弹性力学问题的解法

u = 0, v = 0.
例2 如图所示，试写出其边界条件。 如图所示，试写出其边界条件。
(1) AB段（y = 0）： l = 0, m = −1 段 ）： 代入边界条件公式， 代入边界条件公式，有 p(x)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA
x X = 0,Y = − p(x) = − p0 l
β
N β l C
B
p 0
x
h
σ x ⋅ 0 +τ xy ⋅ (−1) = 0 σ y ⋅ (−1) +τ yx ⋅ 0 = − p(x)
[
]
γ zx =
2)用应变表示应力的关系式
(The Stresses Explained by Strains)
σ x = λθ + 2Gε x
σ y = λθ + 2Gε y
τ xy = Gγ xy
τ yz = Gγ yz
σ ij = λδ ijθ + 2Gε ij
σ z = λθ + 2Gε z
图(a)
o x
图 (b )
x
y
τ
u
s xy
=u = 0 = f y= 0
y
(σ x ) s = f x 0 v s = v = 0
例1 如图所示，试写出其边界条件。 如图所示，试写出其边界条件。
(1) (2)
(3)
∂v us = 0 ∂u = 0, = 0 x = 0, ∂y ∂x h vs = 0 h x x = a, l =1, m = 0 a X = 0,Y = 0 y (4) y = +h, l = 0, m = +1 l(σ x )s + m(τ xy )s = X X = 0,Y = 0 m(σ y )s + l(τ xy )s = Y (σx )s ⋅ 0 + (τ xy )s ⋅ (+1) = 0 (σx )s = 0, (τxy )s = 0 (σ y )s ⋅ (+1) + (τxy )s ⋅ 0 = 0 l = 0, m = −1 y = −h, (σ y )s = 0, (τxy )s = 0 X = 0,Y = q
1、平衡微分方程(Differential Equations of Equilibrium) ) 方程， （Navier方程，3个） 方程
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + fx = 0 ∂x ∂y ∂z
∂τ yx ∂x
+
∂σ y ∂y
+
∂τ yz ∂z
+ fy = 0
σ ij , j + f i = 0
∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
2、几何方程(Geometric Equations) )
方程， （Cauchy方程，3个） 方程
∂u εx = ∂x
∂v εy = ∂y
∂w εz = ∂z
γ xy
∂u ∂v = + ∂y ∂x
γ yz
∂v ∂w = + ∂z ∂y
即有： 即有：
l ⋅ (σ x ) s + m ⋅ (τ yx ) s = f x m ⋅ (σ y ) s + l ⋅ (τ xy ) s = f y (σ x ) s 、 yx ) s (τ 为应力的边界值
2.特例--边界面与坐标轴平行时 2.特例--边界面与坐标轴平行时 特例-(1).左右两面： (1).左右两面： 左右两面
q
(σ ) ⋅ (−1) + (τ ) ⋅ 0 = q (σ ) = −q, (τ ) = 0
y s xy s
y s xy s
(σx )s ⋅ 0 + (τ xy )s ⋅ (−1) = 0
说明： 说明：
x = 0 的边界条件，是有矛 的边界条件， 盾的。由此只能求出结果： 盾的。由此只能求出结果：
根据给定物体边界条件都类型， 根据给定物体边界条件都类型， 可将弹性力学边界条件分为三类
一.位移边界条件
(Displacement Boundary Condition)
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移分量是 已知的，即： us = u , vs = v 式中 s 、 s —是位移的边界值； u v 是位移的边界值； 是位移的边界值
∂ 2ε y
2 ∂ 2ε z ∂ γ yz + 2 = 2 ∂z ∂y ∂y∂z
∂ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy 2 = ∂x − ∂y + ∂z ∂z∂x ∂x
∂ 2ε y
∂ 2ε z ∂ 2ε x ∂ 2γ zx + 2 = 2 ∂x ∂z ∂z∂x
∂ 2ε z ∂ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy 2 = ∂x + ∂y − ∂z ∂x∂y ∂x
o
x 上面：l=0，m=-1 左面： l=-1 m=0 下面：l=0，m=1 y 右面： l=1 m=0
(σ l = ±1 x)s = ± X (τ = m = 0 xy)s ±Y
(2).在上下两面 (2).在上下两面
l = 0 y ) s = ± f y (σ (τ = m = ±1 yx ) s ± f x
上 : (σ y ) s = − ql , (τ yx ) s = 0
三.混合边界条件
(Mixed Boundary Condition)
在一部分边界上的位移分量为已知， 1、在一部分边界上的位移分量为已知，另一部 分界上应力分量已知。 分界上应力分量已知。 在同一边界上， 2、在同一边界上，已知一个位移分量和一个应 力分量。 力分量。
(3)物理方程（physical equation） 物理方程 ）
——广义 广义Hooke定律（the Generalized Hooke’s Law）（6个） 定律（ 广义 定律 ）
1)用应力表示应变的关系式
(The Strains Explained by Stresses)
1 ε x = σ x − v (σ y + σ z ) E
σy τ yx
Xf xn Xn
X n = Yn
σ x τ yx
τ xy l σ y m
σx
τ xy
f Yyn
单元体斜面恰为边界面则 面力分量与坐标面应力的 关系有应力边界条件
σ x τ yx
τ xy l f x = σ y s m f y
σ y ⋅ (−sin β ) +τ xy ⋅ (−cos β ) = γy sin β 右侧面： 右侧面： l = cosα, m = −sin α x = y tanα cosα ⋅σ x − sin α ⋅τ xy = 0
X =Y = 0
− sin α ⋅σ yx + cosα ⋅τ xy = 0
y
τ xy y=0 = 0
(2) BC段（x = l）： l = 1 m = 0 段 ）： ,
x σ y y=0 = p(x) = p0 l
(3) AC段（y =x tan β）: 段 ）
l = cos(N, x) = cos(90 + β) = −sin β
m = cos(N, y) = cos β
u |x=l = 0, v |x=l = 0
∂u ∂v = 0, =0 ∂y x=l ∂x x=l
σ x ⋅ (−sin β) +τ xy ⋅ cos β = 0 σ y ⋅ cos β +τ yx ⋅ (−sin β) = 0
例3 图示水坝，试写出其边界条件。 图示水坝，试写出其边界条件。
左侧面： 左侧面： l = −cos β, m = −sin β
σx εx
u
σy
σz
εz
τ xy
γ xy
τ yz γ yz
τ zx
6个应变分量(Stress Components )
εy
γ zx
和3个位移(Displacements)
v
w
虽然15个方程可解15个未知函数, 虽然15个方程可解15个未知函数,但由于求解时会产生待定函 15个方程可解15个未知函数 数;所以要想得出具体的解答还必需利用边界条件来确定待定 函数。 函数。
∂w ∂u = + ∂x ∂z
1 ε ij = (ui , j + u j ,i ) 2
γ zx
变形协调方程(Deformation Compatibility Equation )
——(Saint-Yenant方程)
∂ εx + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
2
∂ 2ε y
∂ 2γ xy
∂ 2ε x ∂ ∂γ yz ∂γ zx ∂γ xy 2 = − ∂x + ∂y + ∂z ∂y∂z ∂x
例 举 ：
fx = ql fy = 0
y
fx = 0, fy = ql
x
右 : (σ x ) s = − ql , (τ xy ) s = 0
fx = −ql fy = 0
左 : (σ x ) s = − ql , (τ xy ) s = 0
fx = 0, fy = −ql
下 : (σ y ) s = − ql , (τ yx ) s = 0
第四章 弹性力学问题的解法
Methods of Analysis for Elastic Mechanics
参
考 教 材
1）《弹性力学》（第4版，上册），徐芝纶著 2）《弹性力学与有限元法》，蒋玉川、张建海、 李章政编著
§4.1 弹性力学的基本方程
Basic Equations of Elastic Mechanics 平面应力问题
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上已知的位移分量。 边界上坐标的已知函数或边界上已知的位移分量。
二、应力边界条件
(Stress Boundary Condition)
——应力分量与面力分量之间的关系 应力分量与面力分量之间的关系 在全部边界上应力边界条件已知。 在全部边界上应力边界条件已知。
１.在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 在边界上的楔形体（单位厚度）如图所示： 弹性体内单元体斜面上的应力 分量与坐标面应力的关系有
.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量, 注： A.在边界上，应力分量的边界值等于对应的面力分量,且当 边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同, 边界的外法线沿坐标轴正向时，两者正负号相同,当边界的 外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。 外法线沿坐标轴负向时,两者正负号相反。
B.边界上的面力转变为应力分量其正负号规定:正面正向、 边界上的面力转变为应力分量其正负号规定:正面正向、 边界上的面力转变为应力分量其正负号规定 负面负向为正，其余为负。 负面负向为正，其余为负。
pi = σ ij n j
（在 Sσ 上）
τ zx ⋅ l + τ zy ⋅ m + σ z ⋅ n = p z
2）位移边界条件
(Displacement Boundary Condition)
u = u*
v = v*
w = w*
v w 注意： u * 、 * 、 * 为弹性体表面已知的位移
以上15个基本方程包含弹性力学所要研究的15个基本未知量， 以上15个基本方程包含弹性力学所要研究的15个基本未知量， 15个基本方程包含弹性力学所要研究的15个基本未知量 即6个应力分量(Stress Components ) 个应力分量
图示薄板， 方向受均匀拉力作用 方向受均匀拉力作用， 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 例4 证明在板中间突出部分的尖点 处无 证明在板中间突出部分的尖点A处无 应力存在。 应力存在。 解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 平面应力问题，
x = −y tan β
X = γy cos β Y = γy sin β
由应力边界条件公式， 由应力边界条件公式，有
α
l(σ x )s + m(τ xy )s = X m(σ y )s + l(τ xy )s = Y
σ x ⋅ (−cos β ) +τ xy ⋅ (−sin β ) = γy cos β
[
]
γ xy
2(1 + v) = τ xy E 2(1 + v) v) = τ yz E
2(1 + v) τ zx E
v 1+ v σ ij − δ ijσ kk E E
1 ε y = σ y − v(σ z + σ x ) E
[
]
γ yz
ε ij =
1 ε z = σ z − v(σ x + σ y ) E
τ zx = Gγ zx
(4) 边界条件(boundary conditions) 1）应力边界条件
(Stress Boundary Condition)
（3个）
σ x ⋅ l + τ xy ⋅ m + τ xz ⋅ n = p x
τ yx ⋅ l + σ y ⋅ m + τ yz ⋅ n = p y