由一道课本习题引发的思考

由一道课本习题引发的思考

九年义务教育八年级数学上配套练习册 P 65第11题:

已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形,

思考 由命题的条件，根据平行线判定定理易知： AM/CN MC/ NB,由此得命题1： 命题1已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形, 求证：AM CN ，MC /NB

思考二

由命题的条件结合三角形全等的判定定理可知，有三对全等三角形，故得命题: 命题2已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F.

求证：△ACN 也血CB, △AEC 也 JMFC, △ECN 也△CB

思考三

由命题2的结论，根据全等三角形的性质，可得到一些相等的线段和相等的角， 从而得到

命题：

命题3已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F.

求证：⑴ AN=BM,CE=CF,AE=MF,NE=FB, (2)/NAC= /BMC; ZANC= JMBC; ZAEC= / MFC; 山东省五莲县洪凝初中 王爱仁

求证:

图1

JCEN= /CFB

思考四

因为/ ACM # NCB=60 ,所以/ MCN=6D ,再由命题3的结论可知CE=CF 则△ ECF 为等边三 角形，得命题：

命题4已知：如图3,点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，AN 交

思考五 _

由命题4的结论知，/ EFC=60°，故/ EFC=/FCB ，所以EF I AB ，得命题:

命题5已知;如图3,点C 为线段AB 上一点,^ACM, ACBN 是等边三角形,AN 交MC 于点 BM 交CN 于点F.

求证：AN=BM

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、. 思考八 由^ ACN^A MCB 可知，/ CAN=/ CMB 所以/ A0B2 MAO £

AMO ^ MAO £ AMC ：+ CMB ^ MAO 乂 CAN # AMChMAC+^AMC=60 +60° =120° ,可得命题：

命题6已知;如图4,点C 为线段AB 上一点,AACM, ACBN 是等边三角形,AN,BM 相交于 点O.

MC 于点 E ，BM 交CN 于点F.

⑴求证: AN=BM;

(2)求证: △CEF 为等边三角形

若AN 、MC 交于点E,BM 、 NC 交于点F ，求证：EF IAB

图4

求/AOB 的度数

思考七

由（1）证得 △ AC 华△ MCB 可得 AN=BM , S ^ ACN=A MCB 如果由点C 分别向AN BM 作垂线，垂足分别为 H 、G 即？ AN • CH=?BM ・CG /• CF=CG •••点C 在/ AOB 的平分线上，可得命题:

命题7已知，如图5,点C 为线段AB 上一点，△ACM > △CBN 为等边三角形，连结BM 交AN 于P 点，连结CP.

V/ ACM=6° =/ BCN,/./ ACM ：+ MCNM BCN# MCN 即 / ACN / BCM V AC=MC,CN=C/,ACN/ BCM

/. △ ACN^A MCB/. / 1=/ 2

V/ 仁/ 2,BE=NP,BC=NC ；. A BCE^A NCP

••• CP=CE/ ECB/ PCN

V/ ECB/ NCE=60 , // PCN/ NCE= 60 ,即 / PCE=60 , •••△

PCE 是等边三角形，二PC=PE

••• BP=BE+PE=PN+PC

从而可得命题: 命题八 已知；如,7,点C 为线段AB 上一点,△XCM, △CBN

点。求证：BP=CP+NP 思考九

是等边三角形,AN,BM 相交于P

求证：PC 平分/APB

图6

在原命题中，分别取 AN 、BM 的中点P 、Q ,连接P 、C 、Q 、易证△CPN ◎△ CQB ，可 得 CP=CQ ，思考十 在原命题中，如果让让△ CBN 绕点C 旋转成图10的情形，结果又如何？通过探究可得命

题： 命题10⑴已知：如图9，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形,

求证：AN=BM

(2)如果去掉“点C 为线段AB 上一点”的条件，而是让△CBN 绕点C 旋转成图8的情形，还 有AN=BM ”的结论吗？如果有，请给予证明.

图10

思考十

命题11如图a ，^ABC 和MEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点

C ， 连接AF 和BE.

⑴线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论; / PCN=/BCQ ，可得/ PCQ=/ NCB=60。，二△ PCQ 是等边三角形，可得命题:

命题九 已知：如图 8，点C 为线段AB 上一点，AACM, △CBN 都是等边三角形，P 、Q 分别是AN 、 MB 的中点, 求证：△PCQ 是等边三角形

如果△KBC 和 △CEF 在BC 的两旁, 结果又如何呢？通过探究可得命题:

图8

图9

⑵ 将图a中的△CEF绕点C旋转一定角度，得到图b,⑴中的结论是否成立？作出判断

并说明理由;

⑶ 若将图a中的AABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个旋转后不同于图b的图形

C（草图即可），⑴中的结论是否还成立？作出判断并说明理由

F

思考十二

在原命题中，去掉等边三角形的条件，改为AB=AC AD=AE/ BAC/ DAE可得命题:

命题12 已知，如图11 所示，在 A ABC 和 A ADE 中，AB=AC , AD=AE，/BAC= /DAE , 且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD，M、N分别为BE、CD的中点。

求证：①BE=CD ②AM=AN

在图11的基础上，其他条件不变，将 A ADE绕点A按顺时针方向旋转180。，得到图12 所示的图形，请直接写出⑴中的两个结论是否成立?