+ j = ∑ 1−φ j = 0 ∂ w 阶差分方程的动态反应乘子为： ∂ yt + j ( j) Lj = = f11 ， j = 0, 1,L ∂ wt 由此可见，动态反应乘子主要由矩阵 F j 的首个元素确定。 例 1.4 在 p 阶差分方程中，可以得到一次乘子为： ∂ y t +1 (1) L1 = = f11 = F11 = φ1 ∂ wt 二次乘子为： ∂ yt + 2 (2) 2 L1 = = f11 = F11 = φ12 + φ 2 ∂ wt 虽然可以进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子， 但是利用矩阵特征根表示则更 为方便，主要能够更为方便地求出矩阵 F j 的首个位置的元素。 根据定义，矩阵 F 的特征根是满足下述的 λ 值：
程均是定义方程： y t − j = y t − j ， j = 1, 2, L , p
φ 3 L φ p −1 φ p wt 0 L 0 0 0 0 L 0 0 ， vt = 0 M M M M M 0 L 1 0 0
t = 0 ： y 0 = φ 0 + φ1 y −1 + w0 t = 1 ： y1 = φ 0 + φ1 y 0 + w1
M M
t = t ： y t = φ 0 + φ1 y t −1 + wt
依次进行叠代可以得到：
y1 = φ 0 + φ1 (φ 0 + φ1 y −1 + w0 ) + w1 = φ 0 (1 + φ1 ) + (φ1 ) 2 y −1 + φ1 w0 + w1
(
)
(
)
距阵 F 的特征根与 p 阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出： 命题 1.1 距阵 F 的特征根满足下述方程，此方程也称为 p 阶线性差分方程的特征方程：
mt = 0.27 + 0.72 mt −1 + 0.19 I t − 0.045rbt − 0.019rct
上述方程便是关于 mt 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断 其他外生变量变化对货币需求的动态影响。 1.1.1 差分方程求解：递归替代法 差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式， 可以通过以前的数 据计算出方程变量的当前值。 由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：
(1.7)
(1.8)
例 1.3 货币需求的长期收入弹性 在例 1.1 中我们已经获得了货币的短期需求函数， 从
(1.9)
由此可见，如果能够估计出差分方程中的系数，并且了解差分方程解的结构，则可以对 经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质 比较敏感地依赖差分方程中的系数。 §1.2 p 阶差分方程 如果在方程当中允许 y t 依赖它的 p 阶前期值和输入变量，则可以得到下述 p 阶线性差 分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：
y t = φ 0 + φ1 y t −1 + wt
(1.1)
在上述方程当中，由于 y t 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值 y t −1 ，因此称具有 这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量 wt 是确定性变量，则此方程是确定性差分 方程；如果变量 wt 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设 wt 是确定性变量。 例 1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、 实际收入、 银行储蓄利率和商业票据利率的 对数变量分别表示为 mt 、 I t 、 rbt 和 rct ，则可以估计出美国货币需求函数为：
y t 流贴现到现在的总值为：
j =0
∑ β j yt + j
∞
(1.6)
如果 wt 发生一个单位的变化，而 ws , s > t 不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响 为边际导数：
2
时间序列分析方法讲义
∞ ∞
第 1 章 差分方程
∂( ∑ β j y t + j ) / ∂wt = ∑ β
j =0 j =0
ξ t = F t +1 ξ −1 + F t v 0 + F t −1v1 + L + F 1v t −1 + v t
利用 示为：
(1.12)
f i (tj ) 表示矩阵 F t
中第 i 行、第 j 列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程可以表
( t +1) ( t +1) (t ) ( t −1) t +1) y t = f11 y −1 + f12 y − 2 + L + f 1(p y − p + f 11 w0 + f11 w1 + L + f 1(11) wt −1 + wt
1
时间序列分析方法讲义
第 1 章 差分方程
∂ yt = φ1t ∂ w0
类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到： ∂ yt+ j = φ1j ∂ wt 何差分方程中都是适用的。
(1.3)
(1.4)
上述乘子仅仅依赖参数 φ1 和时间间隔 j ， 并不依赖观测值的具体时间阶段， 这一点在任 例 1.2 货币需求的收入乘子 在我们获得的货币需求函数当中， 可以计算当期收入一个 单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即： ∂ mt + 2 ∂ mt + 2 ∂ wt ∂ wt = × = φ12 ∂ It ∂ wt ∂ It ∂ It 利用差分方程解的具体系数，可以得到： ∂ wt = 0.19 ， φ1 = 0.72 ∂ It 从而可以得到二阶乘子为： ∂ mt + 2 = 0.098 ∂ It 注意到上述变量均是对数形式， 因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系 数，这意味着收入增长 1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加 0.098%，其弹性是比较微 弱的。 定义 1.1 在一阶线性差分方程中， 下述乘子系列称为 y t 相对于外生扰动 wt 的反应函数： ∂ yt + j Lj = = φ1j ， j = 0, 1,L (1.5) ∂ wt 显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数 φ1 的取值。 (1) 当 0 < φ1 < 1 时，反应函数是单调收敛的； (2) 当 − 1 < φ1 < 0 时，反应函数是震荡收敛的； (3) 当 φ1 > 1 时，反应函数是单调扩张的； (4) 当 φ1 < −1 时，反应函数是震荡扩张的； 反应函数是收敛的； 当 | φ1 |> 1 可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性： 当 | φ1 |< 1 时， 时，反应函数是发散的。 这时扰动将形成持续的单一影响， 即 wt 的一个单位变化 一个特殊情形是 φ1 = 1 的情形， 将导致其后任何时间 y t + j 的一个单位变化： ∂ yt + j Lj = ≡ 1 ， j = 0, 1,L ∂ wt 为了分析乘子的持久作用，假设时间序列 y t 的现值贴现系数为 β ，则未来所有时间的
y t 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出 y t 对这些变量取值的依赖性和动态变化