初中几何经典模型总结,八年级数学几何模型归纳例题及解析
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案) 初中数学几何模型大全及经典题型（含答案）全等变换平移：平行线段平移形成平行四边形。
对称：以角平分线、垂线或半角作轴进行对称，形成对称全等。
旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转形成旋转全等。
对称半角模型通过翻折将直角三角形对称成正方形、等腰直角三角形或等边三角形。
旋转全等模型半角：相邻等线段所成角含1/2角及相邻线段。
自旋转：通过旋转构造相邻等线段的旋转全等。
共旋转：通过寻找两对相邻等线段构造旋转全等。
中点旋转：将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。
模型变形当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
几何最值模型对称最值：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
旋转最值：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。
剪拼模型通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状，例如将三角形剪拼成四边形或将矩形剪拼成正方形。
正方形的边长可以通过射影定理来求解。
假设正方形的边长为x，那么正方形的对角线长为x√2.将正方形分成两个等腰直角三角形，可以得到等腰直角三角形的斜边长为x√2/2.因此，根据射影定理，可以得到等腰直角三角形的高为x/2，进而得到正方形的边长为x=x√2/2.通过平移和旋转，可以将一个正方形变成另一个正方形。
这可以通过旋转相似模型来实现。
例如，两个等腰直角三角形可以通过旋转全等来实现形状的改变，而两个有一个角为300度的直角三角形可以通过旋转相似来实现形状的改变。
更一般地，两个任意相似的三角形可以通过旋转成一定角度来实现旋转相似，其中第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。
在相似证明中，需要注意边和角的对应关系。
相等的线段或比值在证明相似时可以通过等量代换来构造相似三角形。
另外，从三垂线到射影定理的演变，再到内外角平分线定理，需要注意它们之间的相同和不同之处。
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
完整版)初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)通过将倍长中点相关线段进行旋转变换，可以构造出旋转全等模型。
这种模型的特点是，将相邻等线段所成角的一半旋转后拼接在一起，形成对称全等。
同时，也可以通过将两个等腰三角形或正多边形的夹角进行变化，来构造出模型变形。
如果遇到复杂图形找不到旋转全等，可以先找到两个正多边形或等腰三角形的公共极点，然后围绕公共极点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
幂定理可以用等线段、等比值、等乘积进行代换，从而将两个数之间的比值转换成乘积。
在相似证明中，常用的辅助线是平行线，根据题目条件来确定比值并做出相应的平行线。
题目一：在半圆中，圆心为O，圆上有点C、E，CD垂直于AB，EF垂直于AB，EG垂直于CO。
证明CD等于GF。
题目二：在正方形ABCD内部，点P满足∠PAD＝∠PDA＝15度。
证明△PBC是正三角形。
题目三：在图中，ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点。
证明A2B2C2D2是正方形。
题目四：在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F。
证明∠DEN＝∠F。
题目五：在△ABC中，H为垂心，O为外心，且OM垂直于BC于M。
1）证明AH等于2OM；2）如果∠BAC等于60度，证明AH等于AO。
1.设P为正三角形ABC内任意一点，连接PA,PB,PC，由三角形不等式可得PA+PB>AB。
PB+PC>BC。
PC+PA>CA。
将三式相加得到2PA+2PB+2PC>AB+BC+CA=3，即PA+PB+PC>3/2.又由于P到三角形三边的距离不超过1，所以PA+PB+PC<3，综上可得1.5≤PA+PB+PC<3，即所求不等式成立。
2.设P为正方形ABCD内任意一点，连接PA,PB,PC,PD。
由于正方形四边相等，所以PA+PC=2，PB+PD=2.又由于P到四边的距离不超过1，所以PA+PB+PC+PD<4.将前两式相加得到PA+PB+PC+PD=2(PA+PB)/2+2(PC+PD)/2≥2√(PA·PB)+2√(PC·P D)。
八年级几何模型总结(精排版 有答案)
八年级几何模型总结姓名___________班级__________学号__________分数___________※1．在△ABC 中，∠ACB ＝2∠B ，如图①，当∠C ＝90°，AD 为∠ABC 的角平分线时，在AB 上截取AE ＝AC ，连接DE ，易证AB ＝AC ＋CD ， (1)如图②，当∠C ≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想：(2)如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB ，AC ，CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明．ABCE D 图①图②ABD ADBCF图③※2．如图1，在△ABC 中，∠A ＝2∠C ，BD 平分∠ABC ，AD ＝1.3，AB ＝2.4，思考：因为BD 平分∠ABC ，所以可在BC 边上取点E ，使BE ＝AB ，连接DE ，这样很容易得到△DEB ≌△DAB ，经过推理能使问题得到解决．(1)求证：DE ＝EC ，(2)线段BC ＝____________． 拓展：如图2，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，BD 平分∠ABC ，BD ＝2.4，BC ＝2.1，求AD 的长． ABC DEABCD图1图23．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，求证：EF ＝BE ＋DF ； ABCDEF※4．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，求证：EF ＝BE ＋DF ；ABCDEF5．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 延长线上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，求证：EF ＝DF －BE ；ABCDEF6．正方形ABCD 中，线段AB 、BC 上各有一个动点E ，F ，且∠EDF ＝45° ，求证：EF ＝AE ＋FC ； A BC DFE※7．Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝AB ，点D 、E 在斜边BC 上，且∠DAE ＝45°，求证：线段BD 、DE 、EC 总能构成一个直角三角形． ABCD E45°※8．如图，菱形ABCD (四条边相等的平行四边形)，E 、F 分别是边AD 和DC 上的两点，∠EBF ＝60°，∠A ＝60°，探索△BEF 的形状． ABCDEF※9．如图，菱形ABCD (四条边相等的平行四边形)，E 、F 分别是边AD 和DC 延长线上的两点，∠EBF ＝60°，∠A ＝60°，探索△BEF 的形状． ABCDEF10．如图，Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D为BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上点，∠EDF ＝90°，请探索△DEF 的形状． ABCDEF※11．如图，Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E 、F 分别为边AB 、AC 延长线上的点，∠EDF ＝90°，请探索△DEF 的形状． ABCDEF※12．如图，∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB ，且OP ＝2．若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( ) A ．1个；B ．2个；C ．3个；D．3个以上；微课程试题答案1．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．分析：(1)首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC(SAS)，则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC＋CD；(2)首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC＋AB＝C D．解答：解：(1)猜想：AB＝AC＋C D．证明：如图②，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为△ABC的角平分线时，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴EB＝ED，∴EB＝CD，∴AB＝AE＋DE＝AC＋CD．(2)猜想：AB＋AC＝CD．证明：在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED．∵AD平分∠F AC，∴∠EAD＝∠CAD．在△EAD与△CAD中，AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△EAD≌△CA D．∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD．∴∠FED＝∠ACB．又∠ACB＝2∠B，∠FED＝∠B＋∠EDB，∠EDB ＝∠B．∴EB＝E D．∴EA＋AB＝EB＝ED＝CD．∴AC＋AB＝CD．AB CED图①图②ABCDBE点评：此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】(1)由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形；(2)在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．【解答】解：(1)证明：∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠EBD在△ABD与△EBD中，AB＝BE∠ABD＝∠EBDBD＝BD，∴△ABD≌△EBD，∴∠A＝∠DEB，∵∠A＝2∠C，∴∠DEB＝2∠C，而∠DEB△DEC的外角∴∠DEB＝∠C＋∠CDE，∴∠C＝∠CDE∴DE＝EC；(2)BC的长为3.7，BC=AB+AD拓展：∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°∠BDC＝60°，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，则△DEB≌△DBC，∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，则△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2.1，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2.1，∵BD＝DF＝2.4，∴AD＝BD＋BC＝4.5．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键．3．证明：延长CB至M，使BM＝DF，连AM，AB C DE FM∵∠B＝∠D＝90°，∴∠ABM＝∠D，在△ADF和△ABM中，AB＝AD∠ABM＝∠DBM＝DF∴△ADF≌△ABM，∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠DAF＋∠BAE＝12∠BAD，∴∠MAB＋∠BAE＝12∠BAD＝∠EAF，即：∠MAE＝∠EAF在△MAE和△EAF中AF＝AM，∠MAE＝∠EAFAE＝AE∴△MAE≌△EAF∴EF＝EM＝BE＋BM又∵BM＝DF∴EF＝BE＋DF4．证明：延长CB至M，使BM＝DF，连AM，ABCDEFM123∵∠D＋∠ABC＝180°，∠ABM＋∠ABC＝180°，∴∠ABM＝∠D，在△ADF和△ABM中，AB＝AD∠ABM＝∠DBM＝DF∴△ADF≌△ABM，∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠1＋∠3＝12∠BAD，∴∠2＋∠3＝12∠BAD＝∠EAF，即：∠MAE＝∠EAF在△MAE和△EAF中AF＝AM，∠MAE＝∠EAFAE＝AE∴△MAE≌△EAF∴EF ＝EM ＝BE ＋BM 又∵BM ＝DF ∴EF ＝BE ＋DF5．证明：在CD 上取M ，使DM ＝BE ，连AM ， ABCDEFM∵∠ABC ＋∠D ＝180°， ∠ABC ＋∠ABE ＝180°， ∴∠D ＝∠ABE在△ADM 和△ABE 中 AB ＝AD ∠D ＝∠ABE BE ＝DM∴△ADM ≌△ABE∴AE ＝AM ，设∠DAM ＝∠BAE ＝α，∠BAF ＝β ∴∠EAF ＝12 ∠BAD ＝α＋β，∠BAD ＝2α＋2β∴∠F AM ＝∠BAD －∠BAF －∠DAM ＝2α＋2β－α－β＝α＋β，∴∠EAF ＝∠MAF ＝α＋β， 在△EAF 和△MAF 中， AE ＝AM ，∠EAF ＝∠MAF ， AF ＝AF∴△EAF ≌△MAF ∴EF ＝MF ＝DF －DM ∵DM ＝BE ，∴EF ＝MF ＝DF －BE 即：EF ＝DF －BE ；6．证明：延长BA 至M 使AM ＝CF ，A BC DFEM∵四边形ABCD 是正方形∴DC ＝DA ，∠C ＝∠BAM ＝90° 在△CDF 和△ADM 中， DC ＝DA ， ∠C ＝∠BAM AM ＝CF∴△CDF ≌△ADM∴∠CDF ＝∠ADM ，DF ＝DM ∵∠EDF ＝45° ，∠ADC ＝90° ∴∠CDF ＋∠ADE ＝45° ∵∠CDF ＝∠ADM∴∠ADM ＋∠ADE ＝45° 即：∠MDE ＝EDF ＝45° 在△MDE 和△FDE 中 DF ＝DM∠MDE ＝EDF DE ＝DE∴△MDE ≌△FDE ∴EF ＝ME ＝AE ＋AM ∵AM ＝CF∴EF ＝AE ＋FC ； 7．解：过点B 作BM ⊥BC ，且使BM ＝EC ，连AM ， ∵∠BAC ＝90°，AC ＝AB ， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45° ∵BM ⊥BC ，∴∠ABM ＝∠DBM －∠ABC ＝90°－45°＝45°＝∠C在△AEC 和△AMB 中 BM ＝EC ∠ABM ＝∠C AB ＝AC∴△AEC ≌△AMB∴AE ＝AM ，∠EAC ＝∠MAB ∵∠BAC ＝90°，∠DAE ＝45°， ∴∠EAC ＋∠DAB ＝45° 又∵∠EAC ＝∠MAB ∴∠MAD ＝45°＝∠DAE 在△AMD 和△AED 中 AE ＝AM∠MAD ＝∠DAE AD ＝AD∴△AMD ≌△AED ∴MD ＝ED综上所述，MD ＝ED ，MB ＝EC ，△BDM 是Rt △ ∴线段BD 、DE 、EC 总能构成一个直角三角形．A BCD E45°M8．解：连BD ，AB CDEF∵四边形ABCD 是菱形，∴∠A ＝∠C ＝60°，AD ＝DC ＝CB ＝BA ∴△ABD 和△CBD 都为等边三角形∴BD ＝BC ，∠ADB ＝∠C ＝∠DBC ＝60° 又∵∠EBF ＝60°，∴∠EBF ＝∠DBC ＝60°∠EBF －∠DBF ＝∠DBC －∠DBF 即：∠DBE ＝∠CBF 在△BDE 和△BCF 中， ∠DBE ＝∠CBF BD ＝BC ∠EDB ＝∠C∴△BDE ≌△BCF ∴BE ＝BF∵BE ＝BF ，∠EBF ＝60° ∴△BEF 为等边三角形． 9．解：连BD ， ABCDEF∵四边形ABCD 是菱形，∴∠A ＝∠C ＝60°，AD ＝DC ＝CB ＝BA ∴△ABD 和△CBD 都为等边三角形 ∴BD ＝AB ，∠BDC ＝∠BAD ＝60°∴∠BDF ＝∠BAE ＝180°－60°＝120° 又∵∠EBF ＝60°，∴∠EBF ＝∠DBA ＝60°∠EBF －∠ABF ＝∠DBA －∠ABF即：∠ABE ＝∠DBF 在△BDF 和△BAE 中， ∠BDF ＝∠BAE ， BD ＝AB ，∠ABE ＝∠DBF ∴△BDF ≌△BAE ∴BE ＝BF∵BE ＝BF ，∠EBF ＝60° ∴△BEF 为等边三角形． 10．解：连AD ， ABCDEF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴△ABC 为等腰直角三角形 ∴∠C ＝45°，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴由三线合一定理可知，∠BAD ＝12 ∠BAC ＝45°，∠ADC ＝90°∴∠C ＝∠BAD ＝45°，∠ADC ＝∠EDF ＝90° ∴∠ADC －∠ADF ＝∠EDF －∠ADF 即：∠ADE ＝∠CDF ∵∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点， ∴AD ＝12BC ＝DC ，在△ADE 和△CDF 中 ∠C ＝∠BAD AD ＝DC∠ADE ＝∠CDF ∴△ADE ≌△CDF ∴DE ＝DF∴△DEF 为等腰直角三角形． 11．解：连AD ， AB CDEF∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， ∴△ABC 为等腰直角三角形 ∴∠ABD ＝45°，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴由三线合一定理可知，∠CAD ＝12 ∠BAC ＝45°，∠ADB ＝90°∴∠ABD ＝∠DAC ＝45°，∠ADB ＝∠EDF ＝90° ∴180°-∠ABD =180°-∠DAC 即：∠DAF=∠DBE∴∠ADC －∠ADF ＝∠EDF －∠ADF 即：∠ADE ＝∠CDF ∵∠BAC ＝90°，D 为BC 的中点，∴AD ＝12 BC ＝BD ，在△ADE 和△CDF 中 ∠ADE ＝∠CDF AD ＝BD∠ADE ＝∠CDF ∴△ADE ≌△CDF ∴DE ＝DF∴△DEF 为等腰直角三角形．12．D ．；【考点】等边三角形的判定． 【分析】如图在O A ．OB 上截取OE ＝OF ＝OP ，作∠MPN ＝60°，只要证明△PEM ≌△PON 即可推出△PMN 是等边三角形，由此即可对称结论． 【解答】解：如图在O A ．OB 上截取OE ＝OF ＝OP ，作∠MPN ＝60°．ABOPMNEF∵OP 平分∠AOB ， ∴∠EOP ＝∠POF ＝60°， ∵OP ＝OE ＝OF ，∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP ＝∠PON ＝∠MPN ＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN ， 在△PEM 和△PON 中，，∴△PEM ≌△PON ．∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝60°， ∴△POM 是等边三角形，∴只要∠MPN ＝60°，△PMN 就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个． 故选D ．。
初中数学几何必杀技八大模型(pdf)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载!精品文档，名师推荐！初中几何必杀技一一八大模型MH ）手拉手模型一旋转型全等1.等边三角形条件:如图1,AOAB,△OCD 均为等边三角形.结论:①左OAC^AOBD ；②ZAEB=60°；③EO 平分匕AED.2.等腰直角三角形条件:如图2.AOAB,△OCD 均为等腰直角三角形.结论:①左QAC 丝△OBD ；②ZAEB=90°；③EO 平分/AED.3.任意等腰三角形条件:如图3,AQAB,AOCD 均为等腰三角形,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD.结论:①左OAC^/\OBD ；②ZAEB=ZAOB ；③EO 平分/AED.模型二）手拉手模型一旋转型相似1.一般情况条件:如图4,CD//AB,将△OCD 旋转至右图位置.结论:右图中①左OCDw AOAB,AOACco AOBD ；②延长AC 交BD 于点E,必有ZBEC=ZBOA.2.特殊情况条件:如图5,CD//AB,ZAOB=90°,将△OCD 旋转至右图位置.结论:右图中①左OCD GO AOAB,AOACco AOBD,②连接AC,BD 交于点E,必有ZBEC=ZBOA ；®|^=^=^=tanZOCD ；@BD±AC ;⑤连接AD,BC,必有AD 2+BC 2=AB 2+CD 2；⑥S mABCD =yACX BD （对角线互相垂直的四边形）.对角互补模型1.全等型一90°条件:如图6①，①ZAOB =ZDCE=90°；②OC 平分ZAOB.结论：®CD=CE ；②OD+OE=7^OC ；③=扌8气证明提示：①过点C 作CM 丄OA 于点M,CN 丄OB 于点N,如图②，证明△CDM^△CEN；②过点C 作CF 丄。
C,如图③，证明△ODC^AFEC.当ZECD 的一边交A 。
的延长线于点D 时，如图④，结论：（DCD=CE （不变）；②OE—OD=72OC ；③S ACCE —S A0CD =yOC 2.以上结论证明方法与前一种一致,可自行尝试.A图4图62,全等型一120°条件：如图7①，①ZAOB=2ZDCE=120°；②OC平分ZAOB.结论:①CD=CE；②OD+OE=OC；③S*+S ACCE=^OC2.证明提示：①可参考“全等型一90°”证明结论①；②如图②，在OB上取一点F,使OF=OC,证明△ECF丝△DCO.当匕DCE的一边交AO的延长线于点D时，如图③，结论：①CD=CE；（DOE—OD=OC；®S ACCE—Sg=^OC.以上结论证明方法与前一种一致.3.全等型一任意角a条件：如图8①，①/AOB=2a,ZDCE=180°—2a;②CD=CE.结论：①OC平分ZAOB:②OD+OE=2OC-cosa;③S A0CD+S ACCE=OC2•sina•cosa.当/DCE的一边交AO的延长线于点D时（如图②），结论：①0C平分ZAOB OD=2OC-cosa；③S ACC£-S ACCD=0C2•sina,cosa.可参考上述方法进行证明.对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③两种常见的辅助线作法；④注意OC平分ZAOB时,ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何推导.模型四）角含半角模型90。
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初中数学几何模型大全+ 经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是 45 °、30 °、22.5 °、15 °及有一个角是 30 °直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2 角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60 度旋 60 度，造等边三角形遇90 度旋 90 度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋 180 度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“ 8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
初中数学几何模型大全+经典题型(含答案)
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
最新初二数学全等三角形常见几何模型总结归类大全
最新初二数学全等三角形常见几何模型总结归类大全一、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC（1）.例题应用：①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的距离是 cm.②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.图1 图2①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.(2).模型巩固：练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠..求证：︒=∠+∠180C A图3练习二：已知如图4，四边形ABCD 中，..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：图4练习三：如图5，,,900CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，交CD 于点E ，交CB 于点F. (1)求证：CE=CF.(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'''E D A ∆的位置，使点'E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5 图6练习四：如图7，90A AD BC =︒，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ．图7 练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．图8练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。
求证：BE －AC=AE 。
初中几何模型总结
DAE C B AF E D C BAF ED C B A FE DCB初中几何模型总结一、三垂直模型1、如图，D 为等腰Rt △ABC 直角边AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，连结DE.求证：①∠ADB=∠CDE ；②AE+DE=BD ；2、如图，A （–2，0），B （0，3），C （3，3），△ABD 是等腰直角三角形，∠ABD=90º，CD 交y 轴于点E ，过点F 作CD 的垂线，交CD 于点F ，交OA 于点G.（1）求点E 的坐标；（2）求证：AG=OG.3、如图，等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，D 为AC 上的任意一点，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F.（1）求证：①AE=EF ；②EF+CF=BE ；（2）如图，若D 为AC 延长线（或反向延长线）上的任意一点，其它条件不变，线段EF 、CF 与线段BE 是否存在某种确定的数量关系？写出你的结论并证明；图3图1图2E AD C BE AF DCB 4、如图，等腰Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF=AE.（1）如图1，过F 点作FG ⊥AC 交AC 于G 点，求证：△AGF ≌△ECA ；（2）如图2，连接BF 交AC 于D 点，若ADCD=3，求证：E 点为BC 中点；（3）如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若43BC BE =，则ADCD=二、手拉手模型1、如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE.（1）求证：BD=CE ；（2）若∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，则∠BPC 的度数为 .（用含α的式子表示）2、已知：如图，AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ，求证：(1)BD=CE ；（2）AF 平分∠BFE.3、如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝180°，AB、DC的延长线交于点E，AF//BD 交CB的延长线于点F，若AF＝AE，求∠BCD的度数。
初中数学几何模型-八年级上部分
滴水穿石
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锲而不舍
经典模型系列手册
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A O D
C B E
以上三个结论： （辅助线之二） ①____________________ ②_______________________（重点） ③________________________（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握
请思考初始条件的变化，对模型的影响
温故而知新
~ 15 ~
熟能生巧
智康 1 对 1
初数团队制作
（对角互补模型--相似型）
A D C
A D M C
O
E
B
O
E
N
B
如图，若将条件“ OC 平分 条 件 ： ①
AOB ”去掉
不 变 ，
AOB
DCE 90
COE
，结论中三个条件又该如何变化？
结论：① CE
CD tan
OE
2OC
S
OCD
S
OCE
1 OC 2 2
辅助线之二：过点 C 作 CF 证明 ODC≌ FEC
OC
温故而知新
~7~
熟能生巧
智康 1 对 1
初数团队制作
当∠DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图
A
M
C N E B
O D
以上三个结论： （辅助线之一） ① CD CE 不变 ② OE ③S
OD
∴ CDO∽ CEF ∴
EF DO
CE CD
CF CO
tan
（关键步）
温故而知新
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熟能生巧
智康 1 对 1
初中数学全部几何模型汇总+附例题精编
专题一 平行线的五大类拐点模型模型一 铅笔头模型1例题1 （1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证360=∠+∠+∠E D B（2）反之，如图，若360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB // 【总结】①辅助线：过拐点作平行线②若CD AB //，则360=∠+∠+∠E D B ③若360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB //例题2 如图，两直线CD AB ,平行，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠654321【解析】如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②)1(180121-=∠+∠+⋅⋅⋅+∠+∠-n A A A A n n【2-n 个拐点】例题3 （1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？【解析】如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？【解析】如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠（3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？【解析】同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题4 如图所示，已知CD AB //，BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，求证：)(21C A E ∠+∠=∠【解析】①方法一：锯齿模型【锯齿ABEDC 】如图，过点E 作AB EF //+转化思想得证 ②方法二：8字模型（详解见第2讲） 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③转化思想例题5 如图，已知CD AB //，EAB EAF ∠=∠41，ECD ECF ∠=∠41，求证： AEC AFC ∠=∠43【解析】锯齿BAECD +锯齿BA F CD ；过点E 作AB GE //，过点F 作CD HF //+方程思想【βα,表示角度】得证 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和 ③方程思想例题6 如图，CD AB //，61=∠BED ，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则=∠DFB （ ）A.149 B .5.149 C .150 D .5.150【解析】锯齿CD F BA +铅笔头CDEBA ；得证B 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②铅笔头模型：角之和=180×（拐点个数+1）微信公众号：数学三剑客 ③锯齿模型：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题7 如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设21,θθ=∠=∠PBA PAD ，43,θθ=∠=∠PDC PCB ，若 50,80=∠=∠CPD APB ，则（ ）A .30)()(3241=+-+θθθθB .40)()(3142=+-+θθθθ C .70)()(4321=+-+θθθθD .180)()(4321=+++θθθθ【解析】锯齿ADPCB +锯齿DAPBC ；得证A 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和例题8 如图，若CD AB //，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明【解析】如图，过点E 作AB l //得证B E D ∠=∠+∠ 臭脚模型基础（汇总）【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线例题9 如图，直线CD AB //，50,30,90,30=∠=∠=∠=∠CNP HMN FGH EFA ，则GHM ∠的大小是【解析】①方法一：如图，过点H 作AB QH //则有铅笔头A F GH Q+臭脚Q HMNC 得证40=∠GHM ②方法二：锯齿B F GHMND 得证40=∠GHM 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型七 蛇型基础例题10 如图，若D C B CD AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明【解析】过点C 作AB l //得证180=∠-∠+∠D C B 【总结】①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线模型八 蜗牛模型基础例题11 如图，若D C B DE AB ∠∠∠,,,//之间有什么关系？请证明【解析】过点C 作AB l //得证180=∠+∠+∠D C B【总结】辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少平行线专题二 飞镖模型和8字模型模型一 角的飞镖模型1结论：C B A BDC ∠+∠+∠=∠【解析】①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证 ②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证 【总结】利用三角形外角的性质证明模型二 角的8字模型1结论：D C B A ∠+∠=∠+∠【解析】①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角【BOD ∠】的性质得证 【总结】①利用三角形内角和等于180 ②利用三角形外角的性质证明模型三 角的飞镖模型和8字模型2例题1 如图，则=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A【解析】①方法一：飞镖ACD 得证180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A ②方法二：8字BECD 得证 180=∠+∠+∠+∠+∠E D C B A例题2 如图，则=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A【解析】飞镖AB F+飞镖DEC 得证210=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A例题3 如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A【解析】8字模型得证360=∠+∠+∠+∠+∠+∠F E D C B A例题4 如图，求=∠+∠+∠+∠D C B A【解析】连接BD 得飞镖BAD +飞镖DBC 得证 220=∠+∠+∠+∠D C B A例题5 如图，求=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A【解析】飞镖EHB +飞镖F AC 得证360=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠H G F E D C B A模型四 边的飞镖模型1结论：CD BD AC AB +>+【解析】延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式【大的放左边，小的放在右边】模型五 边的8字模型1结论：BC AD CD AB +<+【解析】三角形三边关系+同号不等式【大的放在右边，小的放在左边】 【总结】①三角形两边之和大于第三边模型六 边的飞镖模型和8字模型2例题6 如图，点P 为ABC ∆内一点，试说明AB PC PB PA AC BC AB <++<++)(21AC BC ++【解析】三角形三边关系+边的飞镖模型可证例题7 如图，BD AC ,是四边形ABCD 的对角线，且BD AC ,相交于点O ，求证：AD CD BC AB BD AC AD CD BC AB +++<+<+++)(21【解析】边的8字模型+三角形三边关系可证专题三 三垂直全等模型模型一 K 型三垂直1例题1 如图，DE AE DE AE BC CD BC AB =⊥⊥⊥,,,，求证：BC CD AB =+【解析】易证模型二 K 型三垂直2例题2 如图，等腰90,=∠∆AOB OAB Rt ，斜边AB 交y 轴正半轴于点C ，若)1,3(A ，则点C 的坐标为【解析】K 型三垂直模型+一次函数可得点C 坐标为)25,0(例题3 如图，在EF B ABC Rt ,90,=∠∆是AC 的垂直平分线，且CE EF =，D 是AB 的中点，21tan =A ，若15+=+DE EF ，求DEF ∆的面积【解析】21例题4 如图，在矩形ABCD 中，E AD AB ,12,6==为边AB 上一点，Q P AE ,,2=分别为边BC AD ,上的两点，且45=∠PEQ ，若EPQ ∆为等腰三角形，则AP 的长为【解析】10（该图为PQ EQ =）或6（PQ PE =图略）或224+（EQ EP =）模型三 L 型三垂直1例题5 如图，CE BE CE AD BC AC ACB ⊥⊥==∠,,,90，垂足分别是点1,3,,==BE AD E D ，则DE 的长是（ ）A .23B .2C .22D .10【解析】B模型四 L 型三垂直2例题6 如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点D ，过C A ,分别作直线l 的垂线，垂足分别为F E ,，若a CF a AE ==,4，则正方形ABCD 的面积为【解析】217a例题7 如图，以ABC Rt ∆的斜边AC 为边，在ABC ∆同侧作正方形AEDC ，O 为对角线交点，连接BO ，若22,4==BO AB ，则正方形的面积是【解析】80例题8 如图，在ABC ∆中，BD CD BD CD AB BC AC ACB 3,,52,,90=⊥===∠，则ABD ∆的面积是【解析】①方法一：L 型三垂直+整体减空白 ②方法二：L 型三垂直+面积公式③方法三：铅垂高求面积法【½×（水平高×铅锤高）】 ④方法四：和角模型模型五 十字型三垂直1【解析】垂直⇔相等模型六 十字型三垂直2例题9 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点F E ,分别在边BC AB ,上，且1==BF AE ，则=OC【解析】512例题10 如图，在等腰ABC Rt ∆中，90=∠ACB ，点D 为BC 边上的中点，AD CE ⊥，分别交AD AB ,于点F E ,，连接DE ，求证：BDE ADC ∠=∠【解析】易证专题四 角平分线四大模型角平分线的定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个叫分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边距离相等角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上模型一 双垂直模型1角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等例题1 已知：43,21∠=∠∠=∠，求证：AP 平分BAC ∠【解析】易证例题2 已知：如图，在四边形中，CD AD AB BC =>,，BD 平分ABC ∠，求证：BAD ∠180=∠+C【解析】①方法一：双垂模型 ②方法二：双等模型例题3 如图，正方形ABCD 的边长为4，DAC ∠的平分线交DC 于点E ，若点Q P ,分别是AD 和AE 上的动点，则PQ DQ +的最小值是【解析】①方法一：双垂模型②方法二：双等模型【将军饮马+垂线段最短】 答案：22有垂直于角平分线的线，果断延长，就会得到一个等腰三角形例题4 如图，在ABC ∆中，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足为D ，求证：C ∠+∠=∠12【解析】易证例题5 如图，在ABC ∆中，AC AB BAC ==∠,90，BE 平分ABC ∠，BE CE ⊥，求证：BD CE 21=【解析】易证例题6 如图，AD CD AC AB CAD BAD ⊥>∠=∠,,于点D ，H 是BC 的中点，求证：)(21AC AB DH -=【解析】易证例题7 如图所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点，连接AC ，在射线ON 上截取OA OB =，连接BC ，易证：BOC AOC ∆≅∆例题8 如图所示，在ABC ∆中，AB AC >，AD 是内角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，求证：AB AC PB PC -<-【解析】易证例题9 在ABC ∆中，108,=∠=A AC AB ，BD 平分ABC ∠，求证：=BC CD AB +【解析】①方法一：双等模型 ②方法二：截长补短例题10 如图，梯形ABCD 中，BC AD //，点E 在CD 上，且AE 平分BAD ∠，BE 平分ABC ∠，求证：BC AB AD -=【解析】①方法一：双等模型+截长 ②方法二：双平模型+补短角平分线、平行线、等腰三角形，三个条件，知二推一例题11 如图，在ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的角平分线相交于点F ，过F 作BC DE //，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若9=+CE BD ，则线段DE 之长为【解析】9例题12 如图，在ABC ∆中，CD BD ,分别平分ABC ∠和ACB ∠，AC FD AB ED //,//，如果cm BC 6=，则DEF ∆的周长【解析】cm 6例题13 如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，点F E ,分别在AD BD ,上，AB EF //，且CD DE =，求证：AC EF =【解析】双平模型+类倍长中线法（延长FD 于点G 使得DG FD =，连接CG ；延长AD 于点G 使得DG AD =，连接EG ）∠的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，例题14 如图，在矩形ABCD中，BAD∠的度数点G是EF的中点，求BDG【解析】①方法一：双平模型+手拉手模型【G点+反推法】②方法二：双平模型+隐形圆模型【共斜边】专题五 截长补短模型截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略。
初中数学八大几何模型归纳
初中数学几何模型总结归纳1.中点模型【模型1】倍长1、倍长中线；2、倍长类中线；3、中点遇平行线延长相交ABCD E ABC DEFEDCBA【模型2】遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点；2、连对角线取中点再相连GABCDEFABCD E【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长；（2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．图3图2图1ACDEFGDEFGCDEGABBFCBA【解答】（1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝HBEGCFAD（2）延长CG 交AB 于点I ，易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC 错误!未找到引用源。
，且GE ⊥GCF（3）EJ【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF .（1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG .GFE DC BAE H GF EDCBA【解答】（1）证明△ABE ≌△ADF 即可；（2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可【例3】如图，在凹四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，BA 交EF 延长线于G 点，CD 交EF 于H 点，求证：∠BGE ＝∠CHE . 【解答】取BD 中点可证，如图所示：JA BCDE F GH2.角平分线模型【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构等腰三角形【例4】如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 交BC 边于E ，EF ⊥AE 交边CD 于F 点，交AD 边于H ，延长BA 到G 点，使AG ＝CF ，连接GF .若BC ＝7，DF ＝3，EH ＝3AE ，则GF 的长为_______.HGFEDCBA【解答】延长FE 、AB 交于点I ，易得CE ＝CF ，BA ＝BE ，设CE ＝x ，则BA ＝CD ＝3＋x ，BE ＝7－x ， 3＋x ＝7－x ，x ＝2，AB ＝BE ＝5，AE ＝，作AJ ⊥BC ，连接AC ，求得GF ＝AC ＝3JIAB CDEFGH3.手拉手模型【条件】OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD【结论】△OAC ≌△OBD ，∠AEB ＝∠AOB ＝∠COD （即都是旋转角）；OE 平分∠AEDDC EBAOOABEC D 导角核心图形：八字形CBAO【例5】（2014重庆市A 卷）如图，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，且2DE CE ，连接BE ．过点C 作CF ⊥BE ，垂足是F ，连接OF ，则OF 的长为________．FABCOEDDE CBA【例6】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连接BE ，AG ⊥BE于F ，交BC 于点G ，求∠DFG ． GFE DCBAABC【答案】45°【例7】（2014重庆B 卷）如图，在边长为ABCD 中，E 是AB 边上一点，G 是AD 延长线一点，BE ＝DG ，连接EG ，CF ⊥EG 交EG 于点H ，交AD 于点F ，连接CE 、BH ．若BH ＝8，则FG＝_____________．HGDE CBAFABE G【答案】4.邻边相等对角互补模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180° 【结论】AC 平分∠BCDEB【模型2】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD ＝90° 【结论】① ∠ACB ＝∠ACD ＝45°； ② BC ＋CDABCECB【例8】如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝5，G 为CD 中点，DE ＝DG ，FG ⊥BE 于F ，则DF 为_____.F ABCEDGG DE【例9】如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 至点M ，使BM ＝1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连结ON ，则ON 的长为__________. OMN DCBA【例10】如图，正方形ABCD 的面积为64，△BCE 是等边三角形，F 是CE 的中点，AE 、BF 交于点G ，则DG 的长为___________. GFEABCDEC【答案】45.半角模型【模型1】【条件】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＋∠BCD ＝∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EAF ＝12∠BAD ， 点E 在直线BC 上，点F 在直线CD 上 【结论】BE 、DF 、EF 满足截长补短关系FEDCBA【模型2】【条件】如图，在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N ． 【结论】①BE ＋DF ＝EF ； ② ABE ADF AEF S S S ∆∆∆+=；③AH ＝AB ；④2ECF C AB ∆=；⑤BM 2＋DN 2＝MN 2；⑥△ANM ∽△DNF ∽△BEM ∽△AEF ∽△BNA ∽△DAM （由AO ：AH ＝AO ：AB ＝1：可得到△ANM 和△AEF 相似比为1）⑦AMN MNFE S S ∆=四边形；⑧△AOM ∽△ADF ；△AON ∽△ABE ；⑨△AEN 为等腰直角三角形，∠AEN ＝45°，△AFM 为等腰直角三角形，∠AFM ＝45°；⑩A 、M 、F 、D 四点共圆，A 、B 、E 、N 四点共圆，M 、N 、F 、C 、E 五点共圆．H NM FEDCBA【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是CB 、DC 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】BE ＋EF ＝DFFEDCB A【模型2变形】【条件】在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且满足∠EAF ＝45° 【结论】DF ＋EF ＝BEAB C DEF【例11】如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EDF ＝90°，△DEF 的顶点E与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，射线EF 与线段AB 相交于点G ，与射线CA 相交于点Q .若AQ ＝12，BP ＝3，则PG ＝__________.Q PGD FECBA【解答】连接AE ，题目中有一线三等角模型和半角模型设AC ＝x ，由△BPC ∽△CEQ 得BP CE ＝BE CQ ， 3/（22x ）＝22x /（x ＋12），解得x ＝12 设PG ＝y ，由AG 2＋BP 2＝PG 2得32＋(12－3－x )2＝x 2，解得x ＝5【例12】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 在AB 、AD 上，且AE ＝DF ．连接BF 与DE 交于点G ，连接CG 与BD 交于点H ，若CG ＝1，则S 四边形BCDQ ＝__________．HGFED CB A【解答】346.一线三等角模型【条件】∠EDF ＝∠B ＝∠C ，且DE ＝DF 【结论】△BDE ≌△CFDFEDCBA【例13】如图，正方形ABCD 中，点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 边上的点，EB ＝3，GC ＝4，连接EF 、FG 、GE 恰好构成一个等边三角形，则正方形的边为__________.GA B CDEF【解答】如图，构造一线三等角模型，△EFH ≌△FGI 则BC ＝BF ＋CF ＝HF －BH ＋FI －CI ＝GI －BH ＋HE －CI ＝733IH F ED C B A G7.弦图模型【条件】正方形内或外互相垂直的四条线段 【结论】新构成了同心的正方形LK JIHGFECDB AHG FEDCBA【例14】如图，点E 为正方形ABCD 边AB 上一点，点F 在DE 的延长线上，AF ＝AB ，AC 与FD 交于点G ，∠F AB 的平分线交FG 于点H ，过点D 作HA 的垂线交HA 的延长线于点I .若AH ＝3AI ，FH ＝22，则DG ＝__________．I H AGFEDCB【解答】1742【例15】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 是AC 中点，连接BE ，作AG ⊥BE 于F ，交BC 于点G ，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ．FE CGDBABC【解答】过点C 作CH ⊥AC 交AG 的延长线于点H ，易证8.最短路径模型【两点之间线段最短】 1、将军饮马Q2、费马点【垂线段最短】【两边之差小于第三边】【例16】如图，矩形ABCD 是一个长为1000米，宽为600米的货场，A 、D 是入口，现拟在货场内建一个收费站P ，在铁路线BC 段上建一个发货站台H ，设铺设公路AP 、DP 以及PH 之长度和为l ，求l 的最小值．【解答】3500600 ，点线为最短．【例17】如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE ＝DF，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值为______________________．【解答】如图，取AB 中点P ，连接PH 、PD ，易证PH ≥PD -PH 即DH ≥15-．【例18】如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝24，E 是线段AB 的中点，F 是线段BC 上的动点，△BEF 沿直线EF 翻折到△EF B '，连接B D '，B D '最短为________________．【解答】4【例19】如图1，□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE ＝AD ，EG ⊥AB 于G ，延长GE 、DC 交于点F ，连接AF ．（1）若BE ＝2EC ，AB ＝13，求AD 的长；（2）求证：EG ＝BG ＋FC ；（3）如图2，若AF ＝25，EF ＝2，点M 是线段AG 上一动点，连接ME ，将△GME 沿ME 翻折到△ME G '，连接G D '，试求当G D '取得最小值时GM 的长．图1 图2 备用图【解答】（1）3（2）如图所示（3）当DG ′最小时D 、E 、G '三点共线解得43173-=+'=MN N G GMEH【练习1】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE，∠AEB＝90°，AC、BD交于O．已知AE、BE的长分别为3、5，求三角形OBE的面积．【解答】25【练习2】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN21∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝12∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想，并给予证明。
初中数学几何模型大全+经典题型及答案解析
初中数学几何模型大全+经典题型（含答案）全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变形说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最值模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
八年级几何证明常见模型完整版
八年级几何证明常见模型HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】八年级几何证明常见模型姓名（1）手拉手模型【例题1】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB（5） △EGB ≌△CFB（6） BH 平分∠AHC（7） GF ∥AC【变式练习】1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC【例题2】如图，两个正方形ABCD 和DEFG ，连接AG 与CE ，二者相交于H 问：（1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？【变式练习】1：如图两个等腰直角三角形问 否成相的夹∠2：∠AHC ？【例题3】如图1，AB=AE ，AC=AD ，∠B（1）证明：EC=BD ； （2）证明：EC ⊥BD ；（3）如图2，连接ED ，若N 点为DE 的中于点M ，证明：AM ⊥BC ．【变式练习】1，⊿ABC 中，AG ⊥BC 点，分别以AB 、AC 为直角边，向⊿腰Rt ⊿ACF ，过点E 、F 作射线GA 的Q 。
（1）试探究EP 与FQ 之间的数论； （2）如图2，若连接EF 交G （1）中的结论你能判断EH 与FH 的由。
八年级上册数学期末复习：几何常用模型
八年级几何模型整理一．几种常见的三角形角度模型1.“8”字模型结论：∠A+∠D=∠B+∠C。
模型分析：8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到【例1】如图①，线段AB\CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图①的图形称之为“８字形”。
如图②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：（1）在图①中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系______；（2）应用（1）的结果，猜想∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系并予以证明。
2.飞镖模型如图所示角度结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
长度结论：AB+AC >BD+CD模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到1.如图,BE平分∠ABD,CF平分∠ACD,BE、CF交于G,若∠BDC=140∘,∠BGC=110∘，则∠A=___.2.如图∠A＝70°，点P、O分别是∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，则∠OPC＝______________.【例2】（1）如图①，在△ABC中，∠A=50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB。
求∠BPC 的度数；（2）如图②，若BP、CP分别为△ABC的外角∠ABC、∠ECB的平分线，且∠A=50°，求∠BPC的度数；（3）如图③，若CP平分∠ACE，BP是∠ABC的平分线，∠A=50°求∠P。
【方法归纳】涉及到三角形的内外角平分线的问题常常可借用如下三个基本图形和基本结论：（1）如图①，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点（即三角形两内角平分线相交所成的角），则∠P＝90°＋∠A；（2）如图②，若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点（即三角形一内角平分线和一外角平分线相交所成的角），则∠P＝∠A；（3）如图③，若点P是∠CBF和∠BCE的平分线的交点（即三角形两外角平分线相交所成的角），则∠P＝90°－∠A．3.问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图a,在正三角形ABC中,M、N分别是AC、AB上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=60，则BM=CN；②如图b,在正方形ABCD中,M、N分别是CD、AD上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=90，则BM=CN；然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图c,在正五边形ABCDE中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108，则BM=CN；任务要求：(1)请你从①,②,③三个命题中选择一个进行证明;(2)请你继续完成下面的探索：ⅰ、如图d,在正n(n⩾3)边形ABCDEF…中,M、N分别是CD、DE上的点,BM与CN相交于点O,试问当∠BON等于多少度时,结论BM=CN成立?(不要求证明)ⅱ、如图e,在正五边形ABCDE中,M、N分别是DE、AE上的点,BM与CN相交于点O,若∠BON=108时，试问结论BM=CN是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立。
【收藏】初中数学经典几何模型大全
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中点模型
【模型1】倍长
1、倍长中线；
2、倍长类中线；
3、中点遇平行延长相交
【模型2】遇多个中点，构造中位线
1、直接连接中点；
2、连对角线取中点再相连
【例】在菱形ABCD和正三角形BEF中，∠ABC=60°，G是DF 的中点，连接GC、GE．
（1）如图1，当点E在BC边上时，若AB=10，BF=4，求GE的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段GC、GE有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想；并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，(2)问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明.
角平分线模型
【模型1】构造轴对称【模型2】角平分线遇平行构造等腰三角形
【例】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于E，EF⊥AE交CD边于F，交AD边于H，延长BA到点G，使AG=CF，连接GF．若BC=7，DF=3，EH=3AE，则GF的长为 .
手拉手模型
【例】如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD 的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为 .
邻边相等的对角互补模型
【例】如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=5，G为CD中点，DE=DG，FG⊥BE于F，则DF 为 .
半角模型
一线三角模型
弦图模型
最短路径模型
【两点之间线段最短】1、将军饮马
2、费马点【垂线段最短】
【两边之差小于第三边】。