由一道课本习题引发的思考
由一道课本习题引发的探究
学 习活动 中 ， 常常 Ｎ ＿ Ｙ Ｙ 各种 困惑与 不解 ， 这 正是我 们提 高认 识 的切 入点 作 为学 生 ， 一 定要 有探 究意 识
与探 究精 神 ， 抓 住 适合 探究 的节 点开展 探 究活 动才能 真正 培养 我们 的探 究意 识
问题 提 出
图１
解 法１ （ 向量法 ） ： 设痢 ： Ａ 魂 ： Ａ （ ） ， 则劢 ＝ ＋ ： （ １ 一 Ａ ） ．
有Ａ １ ｌ ， Ａ ２ － ￣ － ， ／ ． ｅ ２ ．事 实 上 （ Ａ １ １ ） Ｐ ｌ ＝ （ Ａ ２ － ｐ ａ ） ｅ ： ， 而ｅ ｌ ， ｅ ２ 不共 线 ， 所 有 必 有
用 向量 的 方 法 证 明 ： Ｍ是 Ｂ Ｄ的一 个
三 等 分 点．
Ｃ
④ 问题探究
平面 向量基本定理的前提条件
是 两个 平 面 向量ｅ ， ｅ ２ 不共 线 ， 结论 有
赢， ／ ／ 葫， 所以有 ＝ － Ｆ ｄ ， 从而
ＡＥ－ － ＣＦ ．
例２ （ ２ ０ ０ ４ 年全 国数学联 赛 ） 设 点。 在Ａ Ａ Ｂ Ｃ 的内部 ， 且有 ＋ ２ 十 ３ ＝ ０ ， 则 ＡＡ Ｂ Ｃ 的面积 与△Ａ Ｏ Ｃ 的
于 ， 求证 ： Ｅ
地 选择 解题 方法．如 果 不这 样做 ， 我
们 对 向 量 的 探 索欲 望 就 会 大 打 折
Ｃ
而显得麻烦 ，体现不出向量 的优势． 比如 苏 教 版 必 修 ４ 第６ ７ 页习题２ ． ２ 第 ｌ ｌ 题 ．它的求解 就让我们 十分 困惑 向量法是否真的简单．
一
个很好的方法 。 下 面提供３ 个例题
由一道教材例题引起的思考
由一道教材例题引起的思考新课程改革已经在我省全面展开，笔者认为新课程目标下，最基本的还是应该重视对教材资源的充分挖掘和利用。
这也是实现注意从学生已有的经验出发，让他们在熟悉的情景中感受物理思想的重要性，了解物理与日常生活的密切关系，逐步学会分析和解决与物理有关的一些简单的实际问题。
”的教学理念和实现高中新课程教育目标的基础与关键。
我以高中新课标教材《物理选修-3-4》为例，分别对新教材例题的研究；新教材概念的深入挖掘；新教材插图的充分利用，谈谈我的看法和做法。
一、重视教材例题习题我们虽然总是在提素质教育，可真正教学时，很容易让学生陷入题海当中。
如果我们能充分挖掘教材潜力，以课本为纲，让学生知道什么是最重要的。
实现让学生可以从教材走出去，也可以从容走回来。
教材例题是编委从大量习题中精选出来的，有很强的代表性。
我们应该从例题出发，触类旁通，举一反三。
我想这也是给学生减负的好方法。
笔者最近和学生曾经讨论一道习题，感受颇丰。
原题是这样的。
“井底之蛙”这个成语常被用来讽刺没有见识的人，现有井口大小和深度相同的两口井，一口是枯井，一口是水井(水面在井口之下)，两井底都各有一只青蛙，则( )a．枯井中青蛙觉得井口大些b．水井中青蛙觉得井口大些c．晴天的夜晚，枯井中青蛙能看到更多的星星d．晴天的夜晚，水井中青蛙能看到更多的星星学生们开始普遍感到无从下手。
而我在备课时想尽量降低学生理解的难度，从学生熟悉的知识入手。
后来我发现如果从教材一道例题出发就能很好的解决问题。
教材原题是一个储油桶的底面直径与高均为d.当桶内没有油时,从某点a恰能看到桶底边缘的某点b. 如图(a)所示,当桶内油的深度等于桶高的一半时，仍沿ab方向看去,恰好看到桶底上的点c, 如图(b)所示,c、b两点相距d/4.求油的折射率和光在油中传播的速度。
这是一道很常规的习题，学生很容易入手，当时讲的时候学生也普遍接受。
现在我换一个角思维问题。
第一步按着题中所说开始c点看不到a，a也看不到c。
由一道课本试题引发的思考
由一道课本试题引发的思考七年级学生经常会在练习题中遇到这样的一道几何习题（例1），此题是全等三角形的经典习题，从它上面，我们可以发掘更多、更深的知识。
笔者在实际教学中对此题的讲解，深得学生的赞赏，现将此题拿出来，跟广大师生读者分享，希望大家能获得更多的解题心得。
图1例1如图1，在△ABC中，已知AB=AC,BE=CD。
求证：AD=AE。
??分析：此题的常规思路是通过说明△ABD≌△ACE来证明AD=AE。
显然求证条件是足够的，在△ABC中，AB=AC已经隐含了∠B=∠C，加之BE=CD，即BD+DE=DE+EC，实际上就是BD=CE，故△ABD≌△ACE（SAS）。
当然如果考虑到AD，AE是△ADE的两边时，那么说明△ADE是等腰三角形也不失为一种方法，但要说明△ADE是等腰三角形时，就要证明∠ADE=∠AED，而要证明∠ADE=∠AED，就得证明∠ADB=∠AEC，其实就是说明△ABD≌△ACE，可见我们回到了第一种方法上，当我们把题目多角度思考时，总会收获许多知识。
另外，从等腰三角形的性质入手，也可以找到解题途径；通过作底边上的高，可以得到多个直角三角形，再结合其他条件（BE=CD）就可以解讲问题。
??证明：由AB=AC?荨?B=∠C。
??BE=DC（BD+DE=DE+CE)??BD=CE。
??在△ABD和△ACE中，AB=AC，??∠B=∠C，??BD=CE?荨?ABD≌△ACE(SAS)。
??图2另证：如图2，取BC的中点F，连结AF，则BF=CF，AF ⊥BC。
（△ABC是等腰三角形）??∵BE=BF+EF，CD=CF+DF，CD=BE，??∴DF=EF，∴在??Rt??△AEF和??Rt??△ADF中，??AF=AF，?ぁ?AFD=∠AFE，??FO=FE，∴??Rt??△AEF≌??Rt??△ADF。
??∴AD=AE。
??笔者在第一题的基础上，稍作改变，得到了以下两道新题，这两个题目的解题思路可以极大地丰富我们对全等三角形及相关知识点的认识。
一道课本例题教学所引发的思考
一道课本例题教学所引发的思考——为学生打开自主学习的空间浙江省天台中学王修凯摘要：新课程改革遵循“以学生发展为本”的理念，大力倡导建立自主、合作、探究的学习方式，改变原有的单一、被动的学习方式，促进学生主动地、富有个性的学习。
自主学习以学生自己的认知与经验来建构活动过程的，通过亲身体验、讨论、反思实现由感性认识发展到理性认识。
自主学习能激活、诱导学生的学习积极性，促进学生思维能力的发展，提高学生探究的意识。
关键词：自主学习优化反思转变观念现在，整个教育界都在提倡创新教育，自主探究式学习，我也曾经尝试着在课堂上渗透让学生自主学习的思想，我也曾努力创设情景给学生们多一些创新的机会，允许并鼓励他们在课堂上提出自己的看法，但课堂教学，特别是目前仍受考试压力影响的高中课堂中，教师和学生依然面临着升学压力。
无奈的现实让我很难在课堂上落实这些“理念”：毕竟学生这么多、课时这么少、教学任务又如此之重，作出一个教学决定又要考虑方方面面的因素，权衡各种关系。
可一次偶然的机会，让我彻底改变了原先的观念，原来，教育的机会就在平时普通的课堂中。
一、例题教学的再现例题高中新课本《数学》第二册（上）第106页例3一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s。
（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m/s，求曲线的方程。
如何通过这道例题的讲解，为学生打开自主学习的空间呢？首先设爆炸点为P，那么在A处听到爆炸声比在B处晚2s，说明什么问题？学生思考后很快说出点P在距A处较远、距B处较近的位置上，且点P到A处的距离与它到B处的距离的差是一个常数3402⨯m。
我进一步问道，那么点P在怎样的曲线上？学生回答，点P在以A、B为焦点的双曲线上，且在离B处较近的一支上。
显然，这种解答不够全面，接下去是老师讲出正确答案，还是让学生讨论探讨出其他的可能性呢？我用鼓励的目光望着大家，问：大家还有其他想法吗？过了一会，有同学提出了不同意见：点P不一定在双曲线上，因为由题意只能知道点P 到A处的距离与它到B处的距离的差是一个常数3402⨯m，但并未说明这个常数小于A、B 两处的距离。
一道课本例习题教学引发的思考
一道课本例习题教学引发的思考摘要：课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在“活”用课本例习题应当注意特别是变式教学时要注重如何更好的形变，如何更好的在“度”、“宽”上的掌控，让学生从不同角度、不同层面去看问题，从学会更好地解决问题。
关键词：数学；课本例习题；反思课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在教学过程中对教材中的例题，习题可以从多个角度来挖掘其深层次的数学本质，并结合利用变式教学通过改变数学表征问题，来达到更好地揭示数学本征问题的目的。
下面以八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题为例谈谈针对一道课本例习题教学引发的一些思考：一、注重引导，寻思关键在课本例习题教学中，教师要先指引学生从题设出发，通过观察图形，自主学习与探讨交流，然后写出证明过程。
本题对于学生来说，没有障碍，由已知条件等边三角形自然联想到其性质：三条边相等，三个角相等，学生由图形自主探究构建全等三角，再进行合作交流，找出间边与角之间对应关系，且角的相等是证明全等的关键。
课本这道例习题的教学价值在于学生通过学习后能够完成文字语言与符号语言之间的转换，检验学生对基本概念知识、方法的掌握情况，目的在于让学生学会观察、分析、概括、归纳，提升语言表达能力。
二、深入挖掘，一题多解数学教学中，为了激发学生的思维和建构知识间的链接，往往是在解决问题时从多角度促使知识间的联系。
因此十分有必要对课本中例习题进一步进行挖掘，比如八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题，这是一道基础题，如若在教学过程中教师讲过就将之抛在一旁，那乃是捡了芝麻丢了西瓜之举。
在数学课堂中，时常用来拓展学生数学思维形成的教学策略之一是一题多解，这种教学策略能很好地引导学生从不同角度看待问题、解决问题。
一道教材练习题的再思考
一道教材练习题的再思考杨伟达（花都区第二中学 广东广州市 510820）内容摘要： 三角形是中小学教材中最常见、最简单的图形。
就是这样一个图形，它却成了不少高考命题者的第一视觉，成了学生每年高考的必考题。
在翻阅高中数学教材时笔者找到了一道不起眼的练习题，引起笔者的注意，激发笔者的深思，品味着三角形带来的乐趣。
关键词： 教材 习题 思考俗话说：高考试题源于教材，又高于教材。
纵观近几年高考数学题，许多高考试题在教材中都有呈现，进而找到了试题的“活化石”。
因此，回归教材就是在高考题中找到教材中的“活化石”，感悟着“活化石”带来的数学味道。
一、题目再现题目 （高中人教版必修5 P18练习第2题） 一块四边形土地的形状如图所示，它的三条边的长度分别是50m ，60m ，70m ，两个内角是127°和132°，求四边形的面积（精确到0.01）。
分析 这是一道生活中的数学题。
笔者在翻阅教材时引起了笔者的注意，于是捡回了此题，查阅教师教学用书，可在教参里只提供了答案，没有详细的解答过程，或许该题运算繁杂、方法复杂，或许是练习题的缘故，没有引起师生重视。
对此笔者感到在生活中数学无处不在，加上解决此题的思想、方法来自生活实践，笔者觉得很值得探讨。
二、解法探究思路一 （分割+正、余弦定理）分析 对于这样的不规则的四边形，没有直接计算面积方法，采用分割法把四边形分成两个三角形，分别求出两个三角形的面积，以和的形式求得四边形的面积。
解法1 如图1，连结AC在△ADC 中 根据余弦定理得： ADC DC AC DC AD AC ∠⋅⋅-+=cos 2222127c o s 60502605022⨯⨯⨯-+= 89.9710=所以54.98=AC m再根据正弦定理得： D AC ACD AD ∠=∠sin sin 即：︒=∠127sin 54.98sin 50ACD 求得：4052.0sin =∠ACD所以 ︒=∠9.23ACD (锐角) A BC图1 D因为︒⋅=︒⋅-︒=∠-=∠1108923132132DCA ACB所以ACB ACD A S S ∆∆+=S BCD 四边形 ACB CD AC ADC CD AD ∠⨯⨯⨯+∠⨯⨯⨯=sin 21sin 21 ︒⋅⨯⨯⋅⨯+︒⨯⨯⨯=1108sin 70549821127sin 605021 =4476.19 m 2思路二 （补形+正弦定理）分析 对于这样的不规则的四边形，没有直接计算面积方法，采用补形法把四边形补角还原成一个大三角形，分别求出两个三角形的面积，以差的形式求得四边形的面积。
一道课本立体几何题引发的思考讲解
一道课本立体几何题引发的思考丰县华山中学王永青85683561为什么有些学生花了很多时间，做了大量题目，就是不得解题的要领呢？缺少对解题过程的反思是其中一个非常重要的原因，数学解题过程分以下几个步骤：审题→探索→表达→反思；反思是解题过程的深层次的思考；是进一步深化，整理和提高的过程，是进一步开发解题的智力价值过程；也是再发现和再创造的过程。
下面从课本一道立几题的反思入手来分析和解答此题。
倒1：P、A、B、C是球O的面上的四个点，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，求球O的体积和表面积。
（课本P73，例2）图1 图2具体解法见课本例题解答反思：仔细研究此图形，不难发现这三条互相垂直的线可以看作是某个正方体的一个顶点出发的三条棱，如果能看到这一点的话，我们可以利用补形的方法来完成此题的解答过程，把它补成球的内切正方体，而球的内切正方体的体对角线必过球心，这样就很容易地求出D球的直经，从而求出球的体积S=3 。
由此可见在立几中，正、长方体是立几中的重要模型，教学积累使我们感到有不少 的数学问题通过构建正、长方体，可使复杂的问题简单化，抽象问题直观化，实施问题的有效转换，使问题的解决变的简捷易行。
此为课本立几中的一例题，在此题中我们感受到立几中的基本图形的重要性，同时要对基本图形有一个比较深刻的了解，能感受到它的内部结构，这样就可用补形的方法来完成解题的过程。
变式1：P 、A 、B 、C 是球O 的面上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，求球O 的体积和表面积。
(构建球内接长方体可解)变式2：已知球面上的四点O 、A 、B 、C 满足OA 、OB 、OC 两两垂直，且球面上一点P ，到OA 、OB 、OC 的距离分别为3、4、5，求球的直径。
例2：一个正方体如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD ，则截得到的正三棱锥的体积是正方体体积的几分之几。
一道课本问题的解决引发的思考
一道课本问题的解决引发的思考摘要：数学课程改革应倡导教学探究，让学生在探究过程中理解数学的本质。
笔者认为这里的探究的含义是多方面的，对我们一线教师而言对课本上的知识生成、例习题解法以及涉及的思想方法的探究意义尤为重要。
关键词：探究；课本问题；多种方法；数学思想中图分类号：g427 文献标识码：a 文章编号：1992-7711（2012）23-068-1选自苏教《选修1-1》p90 练习8：已知海岛a与海岸公路bc的距离为ab为50km b，c间的距离为100km.从a 到c，先乘船，船速为25km/h50km/h分析：易知点p一定在b，c之间，可设bp=x，则水路ap=2500+x 2公里，陆路pc=（100-x）公里，将这里的总时间y表示成关于x的函数，得y=2500+x225+100-x50，这里由题意可知x∈（0，100），下面就是如何解函数的最小值问题了。
方案1 由于我们刚刚学习过导数，我们可以对函数进行求导y′=12（2500+x2）′252500+x2-150=x252500+x2-150，令y′=0则x2500+x2=12，x=5033（负值舍去）当x∈（0，5033）时，y′0。
所以当x=5033时，函数有最小值。
所以当登陆点距离b点x=5033km这种处理问题的方式是用导数来研究函数的最值，学生容易想到这种处理方案。
“这个世界本不缺少美，只是缺少发现的眼睛”，同样，我们是不是少了探索的眼睛呢？是不是我们对问题的解决就仅限如此呢？方案2 u=22500+x2-x，为了求解u的最小值，除了平方，我们还可以考虑把根式里面的式子配成完全平方式，联想到1+tan 2θ=sec2θ，我们可以将函数关系变形为u=22500+x 2-x=1001+（x50）2-x，令x50=tanθ，θ∈（0，arctan 2），则u=1001+tan2θ-50tanθ=100secθ-50sinθ=100cosθ-50sinθcosθ=50·2-sinθcosθ上面两种方案中我们都是选择的长度为变量，实际上我们在处理这种图形类应用题时经常选择一个活动的角为变量。
数学课堂—— 一道习题引发的思考
数学课堂——一道习题引发的思考在一堂数学课中我安排了几道习题，进行校对时，出现了“意外”。
习题：如图1，四边形ABCD和EFGC是两个边长分别为a、b的正方形，用a、b表示△AGE的面积。
这道习题课前已经布置，很多学生已经完成，我便想简单地校对一下，以便抓紧时间校对下面的题目．我叫学生A回答．学生A很高兴第一个被叫到，眼睛放出光芒，兴奋地说：“延长BA和FE，延长线交于点H．”(我根据学生A的描述画出示意图，如图2)学生A接着说：“这样我把图构成了矩形BGFH，则△AGE的面积可以看成是矩形BGFH和三个直角三角形(即Rt△ABG、Rt△AHE、Rt△EFG)的面积差．各个面积很容易求得．”我心里暗自叫道：“嘿，真有大局观!”并带头给学生A鼓掌．这时我本打算校对下一题，突然，学生B站起来，叫道：“老师，我认为Rt△EFG的面积可以不用求．”我说：“真的?”学生B：“是的，直接求梯BGEH与Rt△ABG、Rt△AHE 的面积差．”真好，省去多余的步骤，使解题过程简洁化．一波未平，一波又起．学生C：“我有一种解法根本不需要添加辅助线．”师：“继续说．”(赞叹学生的空间思维的敏锐性)学生C：“△AGE的面积可以看成是正方形ABCD、正方形EFGC、Rt △ADE面积的和与Rt△ABG、Rt△EFG的面积的差．”这时，全班开始变得活跃起来，很多学生开始尝试寻找其他的方法．学生D：“我来，我的方法更简单(如图3)．延长BA，与EF的反向延长线交于点H，与GE的延长线交于点K，易证△HEK是等腰直角三角形．HK＝HE＝AB＝α，AK＝BH＝b，所以根据△AGK与△AEK的面积的差求得△AGE的面积．”真棒!此时时间已经过去了半节课，可这只是这节课要讲的第一道题呀，突然，我想：这不正是学生自主探索的一个良好的契机吗，放手让学生想吧，后面可能还有更精彩的解法呢！于是，我说：“还有其他的方法吗？”果然，学生E又给出了另一种方法。
由一道习题引发的思考
一道习题引发的思考——复习课的教学案例一、引入进入初三，很多同学认真复习，做了大量的习题，可有时效果并不明显，于是老师告诉你要学会反思，把知识吃透，学会举一反三，那么怎样做才能将学过的知识点联系起来呢？希望今天这节课可以给你些启发。
二、案例描述结合具体的题目复习了已学过的判定三角形全等的的五种方法：SSS，SAS，AAS，ASA和HL。
然后出示以下问题。
题目：如图1：AB，CD相交于点O，AB=CD，试添加一个条件使得△AOD≌△COB，你添加的条件是（只需填写一个条件即可）。
（选用这个题目，本来是让学生灵活应用全等三角形的判定方法，增加问题的开设性，培养学生的探究能力，我先让学生思考，然后回答。
）生1：添加OA=OC∵AB=CD∴OD=BO又∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等）∴△AOD≌△BOC（SAS）生2：添加OD=OB（方法同上）生3：添加AD=BC 连结BD（图2）∵AD=BC DB=DB AB=DC△ADB=△CDB（SSS）∴∠A=∠C（全等三角形的对应角相等）又∵∠AOD=∠COB∵AD=BC∴△AOD≌△COB（AAS）师：很好，当问题不能直接得到解决时，通过添辅助线，先说明△ABD≌△DCB，再利用它得出的结论来说明△AOD≌△COB，这种间接的方法以后经常会用到。
生4（有点迟疑）：∠A=∠C师：大家看看，添加∠A=∠C，能否得到△AOD≌△COB呢？生5：不能！若添上∠A=∠C，△AOD与△COB中没有边相等，而△ABD与△BCD中AB=CD，BD=BD，∠A=∠C是不能判定三角形全等的。
（问题如此解决是在意料之中的）师：有时在解决一个问题，有多种思路。
有的看起来很好的思路并不能解决问题。
解题本身是一种探索的过程，而且要在探索中不断的总结经验，以至提高自己解题的能力。
生6：添∠A=∠C可以说明△AOD≌△COB（下面马上有学生叫起来，“边边角”不能作为判定三角形全等的依据。
对课本一道例题解法的反思
评价研究2014-03对课本一道例题解法的反思文/李国强在数学必修4第一章1.4.2节中求三角函数周期的例题2（课本34页）中，开始时总觉得学生有点难理解，当时问了旁边的学生，学生确实同感。
后来必修4学完后，经过反思，我对三角函数求周期的问题也有了进一步的了解与认识。
现在和大家一起分享我的反思过程。
学习三角函数的图象后，不难发现三角函数值及其图象具有“周而复始”的变化规律，如下图所示的正弦函数和余弦函数的图象y通过函数图象我们可以观察到每隔2k π（k ∈Z）个单位，函数图象以及函数值都会重复出现，根据周期函数的定义知：而对于函数f （x ），如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定定义域内的每一个值时，都有f （x+T ）=f （x ），那么f （x ）就是周期函数，而T 就是这个函数的周期，所以正弦函数和余弦函数也是周期函数.三角函数的周期性是三角函数最基本、最重要的性质之一。
在必修4第一章1.4.2节中的例题2中就是有关求三角函数周期的例题。
下面是摘自课本原题的一个小题。
课本（必修4）第34页求下列函数的周期。
例2（2）y =sin2x ，x ∈R ，解：∵sin2（x +π）=sin （2x +2π）=sin2x ，∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为π对于以上例题所用的解法，看似简单但对学生来说，却不太容易理解。
很多学生都会提出质疑：例2的小题是类似f （x ）=sin x 的正弦函数，但它们都不是正弦（或余弦）函数。
所以没办法直接用我们学习正弦函数的周期2k π直接带入，此时也并不懂得如何去求类似正弦函数的周期函数的周期。
而课本在解答时为何直接在函数的变量后加一个π呢？如sin2x =sin2（x +π），正弦函数的周期不是2k π吗？为何此函数不直接写成sin2x =sin2（x +2k π），抑或为什么不在x 后加上2π，3π，4π…n π呢？同样的道理为什么2sin （12x -π6）=2sin ［12（x +4π）-π6］？为什么要加上4π，就不加2π，5π，…n π呢？这些问题令很多学生迷惑不解.后来经过仔细阅读，我发现每道题的解答后都有一句话:“由周期函数的定义可知……”但是仅凭周期函数的定义就可以直接这样判断出函数的周期，这样的说法对刚接触周期函数的高一学生来说难度有点大。
有一道习题引发的教学思考
有一道习题引起的教课思虑苏教版《小学数学》(三年级上册 ) “认识分数”有这样一道习题一“想一想做做”：片断一：很多教师在平常的教课中都是将书上的原题出示给学生，学生循规蹈矩地填一填、读一读，直观地比较一下这两个分数的大小，就算达成任务了。
在这个过程中，学生达成得很简单，教师自己也感觉成效不错，学生仿佛都会了，却没有反省一下：学生的思想能力获得提升了吗 ?习题资源获得充足利用了吗 ?片断二：一节公然课上教师先出示一张涂色的长方形纸条告诉学生用 1 表示，出示第二张相同大小的长方形纸条，只将此中的1/3涂色，但并未用竖线注明将它均匀分红三份，这时，教师问：“此刻你能用分数表示涂色部分吗?”，让学生估一估，再用电脑考证一下。
在估一估第三张相同大小纸条的1/6 时，有的学生发现第三张纸条的涂色部分占这张纸条1/3 的一半，进而推测出涂色部分应当占这张纸条的1/6 。
比较上边两个片断，我们能够发现：第一个片断中，教师没能依据学生的实质发展水平，创建性地使用习题，学生从图上直观地就能够看出涂色部分占整张纸条的几分之几，做题时无需太多的思虑，学生达成得很简单，成功的感觉不够激烈。
而第二个片断。
教师对原题信息进行了改装，合适隐藏了原有图中的部分信息，学生在预计第二个长方形纸条涂色部分所占大小时，需要在脑筋中对整体进行均匀分的表象操作和展望，而第三张纸条的涂色部分还能够与第二张纸条的涂色部分进行对照、推测，这样做，明显是为学生供给了更为广阔的想象和思想的空间，帮助学生发展了数感。
学生从中获得自主体验与感悟，加深了对所学知识的理解，学生在讲堂上的那种成功的愉悦更加明显。
反省一下，假如我们在练习设计过程中如片断一不加精心设计，不过让学生自己填一填，而后组织沟通报告一下答案，就这样简单练习，那么学生就不可以此后题中获得更多的数学养分，不可以形成更深刻的数学理解，习题的功能亦得不到最大的发挥。
习题是学生进行有效学习的载体。
一道新教材课后习题引发的思考与探究
一道新教材课后习题引发的思考与探究作者：***
来源：《福建中学数学》2023年第10期
教材是最重要的教學资料，其中大多数课后习题都具有很强的代表性，往往蕴含丰富的背景，值得师生进行深入研究．例如普通高中课程标准教科书（2019版）《选择性必修1》P38练习2：
该题的背景是立体几何的一个重要模型，蕴含了线线角、线面角与二面角，如何求空间角的大小是高考的常规题型．对该模型的深入研究可以提高学生对各类角的整体认识，提高他们的综合解题能力，培养数学建模意识，发展数学核心素养．
数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）说过“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会取而代之”．解题活动之后要作理性的分析，剖析问题的本质，把解决问题的方法推广迁移，做好解题理论的提升工作，从而实现解题效益的最大化．。
由一道课本例题带来的日常教学思考
由一道课本例题带来的日常教学思考对数学问题多种解法的不懈追求，体现了数学思维的深刻性、发散性、变通性、灵活性、流畅性和开放性.本文介绍一道课本习题的多解、推广、反思.一、课本上的一道例题：浙教版八上《3.2直棱柱的表面展开图》P58书本例题：如图，有一长方体形的房间，地面为边长4米的正方形，房间高3米.一只蜘蛛在A处，一只苍蝇在B处.⑴试问，蜘蛛去抓苍蝇需要爬行的最短路程是多少？⑵若苍蝇在C处，则最短路程是多少？问题解决——谜底：二、例题教学后的反思：对于立方体表面展开图这个概念的形成，由于很难下一个简洁明了的定义，所以课本先安排了一个合作学习的栏目，让学生把一个立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，得到一些平面图形，然后再通过体例、练习和作业题来理解概念，进一步迁移到其他直棱柱的表面展开图。
从学生能力发展的要求来看，形成数学概念(或定义)，提示其内涵与外延，比数学概念(或定义)本身更重要。
当学生对于概念、定义有了初步理解(或了解)，但这种理解还不十分稳定、清晰的时候，可以在变式中辨别是非。
在复习概念(或定义)的教学过程中，利用问题变式可加速加深学生对概念的理解，巩固所学知识，提高学习的兴趣和积极性，从而培养学生阅读理解、观察与分析、抽象与概括等能力。
三、题目变式教学题目变式包括条件的探究(增加、减少或变更条件)、结论的探究(结论是否唯一)、数与形的探究、引申探究(命题是否可以推广)等。
在解题复习课或试卷讲评课的教学中，利用问题变式可使学生掌握姊妹题甚至一类题的解法，从而使学生运用数学思想方法去分析问题和解决问题的能力得到提高，探究创新的能力得到发展。
．变式1：如图1，有一个圆锥粮仓，其正视图为边长是 6em的正三角形。
粮仓的母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食。
此时，小猫正在B处，它要沿粮仓侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程的长。
变式2：如图2所示的圆柱体中，底面圆的半径是 1，高为2。
对一道课本例题的深入思考
对一道课本例题的深入思考重庆一中 张伟 400700高中数学新课程湘教版教科书理科数学选修2-2的第46页有这样一道例题：有一边长为a 的正方形铁片，铁片的四个角截去四个边长为x 的小正方形，如图（1），然后做成一个无盖方盒。
（1）试把方盒的容积V 表示成x 的函数；（2）求x 多大时，做成方盒的容积V 最大。
这是一道常规的题目，易知：2)2(x a x V -=20ax <<，利用导数的知识可以求出当6a x =时，3m ax 272a V =。
思考一：笔者一直在思考要将正方形铁皮制作成无盖的长方体容器除了例题中提供的剪裁方法之外，是否存在其他的剪裁方式？最终笔者想到了下面的方案：剪裁的方法如图（2）所示，其中小矩形的长为2a ，宽为4a，剪裁之后拼接成图（3），我们可以将图（3）制成一个无盖的长方体，其中阴影部分为长方体的侧面，白色部分为长方体的底面。
该长方体的体积为320323483a a a V =⋅=，由于086417272323333>=-a a a ，所以这样的长方体体积变得更大了。
因为这样的剪裁没有丢弃铁皮，原料的利用率更高，所以和教材例题的方案相比更胜一筹。
思考二：还有没有既不能浪费铁皮，又要使矩形盒子的体积最大的剪裁更方式呢？我们假设制成的长方体盒子的底面边长为y x ,，盒子的高度为z ，则盒子的表面积为yz xz xy S 22++=，为了充分利用铁皮，所以2a S =，即222a yz xz xy =++，矩形盒子的体积xyz V =，利用均值不等式可以求出体积V 的最大值，过程如下：322)(4322xyz yz xz xy a ≥++=，解出3183a xyz V ≤= 当3222a yz xz xy ===时，3max 183a V =，此时a z y x 332=== 结果出来了，最优长方体盒子的底面是一个边长为a 33的正方形，且该盒子的高度为a 63。
对一道课本习题改编后的思考
对一道课本习题改编的思考数学学习的的一个重要方面就是对习题的学习。
但因为课本上的习题或例题大多是针对本节或本章内容设置的，不仅题型单一，而且还不能照顾到不同地区不同的学习水平，因此我们在平时的教学中，有必要针对本地学生的学习情况对课本习题作出改编，以适应本地学生的认知水平习题改编要注意示范性，规范性，启发性，开放性、灵活性，导向性，连贯性，针对性。
下面我们看一道人教版八年级数学上册P 120 9题：点P （x ，y ）在第一象限，且x+y=8，点A （6，0）。
设△OPA 的面积为S 。
（1） 用含x 的解析式表示S ；写出x 的取值范围，画出函数S 的图象。
（2） 当点 P 的横坐标为5时，△OPA 的面积为多少？（3） △OPA 的面积能大于24吗？为什么？一、解析：问题体现了课程标准中“一次函数的学习目标”，以探索问题中的数量关系和变化规律为背景，经历运用函数模型解决实际问题的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。
基于上述学习目标，结合“问题”，首先需要对计算△OPA 的面积S 时涉及到的量进行分析研究，运用数形结合思想，作出草图：即可得到：OA=6，OA 边是的高为点P 的纵坐标y ，故S OPA =12•OA •y=12•6•8-x ()=-3x+24由于点P 在第一象限，于是有x>0,y>0,所以,得到：8-x>0, 所以：0<x<8。
如上图所示，其图象是一条线段，且不包含线段的两个端点。
当x=5时，S=9。
由于S=-3x+24， 所以 3x=24-S ，又因为 0<x<8，所以，0<24-x<24,所以，24>S>0. 故, △OPA 的面积不能大于24.从上面的分析过程可以看出，利用一次函数的性质解决问题，需要结合函数的增减性，把问题转化为不等式问题来解决，这是一种最常用的思维方式方法，应引起我们足够的重视。
关于一道课本习题引起的思考
摘要本文将一道课本习题作为问题背景，深入思考，提出一个更深层次的问题。
并且利用背景问题中的结论，探究解决了所提出的问题。
从而反思在教学中，数学教师应该勤于思考，不断巩固加深自己的专业知识，始终保持一种旺盛的斗志和热衷于数学教学的热情。
关键词圆周角圆外角数学教师教学热情Reflections Aroused from an Exercise in the Textbook //Sun KaifengAbstract With an exercise in the textbook as the background,this paper proposes an issue of further level.By utilizing the conclusion in the exercise,the writer inquires into it further.The writer holds that mathematics teacher should constantly enhance their professional knowledge and keep an enthusiastic attitude in teaching.Key words circumferential angle;angle out of a circle;mathematics teacher;teaching enthusiasmAuthor 's address Affiliated Middle School of Northwestern Polytechnical University,710072,Xi ’an,Shaanxi,China1背景问题北师大版（九年级下册）P114做一做：船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如图，A,B 表示灯塔，暗礁分布在经过A,B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险的临界点，∠ACB 就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船就有可能触礁（如图1所示），我们把∠APB 记为∠α。
从一道课本习题所想到的
如图：树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，在离地面米的C处看此树，离此树多远时看A、B的视初中平面几何中的这样一个题目：如图：设点是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大？
分析：此题是平面几何中求角的最值，先找出点，再证明。
现在请学生看一下课本题目的解答方法：
与上面两题相似的题在高考中多次出现，现举例如下：
通过上面知识的解讲，说明了学生在做题时一定要对题目进行探讨、研究，尽量能从题目中总结出解题规律，从而对知识的应用更加得心应手。
作者单位：贵州省桐梓一中
邮政编码：563200
从一道课本习题所想到的
摘要：本文主要介绍了数学解题过程中研究、推广的重要性，旨在引导学生由只关注解题结果向关注解题过程、总结解题方法转变。
关键词：推广；研究；数学习题
作者简介：谢泽涛，任教于贵州省桐梓一中。
笔者在教学过程中发现这样一个现象，学生在解数学题时往往只注重答案正确与否，而不关注解题的过程与技巧，题目一旦获解，就不再考虑此题，更不愿研究推广应用，学生的学习难以达到举一反三、触类旁通的效果。
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由一道课本习题引发的思考
九年义务教育八年级数学上配套练习册 P 65第11题:
已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形,
思考 由命题的条件，根据平行线判定定理易知： AM/CN MC/ NB,由此得命题1： 命题1已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形, 求证：AM CN ，MC /NB
思考二
由命题的条件结合三角形全等的判定定理可知，有三对全等三角形，故得命题: 命题2已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F.
求证：△ACN 也血CB, △AEC 也 JMFC, △ECN 也△CB
思考三
由命题2的结论，根据全等三角形的性质，可得到一些相等的线段和相等的角， 从而得到
命题：
命题3已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F.
求证：⑴ AN=BM,CE=CF,AE=MF,NE=FB, (2)/NAC= /BMC; ZANC= JMBC; ZAEC= / MFC; 山东省五莲县洪凝初中 王爱仁
求证:
图1
JCEN= /CFB
思考四
因为/ ACM # NCB=60 ,所以/ MCN=6D ,再由命题3的结论可知CE=CF 则△ ECF 为等边三 角形，得命题：
命题4已知：如图3,点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，AN 交
思考五 _
由命题4的结论知，/ EFC=60°，故/ EFC=/FCB ，所以EF I AB ，得命题:
命题5已知;如图3,点C 为线段AB 上一点,^ACM, ACBN 是等边三角形,AN 交MC 于点 BM 交CN 于点F.
求证：AN=BM
MrzT
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、. 思考八 由^ ACN^A MCB 可知，/ CAN=/ CMB 所以/ A0B2 MAO £
AMO ^ MAO £ AMC ：+ CMB ^ MAO 乂 CAN # AMChMAC+^AMC=60 +60° =120° ,可得命题：
命题6已知;如图4,点C 为线段AB 上一点,AACM, ACBN 是等边三角形,AN,BM 相交于 点O.
MC 于点 E ，BM 交CN 于点F.
⑴求证: AN=BM;
(2)求证: △CEF 为等边三角形
若AN 、MC 交于点E,BM 、 NC 交于点F ，求证：EF IAB
图4
求/AOB 的度数
思考七
由（1）证得 △ AC 华△ MCB 可得 AN=BM , S ^ ACN=A MCB 如果由点C 分别向AN BM 作垂线，垂足分别为 H 、G 即？ AN • CH=?BM ・CG /• CF=CG •••点C 在/ AOB 的平分线上，可得命题:
命题7已知，如图5,点C 为线段AB 上一点，△ACM > △CBN 为等边三角形，连结BM 交AN 于P 点，连结CP.
V/ ACM=6° =/ BCN,/./ ACM ：+ MCNM BCN# MCN 即 / ACN / BCM V AC=MC,CN=C/,ACN/ BCM
/. △ ACN^A MCB/. / 1=/ 2
V/ 仁/ 2,BE=NP,BC=NC ；. A BCE^A NCP
••• CP=CE/ ECB/ PCN
V/ ECB/ NCE=60 , // PCN/ NCE= 60 ,即 / PCE=60 , •••△
PCE 是等边三角形，二PC=PE
••• BP=BE+PE=PN+PC
从而可得命题: 命题八 已知；如,7,点C 为线段AB 上一点,△XCM, △CBN
点。
求证：BP=CP+NP 思考九
是等边三角形,AN,BM 相交于P
求证：PC 平分/APB
图6
在原命题中，分别取 AN 、BM 的中点P 、Q ,连接P 、C 、Q 、易证△CPN ◎△ CQB ，可 得 CP=CQ ，思考十 在原命题中，如果让让△ CBN 绕点C 旋转成图10的情形，结果又如何？通过探究可得命
题： 命题10⑴已知：如图9，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形,
求证：AN=BM
(2)如果去掉“点C 为线段AB 上一点”的条件，而是让△CBN 绕点C 旋转成图8的情形，还 有AN=BM ”的结论吗？如果有，请给予证明.
图10
思考十
命题11如图a ，^ABC 和MEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点
C ， 连接AF 和BE.
⑴线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论; / PCN=/BCQ ，可得/ PCQ=/ NCB=60。
，二△ PCQ 是等边三角形，可得命题:
命题九 已知：如图 8，点C 为线段AB 上一点，AACM, △CBN 都是等边三角形，P 、Q 分别是AN 、 MB 的中点, 求证：△PCQ 是等边三角形
如果△KBC 和 △CEF 在BC 的两旁, 结果又如何呢？通过探究可得命题:
图8
图9
⑵ 将图a中的△CEF绕点C旋转一定角度，得到图b,⑴中的结论是否成立？作出判断
并说明理由;
⑶ 若将图a中的AABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个旋转后不同于图b的图形
C（草图即可），⑴中的结论是否还成立？作出判断并说明理由
F
思考十二
在原命题中，去掉等边三角形的条件，改为AB=AC AD=AE/ BAC/ DAE可得命题:
命题12 已知，如图11 所示，在 A ABC 和 A ADE 中，AB=AC , AD=AE，/BAC= /DAE , 且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD的中点。
求证：①BE=CD ②AM=AN
在图11的基础上，其他条件不变，将 A ADE绕点A按顺时针方向旋转180。
，得到图12 所示的图形，请直接写出⑴中的两个结论是否成立?
2
?
图11
图12。