截长补短类辅助线作法

截长补短类辅助线作法

“截长”就是将三条线段中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段的数量关系；

“补短”就是将三条线段中一条已知的较短的线段延长至与另一条已知的较短的长度相等，然后证明延长后的线段与最长的已知线段的数量关系．

注：1、截长补短类辅助线解决的一般是三条线段之间的数量关系问题，特别要注意线段前系数不是“1”的时候，一般会涉及到含特殊角的直角三角形

2、具体在利用截长或者补短构造辅助线时要结合题目条件选择恰当的方法，并不是所有题目截长和补短都可以

例题精讲

1、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．

2、已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；

（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？

3、已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．

4、（2014初二上期末昌平区）如图，AD是△ABC的角平分线，点F，E分别在边AC，AB上，且．

（1）求证：；

（2）如果，探究线段AE，AF，FD之间满足的等量关系，并证明．

5、如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．

6、如图所示，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且

．求证：．

7、五边形ABCDE中，，，，求证：AD 平分∠CDE．

8、如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：

9、(2012初二上期中中关村中学)如图1所示：，AE、DE分别平分

和，并交于E点.过点E的直线分别交AM、DN于B、C.

（1）如图2，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：____ _____.

（2）试证明你的猜想.

（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程.

10、（2012初二上期中北达资源中学）（1）如图，四边形ABPC中，，

，，求证：．

（2）如图，四边形ABCD中，，，P为四边形ABCD一点，且，求证：．

11、（2009中考）数学课上，老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF 于点F，求证：AE=EF．

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

12、（2013中考二模）在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得，连接AG．

（1）如图1，当EF与AB相交时，若，求证：；（2）如图2，当EF与AB相交时，若，请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；

（3）如图3，当EF与CD相交时，且，请你写出线段EG、AG、BG 之间的数量关系，并证明你的结论．

13、（2015初二上期末昌平区）为等腰直角三角形, ,点在边上（不与点、重合），以为腰作等腰直角，

（1）如图1，作于，求证：；

（2）在图1中，连接交于，求的值；

（3）如图2，过点作交的延长线于点，过点作，交于点，连接.当点在边上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由.

随堂练习

1、已知等腰，，的平分线交于，则．

2、已知：如图，是正方形，，求证：．

3、（2015中考顺义一模）如图，△ABC中，，点P是三角形右外一点，且．

（1）如图1，若，点P恰巧在∠ABC的平分线上，，求PB的长；

（2）如图2，若，探究PA，PB，PC的数量关系，并证明；

（3）如图3，若，请直接写出PA，PB，PC的数量关系．

课后作业

1、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：．

2、（2013龙东地区中考）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、

OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

3、（2015中考海淀一模）在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：；

（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：

_____________________________．

4、（2014、大兴安岭、中考）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）

（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．