1991考研数学三真题及答案解析
1991年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
(5) 如图, x 轴上有一线密度为常数 ,长度为 l 的细杆,有一质量为 m 的质点到杆右端的距
离为 a ,已知引力系数为 k ,则质点和细杆之间引力的大小为
()
(A)
0 l
km (a x)2
dx
(C)
2
0 km
l 2
(a
x)2
dx
(B)
l 0
km (a x)2
1 ex2
lim
x0
y
lim
x0
1
e x2
ex2
lim
x0
ex2
1 ,所以 x 0 为铅直渐近线, 1
1 ex2
lim
x
y
lim
x
1
e x2
ex2
lim
x
ex2
1 1,所以 y 1为水平渐近线. 1
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数
2 y
y3
3xy2 y ,即
y
y3 2 3xy2
,则曲线在点 (1, 1)
处的导数为
y x 1
(1)3 2 31 (1)2
1,
两导数相等,有 2 a 1,即 a 1.
又因为曲线 y x2 ax b 过点 (1, 1) ,所以有 1 1 a b 11 b b,b 1 .
域内有 f (x0 ) f (x0 x) ；
函数 y f (x) 与函数 y f (x) 关于原点对称,所以必有 f (x0 ) f (x0 x) ,即
在 x0 的某个领域内 f (x0 ) 为极小值,故(B)是正确的.
1991考研数三真题与解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xyz e=则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()()n fx 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1xx e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤=则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nn n a ∞=-∑(C)1n ∞=21(1)n n n a ∞=-∑(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1n A λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x xnxxx e e e n →⎛⎫+++⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y 轴与曲线1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxyx y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)xf x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一? (3) β不能由123,,ααα线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T nT T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中Ti α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分5分) 设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xyexy ydx xdy +【解析】方法一：先求出两个偏导数z x ∂∂和z y∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xyxy xy z e xy y ye xy xze xy x xe xy y∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂sin cos ()xyexy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f ag b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =.(3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x xx xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x fx =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x fx =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填110B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭. (5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xx e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x t t+→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===.故选项(A)正确. (2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n a n n==,则可知 (A) 11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 111212n n n n∞∞∞=====∑ 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.(4)【答案】(D) 【解析】A B AB =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n xe→+++-=,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有 20ln()ln limx x nx x e e e n x→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++.所以 11220lim n xxnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y x x nx xxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.而10lim(1)y y y e →+=,所以01limlim (1)x y y xyx x y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=2000111111lim lim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.由1x y a b +=,得21x y b a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 因此 ()()22412120001122b x aab x aaaDb x I ydxdy dx ydy dx y dx a --⎛⎫⎡⎤====- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 令1x t a=-,有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故 422040112(1)22a b x b I dx t a t dt a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du xdx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+将yu x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 11x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111a aS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以22331a=⋅+,即12a +=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦2211223202120051395p .p p .p =-+--.由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦2211228051602035q q q q =-+--.由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0xf x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞. 方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x xx→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x'=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)xξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01xf x x x x'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦.若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为 2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TTn n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2TTD A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),D x y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩DS 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,))f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx -=⎰.故22,rrEX r π-=⎰22rrEY rπ-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏.。
历年考研数学三真题及答案解析
历年考研数学三真题及答案解析2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222() dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)inα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（ ）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编22(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1990年)设函数f(x)=xtanxesinx，则f(x)是( )A．偶函数．B．无界函数．C．周期函数．D．单调函数．正确答案：B解析：由于则f(x)无界．2．(2011年)已知当x→0时，函数f(x)=3sinx—sin3x与cxk是等价无穷小，则( )A．k=1，c=4．B．k=1，c=一4．C．k=3，c=4．D．k=3，c=一4．正确答案：C解析：则k=3，c=43．(2000年)设函数f(x)在点x=a处可导，则函数｜f(x)｜在点x=a处不可导的充分条件是( )A．f(a)=0且f’(a)=0B．f(a)=0且f’(a)≠0C．f(a)＞0且f’(a)＞0D．f(a)＜0且f’(a)＜0正确答案：B解析：排除法．A选项显然不正确，f(x)=(x一a)2就是一个反例．事实上C 和D也是不正确的．因为f(x)在a点可导，则f(x)在a点连续，若f(a)＞0(或f(a)＜0)则存在a点某邻域在此邻域内f(x)＞0(或f(x)＜0)，因此在a点的此邻域内｜f(x)｜=f(x)(或｜f(x)｜=一f(x))．从而可知｜f(x)｜与f(x)在a点可导性相同，而f(x)在点可导，从而C和D都不正确，因此，应选B．4．(2007年)设某商品的需求函数为Q=160—2p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( ) A．10C．30．D．40．正确答案：D解析：由题设可知，该商品的需求弹性为由知p=40．故应选D．5．(1987年)下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于收敛，所以．应选C．6．(2018年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01 f(x)dx=0，则( ) A．B．C．D．正确答案：D解析：由泰勒公式得上式两端积分得7．(2006年)设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( ) A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0．B．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)≠0．C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0．D．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)≠0．正确答案：D解析：由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有若fx’(x0，y0)≠0，由①式知λ≠0，由原题设知φy’ (x0，y0)≠0，由②式可知fy’ (x0，y0)≠0，故应选8．(2016年)级数(k为常数)( )A．绝对收敛．B．条件收敛．C．发散．D．收敛性与k有关．正确答案：A解析：由于收敛，则原级数绝对收敛．填空题9．(2007年) =______．正确答案：应填0．解析：由于sinx+cosx为有界变量，则10．(1990年)设f(x)有连续的导数，f(0)=0且f’(0)=b，若函数在x=0处连续，则常数A=______．正确答案：应填a+b．解析：由于F(x)在x=0连续，则11．(2003年)已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=______．正确答案：应填4a6．解析：设曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0 且x03—3a2x0+b=0即x02=a2 且x0(x02—3a2)=一b从而可得b2=4a612．(2018年)设函数f(x)满足f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)，且f(0)=2，则f(1)=______．正确答案：应填2e．解析：由f(x+△x)一f(x)=2xf(x)△x+o(△x)(△x→0)知上式中令△x→0得f’(x)=2xf(x)解方程得f(x)=Cex2又f(0)=2，则C=2，f(x)=2ex2，f(1)=2e．13．(2010年)设可导函数y=y(x)由方程∫0x+ye－t2dt=∫0xxsint2dt确定，则=______.正确答案：应填一1．解析：由∫0x+ye－t2dt=x∫0xsintdt知，x=0时y=0，且e－(x+y)2(1+y’)=∫0xsintdt+xsinx将x=0和y=0代入上式得1+y’(0)=0y’(0)=－114．(2000年)设其中f，g均可微，则=______．正确答案：应填解析：15．(2014年)二次积分=______．正确答案：应填解析：积分中的第二项适合先对x后对y积分，但第一项适合先对y后对x 积分．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1991年全国考研数学一真题汇编
八、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶正定阵, E 是 n 阶单位阵,证明 A E 的行列式大于 1.
九、(本题满分 8 分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点 P(x, y) 处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的倒数( Q 是法线与 x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与 x 轴平行.
乘 A1 再右乘 A 有 ABC E BC A1 BCA E ,故应选(D).
其实,对于 ABC E 先右乘 C 1 再左乘 C ,有 ABC E AB C 1 CAB E .
三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.)
(1)【解析】这是1 型未定式求极限.
1 (cos x 1)
,得
f
(0)
Ce0
ln
2
,得
0
C ln 2 ,即 f (x) e2x ln 2 .
(3)【答案】(C)
【解析】因为
(1)n1an a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n
n1
(a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2 n1 a2 n)
(a2n1 a2n ) a2n1 a2n (收敛级数的结合律与线性性质),
1d
A
c
b a
1 ad bc
d
c
b
a
.
再利用分块矩阵求逆的法则：
A 0
0 B
1
A1 0
0 B 1
,易见
1 2 0 0
2
5
0
0
考研数学三历年真题及答案(2003-)
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=_______.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________.（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于______.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ ] （3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ ]（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ ] （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则sααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂v f u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222y gx g ∂∂+∂∂ 五、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件： )()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ. 【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(=dxdy ax y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(2121012adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里T αα为n 阶矩阵，而22a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T T a E E AB αααα+-= =T T T T a a E αααααααα⋅-+-11=T T T T a a E αααααααα)(11-+-=T T T a a E αααααα21-+-=E aa E T =+--+αα)121(,于是有 0121=+--aa ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为 0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =于是有 cov(Y ,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDX Y X ρ【评注】 注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==ni i n X n Y 121依概率收敛于 21 .【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】 这里22221,,,nX X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点. 【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=,0,0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).【评注2】 若f(x)在0x x =处连续，则.)(,0)()(lim000A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '【评注2】 本题也可用排除法分析，取22),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n n a 绝对收敛，即∑∞=1n n a 收敛，当然也有级数∑∞=1n n a 收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ] 【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).【评注】 n （n )2≥阶矩阵A 与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(-<-==⎪⎩⎪⎨⎧=n A r n A r n A r n A r（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则sααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有 02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C) s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα 成立，则s ααα,,,21 线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立.(C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ，且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =，)()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三 、（本题满分8分） 设).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可. 【详解】 因为)(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→ =.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x ，转化为求+→0y 的极限，可以适当简化.四 、（本题满分8分）设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vf u f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222ygx g ∂∂+∂∂ 【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22uv fv u f ∂∂∂=∂∂∂【详解】vfxu f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， .vf y u f x yg ∂∂-∂∂=∂∂ 故 v f vf x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222， .2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I Dy x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d e r ⎰⎰-πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e te t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t ⎰--+-ππ=.1A e -+-π 因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n n nx n x 的和函数f(x)及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xxx x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰ 由f(0)=1, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222x x x f +--='' 01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(x e x g x f =+(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=' =)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dxx dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-=.22x x Ce e -+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是.)(22x x e e x F --=【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式ba a a a ab a a a a a b a a a a a ba A n nn n ++++=321321321321=).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a)0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（ 将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→ .0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T =α【评注】 本题的难点在∑=-=ni iab 1时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在n-1阶子式不为零)，且显然T )1,,1,1( =α为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (3) 求a,b 的值；(4) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=【评注】 本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(2020022b a a bbaA E +----=+----=-λλλλλλλ 设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ解得a=1,b=2.十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围)1)(0(≤≤X F ，再对y 分段讨论.【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于]8,1[∈x ，有 .131)(3132-==⎰x dt t x F x设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当0<y 时，G(y)=0；当1≥y 时，G(y)=1. 对于)1,0[∈y ，有})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =})1({}1{33+≤=≤-y X P y X P =.])1[(3y y F =+于是，Y=F(X)的分布函数为.1,10,0,1,,0)(≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y y y G 若若若【评注】 事实上，本题X 为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y<0时，G(y)=0; 当 1≥y 时，G(y)=1;当 01<≤y 时，})({}{)(y X F P y Y P y G ≤=≤= =)}({1y F X P -≤ =.))((1y y F F =- 十二、（本题满分13分）设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021~X ，而Y 的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】 设F(y)是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y 的分布函数为 }{)(u Y X P u G ≤+==}2{7.0}1{3.0=≤++=≤+X u Y X P X u Y X P =}22{7.0}11{3.0=-≤+=-≤X u Y P X u Y P . 由于X 和Y 独立，可见G(u)= }2{7.0}1{3.0-≤+-≤u Y P u Y P=).2(7.0)1(3.0-+-u F u F 由此,得U 的概率密度)2(7.0)1(3.0)()(-'+-'='=u F u F u G u g =).2(7.0)1(3.0-+-u f u f【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =______，b =______. (2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则2fu v∂=∂∂.(3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则212(1)f x dx -=⎰.(4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 . (5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X P _______.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==⎡⎤-+-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ ](8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ， ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x x f x g ，则(A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ ] (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ).(C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ](12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ ] (13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.[ ](14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ ]三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)求)cos sin 1(lim 2220xxx x -→. (16) (本题满分8分)求⎰⎰++Dd y y x σ)(22，其中D 22122=所围成的 平面区域(如图).(17) (本题满分8分) 设f (x ) , g (x )在[a , b ]上连续，且满足⎰⎰≥x axadt t g dt t f )()(，x ∈ [a , b )，⎰⎰=bab adt t g dt t f )()(.证明：⎰⎰≤babadx x xg dx x xf )()(.(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 - 5P ，其中价格P ∈ (0 , 20)，Q 为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性d E (d E > 0)；(II) 推导)1(d E Q dPdR-=(其中R 为收益)，并用弹性d E 说明价格在何范围内变化时， 降低价格反而使收益增加. (19) (本题满分9分) 设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式. (20)(本题满分13分)设T α)0,2,1(1=, T ααα)3,2,1(2-+=, T b αb α)2,2,1(3+---=, T β)3,3,1(-=, 试讨论当b a ,为何值时,(Ⅰ) β不能由321,,ααα线性表示;(Ⅱ) β可由321,,ααα唯一地线性表示, 并求出表示式;(Ⅲ) β可由321,,ααα线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 b b b bb b A . (Ⅰ) 求A 的特征值和特征向量;(Ⅱ) 求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵. (22) (本题满分13分)设A ，B 为两个随机事件,且41)(=A P , 31)|(=AB P , 21)|(=B A P , 令 ⎩⎨⎧=不发生，，发生，A A X 0,1 ⎩⎨⎧=.0,1不发生，发生，B B Y 求(Ⅰ) 二维随机变量),(Y X 的概率分布; (Ⅱ) X 与Y 的相关系数 XY ρ; (Ⅲ) 22Y X Z +=的概率分布.(23) (本题满分13分)设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，，αx αx x αβαx F β0,1),,( 其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,(Ⅰ) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量.2004年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，则a =1，b =4-.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为5)(cos sin lim0=--→b x ae xx x ，且0)(cos sin lim 0=-⋅→b x x x ，所以0)(lim 0=-→a e x x ，得a = 1. 极限化为 51)(cos lim )(cos sin lim00=-=-=--→→b b x xxb x a e x x x x ，得b = -4. 因此，a = 1，b = -4. 【评注】一般地，已知)()(limx g x f ＝ A ， (1) 若g (x ) → 0，则f (x ) → 0；(2) 若f (x ) → 0，且A ≠ 0，则g (x ) → 0.(2) 设函数f (u , v )由关系式f [xg (y ) , y ] = x + g (y )确定，其中函数g (y )可微，且g (y ) ≠ 0，则)()(22v g v g vu f '-=∂∂∂.【分析】令u = xg (y )，v = y ，可得到f (u , v )的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg (y )，v = y ，则f (u , v ) =)()(v g v g u+，所以，)(1v g u f =∂∂，)()(22v g v g v u f '-=∂∂∂. (3) 设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-=21,12121,)(2x x xe x f x ，则21)1(221-=-⎰dx x f .【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x - 1 = t ，再利用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令x - 1 = t ，⎰⎰⎰--==-121121221)()()1(dt x f dt t f dx x f＝21)21(0)1(12121212-=-+=-+⎰⎰-dx dx xe x .【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 2 .【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案. 【详解一】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2.【详解二】因为213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=323121232221222222x x x x x x x x x -++++= 2322321)(23)2121(2x x x x x -+++= 2221232y y +=,其中 ,21213211x x x y ++= 322x x y -=.所以二次型的秩为2.(5) 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 则=>}{DX X Pe1. 【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于21λDX =, X 的分布函数为 ⎩⎨⎧≤>-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ故=>}{DX X P =≤-}{1DX X P =≤-}1{1λX P )1(1λF -e1=. 【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.(6) 设总体X 服从正态分布),(21σμN , 总体Y 服从正态分布),(22σμN ,1,,21n X X X 和 2,,21n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本, 则22121212)()(21σn n Y Y X X En j j n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+-∑∑==.【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.【详解】因为 2121])(11[1σX X n E n i i =--∑=, 2122])(11[2σY Y n E n j j =--∑=, 故应填 2σ.【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数2)2)(1()2sin(||)(---=x x x x x x f 在下列哪个区间内有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). [ A ]【分析】如f (x )在(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在(a , b )内有界.【详解】当x ≠ 0 , 1 , 2时，f (x )连续，而183sin )(lim 1-=+-→x f x ，42sin )(lim 0-=-→x f x ，42sin )(lim 0=+→x f x ，∞=→)(lim 1x f x ，∞=→)(lim 2x f x ，所以，函数f (x )在(-1 , 0)内有界，故选(A).【评注】一般地，如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )在闭区间[a , b ]上有界；如函数f (x )在开区间(a , b )内连续，且极限)(lim x f a x +→与)(lim x f b x -→存在，则函数f (x )在开区间(a , b )内有界.(8) 设f (x )在(-∞ , +∞)内有定义，且a x f x =∞→)(lim ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,)1()(x x xf xg ，则 (A) x = 0必是g (x )的第一类间断点. (B) x = 0必是g (x )的第二类间断点.(C) x = 0必是g (x )的连续点.(D) g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限)(lim 0x g x →是否存在，如存在，是否等于g (0)即可，通过换元xu 1=， 可将极限)(lim 0x g x →转化为)(lim x f x ∞→.【详解】因为)(lim )1(lim )(lim 0u f x f x g u x x ∞→→→=== a (令xu 1=)，又g (0) = 0，所以，当a = 0时，)0()(lim 0g x g x =→，即g (x )在点x = 0处连续，当a ≠ 0时，)0()(lim 0g x g x ≠→，即x = 0是g (x )的第一类间断点，因此，g (x )在点x = 0处的连续性与a 的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x ) = |x (1 - x )|，则(A) x = 0是f (x )的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x )的拐点. (B) x = 0不是f (x )的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. (C) x = 0是f (x )的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点.(D) x = 0不是f (x )的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x )的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x )在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，考查f (x )在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设0 < δ < 1，当x ∈ (-δ , 0) ⋃ (0 , δ)时，f (x ) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x )的极小值点. 显然，x = 0是f (x )的不可导点. 当x ∈ (-δ , 0)时，f (x ) = -x (1 - x )，02)(>=''x f ， 当x ∈ (0 , δ)时，f (x ) = x (1 - x )，02)(<-=''x f ，所以(0 , 0)是曲线y = f (x )的拐点. 故选(C).【评注】对于极值情况，也可考查f (x )在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：(1) 若∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛，则∑∞=1n n u 收敛.(2) 若∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=+11000n n u 收敛.(3) 若1lim 1>+∞→n n n u u ，则∑∞=1n n u 发散.(4) 若∑∞=+1)(n n n v u 收敛，则∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都收敛.则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ B ]【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令nn u )1(-=，显然，∑∞=1n n u 分散，而∑∞=-+1212)(n n n u u 收敛.(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是正确的，因为由1lim 1>+∞→n n n u u 可得到n u 不趋向于零(n → ∞)，所以∑∞=1n n u 发散.(4)是错误的，如令n v n u n n 1,1-==，显然，∑∞=1n n u ，∑∞=1n n v 都发散，而∑∞=+1)(n n n v u 收敛. 故选(B).【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.(11) 设)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是 (A) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (a ). (B) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f > f (b ).(C) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f .(D) 至少存在一点),(0b a x ∈，使得)(0x f = 0.[ D ]【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知)(x f '在[a , b]上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ； 另外，0)()(lim )(>--='+→ax a f x f a f a x ，由极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >. 同理，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n 阶矩阵A 与B 等价, 则必有(A) 当)0(||≠=a a A 时, a B =||. (B) 当)0(||≠=a a A 时, a B -=||.(C) 当0||≠A 时, 0||=B . (D) 当0||=A 时, 0||=B . [ D ] 【分析】 利用矩阵A 与B 等价的充要条件: )()(B r A r =立即可得.【详解】因为当0||=A 时, n A r <)(, 又 A 与B 等价, 故n B r <)(, 即0||=B , 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.(13) 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵,0*≠A 若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组 b Ax =的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=)(A r n -, 而且⎪⎩⎪⎨⎧-<-===.1)(,0,1)(,1,)(,)(*n A r n A r n A r n A r根据已知条件,0*≠A 于是)(A r 等于n 或1-n . 又b Ax =有互不相等的解, 即解不惟一, 故1)(-=n A r . 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).【评注】本题是对矩阵A 与其伴随矩阵*A 的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.(14) 设随机变量X 服从正态分布)1,0(N , 对给定的)1,0(∈α, 数αu 满足αu X P α=>}{,若αx X P =<}|{|, 则x 等于 (A) 2αu . (B) 21αu-. (C) 21αu -. (D) αu -1. [ C ]【分析】 利用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】 由αx X P =<}|{|, 以及标准正态分布密度曲线的对称性可得21}{αx X P -=>. 故正确答案为(C). 【评注】本题是对标准正态分布的性质, 严格地说它的上分位数概念的考查.。
考研数学三(多元函数微积分学)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2008年] 设则( )．A．fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在B．fx’(0，0)不存在，fy’(0，0)存在C．fx’(0，0)存在，fy’(0，0)不存在D．fx’(0，0)，fy’(0，o)都不存在正确答案：B解析：因而则极限不存在，故偏导数fx’(0，0)不存在．而因而偏导数fy’(0，0)存在．仅(B)入选．知识模块：多元函数微积分学2．[2003年] 设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是( )．A．f(x0，y)在y=y0处的导数大于零B．f(x0，y)在y=y0处的导数等于零C．f(x0，y)在y=y0处的导数小于零D．f(x0，y)在y=y0处的导数不存在正确答案：B解析：解一因f(x，y)在点(x0，y0)处可微，故f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在，因而一元函数f(x0，y)在y=y0处的导数也存在．又因f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，故f(x0，y0)在y=y0处的一阶(偏)导数等于零．仅(B)入选．解二由函数f(x，y)在点(x0，y0)处可微知，f(x．y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．又由二元函数极值的必要条件即得f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都等于零．因而有知识模块：多元函数微积分学3．[2016年] 已知函数则( )．A．fx’－fy’=0B．fx’+fy’=0C．fx’－fy’=fD．fx’+fy’=f正确答案：D解析：则仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学4．[2017年] 二元函数z=xy(3－x－y)的极值点为( )．A．(0，0)B．(0，3)C．(3，0)D．(1，1)正确答案：D解析：zy’=y(3－x－y)－xy=y(3－2x－y)，zy’=x(3－x－y)－xy=x(3－x－2y)，又zxx’=－2y，zxy=3－2x－2y，zyy’=－2x，将选项的值代入可知，只有(D)符合要求，即A=zxx”(1，1)=－2，B=zxy”(1，1)=－1，C=zyy”(1，1)=－2．满足B2－AC=－3＜0，且A=－2＜0，故点(1，1)为极大值点．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学5．[2006年] 设f(x，y)与φ(z，y)均为可微函数，且φy’(x，y)≠0，已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件φ(x，Y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A．若fx’(x0，y0)=0，则fy’(x0，y0)=0B．若fx’(x0，y0)=0，则f’y(x0，y0)≠0C．若fx’(x0，y0)≠0，则fy’(x0，y0)=0D．若fx’(x0，y0)≠0，则f’y(x0，y0)≠0正确答案：D解析：解一由拉格朗日乘数法知，若(x0，y0)是f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值点，则必有fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0，①fx’(x0，y0)+λφx’(x0，y0)=0．②若fx’(x0，y0)≠0，由式①知λ≠0．又由题设有φy’(x0，y0)≠0，再由式②知fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解二构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=f(x，y)+λφ(x，y)，并记对应于极值点(x0，y0)处的参数的值为λ0，则由式③与式④消去λ0得到fx’(x0，y0)／φx’(0，y0)=一λ0=f’y(x0，y0)／φ’y(x0，y0)．即f’x(x0，y0)φ’y(x0，y0)一fy’(x0，y0)φx’(x0，y0)=0．整理得若fx’(x0，y0)≠0，则由式③知，φx’(x0，y0)≠0．因而fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．解三由题设φy’(x，y)≠0知，φ(x，y)=0确定隐函数y=y(x)．将其代入f(x，y)中得到f(x，y(x))．此为一元复合函数．在φ(x，y)=0两边对x求导，得到因f(x，y(x))在x=x0处取得极值，由其必要条件得到f’x+fy’y’=fx’+fy’(一φx’／φy’)=0．因而当fx’(x0，y0)≠0时，必有fy’(x0，y0)≠0．仅(D)入选．知识模块：多元函数微积分学填空题6．[2012年] 设连续函数z=f(x，y)满足则dz｜(0,1)=__________．正确答案：2dx－dy解析：用函数f(x，y)在(x0，y0)处的微分定义：与所给极限比较易知：z=f(x，y)在点(0，1)处可微，且fx’(0，1)=2，fy’(0，1)=－1，f(0，1)=1，故dz｜(0,1)=fx’(0，1)dx+fy’(0，1)dy=2dx－dy．知识模块：多元函数微积分学7．[2009年] 设z=(x+ey)x，则正确答案：2ln2+1解析：解一为简化计算，先将y=0代入z中得到z(x，0)=(x+1)x，z为一元函数．将x=1代入上式，得到解二考虑到z(x，0)=(x+1)x为幂指函数，先取对数再求导数：lnz=xln(x+1)．在其两边对x求导，得到则知识模块：多元函数微积分学8．[2007年] 设f(u，v)是二元可微函数，则正确答案：解析：解一设u=y／x，v=x／y．为方便计，下面用“树形图”表示复合层次与过程．由式①一式②得到解二令f1’，f2’分别表示z=f(y／x，x ／y)对第1个和第2个中间变量y／x、x／y求导数，则知识模块：多元函数微积分学9．[2004年] 函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则正确答案：解析：令u=xg(y)，v=y，由此解出于是知识模块：多元函数微积分学10．[2005年] 设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=_________．正确答案：2edx+(e+2)dy解析：dz=d[xex+y+(x+1)ln(1+y)]=d(xex+y)+d[(x+1)ln(1+y)] =ex+ydx+xex+y(dx+dy)+ln(1+y)dx+[(x+1)／(1+y)]dy．①将x=1，y=0代入上式(其中dz，dx，dy不变)，得到dz｜(1,0)=edx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy．解二利用全微分公式求之．为此，先求出偏导数故解三用定义简化法求之．固定一个变量转化为另一个变量的一元函数求导．由z(x，0)=xex得到由z(1，y)=ey+2ln(1+y)得到故知识模块：多元函数微积分学11．[2006年] 设函数f(u)可微，且f’(0)=1／2，则z=f(4x2－y2)在点(1，2)处的全微分dz｜1,2=___________．正确答案：4dx一2dy解析：解一dz=df(4x2－y2)=f’(u)du=f’(u)d(4x2－y2)=f’(u)(8xdx－2ydy)，其中u=4x2－y2．于是dz｜1,2=f’(0)(8dx－4dy)=4dx－2dy．解二利用复合函数求导公式和定义简化法求之．由z=f(4x2－y2)得到解三由z=f(4x2－y2)得到于是故dz｜1,2=4dx－2dy．知识模块：多元函数微积分学12．[2011年] 设函数则dz｜1,1=____________．正确答案：(1+2ln2)(dx—dy)解析：解一所给函数为幂指函数，先在所给方程两边取对数，然后分别对x，y求偏导：由得到则解二先用定义简化法求出然后代入全微分公式求解．故dz｜1,1=2(ln2+1／2)dx－2(ln2+1／2)dy=(1+2ln2)(dx－dy)．知识模块：多元函数微积分学13．[2015年] 若函数z=z(x，y)由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则dz｜0,0=_______________．正确答案：解析：在ex+2y+3z+xyz=1①两边分别对x，y求偏导得到同法可得将x=0，y=0代入式①易求得z=0，代入式②、式③分别得到则知识模块：多元函数微积分学14．[2014年] 二次积分正确答案：解析：注意到不易求出，需先交换积分次序，由积分区域的表达式D={(x，y)|y≤x≤1，0≤y≤1)－{(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}及交换积分次序得到故知识模块：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三真题及答案
6、设二次型 f x , x , x 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y2 y2 y2 ，其中 P e , e , e ，
133
1
2
3
123
若 Q e1, e3, e2 ，则 f x1, x3 , x3 在正交变换 x Qy 下的标准形为（ ）
(n +1)! nn (n+1)
= limç
n
÷n = 1 <1 ，所以(D)是收敛的。
n (n +1) n! n ç1+ n÷ e
1 1 ç 1÷ 1
1 ç 1÷
对于(B)选项， n1
n
ln
1
n
，
ln
ç1+
n
÷
，所以
n
n ln ç1+ n÷
11 ，根据 p 级数的
nn
5
f 1 2
11. 若函数 z z(x, y) 由方程 ex2 y3z xyz 1确定，则 dz (0,0)
【答案】 1 dx 2dy
3
zz 【解析】这道题目主要考查的是隐函数求偏导数。对于这道题目求全微分，分别求出 ,
xy
ex2
y3z
1
3
z x
【答案】2
【解析】对于这道题目主要是考查变上限积分求导数。
(1)
1
f (t)dt 1
0
x2
x2
(x) 0 xf (t)dt x0 f (t)dt
(x) x2 f (t)dt xf x 2 2x 0
(1)
1
0f
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )A．A的任意m个列向量必线性无关．B．A的任意一个m阶子式不等于零．C．若矩阵B满足BA=O，则B=O．D．A通过初等行变换，必可以化为[ImO]的形式．正确答案：C解析：1 由BA=O知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=0的解，由题设知A的列向量中有m个是线性无关的，故Bx=0解集合中至少有m个线性无关的解向量，因而Bx=0的基础解系所含向量个数不小于m，即m－r(B)≥m，所以r(B)≤0，故r(B)=0，即B=O．2 由于r(Am×n)=m，故存在可逆矩阵Pm×n，使得AP=[Im O]用右乘两端，得记n×m矩阵Q=P，则有AQ=Im，于是用Q右乘题设等式BA=O两端，得BAQ=O，即BIm=O，亦即B=O．知识模块：线性代数2．齐次线性方程组的系数矩阵记为A．若存在3阶矩阵B≠O使得AB=O，则( )A．λ=－2且|B|=0B．λ=－2且|B|≠0C．λ=1且|B|=0D．λ=1且|B|≠0正确答案：C解析：1 设B按列分块为B=[β1 β2 β3]，则由题设条件，有O=AB=[A β1Aβ2 Aβ3]所以Aβj=0(j=1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Ax=0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Ax=0存在非零解，从而有=(λ－1)2=0得λ=1另一方面，必有|B|=0，否则|B|≠0，则B可逆，于是由给AB=O 两端右乘B－1，得A=O，这与A≠O矛盾，故必有|B|=0．因此C正确．2 同解1一样可说明必有|B|=0，同理有|A|=0，观察可知当λ=1时有|A|==0，故C正确．知识模块：线性代数3．设α1，α2，α3是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且A 的秩r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解X=( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由于AX=b的通解等于AX=b的特解与AX=0的通解之和，故只要求出AX=0的基础解系，即得AXb的通解．因为r(A)=3，故4元齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为4－r(A)=1，所以AX=0的任一非零解就是它的基础解系．由于α1及1／2(α2+α3)都是Ax=b的解．故α1－(α2+α3)=1／2[2α1－(α2+α3)]是AX=0的一个解，从而ξ=(2，3，4，5)T也是AX=0的一个解，由上述分析知考是AX=0的一个基础解系，故Ax=b的通解为X=α1+cξ，因此C正确．知识模块：线性代数4．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAN=0，必有( )A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．正确答案：A解析：若向量X满足方程组AX=0，两端左乘AT，得ATAX=0，即X也满足方程组ATAX=0，故AX=0的解都是ATAX=0的解．反之，若X满足ATAX=0，两端左乘XT，得ATATAX=0，即(AX)T(AX)=0，或‖AX‖2=0，故AX=0，即X也满足方程组AX=0，故ATAX=0的解都是AX=0的解由以上两方面，说明方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解的，故A正确．知识模块：线性代数5．设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩=秩(A)，则线性方程组( ) A．AX=α必有无穷多解．B．AX=α必有惟一解．C．=0仅有零解．D．=0必有非零解．正确答案：D解析：方程组=0是λ+1元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=An ×n的秩≤n＜n+1，故该λ+1元齐次线性方程组必有非零解．于是知D正确．知识模块：线性代数6．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：1 注意AB为m阶方阵，方程组(AB)x=0有非零解(只有零解)(AB)＜m(r(AB)=m)．当m＞n时，有r(AB)≤r(A)≤n＜m故当m＞n时，方程组(AB)x=0必有非零解．可以举例说明备选项A、B都不对．故只有D正确．2 B为n×m 矩阵，当n＜m时，齐次线性方程组Bx=0必有非零解，从而知当n＜m时，齐次线性方程组ABx=0(即(AB)x=0)必有非零解．知识模块：线性代数7．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系( )A．不存在．B．仅含一个非零解向量．C．含有两个线性无关的解向量．D．含有三个线性无关的解向量．正确答案：B解析：由A*≠O知A*至少有一个元素Aij=(－1)ijMij≠0，故A的余子式Mij≠0．而Mij为A的n－1阶子式，故r(A)≥n－1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n－1，因此，Ax=0的基础解系所含向量个数为n－r(A)=n －(n－1)=1，只有B正确．知识模块：线性代数8．设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：首先，由A[1／2(η2+η3)]=β，知1／2(η2+η3)是Ax=β的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知η2－η1及η3－η1均为方程组Ax=0的解；再次，由η1，η2，η3线性无关，利用线性无关的定义，或由[η2－η1，η3－η1]及矩阵的秩为2，知向量组η2－η1，η3－η1，线性无关，因此，方程组Ax=0至少有2个线性无关的解，但它不可能有3个线性无关的解(否则，3－r(A)=3，r(A)=0．A=O，这与Aη1=β≠0矛盾)，于是η2－η1，η3－η1可作为Ax=0的基础解系，Ax=0的通解为k1(η2－η1)+k2(η3－η1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项C正确．知识模块：线性代数填空题9．设其中ai≠aj(i≠j，i，j=1，2，…，n)．则线性方程组ATX=B的解是_______．正确答案：(1，0，…，0)T．解析：因为a1，a2，…，an两两不相等，故范德蒙行列式|A|=(ai－aj)≠0，所以方程组ATX=B的系数行列式|AT|=|A|≠0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为X=(1，0，…，0)T．知识模块：线性代数解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有( )A．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
B．(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解。
C．(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解。
D．(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。
正确答案：A解析：若α是方程组(Ⅰ)：Ax=0的解，即Aα=0，两边左乘AT，得ATAα=0，即α也是方程组(Ⅱ)：ATAx=0的解，即(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解。
若β是方程组(Ⅱ)：ATAx=0的解，即ATAβ=0，两边左乘βT得βTATAβ-=(Aβ)TA β=0。
Aβ是一个向量，设Aβ=(b1，b2，…，bn)T，则(Aβ)TAβ=bi2=0。
故有bi=0，i=1，2，…，n，从而有Aβ=0，即β也是方程组(Ⅰ)：Ax=0的解。
知识模块：线性代数2．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵。
已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( ) A．P-1α。
B．PTα。
C．Pα。
D．(P-1)Tα。
正确答案：B解析：由已知Aα=λα，于是PTAα=λPTα，且(P-1AP)T=PTAT(P-1)T，又由于AT=A，有(P-1AP)T(PTα)=PTA(P-1)TPTα=λPTα，可见矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是PTα，故答案选B。
知识模块：线性代数3．设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )A．λ1=0。
B．λ2=0。
C．λ1≠0。
D．λ2≠0。
正确答案：D解析：方法一：令k1α1+k2A(α1+α2)=0，则(K1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0。
1991考研数学三真题及超详细答案解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy e xy ydx xdy + 【解析】方法一：先求出两个偏导数z x ∂∂和z y∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xy xy xy ze xy y ye xy xze xy x xe xy y∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂ sin cos ()xye xy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f a g b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =.(3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x xx xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x fx =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x fx =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X BE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填110B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭. (5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xx e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x tt +→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===. 故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n a n n==,则可知 (A) 11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 111212n n n n∞∞∞=====∑ 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.(4)【答案】(D)【解析】A B A B =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n xe→+++-=,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有20ln()ln limx x nx x e e e nx→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++.所以 11220lim n xxnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y xxnxxxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 而10lim(1)yy y e →+=,所以01lim 0lim (1)x y y xyxx y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=2000111111limlim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.由1x y a b +=,得21x y b a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 因此 ()()22412120001122b x aa b x aaaDb x I ydxdy dx ydy dx y dx a --⎛⎫⎡⎤====- ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 令1x t a=-,有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故42240112(1)22a b x b I dx t a t dt a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+ 将yu x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 11x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111a aS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以223=,2=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦2211223202120051395p .p p .p =-+--.由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦2211228051602035q q q q =-+--.由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0xf x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞. 方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x xx→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x'=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)xξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+.故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01xf x x x x'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦.若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为 2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TTn n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2TTD A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),Dx y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩D S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,))f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx -=⎰.故22,rrEX r π-=⎰22rrEY r π-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分) 【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏。
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题 完整版附答案及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，则=22dx y d 34cos sin t t t t -. (2)由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz dx =.(3)已知直线L 1和L 2的方程 1123:101x y z L ---==-和221:211x y zL --==，则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y ＋z + 2 = 0 .(4)已知当0x →时，21/2(1)1x a +-与cos 1x -是等阶无穷小，则常数a =3/2-.(5)设4阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025, 则A 的逆矩阵1A -=12002500001/32/3001/31/3-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)曲线2211x x ee y ---+=（D ）(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数f (x) 满足关系式2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则f (x) 等于(B) （A ）2ln xe （B ）2ln 2xe（C ）2ln +x e （D ）2ln 2+xe .(3)已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n a a ， 则级数∑∞=1n na等于 (C)（A ）3（B ）7（C ）8（D ）9(4)设D 是XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域，D 1是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于（A ）(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D) 0.(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC = E ， 其中E 是n 阶单位阵，则必有(D)(A)ACB = E(B)CBA = E (C)BAC = E (D)BCA = E 三、(本题满分15分，每小题3分)(1)求0lim )xx π→+解原式ln 0lim c xx e π+⋅→=0limln x c xeπ+→⋅=……2分0x e π→⋅=……4分 2eπ-=.……5分(2)设n是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处的指向外测的法向量，求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数解：462n i j k =++ .……1分Px u ∂==∂Pyu ∂==∂Pu z∂==∂……3分从而[cos(,)cos(,)cos(,)]P Pu uu u n i n j n k x y z n∂∂∂∂=++∂∂∂∂117=+=.……5分 (3)求dv z y x )(22++⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体．解22422202()()r xy z dv d r z dzπθΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰……2分350528)8r r r drπ=+-……4分 2563π=.……5分四、(本题满分6分)在过点O (0,0)和A (0,π)的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.解：33()[1sin (2sin )cos ]I a a x x a x a x dx π=+++⎰,……2分3443a a π=-+. ……4分 令2()4(1)0I a a '=-=,得1,(1)a a ==-舍去，且1a =是()I a 在+)∞(0，内的唯一驻点 ……5分 由于(1)80I ''=>,()I a 在1a =处取到最小值.故所求曲线是sin (0)y x x π=≤≤ ……6分五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数∑∞=121n n的和. 解：由于()2(11)f x x x =+-≤≤是偶函数，所以1002(2)5a x dx =+=⎰， ……1分11222(cos 1)2(2)cos()2cos(),1,2,n n a x n x dx x n x dx n n ππππ-=+===⎰⎰ ……3分 0,1,2,n b n ==……4分因所给函数在[1,1]-满足收敛定理的条件，故22221052(cos 1)54cos(21)2cos()22(21)n k n k xx n x n k πππππ∞∞==-++=+=-+∑∑，[1,1]x ∈-……5分 令0x =，有 22054122(21)k k π∞==-+∑，即2201(21)8k k π∞==+∑于是22222000111111(21)(2)84k k k n n k k n π∞∞∞∞=====+=++∑∑∑∑，因此222114386n nππ∞==⋅=∑.……8分 六、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=.解：由积分中值定理知,在2[,1]3上存在一点1c ，使23111()()3f x dx f c =⎰， ……3分从而有1()(0)f c f =, ……4分 故()f x 在区间1[0,]c 上满足罗尔定理的条件，因此在1(0,)c 内存在一点c ，使得(c)0.f '=1(0,)(0,1)c c ∈⊂. ……7分七、(本题满分6分)已知)3,2,0,1(1=α，)5,3,1,1(2=α，)1,2,1,1(3+-=a α，)8,4,2,1(4+=a α，)5,3,1,1(+=b β， 问：(1),a b 为何值时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合？(2),a b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示式？并写出表示式.解：设11223344,x x x x βαααα=+++则12342341234123412123(2)4335(3)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩……2分因 11111011212324335135a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭1111101121011000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+⎪+⎝⎭……4分故当1,0a b =-≠时，β不能表示成4321,,,a a a a 的线性组合.……5分 当1a ≠-时，表示式唯一，且1234210111b a b ba a a a a a a β++=-++++++. ……8分八、(本题满分6分)设A 是n 阶正定阵，E 是n 阶单位阵，证明A+E 的行列式大于1.解一：因A 是正定阵，故存在正交阵Q ，使121n Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . ……1分其中0(1,2,)i i n λ>= 是A 的特征值.故111()Q A E Q Q AQ Q Q ---+=+1122111n n E λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ……4分在上式两端取行列式得11(1)|||()|||||nii QA E Q A E λ-=+=⋅+⋅=+∏，从而||1A E +>.……6分解二：因A 是正定阵，故A 的特征值0(1,2,)i i n λ>= ……1分 于是A E +的特征值11(1,2,)i i n λ+>= ……4分 因此A+E 的行列式12||1111n A E λλλ+=+⋅++> ……6分九、(本题满分6分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段PQ 长度的倒数（Q 是法线与x 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与X 轴平行.解：曲线()y y x =在点(,)x y 处的法线方程是1(),('0)Y y X x y y-=--≠', ……1分 它与x 轴的交点是(',0)x yy +，从而该点到x 轴之间的法线段PQ的长度是122(1)y y '=+（0y '=也满足上式）……2分 故由题意得微分方程312222''1(1')(1')y y y y =++，即2''1'yy y =+……3分 且当1x =时，1,'0y y ==.……4分令'y p =，则''dp y p dy =，代入方程得21dp yp p dy=+，或21p dydp p y =+积分并注意到1y =时，0p =，使得y =……6分代入dyp dx =，得'y dx ==±积分上式，并注意到1x =时1y =，得ln((1)y x =±-.因此所求曲线方程为(1)1(1)1()2x x x y ey e e ±----==+ 即.……8分十、填空题 (本题满分6分,每小题3分)(1)若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= 0.2 .(2)随机地向半圆0(0)y a <<>内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为112π+十一、(本题满分6分)设二维随机变量( X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-它其00,02),()2(y x e y x f y x ， 求Z =X +2Y 的分布函数.解：2(){}{2}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy+≤=≤=+≤=⎰⎰……2分当0z ≤时，{0}0P Z ≤=.当0z >时，(2)200{}2z x zx y P Z z dx e dy--+≤=⎰⎰……4分2202()1z x zz xy x z z z e dx e dy e e dx e ze -------==-=--⎰⎰⎰. ……5分所以2Z X Y =+的分布函数0,0()1,0Z z zz F z e ze z --≤⎧=⎨-->⎩. ……6分数 学（试卷二）一、【 同数学一 第一题 】 二、【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分,每小题6分)(1)求3+∞⎛⎜⎠解：33+∞+∞=⎛⎛⎜⎜⎠⎠令1sec x θ-=，则sec tan dx d θθθ=.……2分 故原式243sec tan sec tan d ππθθθθθ=⎛⎜⎠……3分2232(1sin )cos 3d ππθθθ=-=⎰. ……6分(2)计算(1)sydzdx z dxdy -++⎰⎰，其中S 是圆柱面422=+y x被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧．解一：设1,2,1,,D S S S Ω如图所示，记1212(1),(1)S S I ydzdx z dxdy I ydzdx z dxdy =-++=-++⎰⎰⎰⎰,123(1)S S S I ydzdx z dxdy ++=-++⎰⎰,则312I I I I =--. ……1分而111(1)S S I ydzdx z dxdy=-++⎰⎰⎰⎰11(1)(21)12S D z dxdy x dxdy π=+=-+=⎰⎰⎰⎰，……3分2212(1)4S S D I ydzdx z dxdy dxdy π=-++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分 又由奥高公式有3(11)0I dv Ω=-+=⎰⎰⎰.……5分 故3128I I I I π=--=-.……6分解二：设2,D S 如上图所示，则2(1)0SS I ydzdx z dxdy ydzdx =-++=-+⎰⎰⎰⎰……1分2D =-⎰⎰……3分22202dx --=-⎰⎰……4分222(2x -=--⎰……5分248π-=-=-⎰.……6分(3)【 同数学一 第四题 】五、(本题满分8分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设)31ln(xy -+=，则=dy 3ln 313x xdx ---+. (2)曲线2x e y -=的向上凸区间是(22-.(3)21ln xdx x +∞=⎰1 (4)质点以速度)sin(2t t 米 / 秒作直线运动，则从时刻1t=π=2t 秒内质点所经过的路程等于 1 / 2 米. (5) 1101lim x x xex e+→-+= -1二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)若b ax x y ++=2和312xy y +-=在(1,1)-点相切，其中,a b 是常数，则(D)(A)0,2a b ==-(B)1,3a b ==-(C)3,1a b =-=(D)1,1a b =-=-(2)设函数⎩⎨⎧≤-≤≤=21210)(2x x x x x f ，记0()(),02xF x f t d t x =≤≤⎰，则（B ）(A)()F x =32013121232x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩(B)()F x =32013721262x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C)()F x =33201321232x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩（D ）()F x =320132122x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩(3)设函数()f x 在(+∞∞-,)内有定义，00≠x 是函数()f x 的极大点，则(B)(A) 0x 必是()f x 的驻点(B) 0x -必是()f x --的极小点(C) 0x -必是()f x -的极小点(D)对一切x ，都有)()(0x f x f ≤.(4)【 同数学一 第二、(4) 题 】(5)如图，x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，若质量为m 的质点到杆右端的距离为a ，引力系数为k ，则质点和细杆之间引力的大小为 (A)(A) 021()km dxa x μ--⎰(B) 120()km dxa x μ-⎰(C) 01222()km dxa x μ-+⎰(D)1222()km dx a x μ+⎰三、(本题满分25分，每小题5分)(1)设⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos ， 求22dx y d 解：sin cos cos sin dy t t t dx t t t+=-， ……2分22sin cos cos sin t d y t t t dtdx t t t dx'+⎛⎫= ⎪-⎝⎭……4分 232(cos sin )t t t t +=-. ……5分(2)计算⎰+41)1(x x dx 解：令t =2,2x t dx tdt ==，于是有原式212(1)dt t t =+⎛⎜⎠……2分211121dtt t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠……3分 212[ln ln(1)]t t =-+……4分 42ln 3=.……5分(3)求20sin lim (1)xx x xx e →--解：原式30sin limx x xx →-=……2分 201cos lim 3x x x →-=……4分 212201lim 36x x x →==. ……5分(4)求⎰xdxx 2sin解：原式1cos22xxdx -=⎰……2分 11sin 224xdx xd x =-⎰⎰……3分 211sin sin 2444x x x xdx =-+⎰……4分 211sin 2cos 2448x x x x C =--+. ……5分(5)求微分方程xxe y xy =+2满足(1)1y =的特解解：()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……1分 11[]dxdxxx x ee edx C -⎰⎰=+⎰……2分 1[(1)]x x e C x=-+……4分当1,1x y ==代入，得1C =，所以特解11x x y e x x-=+. ……5分四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时，有不等式x xx x +>+1ln )1ln(.证一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-，……2分 则1()ln(1)0f x x'=+>.……5分 所以在[1,)+∞中()f x 为增函数.……6分又(1)2ln 20f =>，所以在[1,)+∞中，有()0f x >.即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->， 故当1x >时，有ln(1)ln 1x xx x+>+. ……9分五、(本题满分9分)求微分方程x x y y cos +=+'' 的通解.解： 原方程所对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +. ……2分设非齐次方程y y x ''+=的特解为1y Ax B =+.代入方程得0,1B A ==，所以1y x =.又设非齐次方程cos y y x ''+=的特解为2cos sin y Ex x Dx x =+, 则代入方程得10,2E D ==，所以21sin 2y x x =.因此原方程的通解为12cos sin sin 2xy C x C x x x =+++. ……9分六、(本题满分6分)曲线y=(x －1)(x －2)和x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转 体的体积解：在[1,2]上取积分元，得2||dV x y dx π=， ……4分 于是有212||V x y dxπ=⎰……6分 212(1)(2)x x x dxπ=---⎰……7分 2π=.……9分七、(本题满分6分)如图，A 和D 分别是曲线x e y =和x e y 2-=上的点，AB 和DC 均垂直x 轴，且1,1:2:<=AB DC AB ， 求点B 和C 的坐标，使梯形ABCD 的面积最大.解： 设B ，C 的横坐标为1,x x , 则有122xxe e -=，由此可得1ln 22x x =-.……2分又13ln2(0)BC x x x x =-=->. 故梯形ABCD 的面积23(3ln 2)2x S x e -=-， ……5分 令23(362ln 2)02x S x e -'=-+=，得驻点11ln 223x =+， ……7分由于当11ln 223x <+时，0S '>；当11ln 223x >+时，0S '<.所以11ln 223x =+是极大值点，又驻点唯一. 故11ln 223x =+是最大值点.……8分 即当11ln 223x =+，11ln 213x =-时，梯形ABCD 的面积最大.……9分八、 (本题满分6分)设函数()f x 在),(+∞-∞内满足()()sin f x f x x π=-+，且()f x x =，),0[π∈x ，计算⎰ππ3)(dx x f .解一：333()[()sin]()f x dx f x x dx f x dxππππππππ=-+=-⎰⎰⎰……1分2()t x f t dtππ=-⎰令……3分2()()f t dt f t dtπππ=+⎰⎰2[()si)n(]ff t dt t dttππππ-+=+⎰⎰……6分22(2)2f t dtππππ=--+⎰202()2x t f x dxπππ=--+⎰令……8分22π=-. ……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1)设sin xyz e =，则)(cos sin xdy ydx xy e dz xy +=.(2)设曲线3()f x x ax =+与c bx x g +=2)(都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公共切线，则a = -1 ，b =-1 ，c = 1 . (3)设x xe x f =)(，则)()(x fn 在点x =(1)n -+处取极小值)1(+--n e .(4)设A 和B 为可逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B A X 为分块矩阵，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111AB X . (5)设随机变量X 的分布函数为=≤=)x X (P )x (F 33111118.04.00≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x 若若若若. 则X 的概率分布为 1130.40.40.2-⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1)下列各式中正确的是（A ）(A)1)11(lim 0=++→x x x (B) e xxx =++→)11(lim 0(C) e x x x =-∞→)11(lim (D) exx x =+-∞→)11(lim (2)设n a n 10<≤(n=1,2,… )，则下列级数中肯定收敛的是（D ）(A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n nna (C)∑∞=1n na (D)∑∞=-12)1(n nna (3)设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B)(A)nA1-λ(B)A1-λ(C)Aλ(D)nAλ(4)A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是(D)(A)A 与B 不相容(B)A 与B 相容 (C)P (AB )=P (A )P (B )(D)P (A -B )=P (A)(5)对于任意两个随机变量X 和Y ，若E (X Y )= E X E Y ，则(B )(A)D (X Y )=D X D Y (B )D (X +Y )=D X +D Y (C)X 和Y 独立(D )X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限120lim()x x nx x x e e e n→+++ 其中n 是给定的自然数.解：原式201limexp{ln()}x x nx x e e e x n →+++= 20ln(ln )exp{lim }x x nx x e e e n x→+++-= .……1分其中大括号内的极限是0型未定式，因此由罗比塔法则，有22200ln()ln 2lim lim x x nx x x nxx xnx x x e e e n e e ne x e e e→→+++-+++=+++ ……2分 12n n +++= 12n +=. ……4分 于是12n e+=原式. ……5分四、(本题满分5分) 计算二重积分D I ydxdy =⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴与曲1=+by a x 所围成的区域；0,0a b >>.解：积分区域D 如图中阴影部分所示.1=，得21y b ⎛= ⎝.因此(10ab I dx ydy=⎰⎰……2分240(12ab dx =⎰.……3分令1t =()21x a t =-，2(1)dx a t dt =--.则12450()I ab t t dt =-⎰1562205630t t ab ab ⎛⎫=-=⎪⎝⎭. ……5分五、(本题满分5分) 求微分方程22y x dxdyxy+=满足条件2x ey e ==的特解.解：原方程可以化为2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，可见是齐次微分方程.……1分设,dy duy ux u x dx dx==+有，将其代入上式，得21du u u xdx u ++=，……2分 即1du x dx u =，du dx u dx x =,21ln ||2u x C =+.……3分 将yu x=代入上式，得通解222(ln ||)y x x C =+，……4分 由条件|2,x e y e ==求得1C =，于是，所求特解为222(ln ||1)y x x =+.……5分六、(本题满分6分)假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分，其a 是大于零的常数，试确定的a 值.解：由21(01)y x x =-≤≤与2y ax =联立，可解得故曲线12L L 与的交点P的坐标为. ……1分于是223101)][(1)3S x ax dy x a x =--=-+=……3分 12112022(1)3S S S x dx =+=-=⎰，……4分 从而113S =.13=，……5分 因此于是3a =.……6分七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1P 和2P ，销量分别为1q 和2q ，需求函数分别为112.024P q -=和2205.010P q -=，总成本函数为)(403521q q c ++=， 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少?解：总收入函数为2211221122240.2100.05R p q p q p p p p =+=-+-……2分 总利润函数为112212()[3540()]L R C p q p q q q =-=+-++221122320.2120.051395p p p p =-+--……4分由极值的必要条件，得方程组1122320.40120.10Lp p L p p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩， 其解为1280,120p p ==.……6分 由问题的实际意义可知，当1280,120p p ==时，厂家所获得的总利润最大， 其最大利润为1280,120605p pL ===.……8分八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+在区间),0(+∞内单调增加.证：由1()exp{ln(1)}f x x x =+，有111()(1)[ln(1)]1x f x x xx '=++-+. ……2分记11()ln(1)1g x x x=+-+，对于任意(0,)x ∈+∞，有21()0(1)g x x x '=-<+，故函数()g x 在(0,)+∞上单调减少.……3分 由于11lim[ln(1)]01x x x→+∞+-=+，……4分 可见对任意(0,)x ∈+∞，有11()ln(1)01g x x x=+->+，……5分 从而，()0f x '>，(0,)x ∈+∞.于是，函数()f x 在(0,)+∞上单调增加.……6分九、(本题满分7分)设1111λα+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111αλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3111αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ， 问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一？（3）β不能由123,,ααα线性表示？解：设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其系数行列式2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A .……3分（1）若03λλ≠≠-且，则方程组有唯一解，β可由3,21,a a a 唯一地线性表示.……4分（2）若0λ=，则方程组有无穷多个解，β可由3,21,a a a 线性表示，但表达式不唯一.……5分（3）若3λ=-，则方程组的增广矩阵211003318000612130331203312112911291129⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，可见方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由3,21,a a a 线性表示. ……7分十、(本题满分6分)考虑二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ，问λ取何值时，为正定二次型？解：二次型f 的矩阵为1142124λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，……2分由于二次型f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正. 而A 的顺序主子式为：110D =>，22144D λλλ==-，2311424484(1)(2)124D λλλλλλ-==--+=--+-， ……4分于是，二次型f 正定的充分必要条件是：230,0D D >>，由2240D λ=->，可见22λ-<<；由34(1)(2)0D λλ=--+>，可见21λ-<<. 于是，二次型f 正定，当且仅当21λ-<<.……6分十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是D =1112121222120T T T nT T T n T T T n n n nαααααααααααααααααα≠其中T i α表示列向量i α的转置，1,2,,i n = .解：记n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ，则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是||0≠A ，……2分由于1212(,,,)T T Tn T n A A αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212T T T n T T Tn T T Tn n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭……4分故有2||||||||T T A A A A A D =⋅==，因此，||0A ≠与0D ≠等价.于是0D ≠是12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件.……6分十二、(本题满分6分)【 同数学五 第十三、(1) 题 】 十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域 222r y x ≤+上服从联合均匀分布， (1)求X 和Y 的相关系数ρ；(2)问X 和Y 是否独立？解：(1) 因X 和Y 的联合密度为22222221,(,)0,x y r x y r p x y r π+≤⎧+>⎪=⎨⎪⎩若若， ……1分故X的密度为121()(||)p x x r r π==≤，同理，Y的密度为2()(||)p y y r ≤……2分于是220rrEX r π-==⎰，220rrEY r π-==⎰，……3分 2222cov(,)0x y r xyX Y EXY dxdy r π+≤==-=⎰⎰，……4分 因此X 和Y 的相关系数0ρ=.……5分 (2)由于12(,)()()p x y p x p y ≠，故X 和Y 不独立. ……6分十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--000),(1x x e x a x p x a 若若αλλλ，其中0>λ中是未知参数,0>a 是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ，求λ的最大似然估计量λˆ. 解：似然函数为11211(,,,)()nn n aa n i ii i L x x x a ex xλλλ--===∑∏ ；， ……2分由对数似然方程，有1ln 0n ai i L n x λλ=∂=-=∂∑，……4分 由此可解得λ的最大似然估计量1=nai i nx λ=∑ . ……5分数 学（试卷五）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1)【 同数学四 第一、(1) 题 】(2)【 同数学四 第一、(2) 题 】(3)【 同数学四 第一、(3) 题 】(4)n 阶行列式00000000000000nab a b a a b ba1(1)nn n a b +=+-.(5)[91-5] 设A ，B 为随机事件，P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则6.0)(=B A P 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1)【 同数学四 第二、(1) 题 】(2)设数列的通项为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数若为奇数若n nn n n n x n 12，则当∞→n ,n x 是（D ）（A ）无穷大量（B ）无穷小量 (C)有界变量（D ）无界变量(3)设A 与B 为n 阶方阵，且AB ，则必有(C)(A)0A =或0B = (B) AB BA=(C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A (4)设A 是m ⨯n 矩阵，A x ＝0是非齐次线性方程组A x ＝b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是(D)(A)若Ax ＝0仅有零解，则A x ＝ b 有唯一解(B)若Ax ＝0有非零解，则Ax ＝b 有无穷多个解(C)若Ax ＝b 有无穷多个解，则Ax ＝0仅有零解(D)若Ax ＝b 有无穷多个解则Ax ＝0有非零解(5)【 同数学四 第二、(4) 题 】三、(本题满分5分) 求极限()xx xx 121lim +++∞→.解：原式11lim (lim exp{ln(exp{lim xx x x x x x →+∞→+∞→+∞===，其中大括号内的极限是∞∞型未定式. ……2分因此由罗比塔法则，有lim lim lim 0x x x →+∞===， ……4分 于是10lim ()1x x x e →+∞==.……5分四、(本题满分5分) 求定积分dx x x I 211)12(++=⎰-.解：01221(1)(31)I x dx x dx-=+++⎰⎰……2分 0133101122(1)(31)393x x -=+++=.……5分五、(本题满分5分)求不定积分arctgxdxx x I ⎰+=221解：21(1)arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x=-=-+⎰⎰⎰……2分 221arctan (arctan )12xx x dx x x =--+⎛⎜⎠……4分 2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C =-+-+.……5分六、(本题满分5分)已知0)()(),()(≠'+'+=z g y z f x z yg z xf xy ，其中(,)z z x y =是x 和y 的函数. 求证：[]yz z f y x z z g x ∂∂-=∂∂-)()]([. 证：将()()xy xf z yg z =+两侧同时对x 求偏导数，得()()()z zy f z xf z yg z x x∂∂''=++∂∂， ……2分 于是，有()()()z y f z x xf z yg z ∂-=''∂+， ……3分 同样可得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+. ……4分因此[()][()][()][()]()()z x g z y f z z x g z y f z x xf z yg z y ∂--∂-==-''∂+∂. ……5分七、(本题满分6分)【 同数学四 第六题 】 八、(本题满分8分)【 同数学四 第七题 】 九、(本题满分6分)证明不等式 11ln(1)(0)1x xx><<+∞+＋.证：记11()ln(1),01f x x x x=+-<<+∞+，有21()0(1)f x x x '=-<+， ……2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单独减少.……3分 由于11lim ()lim[ln(1)]01x x f x x x→+∞→+∞=+-=+，……5分 故对于任意0x <<+∞，()0f x >，即11ln(1)1x x+>+.……6分十、(本题满分5分)设n 矩阵A 和B 满足条件A ＋B ＝AB ，(1)证明A -E 为可逆矩阵,其中E 是n 阶单位矩阵；(2)已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求矩阵A .解：由A ＋B ＝AB ，有AB -A -B +E =(A -E)(B -E)=E ， ……1分 由此可见A -E 为可逆矩阵.……2分 又由上式，知B -E 也为可逆矩阵，且1(-=+A E B -E)……3分 由于030200001B E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，11/20()1/300001B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭， ……4分故1(-=+A E B -E)11/201/310002⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……5分十一、(本题满分7分)【 同数学四第九题】十二、(本题满分4分) 已知向量Tk a )1,,1(=是矩阵A =211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值.解：设λ是α所属的特征值，则1a a λ-=A ，a a λ=A .……2分即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得方程组(3)1(22)k k k λλ+=⎧⎨+=⎩，其解为112211,2,,14k k λλ==-==.于是当21k =-或时，α是1-A 的特征向量.……4分十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与 其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等.以X 表示汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数.（1）求X 的概率分布； （2）求XE +11. 解：（1）由条件知, X 的可能值为0,1,2,3.以(1,2,3)i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”；则123,,A A A 相互独立，且1()(),1,2,32i i P A P A i ===. ……2分于是11(0}()2P X P A ===，1221(1}()2P X P A A ===，12331(2}()2P X P A A A ===，12331(3}()2P X P A A A ===.……4分 （2）11111111671224384896EX =+⋅+⋅+⋅=+. ……7分十四、(本题满分6分)在电源电压不超过200伏、在200－240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X 服从正态分布N (220，252 )，试求 ：(1)该电子元件损坏的概率α；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200－240伏的概率β.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）解：引进下列事件：1A ＝｛电压不超过200伏｝，2A ＝｛电压在200－240伏｝，3A ＝｛电压超过240伏｝；B ＝｛电子元件损坏｝.因2~(220,25)X N ，故1220200220(){200}{}(0.8)0.2122525X P A P X P --=≤=≤=Φ-=，2(){200240}(0.8)(0.8)0.576P A P X =≤≤=Φ-Φ-=；3(){240}10.2120.5760.212P A P X =>=--=.……3分 （1）由题设条件知123(|)0.1,(|)0.001,(|)0.2P B A P B A P B A ===. 于是，由全概率公式，有31()()(|)0.0642iii a P B P A P B A ====∑，……5分 （2）由贝叶斯公式，得222()(|)(|)0.009()P A P B A P A B P B β==≈.……7分。
1991考研数三真题及解析
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xyz e=则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()()n fx 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1xx e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤=则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nn n a ∞=-∑(C)1n ∞=21(1)n n n a ∞=-∑(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1nA λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ (4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x xnxxx e e e n →⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y 轴与曲线1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxy x y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大最大利润为多少八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)xf x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一 (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一 (3) β不能由123,,ααα线性表示十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T nT T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中Ti α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立 十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy e xy ydx xdy + 【解析】方法一：先求出两个偏导数z x ∂∂和z y∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xyxy xy z e xy y ye xy xze xy x xe xyy∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂ sin cos ()xye xy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+.(2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f a g b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =. (3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x xx xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x fx =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x fx =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭. (5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-={3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xx e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x t t+→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===. 故选项(A)正确. (2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n an n==,则可知(A)11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 111212n n n n∞∞∞=====∑ 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=.两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.(4)【答案】(D) 【解析】A B AB =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =；2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n xe→+++-=,其中指数上的极限是型未定式,由洛必达法则,有 20ln()ln limx x nx x e e e n x→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnx x e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++.所以 11220lim n xxnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y x x nx xxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 而10lim(1)yy y e →+=,所以01lim 0lim (1)x y y xyxx y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=v1.0 可编辑可修改2000111111lim lim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.由1x ya b +=,得21x y b a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 因此 ()()22412120001122b x aa b x aa aDb x I ydxdy dx ydy dx y dx a --⎛⎫⎡⎤====- ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 令1x t a=-,有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故 42240112(1)22a b x b I dx t a t dt a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+ 将y u x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.v1.0 可编辑可修改六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 111x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()112221110111aaS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰113012331aa x x a++⎡⎤=-=⎢⎥+⎣⎦.又因为12S S =,所以222331a=⋅+,即12a +=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦2211223202120051395p .p p .p =-+--.由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦2211228051602035q q q q =-+--.由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0xf x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞.方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少. 又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x xx→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x'=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x++==+-=+-, 所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)xξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01xf x xx x'=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦.若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TT n n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2TTD A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),D x y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩D S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)(),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,))f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx -=⎰.故22,rrEX r π-=⎰22rrEY r π-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏.。
2024 考研数学(三)真题试卷及参考答案
试卷及解2024考研数学（三）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设函数21()lim1nn xf x nx →∞+=+，则()f x A．在1x =，1x =-处都连续．B．在1x =处连续，在1x =-处不连续．C．在1x =，1x =-处都不连续．D．在1x =处不连续，在1x =-处连续．1．【答案】D【解析】当21 1lim11nn xx x nx →∞+<=++时,，当211lim01nn xx nx →∞+>=+时,，当21,lim01n x n →∞==+时，当01lim01n x n→∞=-=+时,，故()1,11,0,x x f x +-<<⎧=⎨⎩其他.故在1x =-时，连续；1x =时不连续．选D.2.设sin d a k aI x x π+=⎰，k 为整数，则I 的值A．只与a 有关B．只与k 有关C．与,a k 均有关D．与,a k 均无关2．【答案】B 【解析】π|sin |d a k a I x x+=⎰ππ0|sin |d sin d 2.k x x k x x k ===⎰⎰选B.3.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .yy f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰3．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A.4.幂级数nnn a x∞=∑的和函数为ln(2)x +，则20nn na∞==∑A.16-B.13-C.16D.134．【答案】A【解析】()112ln 2ln 1ln 2ln 2(1)2nn n x x x n ∞-=⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭+=++=+- ⎪⎝⎭∑23462222ln 222346x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+-+-+ ⎪⎝⎭224680246357320234111 2322242111 2221114182 .138361624nn naa a a a ∞==+++++⎛⎫=-+⋅--+ ⎪⋅⋅⎝⎭⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-=-=-⨯=-⎢⎢⎥-⎣⋅⎦∑ 5.设二次型()T123,,f x x x =x Ax 在正交变换下可化成22212323y y y -+，则二次型f 的矩阵A 的行列式与迹分别为.6,2A --.6,2B -.6,2C -.6,2D 5．【答案】C【解析】()T123,,f x x x =x Ax 正交变换下化为22212323y y y -+⇒A 的特征值为1,2,3-()()()1236,tr 1232⇒=⋅-⋅=-=+-+=A A .6.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=AA.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭6.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P 故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131(1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7.设矩阵131,2112ij a b b aM +⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 表示A 的行j 列元素的余子式,若1||2=-A .且2122230M M M -+-=.则3.02A a a ==-或3.02B a a ==或1.12C b b ==-或1.12D b b =-=或7.【答案】B【解析】120101322211111222112121bba bbbba a a-+===A 1211(1)122a b +⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭111(21)22b a ⎛⎫=-⋅--=-⎪⎝⎭11(21)22b a ⎛⎫⇒--=⎪⎝⎭12122b ab a ⇒--+=又2122232122230M M M A A A =-+-=++13131111111101111201a b a b a b a b +++====+-=，1b a ⇒=+代入(1)中,得11(1)2022a a a a ++--+=0a ⇒=或312ab =⇒=或52.8.设随机变量X 的概率密度为()()61,01,0,x x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他，则X 的三阶中心矩()3E X EX -=A.132-B.0C.116D.128．【答案】B 【解析】1211116(1)d 6634122EX x x x ⎛⎫=-=⋅-=⨯= ⎪⎝⎭⎰3311321021211116(1)d 6d 022 22 x t E X x x x xt t t t --=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰令.9.随机变量,X Y 相互独立，且~(0,2),~(1,1)X N Y N -，设{}{}122,21p P X Y p P X Y =>=->，则121A.2p p >>211B.2p p >>121C.2p p <<211D.2p p <<9．【答案】B【解析】(2)2011E X Y EX EY -=-=+=，(2)44219D X Y DX DY -=+=⨯+=，所以2~(1,9)X Y N -；(2)2022E X Y EX EY -=-=+=，(2)4246D X Y DX DY -=+=+=，所以2~(2,6)X Y N -；121011113333X Y p P ΦΦ---⎧⎫⎛⎫⎛⎫=>=--=⎨⎬ ⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭⎝⎭21p P ΦΦ⎛⎛=>=--= ⎝⎝，所以2112p p >>，故选B.10.设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-,则下列随机变量中与Z 同分布的是A.X Y + B.2X Y+C.2X D.X10．【答案】D【解析】X 与Y 的联合概率密度为2()e ,0,0(,)()()0,x y Y X x y f x y f x f y λλ-+⎧>>=⋅=⎨⎩其他设Z 的分布函数为()Z F z ，则{}{}()Z F z P Z z P X Y z=≤=-≤1当0z <时，()0Z F z =；2当0z ≥时，{}{}()20Z F z P z X Y z P X Y z =-≤-≤=≤-≤02e d e d y z y x yy x λλλλ+∞+--=⎰⎰.()()02202e e e d 2e d 2e e d 1e .y y y z y z y z y y yλλλλλλλλλλ+∞---++∞+∞----=-=-=-⎰⎰⎰所以()1Z E ，从而Z 与X 服从相同的分布，选D.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.当0x →时，()2221sin d 1cos xt tt t++⎰与k x 是同阶无穷小，则k =.11．【答案】3【解析】当0x →时，()22221sin ~1cos 2x xx x++，则()223201sin d ~1cos xt tt Ax t++⎰.从而3k =.12.4225d 34x x x +∞=+-⎰.12．【答案】1πln 328-【解析】()()42222255d d 3414x x x x x x +∞+∞=+--+⎰⎰222211d d 14x x x x +∞+∞=--+⎰⎰222111d d 114x x x x x +∞+∞⎛⎫=-- ⎪-++⎝⎭⎰⎰222111ln arctan 2122x x x +∞+∞⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭111ππ1π0ln ln 32322428⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13.函数()324,2961224f x y x x y x y =--++的极值点是.13．【答案】()1,1【解析】23618120,24240,x y f x x f y ⎧'=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得(1,1) ，(2,1).1218xx A f x ''==-,0xy B f ''==,272yy C f y ''==-，代入(1,1)得24320,6AC B A -=>=-,故(1,1)是极大值点，(1,1)23f =.代入(2,1)得24320AC B -=-<,不是极值.14．某产品的价格函数是250.25,20,350.75,20Q Q p Q Q -≤⎧=⎨->⎩(p 为单价，单位：万元；Q 为产量，单位：件)，总成本函数为215050.25C Q Q =++（万元），则经营该产品可获得的最大利润为（万元）.14．【答案】50【解析】()()()22(250.25)15050.25,20,350.7515050.25,20.Q Q Q Q Q L PQ C Q Q Q Q Q ⎧--++≤⎪=-=⎨--++>⎪⎩整理得：220.5(20)50,20,(15)75,20.Q Q L Q Q ⎧--+≤=⎨--+>⎩所以20Q =时，50L =为最大利润.15.设A 为3阶矩阵，*A 为的A 伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵，若(2)1,()2r r -==E A E +A ，则*A =.15．【答案】16【解析】() 132r <-=E A ，() 23r =<E +A ⇒A 有特征值2,1-.又()3222r λ-=-⇒=E A 有 2个线性无关的特征向量2λ⇒=至少有两重根.()311r λ-=⇒=-E +A 有1个线性无关特征向量1λ⇒=-至少有一重根.又A 为3阶⇒A 的特征值为22,1-，，故()*122214,||16n -=⋅⋅-=-===A A A A .16.设随机试验每次成功的概率为p ，现进行3次独立重复试验，在至少成功1次的条件下，3次试验全部成功的概率为413，则p =.16．【答案】23p =【解析】A ：全成功，B ：至少成功一次.()33()()4()()1(1)13P AB P A p P A B P B P B p ====--,331344(1)p p =--整理得(32)(3602)3p p p p -+=⇒=.三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12x xuv J y y v uv∂∂∂∂==∂∂∂∂故3113331d 1d 2u v v⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式38ln 3=.18．设函数(,)z z x y =由方程2e ln(1)0xz y z +-+=确定，求22(0,0)22z z x y ⎛⎫∂∂+ ⎪∂∂⎝⎭.18．【解】将0y =代入得e xz =-，则22e xz x ∂=-∂，代()220,001z x x∂=⇒=-∂.将0x =代入得()21ln 1z y z+=+，得()222ln 11z yz zz y z y∂∂=++⋅∂+∂.代0,0,1x y z ===-得()0,0ln2zy ∂=∂.又22222122 211z z z y z z z z z y y z y z y y ⎡⎤⎛⎫∂∂⋅⎢⎥ ⎪+∂∂∂∂⎝⎭⎢=⋅+⋅+⋅⎢⎥∂+∂+∂∂⎢⎥⎣⎦，代0,0,1,ln2zx y z y∂===-=∂得()220,02ln2z y ∂=-∂.故原式为12ln2--.19.设0t >，平面有界区域D 由曲线-2e xy x =与直线x t =，2x t =及x 轴围成，D 的面积为()S t ，求()S t 的最大值.19．【解】()22ed txt S t x x -=⎰，()()42424e e e 4e t t t t S t t t t ---=-=-'则，42 4e e 0ln2.t t t ---=⇒=令()() 0ln20;ln20.t S t t S t <<'>><'当时,当时,故ln2t =时，()S t 取最大值，有()ln 4ln 4222ln 2ln 21113 ln2e d e ln2.221664x x x S x x x ---⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭⎰20.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰20.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x x x ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 21.设矩阵11011103,2126--⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A 1012111,2322a a ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭B 向量023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，α10.1⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭β（1）证明：方程组=Ax α的解均为方程组=Bx β的解；（2）若方程组=Ax α与方程组=Bx β不同解，求a 的值.21.证明：（1）(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x x A A αα(,)1⎛⎫⇒= ⎪-⎝⎭=0x Bx βB β又11010110101103202042212630328310121011311110000232210121a a a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫=→⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A αB β1101011010010210102100220001100011000000000000000022000000a a ----⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()3r r ⎛⎫== ⎪⎝⎭A αB βA ,α.即(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0x A α的解是(,)1⎛⎫= ⎪-⎝⎭0B βx 的解.即=Ax α的解是=Bx β的解(2)=Ax α与方程组=Bx β不同解,即=Ax α与=Bx β不等价又=Ax α的解是=Bx β的解，故=Bx β的解不是=Ax α的解.即(,)3r r ⎛⎫≠=⎪⎝⎭A αB βB β，故1012110121,1110011312322103063a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→---- ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭B β101211012101021010210113100110a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭故10a -=即1a =.22.X 服从[]0,θ上的均匀分布，()0θ∈+∞，为未知参数，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，记为(){}()12max ,,,,.n c n n X X X X T cX == （1）求c 使得();c E T θ=（2）记()()2,c h c E T θ=-求c 使得()f c 最小.22．【解】（1）{}()()12max ,n n n E cX cEX cE X X X θ⎡⎤===⎣⎦ 10()0X x f x θθ⎧<<⎪⎨⎪⎩其他00(),01,X x x F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ {}()120,0max ~(),01,,n n n n X x xX X X F x x x θθθ<⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩ ()10()0. X n n n n xx f x θθ-⎧⋅<<⎪=⎨⎪⎩其他{}1110,1max ,d 1n n n n nnx n E X X x x n θθθθθθ-+==⋅+⎰1nn θ=+，所以1n c n+=.（2）()2222()22c c c ch c E T T ET E ET θθθθ=+-=++()()()()222n n E cX E cX θθ=+-()()2222n n c EX c EX θθ=+-因为()221201d 2n n n n n nx n EX x x x n θθθθ-+=⋅=+⎰22nn θ=⋅+()11001d 11n n n n n nxn nEX x x x n n θθθθθ-+=⋅⋅=⋅=++⎰所以22222 ()21221=21n n nc n h c c c c n n n n θθθθθ⎛⎫=+-⋅+-⋅ ⎪++++⎝⎭令2()1221n n f x x x n n =+-++，22()021n n f x x n n '=-=++解得21n x n +=+，即21n c n +=+时，()h c 取最小值.。
1991考研数学试题全及答案
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设 ⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12，则=22dx y d 34cos sin t t t t -. (2) 由方程 2222=+++z y x xyz 所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分2dz dx dy =.(3) 已知直线L 1和L 2的方程 1123:101x y z L ---==-和221:211x y zL --== ，则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y ＋z + 2 = 0 .(4) 已知当0x →时，21/2(1)1x a +-与cos 1x -是等阶无穷小，则常数a =3/2-.(5) 设4阶方阵A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1100210000120025, 则A 的逆矩阵1A -=12002500001/32/3001/31/3-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 曲线 2211x x ee y ---+=（D ）(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数f (x) 满足关系式2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则f (x) 等于 (B)（A ）2ln x e （B ）2ln 2x e （C ）2ln +x e （D ）2ln 2+xe .(3) 已知级数5,2)1(11211==-∑∑∞=-∞=-n n n n n a a ， 则级数∑∞=1n na等于 (C)（A ） 3 （B ） 7 （C ） 8 （D ） 9(4) 设D 是XOY 平面上以 (1,1), (-1,1) 和 (-1,-1)为顶点的三角区域，D 1是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 （A ）(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰ (C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0.(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC = E ， 其中E 是n 阶单位阵，则必有 (D)(A) ACB = E (B) CBA = E (C) BAC = E (D) BCA = E三、(本题满分15分，每小题3分)(1) 求0lim )x x x π→+解 原式ln 0lim c xxx e π+⋅→=0limln x c xxeπ+→⋅=……2分 0sin 1cos 2x x x xe π→-⋅⋅-=……4分 2eπ-=.……5分(2) 设n是曲面632222=++z y x 在点P(1,1,1)处的指向外测的法向量，求函数zy x u 2286+=在点P 处沿方向n 的方向导数解：462n i j k =++ .……1分2261468Px z x x y u +∂==∂2281468Py z x yy u +∂==∂2226814Pu zx y z +∂=-=∂……3分从而[cos(,)cos(,)cos(,)]P P u uu u n i n j n k x y z n∂∂∂∂=++∂∂∂∂111471414141414=+=.……5分 (3) 求 dv z y x )(22++⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体．解228422202()()r xy z dv d r z dz πθΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰……2分 8350528)8r r r dr π=+-……4分 2563π=.……5分四、(本题满分6分)在过点O (0,0)和A (0,π)的曲线族)0(sin >=a x a y 中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分⎰+++Ldy y x dx y )2()1(3的值最小.解：33()[1sin (2sin )cos ]I a a x x a x a x dx π=+++⎰,……2分3443a a π=-+. ……4分 令2()4(1)0I a a '=-=,得1,(1)a a ==-舍去，且1a =是()I a 在+)∞(0，内的唯一驻点 ……5分 由于(1)80I ''=>,()I a 在1a =处取到最小值.故所求曲线是sin (0)y x x π=≤≤ ……6分五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数∑∞=121n n的和. 解：由于()2(11)f x x x =+-≤≤是偶函数，所以1002(2)5a x dx =+=⎰， ……1分11222(cos 1)2(2)cos()2cos(),1,2,n n a x n x dx x n x dx n n ππππ-=+===⎰⎰ ……3分 0,1,2,n b n ==……4分因所给函数在[1,1]-满足收敛定理的条件，故22221052(cos 1)54cos(21)2cos()22(21)n k n k xx n x n k πππππ∞∞==-++=+=-+∑∑，[1,1]x ∈- ……5分 令0x =，有 22054122(21)k k π∞==-+∑，即2201(21)8k k π∞==+∑ 于是22222000111111(21)(2)84k k k n n k k n π∞∞∞∞=====+=++∑∑∑∑，因此222114386n nππ∞==⋅=∑.……8分 六、(本题满分6分)设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，证明在(0,1)内存在一点c ，使()0f c '=.解：由积分中值定理知,在2[,1]3上存在一点1c ，使23111()()3f x dx f c =⎰， ……3分从而有1()(0)f c f =, ……4分 故()f x 在区间1[0,]c 上满足罗尔定理的条件，因此在1(0,)c 内存在一点c ，使得(c)0.f '=1(0,)(0,1)c c ∈⊂. ……7分七、(本题满分6分)已知)3,2,0,1(1=α，)5,3,1,1(2=α，)1,2,1,1(3+-=a α，)8,4,2,1(4+=a α，)5,3,1,1(+=b β， 问：(1) ,a b 为何值时，β不能表示成4321,,,αααα的线性组合？(2) ,a b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示式？并写出表示式.解：设11223344,x x x x βαααα=+++则12342341234123412123(2)4335(3)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩ ……2分 因 11111011212324335135a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪++ ⎪+⎝⎭1111101121011000010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+⎪+⎝⎭……4分故当1,0a b =-≠时，β不能表示成4321,,,a a a a 的线性组合.……5分 当1a ≠-时，表示式唯一，且1234210111b a b ba a a a a a a β++=-++++++. ……8分八、(本题满分6分)设A 是n 阶正定阵，E 是n 阶单位阵，证明A+E 的行列式大于1.解一：因A 是正定阵，故存在正交阵Q ，使121n Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ . ……1分 其中0(1,2,)i i n λ>= 是A 的特征值.故111()Q A E Q Q AQ Q Q ---+=+1122111n n E λλλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭. ……4分在上式两端取行列式得11(1)|||()|||||nii QA E Q A E λ-=+=⋅+⋅=+∏，从而||1A E +>.……6分解二：因A 是正定阵，故A 的特征值0(1,2,)i i n λ>= ……1分 于是A E +的特征值11(1,2,)i i n λ+>= ……4分 因此A+E 的行列式12||1111n A E λλλ+=+⋅++> ……6分九、(本题满分6分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段PQ 长度的倒数（Q 是法线与x 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与X 轴平行.解：曲线()y y x =在点(,)x y 处的法线方程是1(),('0)Y y X x y y-=--≠', ……1分 它与x 轴的交点是(',0)x yy +，从而该点到x 轴之间的法线段PQ的长度是122(1)y y '=+ （0y '=也满足上式）……2分 故由题意得微分方程312222''1(1')(1')y y y y =++，即2''1'yy y =+ ……3分 且当1x =时，1,'0y y ==. ……4分令'y p =，则''dp y p dy =，代入方程得21dp yp p dy=+，或21p dydp p y =+ 积分并注意到1y =时，0p =，使得21y p =+……6分代入dyp dx =，得22'1,1y y dx y =±-=±- 积分上式，并注意到1x =时1y =，得2ln(1)(1)y y x -=±-.因此所求曲线方程为2(1)1(1)11()2x x x y y ey e e ±-----==+ 即. ……8分十、填空题 (本题满分6分,每小题3分)(1) 若随机变量X 服从均值为2，方差为2σ的正态分布，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= 0.2 .(2) 随机地向半圆202(0)y ax x a <<->内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与 区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为112π+十一、(本题满分6分)设二维随机变量( X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-它其00,02),()2(y x e y x f y x ， 求Z =X +2Y 的分布函数.解：2(){}{2}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰……2分当0z ≤时，{0}0P Z ≤=.当0z >时，(2)200{}2z x zx y P Z z dx e dy --+≤=⎰⎰……4分2202()1z x zz xy x z z z e dx e dy e e dx e ze -------==-=--⎰⎰⎰. ……5分所以2Z X Y =+的分布函数0,0()1,0Z z zz F z e ze z --≤⎧=⎨-->⎩. ……6分数 学（试卷二）一、【 同数学一 第一题 】 二、【 同数学一 第二题 】 三、【 同数学一 第三题 】 四、(本题满分18分,每小题6分)(1) 求423(1)2x x x+∞--⎛⎜⎠解：424233(1)2(1)(1)1x x x x x +∞+∞=-----⎛⎛⎜⎜⎠⎠令1sec x θ-=，则sec tan dx d θθθ=.……2分 故原式243sec tan sec tan d ππθθθθθ=⎛⎜⎠ ……3分223233(1sin )cos 3d ππθθθ=-=⎰. ……6分(2) 计算(1)sydzdx z dxdy -++⎰⎰，其中S 是圆柱面422=+y x被平面2x z +=和0z =所截出部分的外侧．解一：设1,2,1,,D S S S Ω如图所示， 记1212(1),(1)S S I ydzdx z dxdy I ydzdx z dxdy =-++=-++⎰⎰⎰⎰,123(1)S S S I ydzdx z dxdy ++=-++⎰⎰,则312I I I I =--. ……1分而111(1)S S I ydzdx z dxdy =-++⎰⎰⎰⎰11(1)(21)12S D z dxdy x dxdy π=+=-+=⎰⎰⎰⎰， ……3分 2212(1)4S S D I ydzdx z dxdy dxdy π=-++=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.……4分 又由奥高公式有3(11)0I dv Ω=-+=⎰⎰⎰.……5分 故3128I I I I π=--=-.……6分解二：设2,D S 如上图所示，则2(1)0SS I ydzdx z dxdy ydzdx =-++=-+⎰⎰⎰⎰……1分 2224D x dzdx =--⎰⎰……3分 2222024dx x dx --=--⎰⎰……4分 2222(2)4x x dx -=---⎰……5分 22448x dx π-=--=-⎰.……6分(3) 【 同数学一 第四题 】五、(本题满分8分)【 同数学一 第五题 】 六、(本题满分7分)【 同数学一 第六题 】 七、(本题满分8分)【 同数学一 第七题 】 八、(本题满分6分)【 同数学一 第八题 】 九、(本题满分8分)【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设)31ln(xy -+=，则=dy 3ln 313x xdx ---+. (2) 曲线2x e y -=的向上凸区间是22(22-. (3)21ln xdx x +∞=⎰1 (4) 质点以速度)sin(2t t 米 / 秒作直线运动，则从时刻1t =2ππ=2t 秒内质点所经过的路程等于 1 / 2 米. (5) 1101lim x x xex e+→-+= -1二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 若b ax x y ++=2和312xy y +-=在(1,1)-点相切，其中,a b 是常数，则 (D)(A) 0,2a b ==- (B) 1,3a b ==- (C) 3,1a b =-= (D) 1,1a b =-=-(2) 设函数⎩⎨⎧≤-≤≤=21210)(2x x x x x f ，记0()(),02xF x f t d t x =≤≤⎰，则 （B ）(A) ()F x =32013121232x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B) ()F x =32013721262x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C) ()F x =33201321232x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩ （D ）()F x =320132122x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-<≤⎪⎩(3) 设函数()f x 在(+∞∞-,)内有定义，00≠x 是函数()f x 的极大点，则 (B)(A) 0x 必是()f x 的驻点 (B) 0x -必是()f x --的极小点 (C) 0x -必是()f x -的极小点 (D) 对一切x ，都有)()(0x f x f ≤. (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】(5) 如图，x 轴上有一线密度为常数μ，长度为l 的细杆，若质量为m 的质点到杆右端的距离为a ，引力系数为k ，则质点和细杆之间引力的大小为 (A)(A) 021()km dxa x μ--⎰(B) 120()km dx a x μ-⎰(C) 01222()km dxa x μ-+⎰(D) 1222()km dxa x μ+⎰三、(本题满分25分，每小题5分)(1) 设 ⎩⎨⎧==t t y t t x sin cos ， 求 22dx y d 解：sin cos cos sin dy t t t dx t t t+=-， ……2分22sin cos cos sin t d y t t t dtdx t t t dx'+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ……4分 232(cos sin )t t t t +=-. ……5分(2) 计算⎰+41)1(x x dx解：令t x =2,2x t dx tdt ==，于是有原式212(1)dt t t =+⎛⎜⎠……2分 211121dt t t ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎛⎜⎠……3分 212[ln ln(1)]t t =-+ ……4分 42ln 3=.……5分(3) 求 20sin lim (1)x x x xx e →--解：原式30sin lim x x xx →-=……2分 201cos lim 3x xx →-= ……4分 212201lim 36x x x →==. ……5分(4) 求⎰xdx x 2sin解：原式1cos22xxdx -=⎰ ……2分 11sin 224xdx xd x =-⎰⎰ ……3分 211sin sin 2444x x x xdx =-+⎰ ……4分 211sin 2cos 2448x x x x C =--+. ……5分(5) 求微分方程xxe y xy =+2 满足(1)1y =的特解解：()()[()]P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰……1分 11[]dxdxxx x ee edx C -⎰⎰=+⎰……2分 1[(1)]x x e C x=-+ ……4分当1,1x y ==代入，得1C =，所以特解11x x y e x x-=+. ……5分四、(本题满分9分)利用导数证明：当1x >时，有不等式x xx x +>+1ln )1ln(.证一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-，……2分 则1()ln(1)0f x x'=+>.……5分 所以在[1,)+∞中()f x 为增函数.……6分又(1)2ln 20f =>，所以在[1,)+∞中，有()0f x >.即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->， 故当1x >时，有ln(1)ln 1x xx x+>+. ……9分五、(本题满分9分)求微分方程x x y y cos +=+'' 的通解.解： 原方程所对应齐次方程的通解为12cos sin C x C x +. ……2分设非齐次方程y y x ''+=的特解为1y Ax B =+.代入方程得0,1B A ==，所以1y x =.又设非齐次方程cos y y x ''+=的特解为2cos sin y Ex x Dx x =+, 则代入方程得10,2E D ==，所以21sin 2y x x =.因此原方程的通解为12cos sin sin 2xy C x C x x x =+++. ……9分六、(本题满分6分)曲线y=(x －1)(x －2)和x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转 体的体积解：在[1,2]上取积分元，得2||dV x y dx π=， ……4分 于是有212||V x y dx π=⎰……6分 212(1)(2)x x x dx π=---⎰……7分 2π=.……9分七、(本题满分6分)如图，A 和D 分别是曲线x e y =和x e y 2-=上的点，AB 和DC 均垂直x 轴，且1,1:2:<=AB DC AB ， 求点B 和C 的坐标，使梯形ABCD 的面积最大.解： 设B ，C 的横坐标为1,x x , 则有122xxe e -=，由此可得1ln 22x x =-. ……2分 又13ln2(0)BC x x x x =-=->. 故梯形ABCD 的面积23(3ln 2)2x S x e -=-， ……5分 令23(362ln 2)02x S x e -'=-+=，得驻点11ln 223x =+， ……7分由于当11ln 223x <+时，0S '>；当11ln 223x >+时，0S '<.所以11ln 223x =+是极大值点，又驻点唯一. 故11ln 223x =+是最大值点.……8分 即当11ln 223x =+，11ln 213x =-时，梯形ABCD 的面积最大.……9分八、 (本题满分6分)设函数()f x 在),(+∞-∞内满足()()sin f x f x x π=-+，且()f x x =，),0[π∈x ，计算⎰ππ3)(dx x f .解一：333()[()sin]()f x dx f x x dx f x dxππππππππ=-+=-⎰⎰⎰……1分2()t x f t dtππ=-⎰令……3分2()()f t dt f t dtπππ=+⎰⎰2[()si)n(]ff t dt t dttππππ-+=+⎰⎰……6分22(2)2f t dtππππ=--+⎰202()2x t f x dxπππ=--+⎰令……8分22π=-. ……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 设sin xyz e =，则)(cos sin xdy ydx xy e dz xy +=.(2) 设曲线3()f x x ax =+与c bx x g +=2)(都通过点(1,0)-，且在点(1,0)-有公共切线，则a = -1 ，b = -1 ，c = 1 . (3) 设x xe x f =)(，则)()(x fn 在点x =(1)n -+处取极小值)1(+--n e .(4) 设A 和B 为可逆矩阵，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00B A X 为分块矩阵，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=---00111AB X . (5) 设随机变量X 的分布函数为=≤=)x X (P )x (F 33111118.04.00≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x x x 若若若若. 则X 的概率分布为 1130.40.40.2-⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题：(本题满分15分，每小题3分)(1) 下列各式中正确的是 （A ）(A) 1)11(lim 0=++→x x x (B) e xxx =++→)11(lim 0(C) e x x x =-∞→)11(lim (D) e xxx =+-∞→)11(lim(2) 设n a n 10<≤ (n=1,2,… )，则下列级数中肯定收敛的是 （D ）(A)∑∞=1n na(B)∑∞=-1)1(n n na (C)∑∞=1n n a (D)∑∞=-12)1(n n na(3) 设A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵A*的特征根之一是 (B)(A)n A 1-λ (B) A 1-λ (C) A λ (D) nA λ(4) A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是 (D)(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容(C) P (AB )=P (A )P (B ) (D) P (A -B )=P (A)(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ，若E (X Y )= E X E Y ，则 (B )(A) D (X Y )=D X D Y (B ) D (X +Y )=D X +D Y (C) X 和Y 独立 (D ) X 和Y 不独立 三、(本题满分5分)求极限120lim()x x nx x x e e e n→+++ 其中n 是给定的自然数.解：原式201limexp{ln()}x x nx x e e e x n →+++= 20ln(ln )exp{lim }x x nx x e e e n x→+++-= .……1分其中大括号内的极限是0型未定式，因此由罗比塔法则，有22200ln()ln 2lim lim x x nx x x nxx xnx x x e e e n e e ne x e e e→→+++-+++=+++ ……2分 12n n +++= 12n +=. ……4分 于是12n e+=原式. ……5分四、(本题满分5分) 计算二重积分D I ydxdy =⎰⎰，其中D 是由x 轴，y 轴与曲1=+by a x 所围成的区域；0,0a b >>.解：积分区域D 如图中阴影部分所示.1yb =，得21x y b a ⎛= ⎝. 因此()10xab a I dx ydy -=⎰⎰……2分240(1)2ab x dx a =⎰. ……3分令1t x a =()21x a t =-，2(1)dx a t dt =--.则12450()I ab t t dt =-⎰1562205630t t ab ab ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.……5分五、(本题满分5分) 求微分方程22y x dxdyxy+=满足条件2x ey e ==的特解.解：原方程可以化为2221y dy x y x y dx xyx⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，可见是齐次微分方程. ……1分设,dy duy ux u x dx dx==+有，将其代入上式，得21du u u xdx u ++=， ……2分 即1du x dx u =，du dx u dx x =,21ln ||2u x C =+.……3分 将yu x=代入上式，得通解222(ln ||)y x x C =+，……4分 由条件|2,x e y e ==求得1C =，于是，所求特解为222(ln ||1)y x x =+.……5分六、(本题满分6分)假设曲线)10(1:21≤≤-=x x y L 、x 轴和y 轴所围区域被曲线22:ax y L =分为面积相等的两部分，其a 是大于零的常数，试确定的a 值.解：由21(01)y x x =-≤≤与2y ax =联立，可解得故曲线12L L 与的交点P 的坐标为()11a a++. ……1分 于是11122311001)][(1)]331aa S x ax dy x a x a++=--=-+=+……3分 12112022(1)3S S S x dx =+=-=⎰，……4分 从而113S =.1331a =+，……5分 因此于是3a =.……6分七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1P 和2P ，销量分别为1q 和2q ，需求函数分别为112.024P q -=和2205.010P q -=，总成本函数为)(403521q q c ++=， 试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大总利润为多少?解：总收入函数为2211221122240.2100.05R p q p q p p p p =+=-+- ……2分 总利润函数为112212()[3540()]L R C p q p q q q =-=+-++221122320.2120.051395p p p p =-+--……4分由极值的必要条件，得方程组1122320.40120.10Lp p L p p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩， 其解为1280,120p p ==.……6分 由问题的实际意义可知，当1280,120p p ==时，厂家所获得的总利润最大， 其最大利润为1280,120605p pL ===.……8分八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+ 在区间),0(+∞内单调增加.证：由1()exp{ln(1)}f x x x =+，有111()(1)[ln(1)]1x f x x xx '=++-+.……2分 记11()ln(1)1g x x x=+-+，对于任意(0,)x ∈+∞，有21()0(1)g x x x '=-<+，故函数()g x 在(0,)+∞上单调减少. ……3分由于11lim[ln(1)]01x x x→+∞+-=+，……4分 可见对任意(0,)x ∈+∞，有11()ln(1)01g x x x=+->+，……5分 从而，()0f x '>，(0,)x ∈+∞.于是，函数()f x 在(0,)+∞上单调增加. ……6分九、(本题满分7分)设1111λα+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2111αλ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3111αλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20λλβ， 问λ取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由123,,ααα线性表示，但表达式不唯一？ （3）β不能由123,,ααα线性表示？解：设112233x x x αααβ++=，得线性方程组12231110111111x x x λλλλλ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其系数行列式2111||111(3)111λλλλλ+=+=++A .……3分（1）若03λλ≠≠-且，则方程组有唯一解，β可由3,21,a a a 唯一地线性表示. ……4分（2）若0λ=，则方程组有无穷多个解，β可由3,21,a a a 线性表示，但表达式不唯一.……5分（3）若3λ=-，则方程组的增广矩阵211003318000612130331203312112911291129⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，可见方程组的系数矩阵A 与增广矩阵A 不等秩，故方程组无解，从而β不能由3,21,a a a 线性表示. ……7分十、(本题满分6分)考虑二次型32312123222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ，问λ取何值时，为正定二次型？解：二次型f 的矩阵为1142124λλ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，……2分由于二次型f 正定的充分必要条件是：A 的顺序主子式全为正. 而A 的顺序主子式为：110D =>，22144D λλλ==-，2311424484(1)(2)124D λλλλλλ-==--+=--+-， ……4分于是，二次型f 正定的充分必要条件是：230,0D D >>，由2240D λ=->，可见22λ-<<；由34(1)(2)0D λλ=--+>，可见21λ-<<. 于是，二次型f 正定，当且仅当21λ-<<.……6分十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是D =1112121222120T T T nT T T n T T T n n n nαααααααααααααααααα≠其中T i α表示列向量i α的转置，1,2,,i n = .解：记n 阶矩阵12(,,,)n A ααα= ，则12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是||0≠A ，……2分由于1212(,,,)T T Tn T n A A αααααα⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111212122212T T T n T T Tn T T Tn n n n αααααααααααααααααα⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭……4分故有2||||||||T T A A A A A D =⋅==，因此，||0A ≠与0D ≠等价. 于是0D ≠是12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件.……6分十二、(本题满分6分)【 同数学五 第十三、(1) 题 】 十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域 222r y x ≤+上服从联合均匀分布， (1) 求X 和Y 的相关系数ρ； (2) 问X 和Y 是否独立？解：(1) 因X 和Y 的联合密度为22222221,(,)0,x y r x y r p x y r π+≤⎧+>⎪=⎨⎪⎩若若， ……1分故X 的密度为22222212212()(||)r x r xp x r x x r r rππ---==-≤，同理，Y 的密度为22222()(||)p y r y y r r π-≤ ……2分于是 22220rrr EX r x x dx π--==⎰，22220rrr EY r x y dy π--==⎰，……3分 2222cov(,)0x y r xyX Y EXY dxdy r π+≤==-=⎰⎰， ……4分 因此X 和Y 的相关系数0ρ=.……5分 (2) 由于12(,)()()p x y p x p y ≠，故X 和Y 不独立. ……6分十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--000),(1x x e x a x p x a 若若αλλλ，其中0>λ中是未知参数,0>a 是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ，求λ的最大似然估计 量λˆ. 解：似然函数为11211(,,,)()nn n aa n i ii i L x x x a ex xλλλ--===∑∏ ；， ……2分由对数似然方程，有1ln 0n ai i L n x λλ=∂=-=∂∑，……4分 由此可解得λ的最大似然估计量1=nai i nx λ=∑ . ……5分数 学（试卷五）一、填空题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 【 同数学四 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学四 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学四 第一、(3) 题 】(4) n 阶行列式00000000000000nab a b a a b ba1(1)nn n a b +=+-.(5) [91-5] 设A ，B 为随机事件，P (A )=0.7，P (A -B )=0.3，则6.0)(=B A P二、选择题：(本题满分15分，每小题3分) (1) 【 同数学四 第二、(1) 题 】(2) 设数列的通项为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=为偶数若为奇数若n nn n n n x n 12，则当∞→n ,n x 是 （D ）（A ）无穷大量 （B ）无穷小量 (C) 有界变量 （D ）无界变量(3) 设A 与B 为n 阶方阵，且AB ，则必有 (C)(A) 0A =或0B = (B) AB BA = (C) 0=A 或0=B (D) 0=+B A (4) 设A 是m ⨯n 矩阵，A x ＝0是非齐次线性方程组A x ＝b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是 (D) (A) 若Ax ＝0仅有零解，则A x ＝ b 有唯一解 (B) 若Ax ＝0有非零解，则Ax ＝b 有无穷多个解 (C) 若Ax ＝b 有无穷多个解，则Ax ＝0仅有零解 (D) 若Ax ＝b 有无穷多个解则Ax ＝0有非零解 (5) 【 同数学四 第二、(4) 题 】三、(本题满分5分) 求极限()xx xx 121lim +++∞→.解：原式1221lim (1)lim exp{ln(1)}exp{lim xx x x x x x x x →+∞→+∞→+∞=+=+=，其中大括号内的极限是∞∞型未定式. ……2分因此由罗比塔法则，有22221ln(1)1lim lim lim 011x x x x x x x x x→+∞++++===+++， ……4分 于是120lim (1)1x x x x e →+∞+==.……5分四、(本题满分5分) 求定积分dx x x I 211)12(++=⎰-.解：01221(1)(31)I x dx x dx -=+++⎰⎰……2分 0133101122(1)(31)393x x -=+++=. ……5分五、(本题满分5分)求不定积分arctgxdx x x I ⎰+=221 解：21(1)arctan arctan arctan arctan 1I xdx xdx xd x x=-=-+⎰⎰⎰ ……2分 221arctan (arctan )12x x x dx x x =--+⎛⎜⎠ ……4分 2211arctan ln(1)(arctan )22x x x x C =-+-+.……5分六、(本题满分5分)已知0)()(),()(≠'+'+=z g y z f x z yg z xf xy ，其中(,)z z x y =是x 和y 的函数. 求证：[]yz z f y x z z g x ∂∂-=∂∂-)()]([. 证：将()()xy xf z yg z =+两侧同时对x 求偏导数，得()()()z zy f z xf z yg z x x∂∂''=++∂∂， ……2分 于是，有()()()z y f z x xf z yg z ∂-=''∂+， ……3分 同样可得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+. ……4分因此[()][()][()][()]()()z x g z y f z z x g z y f z x xf z yg z y∂--∂-==-''∂+∂. ……5分七、(本题满分6分)【 同数学四 第六题 】 八、(本题满分8分)【 同数学四 第七题 】 九、(本题满分6分)证明不等式 11ln(1)(0)1x xx><<+∞+＋.证：记11()ln(1),01f x x x x=+-<<+∞+，有21()0(1)f x x x '=-<+， ……2分 故函数()f x 在(0,)+∞上单独减少.……3分 由于11lim ()lim[ln(1)]01x x f x x x→+∞→+∞=+-=+，……5分 故对于任意0x <<+∞，()0f x >，即11ln(1)1x x+>+.……6分十、(本题满分5分)设n 矩阵A 和B 满足条件A ＋B ＝AB ，(1) 证明A -E 为可逆矩阵,其中E 是n 阶单位矩阵；(2) 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200012031B ,求矩阵A .解：由A ＋B ＝AB ，有AB -A -B +E =(A -E)(B -E)=E ， ……1分 由此可见A -E 为可逆矩阵.……2分 又由上式，知B -E 也为可逆矩阵，且1(-=+A E B -E)……3分 由于030200001B E -⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，101/20()1/300001B E -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭， ……4分故1(-=+A E B -E)11/201/310002⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭.……5分十一、(本题满分7分)【 同数学四 第九题 】十二、(本题满分4分) 已知向量Tk a )1,,1(=是矩阵A =211121112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵1-A 的特征向量，求常数k 的值.解：设λ是α所属的特征值，则1a a λ-=A ，a a λ=A .……2分即1211112111121k k λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此得方程组(3)1(22)k k k λλ+=⎧⎨+=⎩，其解为112211,2,,14k k λλ==-==.于是当21k =-或时，α是1-A 的特征向量.……4分十三、(本题满分7分)一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与 其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等.以X 表示汽车首次遇到红 灯前已通过的路口的个数.（1）求X 的概率分布； （2）求XE +11. 解：（1）由条件知, X 的可能值为0,1,2,3.以(1,2,3)i A i =表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”；则123,,A A A 相互独立，且1()(),1,2,32i i P A P A i ===. ……2分于是11(0}()2P X P A ===，1221(1}()2P X P A A ===，12331(2}()2P X P A A A ===，12331(3}()2P X P A A A ===.……4分 （2）11111111671224384896EX =+⋅+⋅+⋅=+. ……7分十四、(本题满分6分)在电源电压不超过200伏、在200－240伏和超过240伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2，假设电源电压X 服从正态分布N (220，252 )，试求 ：(1) 该电子元件损坏的概率α；(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200－240伏的概率β.[附表] （表中)(x Φ是标准正态分布函数）x0.10 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 )(x Φ0.530 0.579 0.655 0.726 0.788 0.341 0.335 0.919解：引进下列事件：1A ＝｛电压不超过200伏｝，2A ＝｛电压在200－240伏｝，3A ＝｛电压超过240伏｝；B ＝｛电子元件损坏｝.因2~(220,25)X N ，故1220200220(){200}{}(0.8)0.2122525X P A P X P --=≤=≤=Φ-=，2(){200240}(0.8)(0.8)0.576P A P X =≤≤=Φ-Φ-=；3(){240}10.2120.5760.212P A P X =>=--=.……3分 （1）由题设条件知123(|)0.1,(|)0.001,(|)0.2P B A P B A P B A ===. 于是，由全概率公式，有31()()(|)0.0642iii a P B P A P B A ====∑，……5分 （2）由贝叶斯公式，得222()(|)(|)0.009()P A P B A P A B P B β==≈.……7分。
1991考研数三真题及解析
1991考研数三真题及解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xy z e =则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______.(3) 设()x f x xe =,则()()n f x 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B ⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1x x e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤=则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A) 1n n a ∞=∑ (B) 1(1)n n n a ∞=-∑(C) 1n ∞=21(1)n n n a ∞=-∑(3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1nA λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x xnxxx e e e n →⎛⎫+++⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y 1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxy x y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y x x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大最大利润为多少八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)x f x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一?(2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一?(3) β不能由123,,ααα线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T nT T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n =.十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立?十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】()sin cos xy e xy ydx xdy + 【解析】方法一：先求出两个偏导数zx∂∂和z y ∂∂,然后再写出全微分dz , sin sin sin sin cos cos cos cos xy xyxy xy z e xy y ye xy xze xy x xe xy y∂⎧=⋅⋅=⎪∂⎪⎨∂⎪=⋅⋅=∂⎪⎩, 所以 sin sin cos cos xy xy z zdz dx dy ye xydx xe xydy x y∂∂=+=+∂∂ sin cos ()xy e xy ydx xdy =+.方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz .()()()sin xy sin xy sin xy sin xy dz d e e d sin xy e cos xydxy e cos xy ydx xdy ====+. (2)【答案】1a =-,1b =-,1c =【解析】由于曲线()f x 与()g x 都通过点()10,,-则()()11010f ag b c -=--=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩, 又曲线()f x 与()g x 在点()10,-有公切线,则()()11f g ''-=-,即()()()211133122x x f x a a g bx b =-=-''-=+=+=-==-,亦即32a b +=-,解之得 1a =-,1b =-,1c =. (3)【答案】()1x n =-+；()1n e-+-【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式()()()()0nn k n k k n k uv C u v -==∑可知, ()0()1(1)2(2)()()()()()n x n x n x n n n xn n n n f x C x e C x e C x e C x e --'''=++++00()x x x xe ne x n e =++++=+.对函数()()()n g x f x =求导,并令()0g x '=,得()(1)()(1)0n x g x f x x n e +'==++=,解之得驻点()1x n =-+,且()0,(1),()()0,(1),()g x x n g x g x x n g x '<<-+⎧⎨'>>-+⎩函数严格单调递减函数严格单调递增；；故()1x n =-+是函数()()()n g x f x =的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)n n n g n f n n n e e ------=--=--+=-.(4)【答案】110B A --⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000X X A E X X B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AX E AX BX BX E =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩从A 和B 均为可逆矩阵知113412,0,0,X A X X X B --====.故应填110B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.(5)【答案】【解析】因为随机变量X 的分布函数()F x 在各区间上的解析式都与自变量x 无关,所以在()F x 的连续点,{}0P X x ==,只有在()F x 的间断点处X 取值的概率才大于零,且{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,则{1}(1)(10)0.4P X F F =-=----=, {1}(1)(10)0.80.40.4,P X F F ==--=-= {3}(3)(30)10.80.2.P X F F ==--=-=因此X 的概率分布为二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)x x e x→∞+=可知,极限 (1)111lim(1)lim[1()]x x x x e x x-⋅--→∞→∞-=+-=,(1)111lim(1)lim(1)x x x x e x x-⋅--→∞→∞+=+=.而极限 00111lim ln(1)lim ln(1)ln(1)001lim (1)lim x x x x x x x x x x x e e e x++→→+++++→→+===, 令1t x=,则 01ln(1)1lim ln(1)lim lim 01t t x t x x tt +→+∞→+∞→++==+洛,所以 01lim ln(1)001lim (1)1x x x x x e e x+→++→+===.故选项(A)正确. (2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nn na a n -=<,由211n n ∞=∑收敛及比较判别法可知21(1)n nn a ∞=-∑绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2n a n n==,则可知 (A) 11111122n n n n a n n ∞∞∞=====∑∑∑, (C) 1111212n n n n∞∞∞===== 都不正确.设21210,(1,2)4n n a a n n-===,则可知(B)不正确. (3)【答案】(B).【解析】由λ为A 的特征值可知,存在非零向量X ,使得AX X λ=. 两端同时乘以*A ,有 **()A X A AX λ=,由公式*A A A =得到*A X A X λ=.于是*1A X A X λ-=.按特征值定义知1A λ-是伴随矩阵*A 的特征值.故应选(B).【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量. (4)【答案】(D)【解析】A B A B =,如果A B =Ω,则A B =∅,即A 与B 互不相容；如果A B ≠Ω,则A B ≠∅,即A 与B 相容.由于A 、B 的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A 一定可以表示为两个互不相容事件AB 与AB 的和. 又因AB =∅,从而A B AB A -==,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A 、B 互不相容等同于A 、B 相互独立而错选(C).A ,B 不相容,()P A ,()P B 均不为零,因此()()0P AB P =∅=,()()()P AB P A P B .≠即(C)不正确. 用排除法应选(D).事实上,()()()()P A B P A P AB P A .-=-= (5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XY E X E Y =,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X Y E XY E X E Y D X Y D X X Y D Y D X D Y =-=+=++=+故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X ,Y 的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1) ()()()E XY E X E Y =； 2) ()()()D X Y D X D Y +=+； 3) cov(,)0X Y =；4) X 和Y 不相关,即X 和Y 的相关系数0ρ=.三、(本题满分5分)【解析】方法一：这是 1∞型未定式极限.1220112ln lim 00lim lim x x nx x x nx xx e e e e e e x xnxxn x n x x e e e e en →⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭→→⎛⎫+++== ⎪⎝⎭20ln()ln limx x nx x e e e n x e→+++-=,其中指数上的极限是0型未定式,由洛必达法则,有20ln()ln limx x nx x e e e nx→+++-220212(1)1lim 22x x nx x xnxx e e ne n n n n e e e n n →++++++++====+++. 所以 11220lim n xxnx xx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭. 方法二：由于 112211xxnxx xnxxxe e e e e en n ⎛⎫⎛⎫++++++=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 记21x x nxe e e y n+++=-,则当0x →时0y →,从而1112000lim lim(1)lim (1)y xxnxxxyxx x x e e e y y n →→→⎡⎤⎛⎫+++=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 而10lim(1)yy y e →+=,所以01limlim (1)x y y xyx x y e →→⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因 200(1)(1)(1)lim limx x nx x x y e e e x nx→→-+-++-=2000111111limlim lim (12)2x x nx x x x e e e n n n x x x n→→→⎡⎤---+=++++++=⎢⎥⎣⎦洛. 所以 11220lim n x xnxxx e e e e n +→⎛⎫+++=⎪⎝⎭.四、(本题满分5分)【解析】积分区域D 如图阴影部分所示.1=,得21y b ⎛=- ⎝. 因此((22412120001122b a b aaDb I ydxdy dx ydy dx y dx ⎛⎡⎤==== ⎢⎥⎣⎦⎝⎰⎰⎰⎰⎰⎰.令1t =有2(1),2(1)x a t dx a t dt =-=--,故42240112(1)22a b b I dx t a t dt ⎛==- ⎝⎰⎰15621245200()5630t t ab ab t t dt ab ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.五、(本题满分5分)【解析】将原方程化为2221y dy x y xy dx xyx ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==,由此可见原方程是齐次微分方程. 令y ux =,有,dy duu x dx dx=+将其代入上式,得21dy du u u x dx dx u +=+=, 化简得1du x dx u =,即dx udu x =.积分得 21ln .2u x C =+ 将yu x=代入上式,得通解222(ln )y x x C =+. 由条件2x e y e ==,即2242(ln )e e e C =+求得1C =. 所以222(ln 1)y x x =+所求微分方程的特解.六、(本题满分6分)【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图：由()()221010y x x y ax a ⎧=-≤≤⎪⎨= >⎪⎩ 得 11x ,aa y .a ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以 112120(1)S S S ydx x dx =+==-⎰⎰1301233x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦,()()2221110111aaS x ax dx a x dx ++⎡⎤⎡⎤=--=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰1301331aa x x a++⎡⎤=-=⎢+⎣⎦.又因为12S S =,所以22331a=⋅+,即12a +=,解得3a .=七、(本题满分8分)【解析】方法1：总收入函数为2211221122240210005R p q p q p .p p .p =+=-+-,总利润函数为()()1122123540L R C p q p q q q =-=+-++⎡⎤⎣⎦ 2211223202120051395p .p p .p =-+--. 由极值的必要条件,得方程组11223204012010L.p ,p L .p ,p ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 即1280120p ,p ==.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p ,p ==时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为121222112280120801203202120051395605p ,p p ,p L p .p p .p =====-+--=（）方法2：两个市场的价格函数分别为1122120520020p q ,p q =-=-,总收入函数为()()11221122120520020R p q p q q q q q =+=-+-,总利润函数为()()()1122121205200203540L R C q q q q q q =-=-+--++⎡⎤⎣⎦ 2211228051602035q q q q =-+--. 由极值的必要条件,得方程组1112228010084160400Lq ,q q ,q .L q ,q ∂⎧=-=⎪∂⎪⇒==⎨∂⎪=-=⎪∂⎩ 因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q ,q ==,即180p ,=2120p =时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q ,q L ===.八、(本题满分6分)【解析】因为(0,)x ∈+∞,所以1()(1)0x f x x=+>.1ln(1)1()(1)x xxf x e x+=+=,两边对x 求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111x x x xxx x f x e e x x x x x ++⎡⎤⋅-'⎢⎥⎡⎤⎡⎤'==⋅++=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎢⎥+⎣⎦. 令11()ln(1)1g x x x=+-+,为证函数()f x 为增函数,只需()0f x '>在(0,)+∞上成立,,即()0,(0,)g x x >∈+∞.方法一：利用单调性.由于 22211111()ln(1)11(1)(1)1x g x x x x x x x-'-⎡⎤'=+-=-=-⎢⎥+++⎣⎦+, 且(0,)x ∈+∞,故21()0(1)g x x x '=-<+,所以函数()g x 在(0,)+∞上单调减少. 又11lim ()lim[ln(1)]01x x g x x x→∞→∞=+-=+,于是有()0,(0,)g x x >∈+∞.从而 1()(1)()0x f x g x x '=+>,(0,)x ∈+∞,于是函数()f x 在(0,)+∞单调增加. 方法二：利用拉格朗日中值定理.令 11ln(1)ln()ln(1)ln (1)()x x x u x u x x x ++==+-=+-,所以在区间(,1)x x +存在一点ξ,使得1(1)()()(1)()u x u x u x x u ξξξ''+-=+-==,即11ln(1)x ξ+=.又因为01x x ξ<<<+,所以1111x xξ<<+,所以 1111ln(1)1x x xξ<+=<+. 故对一切(0,)x ∈+∞,有111()(1)[ln(1)]01x f x x x x '=++->+.函数()f x 在(0,)+∞单调增加.九、(本题满分7分)【解析】设112233x x x ,αααβ++=将分量代入得到方程组()()()12312321231011x x x ,x x x ,x x x .λλλλλ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()1-、()1λ-+加到第二行和第三行上,有22211101110111011120λλλλλλλλλλλλλ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦⎣⎦, 再第二行加到第三行上,所以有2211100300λλλλλλλλ+⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦. 若0λ≠且230,λλ+≠即0λ≠且3λ≠-,则()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即β可由123,,ααα线性表示且表达式唯一.若0λ=,则()()13r A r A ==<,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一.若3λ=,则()()23r A ,r A ==,方程组无解,从而β不能由123,,ααα线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解⇔ ()().r A r A n =<(3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.十、(本题满分6分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于0”的方法最为简捷.二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,其顺序主子式为 2212311,4,448.4A λλλλλ∆=∆==-∆==--+正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A λλλλλλ∆>∆==-+>∆==--+>.解出其交集为(2,1)-,故(2,1)λ∈-时,f 为正定二次型. 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式) ()1211,,,,nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑ 其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()T A A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十一、(本题满分6分) 【解析】记12(,,,)n A ααα=,则12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0A ≠.由于[]1111212212221212,,,T T T T n T T T TT n n T T T Tn n n n n A A αααααααααααααααααααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,从而取行列式,有2T T D A A A A A ===.由此可见12,,,n ααα线性无关的充分必要条件是0D ≠.【相关知识点】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.十二、(本题满分5分)【解析】首先确定X 的可能值是0123,,,,其次计算X 取各种可能值的概率.设事件i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”,123i ,,,=且i A 相互独立.()()12i i P A P A .==事件i A 发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i -.所以有{}()1102P X P A ,==={}()()()21212112P X P A A P A P A ,===={}()()()()3123123122P X P A A A P A P A P A ,==== {}()()()()3123123132P X P A A A P A P A P A .====则X 的概率分布为注：此题易犯的一个错误是将{}3P X =计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信号灯的路口,3X =仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分6分)【解析】二维均匀分布(,)X Y 的联合密度函数为1, (,),(,) 0, (,),D x y D S f x y x y D ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩D S 是区域D 的面积,2,D S r π=所以(,)X Y 的联合密度22222221,(,)0,x y rf x y rx y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩. 由连续型随机变量边缘分布的定义,X 和Y 的概率密度1()f x 和2()f y 为121()(,)(),f x f x y dy x r rπ+∞-∞===≤⎰2()(,)()f y f x y dx y r +∞-∞==≤⎰. 由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EX x f x dx +∞-∞=⋅⎰, []()()().E g X g x f x dx +∞-∞=⋅⎰若()f x 为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0r rf x dx -=⎰.故22,rrEX rπ-=⎰22rrEY rπ-=⎰,由于被积函数为奇函数,故 0EX EY ==.()2222cov(,)x y r xyX Y E XY EX EY dxdy r π+≤=-⋅=⎰⎰, 因为此二重积分区域关于x 轴对称,被积函数为y 的奇函数,所以积分式为0.cov(,)0X Y =.由相关系数计算公式ρ=,于是X 和Y 的相关系数0ρ=.(2)由于12(,)()()f x y f x f y ≡,可见随机变量X 和Y 不独立.十四、(本题满分5分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.现题设给出概率密度函数(;)f x λ,则似然函数11121(,,,;)(),ni i nx nn ii L x x x eX αλαλλα=--=∑=∏111ln ln()ln .nnii i i L n X X ααλαλ-===+-∑∏(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程 1ln 0,n i i L n X αλλ=∂=-=∂∑ 得λ的最大似然估计值1ˆnii nX αλ==∑.所以得λ的最大似然估计量为 1ˆnii nX αλ==∑.【相关知识点】似然函数的定义：设12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值,则似然函数为：12121()(,,,;)(;)(;)(;)(;)nn i n i L f x x x f x f x f x f x θθθθθθ====∏.。
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八、(本题满分 6 分)
试证明函数 f (x) (1 1 )x 在区间 (0, ) 内单调增加. x
九、(本题满分 7 分)
设有三维列向量
1 1 1 0
1
1
, 2
1
,3
1
,
,
1
1
1 2
问 取何值时,
(1) 可由1 ,2 ,3 线性表示,且表达式唯一? (2) 可由1 ,2 ,3 线性表示,且表达式不唯一? (3) 不能由1 ,2 ,3 线性表示?
(n
1, 2)
,则可知(B)不正确.
(3)【答案】(B).
【解析】由 为 A 的特征值可知,存在非零向量 X ,使得 AX X . 两端同时乘以 A* ,有 A*( X ) A* AX ,由公式 A* A A 得到 A* X A X .于是 A* X 1 A X . 按特征值定义知 1 A 是伴随矩阵 A* 的特征值.故应选(B).
十三、(本题满分 6 分)
假设随机变量 X 和 Y 在圆域 x2 y2 r 2 上服从联合均匀分布. (1) 求 X 和 Y 的相关系数 ;(2) 问 X 和 Y 是否独立?
十四、(本题满分 5 分)
设总体 X 的概率密度为
p(
x;
)
ax a 1e xa
,
x 0,
0,
x 0,
其中 0 是未知参数, a 0 是已知常数.试根据来自总体 X 的简单随机样本
任何事件 A 一定可以表示为两个互不相容事件 AB 与 AB 的和. 又因 AB ,从而
A B AB A ,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把 A 、B 互不相容
等同于 A 、 B 相互独立而错选(C).
A , B 不相容, P A , P B 均不为零,因此 P AB P 0 , P AB P A P B .
(1)【答案】(A)
【解析】由重要极限 lim(1 1)x e 可知,
x
x
极限
lim(1 1) x lim[1 ( 1)]x(1) e1 ,
x
x
x
x
lim(1 1)x lim(1 1) x(1) e1 .
x
Байду номын сангаас
x
x
x
而极限
lim (1
1)x
lim
ln(1 1 )x
ex
lim ln(1 1 ) x
十、(本题满分 6 分)
考虑二次型 f x12 4x22 4x32 2 x1x2 2x1x3 4x2 x3 .问 取何值时, f 为正定二
次型. 十一、(本题满分 6 分)
试证明 n 维列向量组1,2 ,, n 线性无关的充分必要条件是
1T1 1T2 1Tn
D
2T1
2T2
T
2n
则a
_______, b
_______, c
_______.
(3) 设 f x xex ,则 f n x 在点 x
_______处取极小值
_______.
(4)
设 A 和 B 为可逆矩阵,
X
0 B
A
0
为分块矩阵,则
X
1
_______.
(5) 设随机变量 X 的分布函数为
0,
F(x)
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 设 z esin xy , 则 dz
_______.
(2) 设曲线 f x x3 ax 与 g x bx2 c 都通过点 1,0 ,且在点 1,0 有公共切线,
an2
1 n2
,由
n1
1 n2
收敛及比较判别法可知 (1)n an2 绝对收敛.
n1
即(D)正确.
另外,设 an
1 2n
(n
1, 2)
,则可知
(A)
an
n1
n1
1 2n
1 2 n1
1, n
(C)
n1
an n1
1
2n
2 1
2
1
n n1 2
都不正确.
设
a2n1
0, a2n
1 4n
【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 uv n n Cnku kv nk 可知, k 0
f
(n) (x)
Cn0 x(ex )(n)
C1nx (ex )(n 1)
C
2 n
x
(e
x
)(n
2)
C
n n
x
(n
)e
x
xex nex 0 0 (x n)ex .
对函数 g x f n x 求导,并令 g x 0 ,得
1
1 x
x
1
(B)
lim
x0
1
1 x
x
e
(C)
lim
x
1
1 x
x
e
(D)
lim
x
1
1 x
x
e
(2)
设 0 an
1 (n 1, 2,) 则下列级数中肯定收敛的是 n
(A) an n 1
(B) (1)n an n1
() ()
(C)
an
n 1
(D) (1)n an2 n1
(3) 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的一个特征根,则 A 的伴随矩阵 A* 的特征根之一是( )
(A) 1 A n
(B) 1 A
(C) A
(D) A n
(4) 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )
(A) A 与 B 不相容
(C) P AB P A PB
(B) A 与 B 相容
(D) P A B P A
(5) 对于任意两个随机变量 X 和Y ,若 E( XY ) E( X ) E(Y ) ,则
X1, X 2 ,, X n ,求 的最大似然估计量 ˆ .
1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
(1)【答案】 esin xy cos xy ydx xdy
【解析】方法一：先求出两个偏导数
z x
和
z y
,然后再写出全微分
dz
0,
nT1
nT2
T
nn
其中
T i
表示列向量 i
的转置,
i
1,
2,,
n
.
十二、(本题满分 5 分) 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与
其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以 X 表示该汽车首次遇到 红灯前已通过的路口的个数.求 X 的概率分布.
三、(本题满分 5 分)
【解析】方法一：这是 1 型未定式极限.
x 2x
lim e e n e lim e e x0
1 nx x
P{X 1} F (1) F (1 0) 0.4 ,
P{X 1} F (1) F (1 0) 0.8 0.4 0.4, P{X 3} F (3) F (3 0) 1 0.8 0.2.
因此 X 的概率分布为
x
1
1
3
P{X x} 0.4
0.4
0.2
二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)
0 B1
(4)【答案】
A1
0
【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有
0
B
A 0
X X
1 3
X X
2 4
E 0
0
E
,
AX 3 E,
由对应元素或块相等,即
AX 4 BX1
0, 0,
BX 2 E.
从
A和
B
均为可逆矩阵知
X3
A1,
X4
0,
X1
0,
X2
B 1
.故应填
七、(本题满分 8 分)
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为 p1 和 p2 ；销售量分别为 q1 和
q2 ；需求函数分别为 q1 24 0.2 p1 和 q2 10 0.05 p2 ,总成本函数为 C 35 40q1 q2 .
试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？
f 1 1 a 0
g 1 b c 0
,
又曲线 f x 与 g x 在点 1,0 有公切线,则 f 1 g 1 ,即
f 1
3x2 a
x1
3a
g 1
2bx
x1
2b
,
亦即 3 a 2b ,解之得 a 1 , b 1, c 1.
(3)【答案】 x n 1 ； en1
g x f (n1) (x) (x n 1)ex 0 ,
解之得驻点
x
n
1
,且
g g
(x) (x)
0, 0,
x x
(n (n
1), 1),
函数g 函数g
( (
x) x)
严格单调递减； 严格单调递增；
故 x n 1 是函数 g x f n x 的极小值点,极小值为
g(n 1) f (n)(n 1) (n 1 n)e n 1 e n 1 .
方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算 dz .
dz d esin xy esin xyd sin xy esin xy cos xydxy esin xy cos xy ydx xdy .