概率论与数理统计答案 中国纺织大学出版社(东华大学出版社)

第六章 数理统计基本概念与抽样分布

第一节 数理统计基本概念习题

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1、 设总体ξ分布为下述情形（1）(,)B k p ξ ；（2）ξ服从参数为λ的指数分布；（3）

(,1)N ξμ ，14,ξξ 为取自总体4n =的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联

合分布律（或联合密度）。

解答：（1）因(,)B k p ξ ，所以{}(1),0,1,l l

k l k P l C p p l k ξ-==-= ，故样本空间为

1414{(,,)|,,0,1,,}X k k k k k == ，11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====

111444(1)(1)k k k k k k k k k k C p p C p p --=-⋅⋅- ，14,,0,1,,k k k = ；

（2）因()ξπλ ，所以{},0,1,!

k

P k e k k λλξ-==

= ，故样本空间

1414{(,,)|0,1,}X k k k k == ，11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====

1

4

1414,,,0,1,!

!

k

k

e e k k k k λ

λλλ--=

⋅⋅

= ；

（3）因(,1)N ξμ ，所

以2

()

()exp()2x f x μ-=-()x -∞<<∞，故样本空间1414{(,,)|,,}X k k k k R =∈ ，

2114()(,,))2x f x x μ-=-⋅⋅

24())2x μ--14(,,)x x -∞<<∞ 。

2、 设样本观察值12,,,n x x x 中有些值是相同的，把它们按小到大排列，分别取值为

(1)(2)()k x x x <<< ，取(1)(2)(),,,k x x x 得频数分别为12,,k n n n ，1

()k

i i n n ==∑，显

然有样本均值_

()11k i i i x n x n ==∑，样本方差_

2

2()1

1()1k i i i S n x x n ==--∑。 （1） 求证：_

2

2

2()1

1[()]1k i i i S n x n x n ==--∑；

（2） 有一组25n =的样本观察值，其数据如下，试求_

x 、22,s b 。

解答：（1）_2

2()11()1k i i i S n x x n ==--∑__

22

()()11(2())1k i i i i n x x x x n ==-⋅+-∑=2()1

1[1k i i i n x n =-∑ _

_2

()1

2()]k

k

i i i i i i x n x x n ==-+∑∑___

2

2()11[2()]1k i i i n x x n x n x n ==-⋅+-∑

_

2

2()1

1[()]1k i i i n x n x n ==--∑。

（2）_

11

(8*05*17*33*42*6)285732

i i i

x n x n =

⋅=

++++=++++∑∑，

_

2

2222

222

21111

[()](8051733426

252)

124

3

i i s n x n x n =

⋅-=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅-⋅=-∑， _

22

22112411[()] 3.52253

i i n b n x n x s n n -=⋅-=

=⋅=∑ 3、 设123,,ξξξ为取自正态总体2(,)N μσ的一个样本，其中μ未知但2

σ已知。问下述样本

函数中哪些是统计量？哪些不是统计量？ （1）()123,ξξξ+；（2）()

3

2

1

i i ξμ=-∑；（3）

3

2

21

1

i i ξσ

=∑；（4）123max(,,)ξξξ； （5）

(1)(3)1()2ξξ+；（6）131

()ξξσ

+。 解答：因统计量是样本的连续函数且不包含任何未知参数。由题意，μ未知但2

σ已知，因此可知除（2）不是统计量外，其余5个都是统计量。 4、 在计算样本均值与样本方差时，常常对数据作线形变换,i i x a

y b

-=

1,2,,i n = ，使i y 成为较简单的整数以简化运算，求证：__

222x y

x b y a

s b s ⎧⎪=+⎨=⎪⎩。其中：__

1111,n n i i i i x x y y n n ====∑∑，

__

222

21111(),()11n n x

i y i i i s x x s y y n n ===-=---∑∑。 解答：因为,i i x a y b -=所以(1,,)i i x a by i n =+= ，_

11

11()n n

i i i i x x a by n n ====+∑∑