第8章 数学形态学及其应用

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第八章 数学形态学及其应用
4.平移和反射
平移： 设A是一幅数字图像，b是一个点，那么定义A被 b平移后的结果为： A＋b＝{a＋b| a∈A} ＋ ＝ ＋ ∈ 即取出 A 中的每个点a的坐标值，将其与点b的坐标 值相加，得到一个新的点的坐标值a+b，所有这些新点 所构成的图像就是A被b平移的结果，记为A+b。
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数学形态学是由一组形态学的代数运算子组成的，它 的基本运算有4个：
腐蚀（或侵蚀）- Erosion 膨胀（或扩张）- Dilation 开启 - Opening 闭合 - Closing
基于这些基本运算还可推导和组合成各种数学形 态学实用算法，用它们可以进行图像形状和结构的分 析及处理，包括图像分割、特征抽取、边界检测、图 像滤波、图像增强和恢复等。
SE = strel('rectangle rectangle',MN) creates a flat, rectangle-shaped structuring element, where MN specifies the size.
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8.2 二值形态学
设 A 为图像集合，S 为结构元素，数学形态学运算是 用 S 对 A 进行操作。 腐蚀与膨胀是二值形态学中两个最基本的运算。在腐 蚀和膨胀两个基本运算的基础上，可以构造出由膨胀和腐 蚀两个运算的复合与集合操作（并、交、补等）组合而成 的形态学运算族，如 开启、闭合、击中/击不中变换等。
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数学形态学的数学基础和所用语言是集合论。
因此它具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、 因此它具有完备的数学基础，这为形态学用于图像分析和处理、 形态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。 形态滤波器的特性分析和系统设计奠定了坚实的基础。
数学形态学的应用可以简化图像数据，保持它们基本的 保持它们基本的 形状特性，并除去不相干的结构。 形状特性，并除去不相干的结构 数学形态学的算法具有天然的并行实现的结构， 实现 了形态学分析和处理算法的并行，大大提高了图像分析 和处理的速度。
b a A (a) a ∈A 且 a ∉B (b) B ⊂ A B A
图8-1 元素与集合间的关系
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2. 交集、并集、补集和差集
交集：两个图像集合 A 和 B 的公共点组成的集合称为 两个集合的交集， 记为A∩B，即 A∩B={a｜a∈A且a∈B} 并集：两个集合 A 和 B 的所有元素组成的集合称为两 个集合的并集，记为A∪B，即 A∪B={a｜a∈A，或a∈B} 补集：对一幅图像A，在图像 A 区域以外的所有点构成 的集合称为A的补集，记为AC，即AC={a｜a ∉ A}。 差集：A-B={a|a∈A且a ∉B}=A ∩Bc
第8章 数学形态学及其应用
张运楚
信息与电气工程学院
2012.2
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第八章 数学形态学及其应用
本章内容
8.1 引言 8.2 二值形态学 8.3 灰值形态学 8.4 形态学的应用
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8.1 引言
8.1.1 数学形态学
数学形态学(Mathematical Morphology)诞生于 1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J. Serra) 和导师马瑟荣(G. Matheron) ，在从事铁矿核的定量 G. 岩石学分析及预测其开采价值的研究中提出，并在理 论层面上第一次引入了形态学的表达式，建立了颗粒 分析方法(Granular Analysis Method）。 他们的工作奠定了这门学科的理论基础。
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Matlab 的结构元素函数
SE = strel(shape, parameters) SE = strel('diamond diamond',R) creates a flat, diamond-shaped structuring element, where R specifies the distance from the structuring element origin to the points of the diamond.
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应用：
计算机文字识别 计算机显微图像分析(如定量金相分析，颗粒分析 计算机显微图像分析 如定量金相分析，颗粒分析) 如定量金相分析 医学图像处理图像编码压缩 工业检测(如食品检验和印刷电路自动检测 工业检测 如食品检验和印刷电路自动检测) 如食品检验和印刷电路自动检测 材料科学 机器人视觉 汽车运动情况监测等。 汽车运动情况监测等。 另外，数学形态学在指纹检测、经济地理、合成音乐和断层 另外，数学形态学在指纹检测、经济地理、合成音乐和断层X 光照像等领域也有良好的应用前景。 光照像等领域也有良好的应用前景。
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8.1.2 基本符号和术语
1. 元素和集合 在形态学运算中，把一幅图像称为一个集合。对于二值 图像而言： 取值为1的点（像素）对应于景物， 取值为0的点（像素）对应于背景。 考虑所有值为1的点的集合为 A， 则 A 与图像是一一对 应的。 对于一幅图像 A，如果点 a 在 A 的区域以内， 那么就说 a 是 A 的元素，记为 a∈A，否则，记作a∉A。 ∉
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数学形态学中的集合：表示图像中的不同目标(Objects)。
例如，在二值图像中，常用取值为1的点代表前景，而取值为0 例如，在二值图像中，常用取值为1的点代表前景，而取值为0的点 代表背景。所有取值为1的像素的集合是图像完整的形态学描述。 代表背景。所有取值为1的像素的集合是图像完整的形态学描述。
0 y
x
二维整数空间(Z2) 注意：硬件显示时将取值为“1”的像素显示为“白色”、“0”显示为 “黑色”，而印刷时常相反。 “1”为白色或黑色，取决于事先的约定。
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包含: 包含: 对于两幅图象 A 和 B，如果对B中的每一个点 b (b ∈B） 都有 b ∈A，那么称 B 包含于 A，记作 B⊆A。如果同时A 中存在一个点 a，a ∈A 且 a ∉B，那么称 B 真包含于A，记 作B⊂A。
+ + + +
(a) 集合
＋
X
(b) 结构元素
S
(c) X
㊀ S 的结果
图8-7 腐蚀运算示例
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第八章 数学形态学及其应用 S
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说明：
如果 S 包含了原点，即O∈S， 那么（X 原点，那么 X ㊀ S ⊆ X未必成立。 如果结构元素 S 关于原点 O 是对称的，那么 S=SV，因 此 X ㊀ S=X ㊀ SV, 但是，如果S关于原点O不是对称的， 那么X被S腐蚀的结果与X被SV腐蚀的结果是不同的。
5 4 3 2 1 0
y y
3 2 1 0 5 4 3 2 1 1 2 3 (b) 4
y
平移
1 2 3 (c) 4
b
x
0
1
2 3 (a)
4
x
x
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反射： A关于图像原点的反射定义为： Av={a| -a ∈ A} 即将A中的每个点的坐标取反后所得到的新图像 （关于原点对称） 。
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S+x只有三种可能的状态:
(1) S+x ⊆ X； (2) S+x ⊆ XC； (3) S+x∩X 与 S+x∩X C 均不为空
图8-6 S+x的三种可能的状态
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例8-1 腐蚀运算图解。图8-7给出腐蚀运算的一个简 单示例。由图可见，腐蚀将图像（区域）收缩小了。
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结构元素的原点：结构元素 结构元素的原点：结构元素S 本身也是一个图像集合。 对每个结构元素可以指定一个原点，它是结构元Leabharlann Baidu参与 形态学运算的参考点。 应注意，原点可以包含在结构元素中，也可以不包 含在结构元素中，但运算的结果常不相同。 以下用阴影代表值为1的区域，白色代表值为0的区 域，运算是对值为1的区域进行的。
㊀
S）将是 X
的一个收缩，即X㊀S ⊆X（当O∈S时）；如果 S 不包含
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腐蚀的另一种定义形式:
利用腐蚀运算的定义式可以直接设计腐蚀变换的算法。 但有时为了更方便，常使用腐蚀的另一种表达式，即 X ㊀ S = ∩{s + X | -s ∈ S} 上式把腐蚀表示为对图像X平移的交 对图像 平移的交，这在某些并行 处理环境中特别有用。（注意：对结构元素进行了反射操 （注意： 作）
y x
5 4 3 2 2 1 3 4 1 4 3 2 1 0
y
0 1 2 (c) 3 4
x
(d)
反射
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平移和反射
ˆ B = {w w = −b, b ∈ B}
反射
集合原点
平移
(B)z={c｜c=a+z , a∈B}
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5. 目标和结构元素
目标图像：被处理的图像称为目标图像 目标图像： 目标图像，一般用大写英文 字母表示。为了确定目标图像的结构，必须逐个考察图像 各部分之间的关系，并且进行检验，最后得到一个各部分 之间关系的集合。 结构元素：在考察目标图像各部分之间的关系时，需要设 结构元素： 结构元素”。“结 计一种收集信息的“探针”， 称为“结构元素 构元素”一般用大写英文字母表示，例如用S表示。在图 像中不断移动结构元素，就可以考察图像之间各部分的关 系。一般，结构元素的尺寸要明显小于目标图像的尺寸。
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数学形态学的基本思想是用具有一定形态的结构元素去 数学形态学的基本思想 量度和提取图像中的对应形状以达到对图像分析和识别 的目的。 数学形态学利用结构元素作为“探针”，收集图像的信 息；当探针在图像中不断移动时，便可考察图像各个部 分之间的相互关系，从而了解图像的结构特征 结构特征。 作为探针的结构元素，可直接携带知识（形态、大小、 甚至加入灰度和色度信息）来探测、研究图像的结构特 点。数学形态学基于探测的思想，与人的FOA (Focus Of Attention)的视觉特点有类似之处。
二二二二 腐腐 膨膨
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8.2.1 腐蚀(Erosion)
给定目标图像 X 和一个结构元素 S， S 对X的腐蚀 (简称腐蚀，有时也称 X 用 S 腐蚀， X 被 S 腐蚀)的定义 为： X ㊀ S={ x | S + x ⊆ X } 上式表明，X 用 S 腐蚀的结果是所有使 S 平移到 x 后，S 仍在 X 中的x 的集合。 S 换句话说，用 S 来腐蚀 X 得到的集合是 S 完全包括 在 X 中时 S 的原点位置的集合 的原点位置的集合。
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J.Serra教授是数学形态学创始人，是国际数学形态学会的创立 者和第一任主席，国际立体测量学会副主席。曾获多项法国研 究奖项，主要论著有《Image Analysis and Mathematical Morphology》。 Serra教授目前主要从事集合、函数与算子连通性分析；颜色的 形态学处理；微观形态学、数学形态学在遥感图像处理与GIS 中的应用等方面的研究。
SE = strel('disk disk',R,N) creates a flat, disk-shaped structuring element, where R specifies the radius.
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SE = strel('line 'line',LEN,DEG) creates a flat, linear structuring element, where LEN specifies the length, and DEG specifies the angle (in degrees) of the line, as measured in a counterclockwise direction from the horizontal axis.
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3.击中（Hit）与击不中（Miss）
设有两幅图像A和B，如果A∩B≠∅，那么称B击中A，记 为A⊙B（或 A↑B ）； 否则，如果A∩B= ∅ ， 那么称B击不中A。
A
B
A
B
(a)
(b)
图8-3 击中与击不中 （a） B击中A； （b） B击不中A